1ª Lista GAAL 2°2014

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UFVJM - Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICA - Instituto de Cieˆncias Agra´rias
Bacharelado em Cieˆncias Agra´rias
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
1a Lista de exerc´ıcios
1. Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas
ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, teˆm propriedades que as diferenciam de
uma matriz qualquer. Caracterize e deˆ exemplos para os seguinte tipos de matrizes:
(a) Matriz quadrada;
(b) Matriz nula;
(c) Matriz coluna;
(d) Matriz linha;
(e) Matriz diagonal;
(f) Matriz identidade Quadrada;
(g) Matriz triangular Superior;
(h) Matriz triangular Inferior;
(i) Matriz sime´trica.
2. Determine a matriz A = (aij)2x2 tal que:
(a) aij =
{
0, se i = j
1, se i 6= j
(b) aij =
{
i+ j, se i = j
−i− j, se i 6= j
(c) aij =
{
i2, se i = j
j2, se i 6= j
3. Determine x e y de modo que a matriz A seja diagonal:
A =
[
0 3x− 2y
y + 1 2
]
1
4. Sejam
A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[ −2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4
 e D = [ 2 −1 ]
Encontre:
(a) A+B
(b) A · C
(c) B · C
(d) C ·D
(e) D · A
(f) D ·B
(g) −A
(h) −D
5. Seja A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
. Se A′ = A, enta˜o x = .
6. Se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o A− A′ = .
7. Se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o A′ e´ .
8. Se A e´ uma matriz diagonal, enta˜o A′ = .
9. Se A2 = AA, enta˜o
[
2 x2
2x− 1 0
]2
= .
10. Ache x, y, z e w se
[
x y
z w
]
·
[
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
11. Explique por que, em geral, (A+B)2 6= A2 + 2AB +B2 e (A+B)(A−B)2 −B2.
2
12. Se A1, A2, . . . , Ak sa˜o matrizes m × n e c1, c2, . . . , ck sa˜o nu´meros reais, enta˜o uma expressa˜o do
tipo
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk
e´ chamada combinac¸a˜o linear de A1, A2, . . . , Ak e c1, c2, . . . , ck sa˜o denominados coeficientes
da combinac¸a˜o.
Se
A1 =
 0 −3 52 3 4
1 −2 −3
 e A2 =
 5 2 36 2 3
−1 −2 3
 ,
enta˜o C = 3A1 − 12A2 e´ uma combinac¸a˜o linear de A1 e A2. Utilizando a multiplicac¸a˜o escalar e a
adic¸a˜o de matriz, calcule C.
13. Seja
A =
 a b cc d e
e e f
 .
(a) Calcule A− A′.
(b) Calcule A+ A′.
(c) Calcule (A+ A′)′.
14. Uma indu´stria fabrica treˆs tipos de produto: A, B e C. Estimados para o ano de 2015, os custos
de produc¸a˜o de uma unidade de cada um dos produtos A, B e C, com mate´ria-prima, pessoal e
despesas gerais, sa˜o dados, em reais, respectivamente, pelas 1a, 2a e 3a linhas da matriz M .
Nas 1a, 2a e 3a linhas da matriz P consta , respectivamente, o nu´mero de unidades dos produtos
A, B e C a serem fabricados em cada um dos treˆs quadrimestres de 2015.
M =
 2 3 1, 55 4 2, 50
1 2 1, 50
 P =
 4000 4500 45002000 2600 2400
5000 6200 6000

O custo com pessoal para cada quadrimestre, estimado pela indu´stria para o ano de 2015 e´ dado
por:
( ) pela soma dos elementos da 2a linha da matriz-produto PM .
( ) pelos elementos da 2a linha da matriz-produto MP .
( ) pelos elementos da 2a linha da matriz-produto PM .
( ) pelos elementos da 2a linha da matriz-soma M + P .
( ) pelos elementos da 2a coluna da matriz-produto MP
3
15. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo e colonial.
A quantidade de materiais empregada em cada tipo de casa e´ dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
(b) Suponha que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectiva-
mente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual e´ o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa?
(c) Qual o custo total do material empregado?
16. Uma rede de comunicac¸a˜o tem cinco locais com transmissores de poteˆncias distintas. Estabelecemos
que aij = 1, na matriz abaixo significa que a estac¸a˜o i pode transmitir diretamente a` estac¸a˜o j.
Observe que a diagonal principal e´ nula significando que uma estac¸a˜o na˜o transmite diretamente
para si mesma.
A =

0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0

Qual seria o significado de A2 = A ·A? Seja A2 = [cij]. Calculemos o elemento c42 =
∑5
k=1 a4kak2 =
0+0+ 1+ 0+ 0 = 1 Note que a u´nica parcela na˜o nula veio do a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa que a
estac¸a˜o 4 transmite para a estac¸a˜o 2 atrave´s de uma retransmissa˜o para a estac¸a˜o 3, embora na˜o
exista transmissa˜o direta de 4 para 2.
(a) Calcule A2.
(b) Qual o significado de Cij = 2?
(c) Discuta o significado dos termos nulos iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmac¸a˜o: “A matriz A2 representa o nu´mero de caminhos dispon´ıveis para ir de uma estac¸a˜o
a outra com uma u´nica retransmissa˜o”.
(d) Se A fosse sime´trica, o que significaria?
4
17. Os pesticidas sa˜o aplicados a`s plantas a fim de eliminar os insetos daninhos. Entretanto, uma parte
destes pesticidas e´ absorvido pela planta. Os pesticidas sa˜o absorvidos pelo animais herb´ıvoros
quando eles se alimentam de plantas que receberam pesticidas. Para determinar a quantidade
de pesticida absorvida por um animal herb´ıvoro, procedemos da seguinte maneira. Suponha que
temos treˆs pesticidas e quatro plantas. Represente por uma matriz A = [aij]3×4 a quantidade de
pesticida i (em miligramas) que foi absorvida pela planta j.
A =
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4[ ]2 3 4 3 Pesticida 1
3 2 2 5 Pesticida 2
4 1 6 4 Pesticida 3
Suponha agora que temos treˆs animais herbivoros, e que um matriz B = [bij]4×3 represente o
nu´mero de plantas do tipo i que um animal herb´ıvoro do tipo j come por meˆs.
B =
Herb´ıvoro 1 Herb´ıvoro 2 Herb´ıvoro 3

20 12 8 Planta 1
28 15 15 Planta 2
30 12 10 Planta 3
40 16 20 Planta 4
Qual o significado de cada um dos elementos cij da matriz AB = C = [cij]3×3?
18. Um fabricante de mo´veis produz cadeiras e mesas, e cada uma delas passa por um processo de
montagem e por um processo de acabamento. O tempo gasto em cada um dos processos e´ dado
(em horas) pela matriz
A =
Processo de montagem Processo de acabamento[ ]
2 2 Cadeira
3 4 Mesa
.
O fabricante tem uma fa´brica em Salt Lake City e outra em Chicago. As taxas por hora de cada
um dos processos sa˜o dadas (em do´lares) pela matriz
B =
Salt Lake City Chicago[ ]
9 10 Processo de montagem
10 12 Processo de acabamento
.
5
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
19. Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de duas fabricas, X e Y . Ao
fabricar estes produtos, os poluentes dio´xido de enxofre, o´xido n´ıtrico e material particulado sa˜o
produzidos. As quantidades de poluentes produzidas sa˜o dadas (em quilogramas) pela matriz
A =
Dio´xido de enxofre O´xido n´ıtrico Material particulado[ ]
300 100 150 Produto P
200 250 400 Produto Q
.
Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo dia´rio de cada
quilograma de poluente e´ dado (em do´lares) pela matriz
B =
Fa´brica X Fa´brica Y[ ]8 12 Dio´xido de enxofre
7 9 O´xido n´ıtrico
15 10 Material particulado
.
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
20. Em um projeto de pesquisa sobre dieta participaram adultos e crianc¸as de ambos os sexos. A
distribuic¸a˜o dos participantes no projeto e´ dado pela matriz
A =
Adulto Crianc¸a[ ]
80 120 Sexo masculino
100 200 Sexo feminino
.
O nu´mero de gramas dia´rio de prote´ınas e carboidratos consumidos pela crianc¸a e adultos e´ dado
pela matriz
B =
Prote´ına Gordura Carboidratos[ ]
20 20 20 Adulto
10 20 30 Crianc¸a
.
(a) Quantos gramas de prote´ınas sa˜o consumidos diariamente por homens no projeto?
(b) Quantosgramas de gordura sa˜o consumidos diariamente por mulheres no projeto?
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