eaulas3 4

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Lei de Walras e Efeito-Riqueza: Agregação de Engel
Proposição
Se a função de demandaWalrasiana x(p , w) satisfaz a Lei de Walras,
então para todo p e w temos que:
L∑
k�1
[
∂x`(p , w)
∂w
p`
]
� 1 (1)
Ou, de modo equivalente: p · Dwx(p , w) � 1
# Demonstração segue, de modo trivial, da diferenciação da
equação p · x(p , w) � w em relação a w.
# Agregação de Engel.
# Intuição: a despesa total do consumidor deve variar em valor
igual à variação na sua riqueza.
Problema do Consumidor
# Hipótese Comportamental:
x∗ ∈ B tal que x∗ % x , ∀x ∈ B
# Como vimos: racionalidade garante representação via função
utilidade
# Suporemos:
◦ X � RL+
◦ p ∈ RL++
◦ w > 0
◦ Relação de preferências % em RL+:
◦ Completa, transitiva, contínua, estritamente monótona e
estritamente convexa em RL+.
Problema do Consumidor
O consumidor soluciona:
max
x∈RL+
u(x)
s.a p · x ≤ w
Proposição
Se p ∈ RL++, w > 0 e u(·) contínua, então o problema do consumidor
tem solução (Teorema de Weierstrass).
# B(p , w) ⊂ RL conjunto compacto (fechado e limitado).
# u(·) contínua.
# Funções contínuas atingem valores extremos em conjuntos
compactos.
Demanda Walrasiana: Propriedades
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando relação de pre-
ferências % localmente não-saciadas definidas sobre o conjunto de
consumo X � RL+. Então a correspondência de demanda walrasiana
é homogênea de grau zero em (p , w):
x(αp , αw) � x(p , w) ∀(p , w) e α > 0
# Para todo escalar α > 0, temos:
B(αp , αw) ≡ {x ∈ RL+ : αp·x ≤ αw} � {x ∈ RL+ : p·x ≤ w} ≡ B(p , w)
# Conjunto factível não muda.
# Solução do problema de maximização também não mudará.
Demanda Walrasiana: Propriedades
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando relação de pre-
ferências % localmente não-saciadas definidas sobre o conjunto de
consumo X � RL+. Então a correspondência de demanda walrasiana
satisfaz a Lei de Walras:
p · x � w , ∀x ∈ x(p , w)
# Consequência direta de não-saciedade local.
Demanda Walrasiana: Propriedades
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua e (estritamente) quase-côncava
representando relação de preferências % localmente não-saciadas
e (estritamente) convexas, definidas sobre o conjunto de consumo
X � RL+. Então a correspondência de demanda walrasiana é um
conjunto convexo (unitário).
Condições Necessárias: Kuhn-Tucker
1. Condições de Primeira Ordem ∀` � 1, . . . , L
∂L
∂x`
�
∂u(x∗)
∂x`
− λp` + µ` � 0
2. Restrições de não-negatividade do ótimo:
y − p · x∗ ≥ 0
x∗` ≥ 0 ∀` � 1, . . . , L
3. Condições de “Complementary Slackness”:
λ[y − p · x∗] � 0
µ`x∗` � 0 ∀` � 1, . . . , L
4. Restrições de não-negatividade dos multiplicadores
λ ≥ 0
µ∗` ≥ 0 ∀` � 1, . . . , L
Solução do Problema do Consumidor
Utilidade Indireta
# Função valor do problema de maximização de utilidade:
v(p , w) � u(x(p , w)) � max
x∈RL+
{u(x) s.a. p · x ≤ w}
# Retorna o nível máximo de utilidade atingido pelo consumidor,
dado um conjunto orçamentário.
# Nível de utilidade referente à curva de indiferença mais alta que
o consumidor consegue atingir.
Propriedades da Utilidade Indireta
# Contínua em RL+1++
◦ Aplicação do Teorema do Máximo (Teorema de Berge)
# Homogênea de grau zero em (p , w)
# Estritamente crescente em w
# Decrescente em p
# Quase-convexa em (p , w).
# Identidade de Roy
Propriedades da Utilidade Indireta
# Sabemos que v(p , w) � u(x , p , w). Logo:
∂v(p , w)
∂p`
�
L∑
j�1
∂u
∂x j
∂x j(p , w)
∂p`
# u(·) avaliada no máximo implica:
∂u
∂x j
� λp j
# λ é a utilidade margina da renda. Logo,
λ �
∂v(p , w)
∂w
Propriedades da Utilidade Indireta
# Combinando as três condições do slide anterior:
∂v(p , w)
∂p`
�
L∑
j�1
∂u
∂x j
∂x j(p , w)
∂p`
� λ
L∑
j�1
p j
∂x j(p , w)
∂p`
�
∂v(p , w)
∂w
L∑
j�1
p j
∂x j(p , w)
∂p`
# Como consequência da Lei de Walras, vimos que:
x`(p , w) � −
L∑
j�1
p j
∂x j
∂p`
Identidade de Roy
# Chegamos então a um resultado chamado Identidade de Roy
Proposição
Seja u função utilidade contínua representando preferências % lo-
calmente não-saciadas e estritamente convexas sobre X � RL+. Su-
ponha ainda que a função de utilidade indireta é diferenciável em
(p , w) ∈ RL+1++ . Então, para todo ` � 1, . . . , L, temos:
x`(p , w) � −
(
∂v(p , w)
∂p`
)
×
(
∂v(p , w)
∂w
)−1
# Conseguimos, assim, recuperar todo o sistema de demandas a
partir de uma única função.
Minimização de Despesa
# Ao invés de fixar preços e renda e buscar o nível máximo de
utilidade atingível, resolvemos um problema distinto.
# Qual o menor nível de despesa que o consumidor consegue
atingir, fixados um vetor de preços e um nível de utilidade?
# Fixamos uma curva de indiferença e encontramos a isogasto que
a tangencia.
min
x∈RL+
p · x
s.a u(x) ≥ u
# Função despesa:
e(p , u) � p · h(p , u) � min
x∈RL+
{p · x s.a. u(x) ≥ u}
Propriedades da Função Despesa (1)
Seja U � {u(x) : x ∈ RL+}.
A função despesa e : RL++ × U −→ R+
# Contínua em RL++ × U
◦ Demonstração: Teorema de Berge.
# É igual a zero quando u atinge seu valor mínimo.
◦ Demonstração: Preferências estritamente monotônicas
implicam que u(x) > u(0), ∀x ∈ RL+\{0}.
# Não decrescente em p.
◦ Demonstração: Sejam p2 e p1 dois vetores, com p2` ≥ p1` e
p2k � p
1
k , ∀k , `. Então
e(p2, u) � p2 · h(p2, u) ≤ p1 · h(p2, u) ≤ e(p2, u)
Propriedades da Função Despesa (2)
A função despesa e : RL++ × U −→ R+
# É côncava em p
◦ Demonstração: Considere dois vetores p1 e p2 e defina:
h1 ≡
{
arg min
x∈RL+
p1 ·x
s.a. u(x) ≥ u
e h2 ≡
{
arg min
x∈RL+
p2 ·x
s.a. u(x) ≥ u
Defina pλ � λp1 + (1 − λ)p2 e hλ ≡
{
arg min
x∈RL+
pλ ·x
s.a. u(x) ≥ u
Note que p1 ·h1 ≤ p1 ·hλ e que p2 ·h2 ≤ p2 ·hλ. Segue que:
λ p1 ·h1︸︷︷︸
e(p1 ,u)
+(1 − λ) p2 ·h2︸︷︷︸
e(p2 ,u)
≤ pλ ·hλ︸︷︷︸
e(pλ ,u)
Propriedades da Função Despesa (3)
A função despesa e : RL++ × U −→ R+
# É estritamente crescente em u e sem limite superior ∀p � 0
◦ Demonstração: Como a restrição de utilidade mínima é
ativa (por conta de continuidade e de monotonicidade
estrita), podemos usar o teorema do envelope para mostrar
que:
e(p , u) � min
x∈RL+
L(x , µ)
comL(x , µ) � p · x + µ[u − u(x)]. Então:
∂
∂u
e(p , u) � ∂
∂u
min
x∈RL+
L(x , µ) � µ > 0
Propriedades da Função Despesa (4)
A função despesa e : RL++ × U −→ R+
# É homogênea de grau 1 em p
◦ Demonstração: Note que:
e(λp , u) ≡
{
min
x∈RL+
λp ·x
s.a. u(x) ≥ u
�
{
λ min
x∈RL+
p ·x
s.a. u(x) ≥ u
≡ λe(p , u)
# Satisfaz o Lema de Sheppard: se e(p , u) é diferenciável no ponto
(p˜ , u˜), com p˜ � 0, então:
∂
∂p`
e(p˜ , u˜) � h`(p˜ , u˜)
◦ Demonstração: Pelo Teorema do Envelope:
∂
∂p`
e(p , u) � ∂
∂p`
min
x∈RL+
L(x , µ) � h`(p , u)
Propriedades da Demanda Hicksiana (1)
Seja h : RL++ × U −→ R+ função demanda hicksiana.
# Homogeneidade em p: ∀(p , u) e λ > 0, h(λp , u) � h(p , u)
◦ Demonstração: Similar à demonstração de homogeneidade
da função despesa.
# Matriz de Substituição (de Hicks) é negativa semi-definida.
◦ Demonstração: σ(p , u) é igual à Hessiana da função
despesa, que sabemos ser côncava em p:
σ(p , u) �

∂h1(p ,u)
∂p1
. . .
∂hL(p ,u)
∂p1
...
. . .
...
∂h1(p ,u)
∂pL
. . .
∂hL(p ,u)
∂pL
 �

∂2e1(p ,u)
∂p21
. . .
∂2eL(p ,u)
∂pL∂p1
...
. . .
...
∂2e1(p ,u)
∂p1∂pL
. . .
∂2eL(p ,u)
∂p2L

Propriedades da Demanda Hicksiana (2)
Seja h : RL++ × U −→ R+ função demanda hicksiana.
# Simetria: σ(p , u) é simétrica, i.e.,
∂h`(p , u)
∂pk
�
∂hk(p , u)
∂p`
◦ Demonstração: Pelo Lema de Sheppard:
∂hk(p , u)
∂p`
�
∂2e(p ,u)
∂pk∂p`
�
∂2e(p , u)
∂p`∂pk
�
∂h`(p , u)
∂pk
A segunda desigualdade decorre do Teorema de Young.
# Lei da Demanda Compensada: a demanda hicksiana é
não-positivamente inclinada.
Lei da Demanda Compensada
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo
X � RL+, e que para todo p � 0, h(p , u) consiste em um único ele-
mento. Então a função demanda hicksiana satisfaz a lei da demanda
compensada:
(p′ − p)[h(p′, u) − h(p , u)] ≤ 0
Demonstração
1. Se p � 0 e p′ � 0, então a demanda hicksiana satisfaz:
p · h(p , u) ≤ p · h(p′, u)
p′ · h(p′, u) ≤ p′ · h(p , u)
2. Somando as duas desigualdades, temos:
p · h(p , u) + p′ · h(p′, u) ≤ p · h(p′, u) + p′ · h(p , u)
Lei da Demanda Compensada
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo
X � RL+, e que para todo p � 0, h(p , u) consiste em um único ele-
mento. Então a função demanda hicksiana satisfaz a lei da demanda
compensada:
(p′ − p)[h(p′, u) − h(p , u)] ≤ 0
Demonstração (cont.)
2. Somando as duas desigualdades, temos:
p · h(p , u) + p′ · h(p′, u) ≤ p · h(p′, u) + p′ · h(p , u)
3. Rearranjando os termos, chegamos ao resultado:
(p′ − p)[h(p′, u) − h(p , u)] ≤ 0
Lei da Demanda Compensada
# Para variação de preços em um único bem:
(p′` − p`)[h`(p′, u) − h`(p , u)] ≤ 0
# O efeito da variação no preço do bem ` sobre a demanda
hicksiana do bem ` é sempre negativo.
# Se h é diferenciável em p, podemos demonstrar também usando
o Lema de Sheppard e a concavidade da função despesa:
∂h`(p , u)
∂p`
�
∂2e(p , u)
∂p2`
≤ 0
# Vimos que isso não é verdade para a demanda walrasiana, por
conta dos bens de Giffen.
Demandas Walrasiana e Hicksiana
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo X �
RL+. Se p >> 0, temos:
1. Se x∗ ∈ x(p , w), com w > 0, então x∗ ∈ h(p , u), quando u � u(x∗).
Adicionalmente, e(p , u(x∗)) � w.
2. Se x∗ ∈ h(p , u), com u > u(0), então x∗ ∈ x(p , w), quando
w � p · x∗. Adicionalmente, v(p , p · x∗) � u.
Demandas Walrasiana e Hicksiana
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo X �
RL+. Se p >> 0, temos:
1. Se x∗ ∈ x(p , w), com w > 0, então x∗ ∈ h(p , u), quando u � u(x∗).
Adicionalmente, e(p , u(x∗)) � w.
Demonstração
1. Precisamos de w > 0 e u > u(0) para que o conjunto de restrição seja não-vazio.
2. Demonstração por contradição.
3. Suponha que x∗ ∈ x(p , w) e x∗ < h(p , u), quando u � u(x∗).
4. Existe x˜ tal que u(x˜) ≥ u(x∗) e p · x˜ < p · x∗ ≤ w.
5. Por não-saciedade local, existe um x′ na vizinhança de x˜ tal que u(x′) > u(x˜).
Demandas Walrasiana e Hicksiana
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo X �
RL+. Se p >> 0, temos:
1. Se x∗ ∈ x(p , w), com w > 0, então x∗ ∈ h(p , u), quando u � u(x∗).
Adicionalmente, e(p , u(x∗)) � w.
Demonstração (cont.)
6. Como x′ é factível, x∗ não pode ser solução do Problema de Maximização de
Utilidade. Contradição!
7. Logo, x∗ ∈ h(p , u). Pela lei de Walras, p · x∗ � w.
8. Segue que e(p , v(p , w)) � w.
Demandas Walrasiana e Hicksiana
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo X �
RL+. Se p >> 0, temos:
2. Se x∗ ∈ h(p , u), com u > u(0), então x∗ ∈ x(p , w), quando
w � p · x∗. Adicionalmente, v(p , p · x∗) � u.
Demonstração
1. Como u > u(0), precisamos ter x∗ , 0. Portanto, p · x∗ > 0.
2. Demonstração por contradição.
3. Suponha que x∗ < x(p , w), quando a riqueza é w � p · x∗.
4. Existe x˜ tal que u(x˜) > u(x∗) e p · x˜ ≤ p · x∗.
5. Seja x � λx˜, para um λ ∈ (0, 1) suficientemente próximo de 1.
Demandas Walrasiana e Hicksiana
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências %
localmente não saciadas definidas sobre o conjunto de consumo X �
RL+. Se p >> 0, temos:
2. Se x∗ ∈ h(p , u), com u > u(0), então x∗ ∈ x(p , w), quando
w � p · x∗. Adicionalmente, v(p , p · x∗) � u.
Demonstração (cont.)
6. Como u(·) é contínua, ainda teremos u(x) > u(x∗) e p · x < p · x∗.
7. Logo, x∗ não pode ser solução do Problema de Minimização de Despesa.
Contradição!
8. Portanto, x∗ precisa ser solução do Problema de Maximização de Utilidade.
Portanto, temos u � u(x∗).
9. Segue que v(p , e(p , u)) � u.
Demanas Walrasiana e Hicksiana
Bem Normal
p`
quantidade
h`(p , u0)
p0`
p1` x`(p , w)
h`(p , u1)
Bem Inferior
p`
quantidade
h`(p , u0)
p0`
p1`
h`(p , u1)
x`(p , w)
Demandas Walrasiana e Hicksiana
# Seja w¯ � e(p¯ , u¯). Então h(p , u) � x(p , e(p , u)), ∀(p , u).
Logo:
∂h`(p¯ , u¯)
∂pk
�
∂x`(p¯ , e(p¯ , u¯))
∂pk
+
∂x`(p¯ , e(p¯ , u¯))
∂w
∂e(p¯ , u¯)
∂pk︸¨¨ ¨¨︷︷¨¨ ¨¨︸
hk (p¯ ,u¯)
# Como w¯ � e(p¯ , u¯) e hk(p¯ , u¯) � xk(p¯ , e(p¯ , u¯)) � xk(p¯ , w¯):
∂h`(p¯ , u¯)
∂pk
�
∂x`(p¯ , w¯)
∂pk
+
∂x`(p¯ , w¯)
∂w
xk(p¯ , w¯)
# Essa equação chamamos de Equação de Slutsky.
Equação de Slutsky
Proposição
Seja u(·) função utilidade contínua representando preferências
% localmente não saciadas e estritamente convexas definidas
sobre o conjunto de consumo X � RL+. Então, para todo (p , w)
e u � v(p , w), temos:
∂h`(p , u)
∂pk
�
∂x`(p , w)
∂pk
+
∂x`(p ,w)
∂w
xk(p , w), ∀`, k ∈ {1, . . . , L}
Análise de Bem-Estar
# Exercício de estática comparativa.
# Como varia o bem-estar do consumidor quando variam os
preços?
# O que é bem-estar?
# O que é uma boa métrica de bem-estar?
# Analisaremos três métricas distintas:
1. Excedente do Consumidor
2. Variação Compensatória
3. Variação Equivalente
Excedente do Consumidor
# Suponha que a função utilidade representa o bem-estar do
consumidor de modo realista.
# Preços mudam de p1 para p2 (apenas muda `-ésimo preço):
p1 � (p¯1 , p¯2 , . . . , p1` , . . . , p¯L) e p2 � (p¯1 , p¯2 , . . . , p2` , . . . , p¯L)
# Mudança de bem-estar é dada por:
v(p2 , w) − v(p1 , w) �
∫ p2`
p1`
∂v(p , w)
∂p`
dp`
� −
∫ p2`
p1`
∂v(p , w)
∂w
x`(p , w)dp`
# A última igualdade decorre da Identidade de Roy.
Excedente do Consumidor
HIPóTESE
Utilidade marginal da renda é constante:
∂v(p , w)
∂w
� m¯
# Mudança de bem-estar é proporcional à área embaixo da curva
de demanda:
1
m¯
[v(p2 , w) − v(p1 , w)] � − 1m¯
∫ p2`
p1`
∂v(p , w)
∂p`
dp`
�
∫ p2`
p1`
x`(p , w)dp`
Excedente do Consumidor
# Lembre-se: construímos o
gráfico usando a demanda
inversa (demanda no eixo
horizontal)
# Chamamos essa área de
Excedente do Consumidor.
# Ao dividir pela utilidade
marginal da renda constante,
chegamos a uma métrica que
independe da função
utilidade.
p`
x`
p2`
x2`
p1`
x1`
∫ p2`
p1`
x`(p , w)dp`
Excedente: Problemas e Alternativas
# Depende da hipótese forte de constância da utilidade marginal
da renda.
# Não está bem definido quando varia o preço de múltiplas
commodities.
# Métricas alternativas para Avaliação de Bem-Estar:
◦ Variação Compensatória: quanto de renda devemos dar ao
consumidor para compensá-lo por uma variação nos
preços?
◦ Variação Equivalente: quanto o consumidor estaria
disposto a pagar para evitar uma variação nos preços?
Variação Compensatória: Análise Gráfica
# Partimos da escolha ótima do
consumidor, x(p1, w).
# Suponha que os preços
mudam de p1 � (p1` , p¯k) para
p2 � (p2` , p¯k), com p2` > p1` .
# Nesse exemplo muda apenas
o preço do bem `. Mas a
análise nãomuda se
múltiplos preços variam.
xk
x`
x1k
x1`
x(p1, w)
Variação Compensatória
# Sob os novos preços
p2 � (p2` , p¯k), cai o consumo
de x` e aumenta o de xk .
# O consumidor agora está em
uma curva de indiferença
mais baixa.
# Quanto precisaríamos dar de
renda adicional ao
consumidor para que ele
atinja a mesma utilidade que
tinha antes da mudança nos
preços?
x1k
x1`
x2k
x2`
xk
x`
Variação Compensatória
# A renda adicional não muda
os preços relativos; apena
desloca paralelamente o
hiperplano orçamentário.
# A magnitude do
deslocamento para atingir a
curva de indiferença original,
mais alta, determina o valor
da Variação Compensatória:
v(p2, w + VC) � v(p1, w)
x1k
x1`
x2k
x2`
x(p2 , w + VC)
xk
x`
Variação Compensatória
# Variação Compensatória (VC) é definida implicitamente:
v(p2, w + VC) � v(p1, w)
# Ou, de modo equivalente:
e(p2, v(p2, w + VC)) � e(p2, v(p1,w))
VC � e(p2, v(p1,w)) − w
# Como w � e(p1, v(p1, w)), temos:
VC � e(p2, v(p1, w)) − e(p1, v(p1, w))
Variação Compensatória
# Aplicando o Lema de Sheppard:
VC � e(p2, v1) − e(p1, v1)
�
∫ p2`
p1`
∂e(p , v1)
∂p`
dp`
�
∫ p2`
p1`
h`(p , v1)dp`
Variação Equivalente: Análise Gráfica
# Mais uma vez, partimos da
escolha ótima do consumidor,
x(p1, w).
# Suponha que os preços
mudam de p1 � (p1` , p¯k) para
p2 � (p2` , p¯k), com p2` > p1` .
# Aqui mudamos apenas o
preço do bem `. Mas a
análise não muda se
múltiplos preços variam.
xk
x`
x1k
x1`
x(p1, w)
Variação Equivalente: Análise Gráfica
# Sob os novos preços
p2 � (p2` , p¯k), cai o consumo
de x` e aumenta o de xk .
# O consumidor agora está em
uma curva de indiferença
mais baixa.
# Qual seria a variação na
renda do consumidor que o
deixaria com o mesmo
bem-estar que esta mudança
nos preços?
x1k
x1`
x2k
x2`
xk
x`
Variação Equivalente: Análise Gráfica
# Agora deslocamos o
hiperplano orçamentário em
direção ao nível de utilidade
ex-post (após a mudança),
diferentemente que no caso
da Variação Compensatória.
# A magnitude do
deslocamento para atingir
nova curva de indiferença,
mais baixa, determina o valor
da Variação Equivalente:
v(p2, w) � v(p1, w − VE)
x1k
x1`
x2k
x2`
xk
x`
x(p1 , w + VE)
Variação Equivalente
# Variação Equivalente (VE) é definida implicitamente:
v(p2, w) � v(p1, w − VE)
# Ou, de modo equivalente:
e(p1, v(p2, w)) � e(p1, v(p1, w − VE))
VE � w − e(p1, v(p2, w))
# Como w � e(p2, v(p2, w)), temos:
VE � e(p2, v(p2, w)) − e(p1, v(p2,w))
Variação Equivalente
# Aplicando o Lema de Sheppard:
VE � e(p2, v2) − e(p1, v2)
�
∫ p2`
p1`
∂e(p , v2)
∂p`
dp`
�
∫ p2`
p1`
h`(p , v2)dp`
Qual das medidas é melhor?
# Variação Compensatória vs. Variação Equivalente: Qual das
duas é a melhor?
# Resposta: Depende!
◦ Esquemas de compensação (ex-post) pedem a utilização da
variação compensatória;
◦ Cálculo de “willingness to pay” pedem a utilização da
variação equivalente.