Homogeneização ENPOS 2016

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MÉTODO DOS DOIS ESPAÇOS 
 
DAIANE FRIGHETTO FRIGHETTO1; JONATHAN BRUM LAUZ2; NOÉ FRANCO 
DE JESUS3; RAFAELA SEHNEM4; JULIÁN BRAVO CASTILLERO5; LESLIE D. P. 
FERNÁNDEZ6 
 
1
Universidade Federal de Pelotas, PPGMMat –daiane.frighetto@gmail.com 
2
Universidade Federal de Pelotas, PPGMMat – jonathan.brum.Lauz@hotmail.com 
3
Universidade Federal de Pelotas, PPGEMMat –noefrancode@gmail.com 
4
Universidade Federal de Pelotas, PPGMMat – rafa-sehnem@hotmail.com 
5
Universidade de Havana, Cuba – jbravo@matcom.uh.cu 
6
Universidade Federal de Pelotas, PPGMMat – leslie.fernandez@ufpel.edu.brr 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Nos últimos anos, matemáticos têm desenvolvido novos métodos para 
modelar matematicamente fenômenos dinâminos e estáticos, que apresentam 
características como heterogeneidade e periodicidade dos materias além do 
comportamento não linear. 
 Um deles é o Método de Homogeneização que permite transformar 
problemas sobre meios periódicos, nos quais a heterogeneidade pode ser 
reproduzida repetindo periódicamente uma célula básica, caracterizados por 
coeficientes rapidamente oscilantes (problema original), em outros sobre um meio 
homogêneo (problema homogeneizado) assintoticamente equivalente ao 
heterogêneo, conforme encontramos em LIMA (2016) 
Quando temos um meio heterogêneo não-periódico, podemos considerar 
uma amostra desse meio como uma célula básica aplicando o Método dos dois 
espaços apresentado por KELLER (1979). Na próxima seção, abordaremos a 
solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) pelo Método dos Dois 
Espaços e compararemos, de forma analítica e gráfica, as soluções exata e 
homegeneizada de um problema. 
 
2. METODOLOGIA 
 
Seja ε tal que e e funções de classe 𝐶∞ 
 , com positiva limitada, sendo 
 
 
 . Analisaremos o problema: 
 
 
 [ ( 
 
 
) 
 
 
] ( 
 
 
) 
 
 
 
(1) 
Para construirmos o problema homogeneizado, consideramos a derivada 
total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Substituindo-a na EDO em (1) e atribuindo 
 
 
 
 ( 
 
 
) como um operador obtemos: 
 
 
 
 
 (2) 
Pelo Método dos Dois Espaços, supomos uma solução da forma: 
 
 
 (3) 
Em que as funções são diferenciáveis por hipótese. Substituindo (3) 
em (2) e agrupando os termos semelhantes temos: 
 (4) 
 (5) 
 (6) 
 
 
Iniciaremos com a equação (4). Voltamos para a forma 
 
 
 ( 
 
 
) . 
Integrando duas vezes em relação a de até : 
 
 
 
 
|
 
∫
 
 
 
 
 
(7) 
Multiplicando a equação (7) por 
 
 
 e aplicando o limite quando 
temos 
 
 
 , que vale para qualquer e portanto vale também 
para todo . Assim, não depende de : 
 (9) 
Agora trabalharemos com equação (5). Voltamos para a forma: 
 
 
[ 
 
 
] 
 
 
[ 
 
 
] 
 
 
[ 
 
 
] 
(10) 
Podemos simplificar a equação (10) substituindo (9): 
 
 
[ 
 
 
] 
 
 
 
 
 
(11) 
Em seguida integramos em relação a duas vezes de até , 
multiplicamos toda a equação por 
 
 
 e calculamos o limite quando . 
Obtemos: 
 
[ 
 
 
|
 
 
 
 
] 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
(12) 
Se * 
 
 
 ∫
 
 
 
 
+ existe, então consideramos que: 
 
 
 [ 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
] 
(13) 
Assim: 
 
[ 
 
 
|
 
 
 
 
] 
 
 
 
 
(14) 
Multiplicando toda a equação (14) por e analisando que se vale para 
qualquer então vale para todo , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(15) 
Por fim, trabalharemos com a equação (6). 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 ( 
 
 
) 
(16) 
Note que que podemos simplificar (16) utilizando os resultados anteriores 
calculados em (9) e (15), assim restamos com: 
 
 
 
[ 
 
 
 
 
 
] 
 
 
 [ 
 
 
] 
(17) 
Integrando (17) em relação a de até , multiplicando por 
 
 
 e 
calculando o limite quando , obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 [ 
 
 
] 
(18) 
Se * 
 
 
∫ 
 
 
 + existe, então consideramos que: 
 
 [ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ] 
(19) 
Portanto temos a equação do Problema Homogeneizado: 
 
 
 [ 
 
 
] 
(20) 
No problema original, as condições de contorno satisfazem a EDO. Da 
mesma forma, o problema homogeneizado também precisa satisfazer. 
Considerando a solução (3) e substituindo as condições e 
 
 
 , 
obtemos: 
 e 
 
 
 (21) 
Assim, podemos construir o problema homogeneizado com a equação (20) e 
as condições (21): 
 
{
 
 
 [ 
 
 
] 
 
 
 
 
 
(20) 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Para melhor compreendermos esse processo, consideremos as funções: 
 ( 
 
 
) 
√ (
 
 
)
 
 
 
 
 e ( 
 
 
) (
 
 
) 
Para calcularmos , substituímos ( 
 
 
) em (13) e obteremos 
e para calcularmos substituímos ( 
 
 
) em (19) e obteremos . 
Substuituindo os valores de e encontrados no problema 
homogeneizado: 
 
 
 
 
 
 
(26) 
Encontramos a solução do problema homogeneizado integrando a EDO e 
aplicando as condições de contorno de (26): 
 
 
 
 
 
(27) 
Podemos comparar (27) com a solução exata do problema original, que 
obtemos integrando a EDO e aplicando as condições de contorno de (1): 
 
 ∫
 
 ( 
 
 )
 
 
 
(28) 
Substituindo (24) e (25) e avaliando quando tende a zero, também 
encontramos (27). Podemos interpretar essa solução de uma maneira mais 
natural se tomarmos diferentes valores para e analisarmos a representação 
gráfica, que nos mostra que quanto mais se aproxima de zero, mais a solução 
homogeneizada se aproxima da solução exata. 
 
 
 
 
Figura 1: Gráfico comparativo entre solução exata e solução homogeneizada. 
 
4. CONCLUSÕES 
 
A partir da aplicação do Método dos Dois Espaços para homoneização do 
problema, pôde-se verificar analiticamente e com o auxílio do gráfico, que a 
solução analítica homogeneizada se aproxima da solução exata do problema 
original conforme tende a zero. Dessa forma o método desenvolvido apresenta-
se como boa alternativa na resolução de problemas não periódicos. 
 
AGRADECIMENTOS: Os autores agradecem ao processo CAPES nº 
88881.030424/2013-01 e seu apoio financeiro. 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
LIMA, Marcos Pinheiros de. Homogeneização matemática de meios-
heterogêneos com estrudturas periódica. 2016. Dissertação (Mestrado em 
Modelagem Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Modelagem 
Matemática, Instituto de Física e Matemática, Universidade Federal de Pelotas, 
Pelotas, 2016. 
 
KELLER, JosephB. Darcy’s law for flow in porous media and the two-space 
method. In: CONFERENCE ON NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL 
EQUATIONS IN ENGINEERING AND APPLIED SCIENCE, Rhode, 1979. 
Nonlinear Partial Differential Equations In Engineering And Applied Science, New 
York: Marcel Dekker, INC, 1979. p.429-443.