MecFlu Equação do VC Inercial

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Mecânica dos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez
 
 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos 
 
Equação da Quantidade de Movimento 
para um Volume de Controle Inercial
(Análise restrita a um volume de controle inercial, ou seja, que 
não está acelerando relativo a um sistema de referência 
estacionário ou sistema de coordenadas inercial)
Relembrando! A segunda lei de Newton para um sistema:
VdVdmVP
P
dt
Pd
F
sistemaVsistemamassa
sistema
sistema
ρ
∫∫
==
=
)( )( 
linear movimento de quantidade a é onde
 ,
rrr
r
r
r
A força resultante inclui todas as forças de campo e 
se superfície:
F
r
BS
FFF
rrr
+=
(1)
(2)
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∫∫
⋅+
∂
∂
=
SCCV
sistema
AdVVVdV
tdt
Pd
r
rrr
r
ρρ
Como em t
o
, o Sistema e o V.C. coincidem, das eqs. 
(1), (2) e (4):
∫∫
⋅+
∂
∂
=+=
SCCV
BS
AdVVVdV
t
FFF
r
rrrrrr
ρρ
Chega-se à formulação para V.C. da Segunda Lei de 
Newton ou Equação da Conservação da Quantidade 
de Movimento, a qual é vetorial. A velocidade é
avaliada em relação ao V.C.
Definição: “A soma de todas as forças (forças de campo 
e de superfície) agindo num V.C. sem aceleração é
igual à soma da taxa de variação da q.d.m. dentro do 
V.C. e da taxa resultante de fluxo de q.d.m através da 
S.C.”.
∫∫
⋅+
∂
∂
=
SCCV
sistema
AdVVd
tdt
dN
r
r
ηρηρ
Temos o Teorema do Transporte de Reynolds
em que: N = e η = , portanto:
P
r
V
r
(4)
V
r
(3)
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• Força de campo por unidade de massa 
b
r
∫ ∫
========
CV
B
VdbdmbF ρ
rr
r
qdo. a gravidade é a 
única força de campo:
gb
m
B
gmB
r
r
r
r
r
========⇒====
• Força de superfície devida a pressão:
∫
−−−−====
A
B
ApdF
r
r
A equação da q.d.m. em suas equações escalares:
∫∫
∫∫
∫∫
⋅+
∂
∂
=+=
⋅+
∂
∂
=+=
⋅+
∂
∂
=+=
SCCV
BSz
SCCV
B
y
Sy
SCCV
BSx
AdVwVdw
t
FFF
AdVvVdv
t
FFF
AdVuVdu
t
FFF
zz
y
xx
r
r
r
r
r
r
ρρ
ρρ
ρρ
A título de ilustração, vamos considerar que as únicas forças
de campo e superfície são a gravidade e a pressão, 
respectivamente:
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Determinação do sinal referente ao fluxo de q.d.m. através 
de qualquer porção da superfície de controle:
1
º
- determinar o sinal de 
2
o
- determinar o sinal para cada componente da 
velocidade u, v e w; o sinal dependerá da escolha do 
sistema de coordenadas. Por exemplo, em x:
VdAAdVAdV ραρρ ±==⋅ cos
r
r
r
r
( )
VdAuAdVu ρρ ±±=⋅
r
r
∫
⋅
SC
AdVV
r
rr
ρ
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Caso particular: 
Escoamento uniforme permanente
11112222
VVAVVAF
rrr
ρρ −=
Se há apenas uma entrada e uma saída, a Eq. da 
q.d.m. torna-se:
da eq. da continuidade:
111222
VAVAm ρρ ==&
Assim, a eq. da q.d.m. toma a forma simplificada
( )
12
VVmF
rr
&
r
−=
ou em suas equações escalares:
( )
( )
( )
12
12
12
wwmF
vvmF
uumF
−=
−=
−=
&
&
&
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Exemplo 1
Água escoa através de um cotovelo de uma tubulação 
horizontal e sai para a atmosfera. A vazão volumétrica é de 
0,3 ft
3
/s. Calcule a força em cada barra que segura o 
cotovelo em seu lugar. Despreze forças de massa, efeitos 
viscosos e forças de cisalhamento sobre as barras. 
Suponha que a pressão em 1 possa ser dada por
(Equação de Bernoulli):
( )2
1
2
21
2
VVp −=
ρ
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Considere o escoamento simétrico de ar ao redor do 
cilindro. O volume de controle, excluindo o cilindro é
mostrado na Fig. A distribuição de velocidade, corrente 
a jusante do cilindro, é aproximada por uma parábola, 
conforme mostrado. Determine a força de arrasto por 
metro de comprimento agindo sobre o cilindro. Use ρ = 
1,23 kg/m
3
.
Exemplo 2
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Volume de Controle movendo-se 
com Velocidade Constante
Um V.C. (fixo em relação às coordenadas de referência x, 
y, z) movendo-se com uma velocidade constante, , 
relativo às coordenadas de referência fixas (inerciais) X, Y, 
Z, é também inercial, pois ele não tem aceleração em 
relação a X, Y, Z.
O teorema de transporte de Reynolds como apresentado 
pela Eq. (3) é valido para qualquer sistema x, y, z (fixo ao 
V.C.) dotado de movimento constante, desde que todas as 
velocidade e derivadas sejam medidas relativamente ao 
V.C. Assim:
rf
V
r
∫∫
⋅+
∂
∂
=+=
SC
xyzxyz
CV
xyzBS
AdVVVdV
t
FFF
r
rrrrrr
ρρ
O subscrito xyz enfatiza que as grandezas devem ser 
medidas relativas ao V.C. 
É conveniente imaginar que as velocidades são aquelas 
que seriam vistas por um observador movendo-se com 
velocidade constante com o V.C.
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Exemplo 3
O defletor mostrado na Fig. move-se para a direita a 30 
m/s enquanto o bocal permanece estacionário. 
Determine (a) as componentes da força necessária para 
sustentar o defletor, (b) como observado por um 
observador fixo e (c) a potência gerada pela palheta. A 
velocidade do jato é 80 m/s.
2
V
r
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Volume de Controle com uma 
Aceleração Retilínea
O Teorema do Transporte de Reynolds não possui 
nenhuma restrição quanto ao movimento das coordenadas 
de referência x y z. Conseqüentemente, ele é válido a 
qualquer instante para qualquer movimento arbitrário das 
coordenadas x, y e z.
Porém, a Segunda Lei de Newton para um sistema não é
válida para um V.C. que acelera relativo às coordenadas 
inerciais de referência X, Y, Z.
Se o movimento de x, y, z é translação pura, relativo às 
coordenadas de referência X, Y , Z, então:
rfxyzXYZ
aaa
rrr
+=
Assim:
∫∫∫
⋅+
∂
∂
=−+
SC
xyzxyz
CV
xyz
CV
rfBS
AdVVVdV
t
VdaFF
r
rrr
r
rr
ρρρ
onde é a aceleração das coordenadas de referência 
xyz relativas às coordenadas inerciais X, Y, Z. 
rf
a
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Exemplo 4
O foguete mostrado na Fig., com uma massa inicial de 150 
kg, queima combustível à taxa de 10 kg/s e tem uma 
velocidade de exaustão constante de 700 m/s. Qual é a 
aceleração inicial do foguete e a velocidade após 4 s? 
Despreze o arrasto sobre o foguete.
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Relembrando! A primeira Lei para um sistema:
quando o calor é transmitido ao sistema e
quando o trabalho é efetuado pelo sistema
0>Q&
(1)
0>W&
A primeira lei da Termodinâmica para 
um Volume de Controle Inercial
VdeedmE
E
dt
dE
WQ
sistemaVsistemamassa
sistema
sistema
ρ
∫∫
==
=−
)( )( 
por dada sistema, do totalenergia a é onde
 ,
&
&
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∫∫
⋅+
∂
∂
=
SCCV
sistema
AdVeVde
tdt
dE
r
r
ρρ
Como em t
o
, o Sistema e o V.C. coincidem, das eqs. 
(1), (2) e (3):
∫∫
⋅+
∂
∂
=
SCCV
sistema
AdVVd
tdt
dN
r
r
ηρηρ
Temos o Teorema do Transporte de Reynolds
em que: N = E e η = e , portanto:
(3)
(2)
Esta é a formulação para o volume de controle da 
primeira lei da termodinâmica. Porém, é possível 
deixá-la numa forma mais conveniente!
(4)
gz
V
ueonde
AdVeVde
t
WQ
SCCV
++=
⋅+
∂
∂
=−
∫∫
2
 :
2
r
r
&
& ρρ
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1. Trabalho de Eixo
s
W
&
2. Trabalho efetuado na superfície de controle pelas 
tensões normais
∫
⋅=
SC
nn
AdVW
r
r
& σ
normal
3. Trabalho efetuado na superfície de controle 
pelas tensões tangenciais
Trabalho Efetuado no 
Volume de Controle
O trabalho efetuado no V.C. pode ser dividido em quatro 
classes:
outrotangencialnormal
WWWWW
s
&&&&& +++=
é o trabalho transmitido pelo eixo através da 
superfície de controle
∫∫∫∫
⋅+⋅+⋅=⋅=
)escapes()sólida superficie()eixo(
tangencial
AAASC
AdVAdVAdVAdVW
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
& ττττ
4. Outras formas de trabalho
Energia elétrica, eletromagnética, etc.
(1)
=0, pois
=0, se 
0====⋅⋅⋅⋅V
r
r
τ
0====V
r
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Chega-se à formulação para V.C. da primeira lei da 
termodinâmica ou Equação da Conservação da 
Energia
Substituindo as expressões dos diferentes tipo de 
trabalho em (4):
Reagrupando os termos e notando que ρ = 1/v
Finalmente, substituindo e = u + V
2
/2 + gz e considerando 
que σ
nn
= p
(5)
∫∫
∫
⋅+
∂
∂
=
=








++⋅+−
SCCV
SC
nns
AdVeVde
t
WWAdVWQ
r
r
&&
r
r
&
&
ρρ
σ
outrotangencial
 
( )
( )
∫∫
⋅++
∂
∂
=
=++−
SC
nn
CV
s
AdVveVde
t
WWWQ
r
r
&&&
&
ρσρ
outrotangencial
 
( )
∫∫
⋅








++++
∂
∂
=
=++−
SCCV
s
AdVgz
V
pvuVde
t
WWWQ
r
r
&&&
&
ρρ
2
 
2
outrotangencial
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Escoamento Permanente 
Uniforme
Além de perfis estáveis e escoamento permanente, 
considere também que 
0
outrotangencial
==WW
&&
Além disso, defina PERDAS como a soma de todos os 
termos representando formas de energia não-utilizáveis:
∫
⋅+−=
SC
AdVuQPerdas
r
r
& ρ
Substituindo as expressões acima em (5) e 
rearranjando temos:
A vazão em massa é dada por = ρ
1
V
1
A
1
= ρ
2
V
2
A
2,
e 
dividindo a expressão acima por 
m
&
gm
&
Perda de 
carga
Se as perdas são desprezíveis e não há trabalho de eixo:
L
s
hzz
pp
g
VV
gm
W
+−+−+
−
=−
12
1
1
2
2
2
1
2
2
2 γγ&
&
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
22
z
p
g
V
z
p
g
V
++=++
γγ
a qual é identificada como sendo a equação de Bernoulli
perdasgz
pV
AVgz
pV
AVW
s
+








++−








++=−
1
1
1
2
1
1112
2
2
2
2
222
22 ρ
ρ
ρ
ρ&
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Da Termodinâmica, temos que:
( )
∫∫
⋅








+++
∂
∂
=
=++−
SCCV
s
AdVgz
V
hVde
t
WWWQ
r
r
&&&
&
ρρ
2
 
2
outrotangencial
pvuh +=
Sendo h a propriedade termodinâmica entalpia.
Assim, a equação da conservação da energia (Eq. 5) 
pode ser escrita da seguinte forma:
Obs.: Para gases perfeitos, a variação da entalpia é
dada por:
Tch
poidealgás
∆=∆
 
(6)
Outra forma da Equação da Energia
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Exemplo 5
A bomba da Fig. é usada para aumentar a pressão de 0,2 
m
3
/s de água de 200 kPa para 600 kPa. Se a bomba tem 
uma eficiência de 85%, qual a potência elétrica de que a 
bomba necessita? A área de saída fica 20 cm acima da 
área da entrada. Suponha que a área de entrada e de 
saída sejam iguais.
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Exemplo 6
Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 
um diâmetro de 2,5 ft para uma unidade geradora a turbina e 
sai para um rio que está localizado a 100 ft abaixo da 
superfície do reservatório. Se a vazão do escoamento é de 
90 ft
3
/s e a eficiência da turbina geradora é de 88%, calcule a 
potência de saída. Suponha um coeficiente de perda de 
carga na tubulação (incluindo a saída) de K = 2.