Lista de Exercícios - Bases e matriz mudança de base (UFSM, LAZZARIN)

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L5P2 - UFSM - Linear - Telecomunicações - LAZZARIN
1. Veri…que se o conjunto é uma base do espaço indicado:
(a) � = f(1; 0; 0); (0;�1;�1)g do R3.
(b) � = f(1; 0; 0); (0;�1;�1); (1; 1; 5)g do R3.
(c) � = f(1; 1; 0; 1); (2; 2; 6; 2); (1; 0; 3; 0); (0; 1; 3; 1)g do R4.
(d) � = f(1; 1; 1); (2; 2; 3)g do plano cuja equação geral é x� y = 0: (com z livre).
(e) � =
8<:
24 0 11 0
0 0
35 ;
24 1 00 0
0 1
35 ;
24 0 10 0
1 1
35 ;
24 1 00 1
1 0
35 ;
24 0 00 1
1 1
35 ;
24 0 11 1
0 0
359=; do M3�2(R) R: É Base pois dimM3�2(R) =
6 e � tem 6 vetores L.I. (tem mesmo?).
2. Calcule a matriz mudança da base � para a base � nos seguintes casos indicados:
(a) No R2 onde � = f(1; 0); (0; 1)g e � = f(�1; 1); (1; 1)g;
(b) No R2 onde � = f(1; 0); (0; 1)g e � = f(�1; 1); (1; 1)g;
(c) No R3 onde � = f(�1; 1; 0); (0; 1; 1); (0; 0; 2)g e � = f(1; 0; 1); (0; 0; 1); (0; 1; 1)g ;
(d) No R4 onde � = f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 1); (0; 0; 0;�1); (0; 0; 1; 0)g e � = f(1; 0; 1; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g ;
(e) NoM2�2(R) onde � =
��
3 0
0 3
�
;
�
0 3
3 0
�
;
�
0 0
3 3
�
;
�
3 3
0 3
��
e � =
��
1 1
0 1
�
;
�
0 0
1 1
�
;
�
0 1
1 0
�
;
�
1 0
0 1
��
;
R:
2664
0 0 0 3
0 0 3 0
0 3 0 0
3 0 0 0
3775
3. Sejam V = R3 e �; � e 
 três bases de V . Se [I]�� =
24 1 � 12 00 12 0
1 � 12 1
35 e [I]�
 =
24 0 1 �21 �4 8
0 0 1
35. Calcule o que se pede:
(a) Se v tem coordenadas v]� =
24 1�2
3
35 então calcule v]� .
(b) Se v tem coordenadas v]� =
24 32
1
35 então calcule v]
 .
(c) Se v tem coordenadas v]� =
24 22
1
35 então calcule v]�.
(d) Se v tem coordenadas v]� =
24 1�2
0
35 então calcule v]
 .
(e) Se v tem coordenadas v]
 =
24 �111
1
35 então calcule v]�:
R: a)
24 2�1
5
35 ; b)
24 03
1
35; c)
24 44
�1
35 ; d)
24 �522
2
35 ; e)
24 82
�6
35
1