TRELIÇAS ISOSTATICAS

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SERGIO TRANZILLO FRANÇA
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
CORPO MONOLÍTICO X ESTRUTURA COM BARRAS 
ASSOCIADAS
FORÇAS EXTERNAS
FORÇAS INTERNAS
Elementos com várias barras
MECÂNICA - TRELIÇASUEFS
São estruturas reticuladas indeformadas, 
constituídas de barras retas com extremidades 
rotuladas formando malhas triangulares.
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
TRELIÇAS
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MECÂNICA - TRELIÇASUEFS
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Elementos retilíneos – Barras retas birotuladas
Conexões nas extremidades – Nós
Força ao longo da barra (duas forças) – Força Normais
Cargas aplicadas nas conexões (nós)
Não existe flexão
Barras: tração ou compressão
MECÂNICA - TRELIÇASUEFS
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
• Não existe rótula perfeita
• Tem sempre peso próprio das barras
IDEALIZAÇÕES
Esforços - Primários
- Secundários (desprezíveis)
modelo de treliça adequada
OBS: distribuição barras - maiores tracionadas
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
• FORMAÇÃO: - Simples
- Composta
- Complexa
CLASSIFICAÇÃO
• DISPOSIÇÃO ESPACIAL:
- Planas
- Espacial
• ESTATICIADADE: - Hipostática
- Isostática
- Hiperestática
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
TRELIÇAS SIMPLES - PLANAS
Qualquer sistema reticulado constituído por um 
polígono fechado rotulado em seus vértices é 
deformável (e, portanto, hipostático), exceto o caso 
do triângulo.
b = 2n - 3
Três barras birotuladas Mais duas barras e uma rótula
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TRELIÇAS SIMPLES - ESPACIAIS
Seis barras birotuladas Mais três barras não colineares 
e uma rótula
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b = 3n - 6
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TRELIÇAS SIMPLES – PLANA
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GRAU DE INDETERMINAÇÃO:
Número de incógnitas: número de barras (b) + número de reações (r)
 Fx = 0
 Fy = 0
TRELIÇAS SIMPLES - PLANO
Número de equações (para cada nó n):
b + r = 2 n : Estaticamente Determinada (Treliça isostática)
b + r > 2 n : Estaticamente Indeterminada (Treliça hiperestática)
Condição necessária mas não suficiente
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MÉTODO DOS NÓS
EQUILIBRIO DA TRELIÇA
EQUILIBRIO DE CADA PARTE
BARRAS NÓS
3ª Lei de Newton Equilíbrio de Partículas
Whipple - 1847
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
1. Calcular as Reações dos Apoios;
2. Construir o diagrama de corpo livre de cada Nó;
3. Arbitrar sentidos das forças nos nós, ou determiná-los por 
inspeção;
4. Calcular o equilíbrio de cada partícula, começando pelo nó que 
apresente, no máximo, duas incógnitas;
5. Repetir o cálculo em cada nó, considerando o valor da força e 
sentido corretos, definidos nos cálculos anteriores;
6. Definir as forças em cada barra – mesmo módulo e sentido 
contrário à força do nó.
TRAÇÃO
COMPRESSÃO
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NÓ A
NÓ D
A D
C
B
NÓ C
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NÓS SOB CONDIÇÕES ESPECIAIS DE 
CARREGAMENTO
BARRAS DE FORÇA NULA
* Duas barras com ângulo diferente de 180º, 
sem carregamento aplicado no nó
FORÇA NULA EM AMBAS AS BARRAS
F = 0 F = 0
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NÓS SOB CONDIÇÕES ESPECIAIS 
DE CARREGAMENTO
BARRAS DE FORÇA NULA
* Três barras, sendo duas em linha reta, e a terceira, com 
qualquer ângulo, sem carregamento aplicado no nó
FORÇA NULA NA TERCEIRA BARRA
F = 0
NÃO SUPORTAM CARGA, MAS MANTÊM A ESTABILIDADE
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NÓS SOB CONDIÇÕES ESPECIAIS 
DE CARREGAMENTO
OUTRAS CONDIÇÕES ESPECIAIS
F
Fb
Fb F
Fa
Fa
Fa
Fa
F
F
F = 0
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Fa Fa
0 0
0
FbFb
F
F
T T
C C
TT
C
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MÉTODO DAS SEÇÕES
FORÇAS ATUANTES NO INTERIOR DOS CORPOS
Forças Internas X Forças ExternasCORTE
Ritter - 1861
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Cortar cada elemento de uma Treliça dividir em “partes” 
distintas Corpos independentes;
Corpo livre Conjunto de barras e nós (parte da treliça);
Corte três barras;
⇒
⇒
⇒
⇒
MÉTODO DAS SEÇÕES
As seções não precisam ser retas;
Elas podem ter formas quaisquer;
Porém, devem ser contínuas e atravessar toda a treliça.
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1. Calcular as Reações de apoio;
2. Definir posições de corte;
3. Arbitrar sentidos das forças nos nós cortados, ou determiná-los 
por inspeção;
4. Calcular o equilíbrio do corpo rígido (parte da treliça).
Deve-se escolher seções que interceptem três barras não paralelas e 
não concorrentes no mesmo ponto. 
Podem ocorrer, entretanto, seções que interceptem mais de três 
barras e a partir das quais seja possível determinar os esforços 
normais em alguma(s) das barras.
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MÉTODO DAS SEÇÕES
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Associação de Treliças simples sem deslocamento relativo entre si
TRELIÇAS COMPOSTAS
Duas treliças simples * Uma rótula e uma barra
* Duas ou três barras
b ≠ 2n - 3
Impossibilidade de solução pelo método dos nós – 3 incógnitas
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS TRELIÇAS COMPOSTAS
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1. Verificar se é composta;
2. Identificar elementos de ligação;
3. Aplicar método das seções (esforços nos elementos de ligação);
4. Dividir em treliças simples;
5. Aplicar método dos nós em cada treliça simples.
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS TRELIÇAS COMPOSTAS
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NÃO SIMPLES - NÃO COMPOSTAS
TRELIÇAS COMPLEXAS
MÉTODO DE HENNEBERG 
(1886)
* BARRA DE SUBSTITUIÇÃO
Impossibilidade de solução pelos métodos dos nós e das seções
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TRELIÇAS COMPLEXAS BARRA DE SUBSTITUIÇÃO
Obter treliças simples por substituição de barras
Forças unitárias nas barras substituídas
Os esforços nas barras acrescentadas serão nulos
Combinação dos “estados” de carregamento
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TRELIÇAS COMPLEXAS
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
CARGAS FORA DOS NÓS
* TRELIÇA IDEAL EQUIVALENTE
* DETERMINAÇÃO DE V E M NA BARRA CARREGADA
Superpor resolução da treliça ideal com um ajuste 
localizado na barra carregada
Treliça ideal – determinar cargas equivalentes nos nós
- aplicar método dos nós
Ajuste – barra com carregamento – determinar esforços internos
Superpor N com treliça ideal
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Ajustes
Treliça Ideal
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS CARGAS FORA DOS NÓS
P
a b
Pb/l Pa/l
P
a b
Pb/l Pa/l
N N
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS CARGAS FORA DOS NÓS
MECÂNICA - TRELIÇASUEFS
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS CARGAS FORA DOS NÓS
MECÂNICA- TRELIÇASUEFS
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TRELIÇAS
MECÂNICA - TRELIÇASUEFS
TRELIÇAS
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TRELIÇAS
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TRELIÇAS
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