analisedesistemasdepotencia faltas simetricas e assimetricas e enalise de estabilidade

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS 
CENTRO POLITÉCNICO 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
PROF. LUCIANO VITORIA BARBOZA 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Capítulo 1. Faltas Trifásicas Simétricas ................................................................ 1 
 1.1. Introdução .............................................................................................................. 1 
 1.2. Transitórios em Circuitos RL Série ........................................................................ 1 
 1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas ....................... 4 
 1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias .................. 6 
 1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas .............................................. 8 
 1.6. MVA de Curto-Circuito ....................................................................................... 12 
 1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito ............................ 13 
 1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo ............................................................ 14 
 1.8. Lista de Exercícios ............................................................................................... 16 
 
Capítulo 2. Componentes Simétricos ................................................................... 21 
 2.1. Introdução ............................................................................................................ 21 
 2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos ................................. 21 
 2.3. Operadores ........................................................................................................... 23 
 2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos ................................................ 24 
 2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de Transformadores Y−∆ ... 26 
 2.6. Potência em função dos Componentes Simétricos ................................................ 29 
 2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência ............................................. 31 
 2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio ..................................................... 32 
 2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão ....................................... 34 
 2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas ............................................... 35 
 2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Trifásicos .............................. 38 
 2.12. Lista de Exercícios .............................................................................................. 42 
 
Capítulo 3. Faltas Assimétricas ........................................................................... 47 
 3.1. Introdução ............................................................................................................ 47 
 3.2. Faltas em Geradores em Vazio ............................................................................. 47 
Sistemas de Potência II iii 
Sumário Prof. Luciano V. Barboza 
 
 3.2.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 48 
 3.2.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 50 
 3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 52 
 3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência ........................................................ 53 
 3.3.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 55 
 3.3.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 55 
 3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 56 
 3.4. Interpretação das Redes de Seqüência Interconectadas ........................................ 57 
 3.5. Análise de Faltas Assimétricas usando a Matriz Impedância de Barra ................ 60 
 3.6. Lista de Exercícios ............................................................................................... 61 
 
Capítulo 4. Estabilidade de Sistemas de Potência ................................................ 65 
 4.1. Aspectos Gerais .................................................................................................... 65 
 4.2. O Problema da Estabilidade ................................................................................ 65 
 4.3. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação ......................................................... 67 
 4.4. Equação Potência-Ângulo .................................................................................... 71 
 4.5. Critério da Igualdade de Área para a Estabilidade .............................................. 75 
 4.6. Aplicações Adicionais ao Critério da Igualdade de Áreas ..................................... 81 
 4.7. Estudos de Estabilidade para Sistemas Multimáquinas: Estudo Clássico ............. 83 
 4.8. Solução da Curva de Oscilação ............................................................................ 87 
 4.9. Fatores que Afetam a Estabilidade Transitória .................................................... 89 
 4.10. Lista de Exercícios .............................................................................................. 92 
 
Bibliografia ......................................................................................................... 95 
 
Sistemas de Potência II iv 
 
1. FALTAS TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS 
 
1.1. Introdução 
 
 Quando ocorre uma falta em um sistema de potência, a corrente que circula é determi-
nada pelas forças eletromotrizes internas das máquinas no sistema, por suas impedâncias e 
pelas impedâncias existentes no sistema entre as máquinas e a falta. As correntes que cir-
culam em uma máquina síncrona imediatamente após a ocorrência de uma falta, após 
alguns ciclos e o valor em regime permanente diferem consideravelmente devido ao efeito 
da corrente de armadura sobre o fluxo que gera a tensão da máquina. Este capítulo estuda 
o cálculo da corrente de falta em diferentes instantes de tempo e explica as mudanças na 
reatância e na tensão interna da máquina síncrona à medida que a corrente varia desde seu 
valor inicial até o seu valor em regime permanente. 
 
 
1.2. Transitórios em Circuitos RL Série 
 
 A seleção de um disjuntor em um sistema elétrico depende não apenas da corrente que 
ele tem que suportar em regime normal de operação, mas também da corrente máxima 
momentânea que o percorre durante uma falta e da corrente a interromper sob a tensão da 
linha na qual se encontra. 
 Para se compreender o cálculo da corrente inicial quando um gerador síncrono é curto-
circuitado, considere o que acontece quando uma tensão CA é aplicada a um circuito con-
tendo valores constantes de resistência e indutância, conforme a Figura 1.1. Observe que o 
ângulo determina o módulo da tensão quando o circuito é fechado. α
 
 
Figura 1.1. Aplicação de uma tensão CA a um circuito RL série. 
 
 A equação para a rede da Figura 1.1 é 
Sistemas de Potência II 1 
Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza 
 cos( )max
diRi L V t
dt
ω α+ = + (1.1) 
 
 A solução desta equação é 
 
 ( ) cos( ) cos( )
Rt
L
maxi t I t eω α θ α θ
−⎡ ⎤⎢ ⎥= + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 (1.2) 
 
onde 2 2, , ( ) e arctan .maxmax
V LI Z R j L Z Z R L
Z R
ωω θ ω θ= = + = ∠ = + = 
 
 O primeiro termo na equação X(1.2)X varia sinusoidalmente com o tempo. O segundo ter-
mo é não-periódico e decaiexponencialmente com uma constante de tempo .LRτ = Este 
termo não-periódico é chamado componente CC da corrente. O termo sinusoidal é o valor 
em regime permanente da corrente em um circuito RL. Se o valor do termo em regime 
permanente não é zero quando a componente CC aparece na solução de modo a sa-
tisfazer a condição de corrente nula no instante imediatamente anterior ao fechamento da 
chave S. Observe que a componente CC não existe se o fechamento ocorrer em um ponto 
da onda de tensão onde 
0,t =
2 ou .πα θ α θ− = − = − 2π Se o fechamento ocorre em um ins-
tante de tempo em que a componente CC possui seu valor inicial máximo e 
igual ao valor máximo da componente sinusoidal. As Figuras 1.2 (a) e (b) mostram a cor-
rente em função do tempo para 
0,α θ− =
2 e ,πα θ α θ π− = − = respectivamente. A componente 
CC pode ter qualquer valor entre zero e maxV Z dependendo do valor instantâneo da tensão 
quando o circuito é fechado e também do fator de potência da rede. No instante da aplica-
ção da tensão, as componentes CC e de regime permanente têm a mesma amplitude, po-
rém são de sinais opostos de modo a expressar o valor nulo da corrente em 0.t =
 
Sistemas de Potência II 2 
Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.2. Corrente como função do tempo no circuito da Figura 1.1 para: 2(a) e (b) .πα θ α θ π− = − = 
A tensão é aplicada em 0.t =
 
 Por outro lado, um gerador síncrono consiste basicamente em um campo magnético gi-
rante que gera uma tensão no enrolamento de armadura que possui resistência e reatância. 
A corrente que circula quando um gerador é curto-circuitado é semelhante àquela que cir-
cula quando uma tensão alternada é aplicada subitamente à associação série de um resistor 
e um indutor. Entretanto, existem diferenças importantes porque a corrente na armadura 
afeta o campo girante. 
 O efeito de um curto-circuito nos terminais de um gerador a vazio pode ser analisado a 
partir de um oscilograma da corrente em uma das fases quando este curto-circuito ocorre. 
Como as tensões de fase estão defasadas entre si de 120°, o curto-circuito ocorre em dife-
rentes pontos da onda de tensão em cada fase. Por essa razão, a componente CC em cada 
fase é diferente. Se a componente CC da corrente for eliminada, a curva das correntes de 
fase será aquela mostrada na Figura 1.3. 
 
t0
b
c
a
i
 
Figura 1.3. Oscilograma da corrente em um gerador síncrono a vazio em curto-circuito. 
A componente CC da corrente foi desprezada. 
Sistemas de Potência II 3 
Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza 
 Comparando as Figuras 1.2(a) e 1.3, percebe-se a diferença entre a aplicação de uma 
tensão alternada a um circuito RL série e a aplicação de um curto-circuito a uma máquina 
síncrona. Não há componente CC em nenhuma dessas figuras. Numa máquina síncrona, o 
fluxo no entreferro é muito maior no instante em que ocorre o curto-circuito do que alguns 
ciclos após. A redução do fluxo é causada pela força magnetomotriz da corrente de arma-
dura, que é chamada reação da armadura. Quando ocorre um curto-circuito nos terminais 
de uma máquina síncrona, é necessário transcorrer um tempo para reduzir o fluxo no entre-
ferro. À medida que o fluxo diminui, a corrente da armadura diminui porque a tensão ge-
rada pelo fluxo do entreferro determina a corrente que fluirá através da resistência e da 
reatância de dispersão do enrolamento da armadura. 
 
 
1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas 
 
 As reatâncias das máquinas síncronas tratadas em estudos de falta são as reatâncias do 
eixo direto. Como a resistência normalmente é pequena, a corrente durante uma falta está 
sempre atrasada com um grande ângulo em relação à tensão. 
 Na Figura 1.3, a distância “0a” é o valor máximo da corrente de curto-circuito em regi-
me permanente. Este valor de corrente dividido por 2 é o valor eficaz da corrente de cur-
to-circuito em regime permanente. A tensão em vazio do gerador dividida pela corrente em 
regime permanente é chamada de reatância síncrona do gerador ou reatância síncrona do 
eixo direto, ou seja, 
 
 0
2
G
d
E EX a I
= = G (1.3) 
 
 Se a envoltória da onda de corrente for retrocedida até o tempo zero e alguns dos pri-
meiros ciclos forem desprezados (onde o decréscimo é muito rápido), a intersecção será a 
distância “0b”. O valor eficaz desta intersecção é conhecido como corrente transitória. 
Assim, pode-se definir uma outra reatância para a máquina, chamada de reatância transi-
tória ou reatância transitória do eixo direto 
 
Sistemas de Potência II 4 
Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza 
 0
2
G
d
E EX b I
′ = = ′
G (1.4) 
 
 O valor eficaz da corrente determinado pela intersecção da envoltória da corrente com o 
tempo zero é chamado corrente subtransitória. Na Figura 1.3, a corrente subtransitória 
equivale à distância “0c” dividida por 2. A corrente subtransitória muitas vezes é deno-
minada de corrente eficaz simétrica inicial, que é uma denominação mais adequada por 
desprezar a componente CC e tomar o valor eficaz da componente CA da corrente imedia-
tamente após a ocorrência da falta. 
 
 0
2
G
d
E EX c I
′′ = = ′′
G (1.5) 
 
 A corrente subtransitória é muito maior do que a corrente em regime permanente I 
porque a diminuição do fluxo no entreferro causada pela corrente da armadura não pode 
ocorrer imediatamente. 
I ′′
 As equações X(1.3)X a X(1.5)X permitem determinar a corrente de falta em um gerador quan-
do as suas reatâncias são conhecidas. Se o gerador estiver sem carga quando ocorrer a fal-
ta, a máquina é representada pela tensão em vazio em relação ao neutro em série com a 
reatância apropriada. A resistência pode ser considerada se desejar-se uma precisão maior. 
 
Exemplo 1.1: Dois geradores estão ligados em paralelo ao lado de baixa tensão de um 
transformador trifásico ∆−Y, como está mostrado na Figura 1.4. O gerador 1 tem para va-
lores nominais 50 MVA e 13,8 kV. O gerador 2 é de 25 MVA e 13,8 kV. Cada gerador tem 
uma reatância subtransitória de 25%. O transformador apresenta como valores nominais 
75 MVA e 13,8∆ / 69Y kV, com uma reatância de 10%. Antes da falta, a tensão no lado 
de alta tensão do transformador é 66 kV. O transformador está em vazio e não há corrente 
circulando entre os geradores. Calcule a corrente subtransitória em cada gerador quando 
ocorre um curto-circuito trifásico no lado de alta tensão do transformador. 
 
Sistemas de Potência II 5 
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Figura 1.4. Diagrama unifilar do Exemplo 1.1. 
 
 
1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias 
 
 Considere um gerador com carga quando ocorre uma falta no sistema. A Figura 1.5(a) é 
o circuito equivalente de um gerador que alimenta uma carga trifásica equilibrada. A im-
pedância externa é mostrada entre os terminais do gerador e o ponto P onde a falta ocorre. 
A corrente que circula antes da ocorrência da falta no ponto P é a tensão no ponto de 
falta é 
,LI
fV e a tensão nos terminais do gerador é Sabe-se que o circuito equivalente de 
um gerador síncrono consiste de sua tensão em vazio em série com a sua reatância síncrona 
 Se ocorrer uma falta trifásica no ponto P do sistema, um curto-circuito do ponto P 
até a referência não satisfaz as condições para cálculo da corrente subtransitória, uma vez 
que a reatância do gerador deve ser para a corrente subtransitória ou para a 
corrente transitória 
.tV
.Xsinc
dX ′′ ,I ′′ dX ′
.I ′
 
 
(a) Circuito equivalente em regime permanente 
dX ′′
gE ′′ I ′′
 
(b) Circuito para cálculo da corrente subtransitória 
Figura 1.5. Circuitos equivalentes para um gerador alimentando uma carga trifásicaequilibrada. 
A ocorrência de uma falta trifásica em P é simulada pelo fechamento da chave S. 
 
 O circuito mostrado na Figura 1.5(b) corrige este erro. A tensão em série com 
fornece a corrente em regime permanente quando a chave S está aberta, e fornece a 
corrente subtransitória no curto-circuito quando a chave S está fechada. Para determi-
gE ′′ dX ′′
LI
I ′′
Sistemas de Potência II 6 
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nar a corrente através de é Portanto, ,gE ′′ dX ′′ .LI
 
 (1.6) g t dE V jX I′′ ′′= + L
L′
g
t
L
L
 
e esta equação define a tensão interna subtransitória. Analogamente, a corrente transitória 
 pode ser obtida a partir da tensão interna transitória que pode ser determinada 
como 
I ′ gE ′
 
 (1.7) g t dE V jX I′ = +
 
 As tensões internas são determinadas a partir da corrente em regime perma-
nente e ambas são iguais à tensão em vazio apenas quando for nula, isto é, 
quando são iguais. 
 e gE E′′ ′
LI gE LI
 e gE V
 Observe que em série com representa o gerador antes da ocorrência da falta e 
imediatamente após a falta apenas se a corrente anterior à falta for Por outro lado, 
em série com a reatância síncrona é o circuito equivalente da máquina em regime 
permanente para qualquer carga. Para um valor diferente de no circuito da Figura 
1.5(a), permaneceria o mesmo, porém seria necessário um novo valor para 
gE ′′ dX ′′
.LI gE
sincX
LI
gE .gE ′′
 Os motores síncronos possuem reatâncias semelhantes às dos geradores. Quando um mo-
tor é curto-circuitado, ele não recebe mais energia da rede, porém seu campo permanece 
energizado e a inércia do seu rotor com sua carga conectada conserva sua rotação por um 
determinado período de tempo. A tensão interna do motor síncrono faz com que ele forneça 
corrente para o sistema, agindo como se fosse um gerador. Portanto, as tensões internas 
transitória e subtransitória para um motor síncrono são 
 
 (1.8) 
m t d
m t d
E V jX I
E V jX I
′′ ′′= −
′ ′= −
 
Exemplo 1.2: Um gerador e um motor síncrono possuem valores nominais de 30 MVA e 
13,2 kV e ambos têm reatâncias subtransitórias de 20%. A linha de conexão entre eles 
Sistemas de Potência II 7 
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apresenta uma reatância de 10% na base dos valores nominais das máquinas. O motor está 
consumindo 20 MW com fator de potência 0,8cap com uma tensão de 12,8 kV em seus 
terminais, quando ocorre uma falta trifásica nos seus terminais. Determinar a corrente sub-
transitória no gerador, no motor e na falta. Utilize as tensões internas das máquinas. 
 
Exemplo 1.3: Resolva o Exemplo 1.2 utilizando o teorema de Thèvenin. 
 
 
1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas 
 
 Nesta seção será realizado o estudo de faltas trifásicas em redes generalizadas. O estudo 
será baseado no sistema elétrico mostrado na Figura 1.6(a) e os resultados podem ser gene-
ralizados para qualquer tipo de rede. A Figura 1.6(b) é o diagrama de reatâncias deste sis-
tema e para estudar uma falta trifásica na barra 4, pode-se utilizar o mesmo procedimento 
da seção anterior e designar fV como a tensão na barra 4 antes da falta. 
 
 
(a) Diagrama unifilar 
1
43
2
XT1
XT3
XT2
X14
X24
X34
X13
X23
Vf
1GE ′′
1GX ′′
2GE ′′
2GX ′′
ME ′′
MX ′′
 
(b) Diagrama de reatâncias 
Figura 1.6. Diagramas de um sistema elétrico hipotético. 
 
 Uma falta trifásica na barra 4 é simulada pela rede mostrada na Figura 1.7 onde as ten-
sões e f fV −V simulam o curto-circuito. Apenas a tensão fV neste ramo não causa cor-
rente no ramo. Com e f fV −V em série, o ramo constitui um curto-circuito, e a corrente 
no ramo é .fI ′′ Se forem curto-circuitadas, as tensões e correntes serão 1 2, , e G G ME E E V′′ ′′ ′′ f
Sistemas de Potência II 8 
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aquelas devido apenas a .fV− Assim, a única corrente que entra em um nó vinda de uma 
fonte é a devido a fV− e igual a fI ′′− na barra 4 ( fI ′′ saindo da barra 4) uma vez que não 
há corrente neste ramo até a inserção de .fV− 
 
2GE ′′
2GX ′′
1GE ′′
1GX ′′
ME ′′
MX ′′
fI ′′
fV− 
Figura 1.7. Falta na barra 4 da rede da Figura 1.6 simulada por em série. e fV − fV
 
 As equações nodais na forma matricial para a rede com fV− como única fonte são 
 
 
111 13 14
22 23 24 2
31 32 33 34 3
41 42 43 44
0 0
0 0
0
f f
VY Y Y
Y Y Y V
Y Y Y Y V
I Y Y Y Y V
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′− ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+
+
+ (1.9) 
 
onde 11
1 1 13
1 1
( )G T
Y
14
1
j X X jX jX
= +′′ + + 13 31 13
1Y Y
jX
= = − 14 41
14
1Y Y
jX
= = − 
 22
3 23
1 1
( )M T
Y
24
1
j X X jX jX
= +′′ + + 23 32 23
1Y Y
jX
= = − 24 42
24
1Y Y
jX
= = − 
 33
2 2 13 23 34
1 1 1
( )G T
Y 1
j X X jX jX jX
= + +′′ + + 34 43 34
1Y Y
jX
= = − 
 44
14 24 34
1 1 1Y
jX jX jX
= + + 
 
Sistemas de Potência II 9 
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e o sobrescrito + indica que as tensões são devido apenas a .fV− O sinal + foi escolhido 
para indicar a mudança nas tensões devido à falta. 
 Invertendo a matriz admitância de barra da equação X(1.9)X, obtém-se a matriz impedân-
cia de barra e as tensões nodais devido a fV− são dadas por 
 
 
1
2
3
0
0
0barra
ff
V
V
V
IV
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Z
+
+
+ (1.10) 
 
 Da equação X(1.10)X, tem-se que 
 
 
44
f
f
V
I
Z
′′ = (1.11) 
 
 3414 241 14 2 24 3 34
44 44 44
 f f f f f
ZZ ZV Z I V V Z I V V Z I
Z Z Z
′′ ′′ ′′= − = − = − = − = − = −+ + + fV
f
 (1.12) 
 
 Quando a tensão é curto-circuitada na rede da Figura 1.7 e es-
tão no circuito, as correntes e tensões são as que existiam antes da falta. Pelo princípio da 
superposição, estas tensões anteriores à falta adicionadas aos valores das tensões da equa-
ção X(1.12)X resultam nas tensões existentes após a ocorrência da falta. Normalmente, consi-
dera-se a rede sem carga antes da falta. Neste caso, nenhuma corrente circula antes da fal-
ta e todas as tensões são iguais a 
fV− 1 2, , e G G ME E E V′′ ′′ ′′
.fV Assim, 
 
Sistemas de Potência II 10 
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14 14
1 1 14
44 44
24 24
2 2 24
44 44
34 34
3 3 34
44 44
4
1
1
1
0
f f f f f f
f f f f f f
f f f f f
f f
Z ZV V V V Z I V V V
Z Z
Z ZV V V V Z I V V V
Z Z
Z ZV V V V Z I V V V
Z Z
V V V
⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
= − =
+
+
+
f
 (1.13) 
 
 Estas tensões existem quando a corrente subtransitória circula e foi formada para 
uma rede que possui valores subtransitórios para as reatâncias das máquinas síncronas. 
barraZ
 Generalizando as relações anteriores, pode-se afirmar que, para uma falta na barra k, 
tem-se 
 
 ff
kk
V
I
Z
= (1.14) 
 
e a tensão na barra n após a falta é 
 
 1 nkn
kk
ZV
Z
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ fV (1.15) 
 
 As correntes em qualquer parte do circuito da Figura 1.7 podem ser determinadas atra-
vés das tensões e das impedâncias. Por exemplo, 
 
 113
13
V VI
jX
−′′ = 3 1 11
1 1( )
G
G
G T
E VI
j X X
′′ −′′ = ′′ + (1.16) 
 
 
 
 
 
Sistemas de Potência II 11 
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1.6. MVA de Curto-Circuito 
 
 As concessionárias de energia elétrica fornecem os dados para os usuários que devem de-
terminara corrente de falta de modo a especificar os disjuntores em algum ponto de uma 
planta industrial ou de um sistema de potência. Normalmente, esses dados incluem os 
MVA de curto-circuito, onde 
 
 3MVA de curto-circuito 3 10SCkV I −= × × ×nominal (1.17) 
 
 Desprezando as resistências e capacitâncias em derivação, o circuito equivalente monofá-
sico de Thèvenin que representa o sistema consiste em uma fem igual à tensão de linha 
nominal dividida por 3 em série com uma reatância indutiva de 
 
 
1000
3
TH
SC
kV
X
I
×
=
nominal
Ω (1.18) 
 
 Resolvendo a equação X(1.17)X para e substituindo na equação X(1.18)X, tem-se SCI
 
 
2( )
MVA de curto-circuitoTH
kVX = nominal Ω (1.19) 
 
 Transformando a equação X(1.19)X para pu, obtém-se 
 
 
2
2
( )
( ) puMVA de curto-circuito
MVA
base
TH
base
kV
kVX =
nominal
 (1.20) 
 
 Se é igual a convertendo para pu, obtém-se basekV ,kVnominal
 
 MVA = p
MVA de curto-circuito
base base
TH
SC
IX
I
= u (1.21) 
Sistemas de Potência II 12 
Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza 
Exemplo 1.4 : Determine a matriz impedância de barra para a rede da Figura 1.8. Os ge-
radores nas barras 1 e 3 possuem valores nominais de 270 e 225 MVA, respectivamente. As 
reatâncias subtransitórias dos geradores mais as reatâncias dos transformadores que os co-
nectam às barras do sistema são iguais a 0,3 pu cada, usando como base os valores nomi-
nais dos geradores. As relações de transformação dos transformadores são tais que a tensão 
base em cada circuito do gerador é igual à tensão nominal do gerador. Incluir as reatâncias 
dos geradores e transformadores na matriz. Calcule a corrente subtransitória para uma fal-
ta trifásica na barra 4 e as correntes que chegam à barra em falta vindas das barras 3 e 5. 
A corrente antes da falta pode ser desprezada e todas as tensões são consideradas 1,0 pu 
antes da ocorrência da falta. A base do sistema é 100 MVA. 
 
 
Figura 1.8. Diagrama unifilar do Exemplo 1.4. 
 
 
1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito 
 
 A corrente subtransitória é a corrente eficaz simétrica inicial e não inclui o componente 
CC. A inclusão deste componente resulta em um valor eficaz da corrente imediatamente 
após a falta maior do que a corrente subtransitória. Para disjuntores a óleo acima de 5 kV, 
a corrente subtransitória multiplicada por 1,6 é considerada como sendo o valor eficaz da 
corrente cuja força disruptiva o disjuntor deve suportar durante o primeiro ciclo após a 
ocorrência da falta. Esta corrente é chamada corrente momentânea. 
 A capacidade nominal de interrupção de um disjuntor é especificada em MVA. Os MVA 
de interrupção são iguais a 3 vezes a tensão da barra à qual o disjuntor está ligado mul-
Sistemas de Potência II 13 
Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza 
tiplicado pela corrente que o disjuntor deve ser capaz de interromper quando os seus con-
tatos se separam. Esta corrente é menor do que a corrente momentânea e depende da velo-
cidade do disjuntor, tal como 8, 5, 3 ou 1,5 ciclos, que é a medida do tempo que transcorre 
a partir da ocorrência da falta até a extinção do arco. 
 A corrente que o disjuntor deve interromper é assimétrica, pois contém o componente 
CC. A corrente nominal de interrupção para disjuntores é chamada corrente simétrica de 
capacidade de interrupção requerida ou corrente nominal simétrica de curto-circuito. A 
determinação dessa corrente pode ser realizada utilizando o procedimento simplificado des-
crito a seguir. 
 
 
1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo 
 
 Este método conhecido como método E/X despreza todas as resistências, todas as cargas 
estáticas, todas as correntes anteriores à falta e todos os motores de indução abaixo de 
50 HP. No cálculo da corrente nominal simétrica de curto-circuito, para os geradores são 
utilizadas as reatâncias subtransitórias e para os motores síncronos utilizam-se as reatân-
cias subtransitórias multiplicadas por 1,5. Note que, se não houver motores representados 
no sistema, a corrente nominal simétrica de curto-circuito é igual à corrente subtransitória. 
 
Exemplo 1.5: Um gerador de 25 MVA e 13,8 kV com é conectado através de 
um transformador a uma barra que alimenta quatro motores idênticos, como mostra a Fi-
gura 1.9. A reatância subtransitória de cada motor é 20% na base de 5 MVA e 6,9 kV. 
Os valores nominais do transformador trifásico são 25 MVA e 13,8/6,9 kV, com uma rea-
tância de dispersão de 10%. A tensão na barra dos motores é 6,9 kV quando ocorre uma 
falta trifásica no ponto P. Para a falta especificada, calcule: 
15%dX ′′ =
dX ′′
a) a corrente subtransitória na falta; 
b) a corrente subtransitória no disjuntor A; 
c) a corrente nominal simétrica de curto-circuito na falta e no disjuntor A. 
 
Sistemas de Potência II 14 
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A
P
G
 
Figura 1.9. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.5. 
Sistemas de Potência II 15 
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1.8. Lista de Exercícios 
 
1.1. Uma tensão alternada sinusoidal de 60 Hz com valor eficaz de 100 V é aplicada a um 
circuito RL série pelo fechamento de uma chave. A resistência é 15 Ω e a indutância é 
0,12 H. 
a) Determine o valor do componente CC da corrente no fechamento da chave para 
um valor da tensão neste instante de 50 V. 
b) Qual é o valor instantâneo da tensão que produz o máximo componente CC da 
corrente no fechamento da chave? 
c) Qual é o valor instantâneo da tensão que resulta na ausência de componente CC 
da corrente no fechamento da chave? 
d) Se a chave for fechada quando a tensão instantânea for zero, determine os valores 
da corrente instantânea após transcorridos 0,5, 1,5 e 5,5 ciclos. 
 
1.2. Um gerador conectado a um transformador por um disjuntor apresenta valores nomi-
nais de 100 MVA e 18 kV com reatâncias de O 
transformador trifásico tem valores nominais de 100 MVA e 240Y / 18∆ kV e 
 O gerador está funcionando em vazio e sob tensão nominal quando ocorre 
um curto-circuito trifásico no lado AT do transformador. Calcule, em Ampères: 
19%, 26% e 130%.d d dX X X′′ ′= = =
10%.X =
 a) a corrente eficaz simétrica inicial no disjuntor; 
 b) a corrente de curto-circuito permanente no disjuntor; 
 c) a corrente eficaz simétrica inicial nos enrolamentos do lado AT; 
 d) a corrente eficaz simétrica inicial na linha no lado AT. 
 
1.3. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA e 20 kV, com 
 Ele alimenta uma resistência pura de 400 MW sob 20 kV. Esta carga é 
ligada diretamente aos terminais do gerador. Curto-circuitando simultaneamente as 
três fases da carga, calcule a corrente eficaz simétrica inicial no gerador em pu numa 
base de 500 MVA e 20 kV. 
0,2 pu.dX ′′ =
 
 
 
Sistemas de Potência II 16 
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1.4. Um gerador é conectado através de um transformador a um motor síncrono. Reduzi-
das a uma mesma base, as reatâncias subtransitórias do gerador e do motor são 
0,15 pu e 0,35 pu, respectivamente, e a reatância de dispersão do transformador é 
0,10 pu. Ocorre uma falta trifásica nos terminais do motor quando a tensão nos ter-
minais do gerador é 0,9 pu e a corrente de saída do gerador é 1,0 pu com um fator de 
potência 0,8cap. Calcule a corrente subtransitória em pu no ponto de falta, no gera-
dor e no motor. Use a tensão nos terminais do gerador como fasor de referência e 
obtenha a solução: 
 a) calculando as tensões internas das máquinas; 
 b) usando o teorema de Thèvenin. 
 
1.5. Dois motores síncronos com reatâncias subtransitórias de 0,80 e 0,25 pu, respectiva-
mente, numa base de 480 V e 2 MVA, estão conectados a uma barra. Esta barra está 
conectada, atravésde uma linha de transmissão com reatância de 0,023 Ω, a uma 
barra de um sistema de potência. Nesta barra, os MVA de curto-circuito do sistema 
de potência são 9,6 MVA para uma tensão nominal de 480 V. Para uma tensão na 
barra do motor igual a 440 V, despreze a corrente de carga e calcule a corrente eficaz 
simétrica inicial numa falta trifásica na barra do motor. 
 
1.6. A matriz impedância de barra para uma rede de 4 barras, com valores em pu, é 
 
0,15 0,08 0,04 0,07
0,08 0,15 0,06 0,09
0,04 0,06 0,13 0,05
0,07 0,09 0,05 0,12
barra j
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Z 
 
 Os geradores estão conectados às barras 1 e 2 e suas reatâncias subtransitórias foram 
incluídas na matriz Desprezando a corrente anterior à falta, calcule a corrente 
subtransitória em pu no ponto de falta para uma falta trifásica na barra 4. Considere 
a tensão no ponto de falta igual a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule tam-
bém a corrente subtransitória em pu no gerador 2, cuja reatância subtransitória é 
0,2 pu. 
.barraZ
 
Sistemas de Potência II 17 
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1.7. Para a rede mostrada na Figura 1.10, calcule a corrente subtransitória em pu no ge-
rador 1, na linha 1−2 e a tensão nas barras 1 e 3 para uma falta trifásica na barra 2. 
Considere que nenhuma corrente circula anteriormente à falta e que a tensão na bar-
ra 2 antes da falta era 1,0 pu. Resolva usando a matriz impedância de barra. 
 
1
2
3
G1 G2
j0,5j0,2 j0,4
0,2X ′′ = 0,25X ′′ =
 
Figura 1.10. Rede para o Problema 1.7 (valores em pu). 
 
1.8. Para uma falta trifásica na barra 1 da rede sem carga da Figura 1.11 (todas as ten-
sões nodais são iguais a 1,0 pu), calcule a corrente subtransitória na falta, as tensões 
nas barras 2, 3 e 4 e a corrente no gerador ligado à barra 3. 
 
1GE ′′
2GE ′′
ME ′′
 
Figura 1.11. Rede para o Problema 1.8 (valores em pu). 
 
1.9. Calcule a corrente subtransitória em pu numa falta trifásica na barra 5 na rede da 
Figura 1.12. Despreze a corrente anterior à falta e considere todas as tensões nodais 
iguais a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule também a corrente nas linhas 
1−5 e 3−5. 
 
Sistemas de Potência II 18 
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Figura 1.12. Diagrama de reatâncias para o Problema 1.9 (valores em pu). 
 
1.10. Um gerador de 625 kVA e 2,4 kV com é ligado a uma barra através de 
um disjuntor, como mostrado na Figura 1.13. À mesma barra, através de disjuntores, 
estão ligados três motores síncronos com valores nominais de 250 HP e 2,4 kV, com 
fator de potência unitário, 90% de rendimento e Os motores estão fun-
cionando a plena carga, com fator de potência unitário e tensão nominal, com a carga 
igualmente dividida entre as máquinas. Utilize como base para o sistema 625 kVA e 
2,4 kV. 
0,2 pudX ′′ =
0,2 pu.dX ′′ =
a) Calcule a corrente nominal simétrica de curto-circuito em Ampères que deve ser 
interrompida pelo disjuntor A e B para uma falta trifásica no ponto P. Despreze a 
corrente anterior à falta. 
b) Repita o item (a) para uma falta trifásica no ponto Q e para uma falta trifásica no 
ponto R. 
 
 
Figura 1.13. Diagrama unifilar para o Problema 1.10. 
 
Sistemas de Potência II 19 
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Sistemas de Potência II 20 
2. COMPONENTES SIMÉTRICOS 
 
2.1. Introdução 
 
 Em 1918, uma das mais poderosas ferramentas para tratar com circuitos polifásicos de-
sequilibrados foi apresentada por C. O. Fortescue. Desde então, o método de componentes 
simétricos tornou-se de grande importância e as faltas assimétricas são todas estudadas por 
esta abordagem. 
 
 
2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos 
 
 De acordo com a teoria de Fortescue, três fasores desequilibrados de um sistema trifásico 
podem ser decompostos em três sistemas equilibrados de fasores denominados componentes 
simétricos dos fasores originais. Estes conjuntos equilibrados são conhecidos como: 
• Componentes de seqüência positiva: consistem de três fasores iguais em módulo, 120° 
defasados entre si e tendo seqüência de fases idêntica à dos fasores originais. Utiliza-se 
o subíndice “1” para designar este conjunto de fasores. 
• Componentes de seqüência negativa: consistem de três fasores iguais em módulo, 120° 
defasados entre si e tendo seqüência de fases oposta à dos fasores originais. Utiliza-se 
o subíndice “2” para designar este conjunto de fasores. 
• Componentes de seqüência zero: consistem em três fasores iguais em módulo e com o 
mesmo ângulo de fase. Utiliza-se o subíndice “0” para designar este conjunto de faso-
res. 
 
 A Figura 2.1 mostra os conjuntos de componentes simétricos para um conjunto genérico 
de três correntes desequilibradas. 
 
Sistemas de Potência II 21 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 
 
Componentes de seqüência 
positiva 
Componentes de seqüência 
negativa 
Componentes de seqüência zero 
Figura 2.1. Três conjuntos de fasores equilibrados que são componentes de três fasores desequilibrados. 
 
 Cada um dos fasores desequilibrados originais corresponde à soma de seus componentes 
simétricos, ou seja, 
 
 (2.1) 1 2A A A AI I I I= + + 0
0
0
 (2.2) 1 2B B B BI I I I= + +
 (2.3) 1 2C C C CI I I I= + +
 
 A síntese de um conjunto de três fasores desequilibrados a partir de três conjuntos de 
componentes simétricos (Figura 2.1) é mostrada na Figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2. Adição gráfica dos componentes simétricos da Figura 2.1. 
 
 
 
 
 
Sistemas de Potência II 22 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
2.3. Operadores 
 
 O resultado da multiplicação de dois números complexos é o produto de seus módulos e 
a soma de seus ângulos. Se o número complexo que expressa um fasor for multiplicado por 
um número complexo de módulo unitário e ângulo o número complexo resultante repre-
senta um fasor igual ao fasor original defasado de um ângulo 
,θ
.θ
 O número complexo de módulo unitário e ângulo é chamado operador e faz com que o 
fasor, sobre o qual atua, gire de um ângulo 
θ
.θ
 Um operador conhecido é o operador j, que causa uma rotação de 90° no sentido anti-
horário. Duas aplicações sucessivas do operador j causam uma rotação de 180° no sentido 
anti-horário. Assim, o operador j pode matematicamente ser expresso como 
 
 1,0 90j = ∠ °
°
°
 (2.4) 
 
 Um outro operador útil é o operador a, que causa uma rotação de 120° no sentido anti-
horário sobre o fasor no qual é aplicado. Dessa forma, tem-se que 
 
 (2.5) 1,0 120a = ∠
 
 Se o operador a for aplicado duas vezes sucessivas a um fasor, este irá girar de 240° no 
sentido anti-horário. Três aplicações sucessivas de a causam uma rotação de 360° no senti-
do anti-horário. Matematicamente, tem-se 
 
 (2.6) 
2
2 3
1,0 120 1,0 120 1,0 120
1,0 120 1,0 120 1,0 0
a a a
a a a
× = = ∠ °× ∠ ° = ∠−
× = = ∠− °× ∠ ° = ∠ °
 
 A Figura 2.3 mostra os fasores representando as várias potências do operador a. 
 
Sistemas de Potência II 23 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 
Figura 2.3. Diagrama fasorial com as várias potências do operador a. 
 
 
2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos 
 
 Cada componente simétrico das correntes pode ser expresso em termos do ope-
rador a e um componente simétrico da corrente De acordo com a Figura 2.1, pode-se 
escrever 
e BI IC
1
2A=
0
0A
0A
AI
.AI
 
 (2.7) 
2
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
B A C A
B A C
B A C A
I a I I aI
I aI I a I
I I I I
= =
=
= =
 
 Substituindo as equações X(2.7)X nas equações X(2.1)X, X(2.2)X e X(2.3)X, obtêm-se 
 
 (2.8) 1 2A A A AI I I I= + +
 (2.9) 2 1 2B A AI aI aI I= + +
 (2.10) 21 2C A AI aI a I I= + +
 
ou na forma matricial 
 
 
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
A A
B
C A
I I
I a a
I Ia a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (2.11) 
 
 
Sistemas de Potência II 24 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 Definindo 
 
 2
2
1 1 1
1
1
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A (2.12) 
 
tem-se que 
 
 1
2
1 1 1
1 1
3
1
a a
a a
− 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A (2.13) 
 
e pré-multiplicando ambos os lados da equação X(2.11)X por obtém-se 1,−A
 
 
0
2
1
2
2
1 1 1
1 1
3
1
A A
A
A C
I I
I a a
I Ia a
⎡ ⎤
BI
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 (2.14) 
 
ou na forma de equações 
 
 0
1 ( )
3A A B
I I I= + + CI (2.15) 
 21
1 ( )
3A A B
I I aI a= + + CI (2.16) 
 22
1 ( )
3A A B
I I a I a= + + CI
N
 (2.17) 
 
 A partir dos componentes simétricos da corrente pode-se obter, através da equação 
X(2.7)X, os componentes simétricos das correntes 
,AI
e .B CI I
 Em um sistema trifásico, tem-se 
 
 (2.18) A B CI I I I+ + =
Sistemas de Potência II 25 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
portanto, 
 
 (2.19) 03NI I= A
1
2
s 1
 
 Na ausência de um caminho ao neutro em um sistema trifásico, é zero e as correntes 
de linha não contêm componentes de seqüência zero. Assim, uma carga ligada em ∆ não 
contém componentes de seqüência zero. 
NI
 A equação X(2.15)X mostra que não existem componentes de seqüência zero se a soma dos 
fasores desequilibrados for zero. A soma dos fasores tensão de linha em um sistema trifásico 
é sempre zero, portanto, os componentes de seqüência zero nunca estão presentes nas ten-
sões de linha, não importando a dimensão do desbalanceamento. 
 
Exemplo 2.1: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para 
uma carga ligada em ∆ através da linha a é 10 A. Usando a corrente da linha a como refe-
rência e considerando que a linha c esteja aberta, calcular os componentes simétricos das 
correntes de linha. 
 
 
2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de 
 Transformadores Y−∆ 
 
 No curso de Circuitos III, estudou-se a utilização da regra do ponto para transformado-
res. Para que as correntes do lado de alta e do lado de baixa tensão estejam em fase é ne-
cessário que o sentido da corrente em um enrolamento entre pelo ponto e no outro, saia. 
 A marcação padrão para transformadores monofásicos utiliza nos lados AT e 
BT, respectivamente, ao invés dos pontos. As outras extremidades dos enrolamentos são 
marcadas por A Figura 2.4 mostra a equivalência entre as duas regras. No trans-
formador mostrado, as correntes estão em fase. Assim, os terminais são 
positivos no mesmo instante em relação a 
1 e H X
2 e .H X
e pI I 1 e H X
2 2e .H X
 
Sistemas de Potência II 26 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 
Figura 2.4. Diagrama esquemático de um transformador monofásico. 
 
 Os terminais de AT dos transformadores trifásicos são marcados com e os 
de BT, com Em transformadores Y−Y e as marcações são tais que as 
tensões e correntes nos terminais estão em fase com as tensões e correntes nos 
terminais respectivamente. Entretanto, em transformadores 
sempre há defasagem entre as grandezas do lado de AT e de BT. 
1 2, e H H H 3
3
,
.
1 2 3, e .X X X ,∆−∆
1 2, e H H H
1 2 3, e ,X X X Y e Y−∆ ∆−
 A Figura 2.5 é o diagrama de ligação de um transformador A seqüência de fases 
é direta (ABC). Os enrolamentos colocados em paralelo estão acoplados magneticamente, 
pois estão montados sobre o mesmo núcleo. As fases do lado de AT são designadas por le-
tras maiúsculas e as do lado de BT, por letras minúsculas. 
Y −∆
 
 
Figura 2.5. Diagrama de ligações de um transformador trifásico. 
 
 As normas americanas para designar os terminais em um 
transformador exigem que as grandezas de seqüência positiva do lado de AT este-
jam 30° adiantadas em relação às grandezas de seqüência positiva do lado de BT, indepen-
dentemente de estarem os enrolamentos de alta tensão em Y ou em Para as grandezas 
de seqüência negativa, a defasagem deve ser de 30° em atraso. A Figura 2.6 mostra os dia-
gramas fasoriais para os componentes de seqüência das tensões nos dois lados do transfor-
mador. 
1 1 2 2 3e , e e e ,H X H X H X3
Y ,−∆
.∆
 
Sistemas de Potência II 27 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 
Seqüência positiva Seqüência negativa 
Figura 2.6. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das tensões. 
 
 Observando os diagramas fasoriais da Figura 2.6, verifica-se que está 90° atrasada 
em relação a e que está 90° adiantada em relação a Assim, as relações entre 
os componentes simétricos das tensões nos dois lados do transformador é 
1AV
1aV 2AV 2.aV
 
 (2.20) 1 1 2A a AV jV V j= − = 2aV
 
 A Figura 2.7 mostra os diagramas fasoriais para os componentes de seqüência das cor-
rentes nos dois lados do transformador. 
 
 
Seqüência positiva 
 
Seqüência negativa 
Figura 2.7. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das correntes. 
 
 Da Figura 2.7, verifica-se que está 90° atrasada em relação a e que está 90° 
adiantada em relação a Assim, as relações entre os componentes simétricos das corren-
tes nos dois lados do transformador é 
1AI 1aI 2AI
2.aI
 
 (2.21) 1 1 2A a AI jI I j= − = 2aI
 
 A Figura 2.8(a) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de 
Sistemas de Potência II 28 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
modo que a tensão de seqüência positiva em relação ao neutro está 30° adiantada em 
relação à tensão de seqüência positiva em relação ao neutro Por outro lado, a Figura 
2.8(b) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de modo que a 
tensão de seqüência positiva em relação ao neutro está 30° adiantada em relação à 
tensão de seqüência positiva em relação ao neutro 
1AV
1.bV
1AV
1.aV
 
 
(a) 
A
c
b
a
C
B
H1
X3
X2
X1
H3
H2
 
(b) 
Figura 2.8. Designações das linhas ligadas a um transformador trifásico Y ou Y−∆ ∆− .
 
Exemplo 2.2: Três resistores idênticos, com valor 1,0 pu cada, estão conectados em Y ao 
lado Y de baixa tensão de um transformador As tensões na carga de resistores são Y.∆−
0,8 pu 1,2 pu 1,0 puab bc caV V V= = =
∗
 
Suponha que não haja ligação do neutro da carga com o neutro do secundário do transfor-
mador e que a ligação do transformador seja a da Figura 2.8(a). Calcular as tensões e cor-
rentes de linha, em pu, no lado Δ do transformador. 
 
 
2.6. Potência em Função dos Componentes Simétricos 
 
 Se os componentes simétricos das tensões e das correntes são conhecidos, a potência em 
um sistema trifásico pode ser calculada diretamente destas componentes. A potência total 
em um sistema trifásico é 
 
 (2.22) A A B B C CS P jQ E I E I E I∗ ∗= + = + +
 
onde são as tensões de fase e são as correntes de fase. Pode ou 
não haver conexão ao neutro. Em notação matricial 
, e A B CE E E , e A B CI I I
Sistemas de Potência II 29 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 [ ]
T
A A
A B C B B B
C C
I E I
S E E E I E I
I E I
∗ ∗
A
C
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (2.23) 
 
onde o conjugado de um vetor é o conjugado de cada um de seus componentes. 
 
 Recordando as equações X(2.11)X e X(2.12)X, pode-se escrever a equação X(2.23)X como 
 
 (2.24) [ ] [ ]TS E I ∗= A A
 
onde 
 
 
0 0
1
2 2
 e 
A A
A
A A
E I
E E I I
E I
1A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A
A
2
1
 (2.25) 
 
 Da álgebra matricial, sabe-se que 
 
 (2.26) [ ]T T TE E=A
 
e, então, 
 
 (2.27) [ ]T T T TS E I E I∗ ∗ ∗= =A A A A
 
 Lembrando que e que são conjugados, tem-se que T =A 2e a a
 
 [ ]
0
2
0 1 2
2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
A
A A A A
A
I
S E E E a a a a I
a a a a I
∗
∗
∗
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (2.28) 
 
e observando que 
Sistemas de Potência II 30 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 3 0 1 0
0 0 11 1
T a a a a
a a a a
∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A A (2.29) 
 
obtém-se 
 
 [
0
0 1 2
2
3
A
A A A A
A
I
S E E E I
I
∗
∗
∗
] 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 (2.30) 
 
 Assim, finalmente, tem-se que 
 
 (2.31) 0 0 1 1 2 23 3 3A A B B C C A A A A A AS P jQ E I E I E I E I E I E I∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = + + = + + ∗
 
que é a potência trifásica calculada em função dos componentes simétricos das tensões e 
das correntes. 
 
 
2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência 
 
 Em qualquer parte de um circuito, a queda de tensão causada pela corrente de uma de-
terminada seqüência depende da impedância do circuito para a corrente dessa seqüência. A 
impedância de uma rede equilibrada para a corrente de uma seqüência pode ser diferente 
da impedância para a corrente de outra seqüência. 
 A impedância de um circuito, quando estão circulando apenas correntes de seqüência 
positiva, é chamada impedância de seqüência positiva. Analogamente, quando apenas 
correntes de seqüência negativa estão presentes, a impedância é chamada impedância de 
seqüência negativa. Quando estão presentes apenas correntes de seqüência zero, a 
impedância é chamada impedância de seqüência zero. 
 A análise de uma falta assimétrica em um sistema simétrico consiste em determinar os 
componentes simétricos das correntes desequilibradas que estão circulando. Uma vez que as 
correntes componentes de uma seqüência causam queda de tensão somente da mesma se-
Sistemas de Potência II 31 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
qüência e são independentes das correntes de outras seqüências, em um sistema equilibra-
do, consideram-se as correntes de qualquer seqüência circulando em um circuito indepen-
dente composto por impedâncias para as correntes apenas daquela seqüência. O circuito 
monofásico equivalente, composto somente das impedâncias para a corrente daquela se-
qüência, é chamado circuito de seqüência para aquela seqüência. 
 
 
2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio 
 
 Um gerador em vazio, aterrado através de uma impedância é mostrado na Figura 
2.9. Quando ocorre uma falta nos terminais do gerador, as correntes circulam 
nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é 
,nZ
, e a b cI I I
.nI
 
 
Figura 2.9. Diagrama de um gerador em vazio aterrado através de uma impedância. 
 
 As tensões geradas são somente de seqüência positiva, pois os geradores são projetados 
para fornecer tensões trifásicas equilibradas. Portanto, a rede de seqüência positiva é com-
posta por uma fem em série com a impedância de seqüência positiva do gerador. As redes 
de seqüência negativa e zero não contêm forças eletromotrizes, incluindo somente as impe-
dâncias do gerador para as correntes de seqüência negativa e zero, respectivamente. Os cir-
cuitos de seqüência para os geradores são mostrados na Figura 2.10. A fem gerada na rede 
de seqüência positiva é a tensão nos terminais do gerador em vazio em relação ao neutro, 
que é também igual às tensões atrás das reatâncias transitória ou subtransitória, pois o ge-
rador está em vazio. A barra de referência para as redes de seqüência positiva e negativa é 
Sistemas de Potência II 32 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
o neutro do gerador. Para a rede de seqüência zero, a barra de referência é o terra do sis-
tema. 
 
 Seqüência positiva 
 
 Seqüência negativa 
 
 
 Seqüência zero 
 
Figura 2.10. Circuitos de seqüência para geradores em vazio 
 
 A corrente que circula na impedância entre o neutro do gerador e a terra é Pe-
la Figura 2.10, nota-se que a queda de tensão de seqüência zero é onde 
 é a impedância de seqüência zero por fase do gerador. A rede de seqüência zero que é 
um circuito monofásico no qual se supõe que circule apenas a corrente de seqüência zero 
deve, portanto, ter uma impedância de A impedância total de seqüência zero, 
pela qual circula é, portanto, 
nZ 03 aI .
0
.
0g
0 03 ,a n a gI Z I Z− −
0gZ
03 n gZ Z+
0aI
 
 (2.32) 0 3 nZ Z Z= +
Sistemas de Potência II 33 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 Da Figura 2.10, pode-se deduzir as relações para os componentes de seqüência das 
tensões na fase a 
 
 (2.33) 1a aV E Z I= − 1 1a
2a
0a
2
 (2.34) 2 2aV Z I= −
 (2.35) 0 0aV Z I= −
 
onde é a tensão em vazio de seqüência positiva em relação ao neutro, são as 
impedâncias de seqüência positiva e negativa do gerador e é definida pela equação 
X(2.32)X. 
aE 1 e Z Z
0Z
 
 
2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão 
 
 As impedâncias de seqüência positiva e negativa de circuitos lineares, simétricos e está-
ticos são idênticas porque a impedância de tais circuitos é independente da seqüência de fa-
ses, desde que as tensões aplicadas sejam equilibradas. Portanto, as impedâncias de se-
qüência positiva e negativa de uma linha de transmissão transposta são iguais. 
 Quando apenas a corrente de seqüência zero circula por uma linha de transmissão, ela é 
a mesma em todas as fases. A corrente retorna pela terra, por cabos de cobertura ou por 
ambos. Como as correntes de seqüência zero são iguais (módulo e ângulo) nas três fases, o 
campo magnético devido a estas correntes é muito diferente daqueles produzidos pelas cor-
rentes de seqüência positiva e negativa. Esta diferença resulta em reatâncias indutivas de 
seqüência zero para linhas de transmissão aéreas de 2 a 3,5 vezes maiores que as reatâncias 
de seqüência positiva. 
 A Figura 2.11 apresenta as impedâncias de seqüência para linhas de transmissão trans-
postas. 
 
 
Sistemas de Potência II 34 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
1aE 1aE ′
 
Seqüência positiva 
2aE 2aE ′
 
Seqüência negativa 
Ia0
0aE
Z0
Barra de referência
0aE ′
 
Seqüência zero 
Figura 2.11. Impedâncias de seqüência para linhas de transmissão transpostas. 
 
 
2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas 
 
 A Figura 2.12 mostra uma carga estática conectada em Y. A impedância de cada fase é 
fZ e a impedância de neutro é Da figura 2.12, têm-se que .nZ
 
 ( ) ( )a f a n n f a n a b c f n a n b nV Z I Z I Z I Z I I I Z Z I Z I Z I= + = + + + = + + + c (2.36) 
 
 
Figura 2.12. Carga estática conectada em Y. 
 
 Equações análogas podem ser determinadas para Assim, e .bV Vc
 
 ( )b n a f n b nV Z I Z Z I Z I= + + + c (2.37) 
 ( )c n a n b f nV Z I Z I Z Z I= + + + c (2.38) 
 
 Escrevendo na forma matricial, tem-se 
 
Sistemas de Potência II 35 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 (2.39) 
a f n n n
b n f n n
c n n f n
V Z Z Z Z I
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
a
b
c
I
I
⎥⎥
1
a
a
a
I
I
⎤⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦
A
a
a
a
I
I
I
⎤⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦
 
 Escrevendo a equação X(2.39)X em função dos componentes simétricos das tensões e das 
correntes, obtém-se 
 
 (2.40) 
0 0
1
2 2
a f n n n
a n f n n
a n n f n
V Z Z Z Z I
V Z Z Z Z
V Z ZZ Z
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥ ⎢= +⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
A
 
onde 
2
2
1 1 1
1
1
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A 
 
 Pré-multiplicando a equação X(2.40)X por obtém-se 1,−A
 
 
0 0
1
1 1
2 2
a f n n n
a n f n n
a n n f n
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
−
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥ ⎢= +⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
A A
1aI
 (2.41) 
 
ou 
 
 
0 0
1
2 2
a a
a S
a a
V I
V
V I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
Z
⎦
n
A
 (2.42) 
 
onde 
1
f n n n
S n f n n
n n f
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
−
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
Z A (2.43)
 
 A matriz impedância definida na equação X(2.43)X é chamada matriz de impedâncias SZ
Sistemas de Potência II 36 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
de seqüência. Ela pode ser obtida por 
 
0
2 2
1
2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
3
1 1
f n n n
S n f n n
n n f n
Z Z Z Z Z
Z a a Z Z Z Z a
Z Z Z Z Za a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Z a
0f
 
 
 
3 0 0
0
0 0
f n
S
f
Z Z
Z
Z
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Z (2.44) 
 
 A partir das equações X(2.42)X e X(2.44)X, pode-se escrever que 
 
 
0 0
1 1
2 2
( 3 )a f n
a f a
a f a
V Z Z I
V Z I
V Z I
= +
=
=
a
2
 (2.45) 
 
 De onde se conclui que 
 
 0 13 f n fZ Z Z Z Z Z Z= + = = f (2.46) 
 
 A Figura 2.13 mostra as impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada 
em Y. 
 
 
 
Seqüência positiva 
 
 
Seqüência negativa 
 
 
Seqüência zero 
Figura 2.13. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em Y. 
 
 Se a carga estiver conectada em não haverá correntes de seqüência zero circulando ,∆
Sistemas de Potência II 37 
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pela rede de seqüência zero devido à ausência do neutro. Se a impedância por fase for 
transformando a carga para uma conexão equivalente em Y, tem-se 
,Z∆
 
 
3f
ZZ ∆= (2.47) 
 
 A Figura 2.14 mostra as impedâncias de seqüência de uma carga passiva ligada em .∆
 
1 3f
ZZ Z ∆= =
 
Seqüência positiva 
2 3f
ZZ Z ∆= =
 
Seqüência negativa 
0 3f
ZZ Z ∆= =
 
Seqüência zero 
Figura 2.14. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em .∆
 
 
2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Trifásicos 
 
 Quando apenas correntes de seqüência positiva ou negativa circulam por um transfor-
mador, o seu comportamento é idêntico ao estudado no curso de Sistemas de Potência I, ou 
seja, a oposição à circulação destas correntes é a própria impedância do transformador. 
A Figura 2.15 mostra as redes de seqüência positiva e negativa para um transformador tri-
fásico. 
TZ
 
 
Seqüência positiva 
 
Seqüência negativa 
Figura 2.15. Redes de seqüência para um transformador trifásico. 
 
Sistemas de Potência II 38 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
 O valor da impedância de seqüência zero de transformadores trifásicos também é a im-
pedância de dispersão do transformador Porém, os circuitos de seqüência zero de 
transformadores trifásicos requerem um estudo mais detalhado em função dos enrolamentos 
do primário e do secundário poderem estar conectados em Cinco possibilidades 
serão analisadas a seguir. 
.TX
Y ou .∆
 
 Banco Y−Y com apenas um neutro aterrado: se qualquer um dos neutros de um banco 
Y−Y não estiver aterrado, a corrente de seqüência zero não pode circular em nenhum dos 
enrolamentos. A ausência de caminho em um enrolamento impede a passagem da corrente 
no outro. Assim, existe um circuito aberto para a corrente de seqüência zero entre as duas 
partes do sistema ligadas pelo transformador. 
 
 Banco Y−Y ambos os neutro aterrados: neste caso, existe um caminho, através do trans-
formador, para as correntes de seqüência zero em ambos os enrolamentos. Como a corrente 
de seqüência zero pode seguir um caminho completo por fora do transformador em ambos 
os lados, ela também poderá circular em ambos os enrolamentos do transformador. Assim, 
os dois lados do transformador são interligados pela impedância de seqüência zero do trans-
formador. 
 
 Banco Y aterrado: se o neutro de um banco estiver aterrado, as corren-
tes de seqüência zero possuem um caminho para a terra através da ligação Y porque as 
correspondentes correntes induzidas podem circular no A corrente de seqüência zero, 
que circula no ∆ para equilibrar a corrente de seqüência zero no Y, não pode circular nas 
linhas ligadas ao O circuito equivalente oferece um caminho a partir do Y, através da 
impedância de dispersão do transformador, até a barra de referência. Deve existir um cir-
cuito aberto entre a linha e a barra de referência no lado Se a ligação do neutro à terra 
apresenta uma impedância o circuito equivalente de seqüência zero deve ter uma im-
pedância de em série com a impedância de dispersão do transformador para ligar a li-
nha no lado Y até a terra. 
,Y ∆− Y −∆
.∆
.∆
.∆
,nZ
3 nZ
 
 Banco Y não-aterrado: um Y não-aterrado é o caso onde a impedância en-
tre o neutro e a terra, é infinita. Assim, a impedância 3 do caso anterior torna-se infini-
,Y ∆− ,nZ
nZ
Sistemas de Potência II 39 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
ta. A corrente de seqüência zero não pode circular nos enrolamentos do transformador. 
 
 Banco como o circuito ∆ não oferece caminho de retorno para as correntes de 
seqüência zero, essas correntes não podem circular em bancos embora ela possa cir-
cular nos enrolamentos 
:∆ ∆−
,∆−∆
.∆
 
 A Figura 2.16 mostra os circuitos de seqüência zero para as diferentes conexões de trans-
formadores trifásicos. 
 
Ligação Seqüência zero 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
Figura 2.16. Circuitos de seqüência zero para transformadores trifásicos. 
Sistemas de Potência II 40 
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Exemplo 2.3: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória 
de 20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha 
de transmissão de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra 
o diagrama unifilar da Figura 2.17. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por 
dois motores equivalentes. O neutro do motor está aterrado através de uma reatância 
de 0,4 Ω. O neutro do motor não está aterrado. As entradas nominais para os motores 
são 200 MVA para e 100 MVA para Para ambos os motores O 
transformador trifásico de 350 MVA, 230/20 kV, apresenta reatância de 10%. O 
transformador é composto de três transformadores monofásicos, cada um de 100 MVA, 
127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão é 
0,5 Ω/km. Considere a reatância de seqüência negativa de cada máquina igual à sua 
reatância subtransitória. Para o gerador e os motores, considere a reatância de seqüência 
zero igual a 5%. No neutro do gerador está presente um reator de limitação de corrente de 
0,4 Ω. A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 1,5 Ω/km. Trace os 
diagramas de seqüências positiva, negativa e zero com todas as reatâncias em pu. Escolha 
os valores nominais do gerador como base no circuito deste. 
1M
2M
1M 2.M 20%.X ′′ =
1,T
2T
 
 
Figura 2.17. Diagrama unifilar para o Exemplo 2.3. 
Sistemas de Potência II 41 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
2.12. Lista de Exercícios 
 
2.1. Sendo calcule as tensões em re-
lação ao neutro Apresente também o resultado na forma de um diagra-
ma. 
1 2 050 0 V, 20 90 V e 10 180 V,a a aV V V= ∠ ° = ∠ ° = ∠ °
, e .a b cV V V2.2. Quando um gerador tem o terminal a aberto e os outros dois terminais estão ligados 
entre si com um curto-circuito desta conexão com a terra, os valores típicos para os 
componentes simétricos da corrente na fase a são 
 Calcule as correntes para a terra e a corrente 
em cada fase do gerador. 
1 600 90 A,aI = ∠− °
2 2250 90 A e 350 90 A.a aI I= ∠ ° = ∠ °
 
2.3. Calcule os componentes simétricos das três correntes 
 
10 0 A,aI = ∠ °
10 130 A e 10 130 A.b cI I= ∠− ° = ∠ °
 
2.4. As correntes que circulam nas linhas para uma carga equilibrada, ligada em são 
 Determine as defasagens en-
ter 
,∆
100 0 A, 141,4 135 A e 100 90 A.a b cI I I= ∠ ° = ∠− ° = ∠ °
 e , e e e .a ab b bc c caI I I I I I
 
2.5. As tensões nos terminais de uma carga equilibrada consistindo em três resistores de 
10 Ω, ligados em Y, são 
Determine as defasagens entre Suponha que o neutro 
da carga não está aterrado. Calcule também a potência consumida nos três resistores 
usando os componentes simétricos das correntes e tensões. Verifique a resposta. 
100 0 V, 80,8 121,44 V e 90 130 V.ab bc caV V V= ∠ ° = ∠− ° = ∠ °
e , e e e .ab a bc b ca cV V V V V V
 
2.6. Uma carga trifásica consiste de uma carga equilibrada conectada em ∆ em paralelo 
com uma outra ligada em Y. A impedância por fase da carga em ∆ é 
(6 6) Z j∆ = + Ω e a impedância por fase da carga em Y vale Y (2 2) .Z O 
neutro da carga conectada em Y está aterrado através de uma impedância 
 Um conjunto de tensões de fase desequilibradas com com-
ponentes simétricos de seqüência iguais a 
j= + Ω
1 .nZ j= Ω , e an bn cnV V V
0 110 60 V, 100 0 V ean anV V= ∠ ° = ∠ °
Sistemas de Potência II 42 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
2 15 160 VanV = ∠− ° são aplicadas à carga trifásica descrita acima. 
a) Construa os diagramas de seqüência positiva, negativa e zero. 
b) Calcule a potência complexa por seqüência fornecida às cargas em ∆ e em Y. 
c) Calcule a potência complexa total fornecida à carga trifásica. 
 
2.7. Suponha que as correntes especificadas no Exercício 2.4 estejam circulando por uma 
linha de transmissão conectada ao lado Y de um transformador com valores 
nominais 10 MVA e 66 Y/13,2 ∆ kV. A carga está conectada ao lado ∆ do transfor-
mador. Calcule as correntes que circulam nas linhas da carga convertendo em pu os 
componentes simétricos das correntes na base dos valores nominais do transformador 
e defasando os componentes de acordo com a equação X(2.21)X. Verifique os resultados 
calculando as correntes em cada fase dos enrolamentos ∆, em A, diretamente a partir 
das correntes no lado Y multiplicando pela relação de espiras dos enrolamentos. 
Complete a verificação calculando as correntes de linha em função das correntes de 
fase no lado ∆. 
Y −∆
 
2.8. São aplicadas tensões de linha trifásicas equilibradas de 100 V a uma carga ligada em 
Y consistindo de três resistores. O neutro da carga não está aterrado. A resistência na 
fase a é 10 Ω, na fase b é 20 Ω e na fase c é 30 Ω. Escolhendo como referência, 
calcule a corrente na fase a e a tensão 
abV
.aV
 
2.9. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está apresentado na Figura 2.19. Os ge-
radores e transformadores apresentam as seguintes características: 
 Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =
 Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =
 Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =
 Transformador 1: 25 MVA, 220Y / 13,8Δ kV, 10%X =
 Transformador 2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, 10%X =
 Transformador 3: 35 MVA, 220Y / 22Y kV, 10%X =
 
 Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero para o sistema. Coloque to-
dos os valores em pu na base de 50 MVA e 13,8 kV no circuito do gerador 1. Os neu-
Sistemas de Potência II 43 
Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza 
tros dos geradores 1 e 3 são ligados à terra através de reatores de limitação de corren-
te, cada um com uma reatância de 5% na base da máquina a qual é conectado. A rea-
tância de seqüência zero da linha de transmissão é 210 Ω de A até B e 250 Ω de B até 
C. 
 
Figura 2.19. Diagrama unifilar para o Problema 2.9. 
 
2.10. Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero do sistema elétrico apresen-
tado na Figura 2.20. Represente as reatâncias em pu em uma base de 50 MVA e 
138 kV na linha de 40 Ω. As características dos geradores, motores e transformadores 
são: 
 
 Gerador 1: 20 MVA, 18 kV, 2 020%, 20% e 8%X X X′′ = = =
 Gerador 2: 20 MVA, 18 kV, 2 020%, 20% e 8%X X X′′ = = =
 Motor síncrono: 30 MVA, 13,8 kV, 2 020%, 20% e 8%X X X′′ = = =
 Transformadores Y−Y: 20 MVA, 138Y / 20Y kV, 10%X =
 Transformadores Y−∆: 15 MVA, 138Y / 13,8∆ kV, 10%X =
 
 Os neutros das máquinas estão aterrados através de reatores de limitação de corrente, 
tendo reatâncias de 5% na base da máquina a qual estão conectados. As reatâncias de 
seqüência zero das linhas de transmissão valem três vezes as suas reatâncias de se-
qüência positiva. 
 
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Figura 2.20. Diagrama unifilar para o Problema 2.10. 
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Sistemas de Potência II 46 
III. FALTAS ASSIMÉTRICAS 
 
3.1. Introdução 
 
 A maioria das faltas que ocorre em sistemas elétricos é assimétrica podendo constituir-se 
em curto-circuitos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra. O caminho para a corrente de fal-
ta pode ou não conter uma impedância. 
 Como qualquer falta assimétrica provoca o fluxo de correntes desequilibradas no siste-
ma, o método dos componentes simétricos é muito útil na determinação das correntes e 
tensões no sistema após a ocorrência de uma falta assimétrica. 
 
 
3.2. Faltas em Geradores em Vazio 
 
 Do capítulo 2, seção 2.8, equações (2.33), (2.34) e (2.35), pode-se escrever, em notação 
matricial, a relação para os componentes simétricos das tensões na fase a em um gerador 
em vazio como 
 
 (3.1) 
0 0
1 1
2 2
0 0 0
0 0
0 0 0
a a
a a
a a
V Z
V E Z I
V Z
⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
0
1
2
a
I
I
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
2
2
 
onde são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa, 
respectivamente, da tensão da fase a, é a tensão em vazio da fase a, são as 
impedâncias de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente, do gerador, 
 são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente, 
da corrente da fase a. 
0 1, e a a aV V V
aE 0 1, e Z Z Z
0 1, ea aI I
2aI
 
 
 
 
 
Sistemas de Potência II 47 
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3.2.1. Falta entre Fase e Terra 
 
 O circuito para uma falta fase-terra em um gerador em vazio ligado em Y, com seu neu-
tro aterrado através de uma reatância, é mostrado na Figura 3.1, onde a falta ocorre na fa-
se a. 
 
 
Figura 3.1. Diagrama para uma falta fase-terra em um gerador em vazio. 
 
 As condições na falta são 
 
 (3.2) 0 0 0b cI I V= = a =
 
 Os componentes simétricos da corrente na fase a são 
 
 
0
2
1
2
2
1 1 1
1 1
3 01
a a
a
a c
I I
I a a I
I Ia a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
0b
⎤⎥⎥= ⎥⎥⎦⎣ ⎦
 (3.3) 
 
o que resulta em 
 
 1 2 0
1
3a a a
I I I= = = aI (3.4) 
 
 Para que os três componentes simétricos da corrente na fase a sejam iguais, os circuitos 
de seqüência do gerador devem ser conectados em série, como mostra a Figura 3.2. 
Sistemas de Potência II 48 
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Figura 3.2. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vaziopara uma falta fase-terra. 
 
 Da Figura 3.2, tem-se que 
 
 1 2 0
1 2
a
a a a
EI I I
Z Z Z
= = = + + 0
0
 (3.5) 
 
 Se o neutro do gerador não estiver aterrado, a rede de seqüência zero estará aberta e 
será infinita. Assim, as correntes serão nulas e, portanto, a corrente na fase a 
será zero. Esta mesma conclusão pode ser obtida analisando o circuito da Figura 3.1. Note 
que se não há ligação entre a terra e o neutro do gerador, não existe caminho para a cor-
rente na falta. 
0Z
1 2, e a a aI I I
 
Exemplo 3.1: Um gerador tem valores nominais de 20 MVA, 13,8 kV e uma reatância sub-
transitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de seqüência negativa e zero são, res-
pectivamente, 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. Calcule a 
corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitórias quan-
do ocorre uma falta fase-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem 
carga com tensão nominal. 
Sistemas de Potência II 49 
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3.2.2. Falta entre Fase e Fase 
 
 O circuito para uma falta fase-fase em um gerador ligado em Y, com aterramento, sem 
carga é mostrado na Figura 3.3. As fases em falta são b e c. 
 
 
Figura 3.3. Diagrama para uma falta fase-fase em um gerador em vazio. 
 
 As condições para a falta são 
 
 (3.6) 0 b c a cV V I I I= = b= −
 
 Os componentes simétricos da tensão na fase a são 
 
 
0
2
1
2
2
1 1 1
1 1
3
1
a a
a
a c
V V
V a a V
V Va a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
b
bV
⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎣ ⎦
 (3.7) 
 
resultando em 1 2.a aV V=
 
 Para os componentes simétricos da corrente na fase a, tem-se 
 
 
0
2
1
2
2
1 1 1 0
1 1
3
1
a a
a
a c
I I
I a a I
I Ia a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
b
bI
⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎣ ⎦
 (3.8) 
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o que fornece 0 20 e .a aI I= = − 1aI
2a
 
 Havendo conexão entre o neutro do gerador e a terra, será finito, e assim 0Z
 
 (3.9) 0 0 0 0a aV Z I= − =
 
 Com igual à zero, a rede de seqüência zero está em curto-circuito e, portanto, não 
influi na falta, não sendo usada. Com iguais e com igual a deve-se co-
nectar as redes de seqüência positiva e negativa em paralelo, conforme mostra a Figura 3.4. 
0aV
1 e aV V 1aI 2,aI−
 
 
Figura 3.4. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase. 
 
 Da figura 3.4, tem-se que 
 
 1
1 2
a
a
EI
Z Z
= + (3.10) 
 
 Como a falta não envolve a terra, não existe corrente para a terra. Na dedução das 
equações, encontrou-se Este resultado confirma o fato de não haver corrente no 
neutro, pois a corrente é igual a 
0 0.aI =
nI 03 .aI
 
Exemplo 3.2: Calcule as correntes e as tensões de linha subtransitórias na falta quando 
ocorre uma falta fase-fase os terminais do gerador do Exemplo 3.1. O gerador está em va-
zio e operando com tensão nominal quando a falta ocorre. 
 
 
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3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra 
 
 A Figura 3.5 mostra o circuito para uma falta entre duas fases e terra em um gerador li-
gado em Y e em vazio, com o neutro aterrado. As fases em falta são b e c. 
 
 
Figura 3.5. Diagrama para uma falta fase-fase-terra em um gerador em vazio. 
 
 As condições na falta são 
 
 (3.11) 0 0 0b cV V I= = a =
 
 Os componentes simétricos da tensão na fase a são 
 
 
0
2
1
2
2
1 1 1
1 1
3 01
a a
a
a c
V V
V a a V
V Va a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
0b
⎤⎥⎥= ⎥⎥⎦⎣ ⎦
 (3.12) 
 
o que fornece 
 
 1 2 0
1
3a a a
V V V V= = = a (3.13) 
 
 Para que os três componentes simétricos da tensão na fase a sejam iguais, os circuitos de 
seqüência do gerador devem ser conectados em paralelo, como mostra a Figura 3.6. 
 
Sistemas de Potência II 52 
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Ea
Z1
Ia1
Va1 Z2 Ia2
Va2
3Zn
Ia0
Va0
Zg0
Z0
 
Figura 3.6. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase e terra. 
 
 Da Figura 3.6, pode-se escrever que 
 
 1
2 0
1
2 0
a
a
EI Z ZZ
Z Z
= ⋅+ +
 (3.14) 
 
 O esquema de conexão das redes de seqüência mostra que a corrente de seqüência posi-
tiva é determinada pela tensão aplicada em em série com a combinação em pa-
ralelo de 
1aI aE 1Z
2 0 e .Z Z
 Na ausência de uma conexão com a terra no gerador, nenhuma corrente flui para a terra 
na falta. Neste caso, é infinita e é nula. Do ponto de vista da corrente, o resultado 
é o mesmo de uma falta fase-fase. A equação X(3.14)X, para uma falta fase-fase e terra, tende 
à equação X(3.10)X, para uma falta fase-fase, quando tende para o infinito. 
0Z 0aI
0Z
 
Exemplo 3.3: Calcule as correntes e tensões de linha subtransitória na falta quando ocorre 
um curto-circuito entre duas fases e terra nos terminais do gerador do Exemplo 3.1. O ge-
rador estava operando em vazio e com tensão nominal quando a falta ocorre. 
 
 
3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência 
 
 A Figura 3.7 mostra os três condutores do sistema trifásico na parte da rede onde ocorre 
a falta. As correntes são as correntes que saem do sistema originalmente equili-
brado para a falta, através de fios hipotéticos. 
, e a bI I Ic
 
Sistemas de Potência II 53 
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a
c
b
Ia
Ic
Ib
 
Figura 3.7. Três condutores do sistema trifásico. 
 
 As tensões de fase no local da falta serão designadas por A tensão de fase 
da fase a antes da ocorrência da falta, no local da falta, será chamada 
, e .a b cV V V
,fV que é uma ten-
são de seqüência positiva porque o sistema está equilibrado antes da ocorrência da falta. 
 Como as redes de seqüência são circuitos lineares, cada uma delas pode ser substituída 
pelo seu equivalente Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta. A fem do úni-
co gerador no circuito equivalente de Thèvenin de seqüência positiva é ,fV a tensão de fase 
pré-falta no ponto de falta. A impedância do circuito equivalente é a impedância entre 
o ponto de falta e a barra de referência na rede de seqüência positiva, com todas as fem 
curto-circuitadas. Analogamente, as impedâncias são as impedâncias entre o ponto 
de falta e a barra de referência nas redes de seqüência negativa e zero, respectivamente. 
1Z
2 e Z Z 0
 Dessa forma, a equação matricial para os componentes simétricos da tensão de falta na 
fase a é semelhante àquela para geradores em vazio, equação X(3.1)X, exceto com a substitui-
ção de por aE .fV 
 
 (3.15) 
0 0
1 1
2 2
0 0 0
0 0
0 0 0
a a
a f
a a
V Z
V V Z I
V Z
⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
0
1
2
a
I
I
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
0
 
onde correspondem às impedâncias de Thèvenin entre o ponto de falta e a 
barra de referência. 
1 2, e Z Z Z
 
 
 
Sistemas de Potência II 54 
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3.3.1. Falta entre Fase e Terra 
 
 Para uma falta fase-terra, os fios hipotéticos do sistema elétrico são conectados como 
mostra a Figura 3.8. 
 
a
c
b
Ia
Ic
Ib
 
Figura 3.8. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-terra. 
 
 As relações existentes nesta falta são 
 
 (3.16) 0 0 0b cI I V= = a =
 
 Estas relações são as mesmas que se aplicaram à falta fase-terra em um gerador em va-
zio. Assim, as relações para os componentes simétricos da corrente na fase a devem ser os