Fenômenos de Transporte I

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UNICAMP - Graduac¸a˜o
Aula 2
Fenoˆmenos de Transporte I - Prof. Dr. S.S.V. Vianna
Engenharia Qu´ımica Nome :
Fevereiro 2018 RA:
Aula 2
28/02/18
1 Introduc¸a˜o
Para que o escoamento de fluidos seja descrito de forma apropriada e´ preciso lidar com quantidades
de complexidade distinta. Algumas quantidades sa˜o definidas por apenas um componente e sa˜o
chamadas de escalares. Outras quantidades necessitam de treˆs componentes e sa˜o denominadas
vetores. Algumas outras entidades necessitam de pelo menos 9 componentes, tais como os tensores,
para que o fenoˆmeno seja completamente descrito.
2 Escalares e vetores
O escalar e´ uma quantidade que e´ completamente descrita por apenas a sua magnitude. Tal quan-
tidade e´ independente do sistema de coordenada. Como exemplo de escalares tem-se a temperatura
e a densidade de um fluido.
O vetor, todavia, conte´m uma magnitude e direc¸a˜o e pode ser completamente descrito pelos
seus componentes atrave´s de treˆs eixos de coordenadas especificados. Pode-se tomar um sistema
de coordenadas Cartesianas com treˆs eixos (1,2 e 3) conforme apresentado na Figura 1 em que as
coordenadas x1, x2 e x3, com seus respectivos vetores unita´rios e1, e2 e e3 e os respectivos eixos
perpendiculares, podem ser identificados. Cabe ainda mencionar, que os vetores unita´rios tambe´m
sa˜o comumente documentados como sendo i,j e k.
Dessa forma o vetor posic¸a˜o num sistema de coordenadas Cartesianas pode ser escrito como
sendo:
x = x1e1 + x2e2 + x3e3
em que x1,x2, e x3, sa˜o os componentes do vetor x ao longo da direc¸a˜o das respectivas coorde-
nadas.
Os componentes do vetor tambe´m podem ser representados por um ı´ndice que leva os treˆs
valores 1, 2 e 3. Como exemplo, os componentes podem ser escritos como xi em que i = 1, 2, 3.
x =
x1x2
x3

A transposta da matriz e´ definida como sendo;
xT =
(
x1 x2 x3
)
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Figure 1: Rotac¸a˜o do sistema de coordenadas
Figure 2: Rotac¸a˜o do sistema de coordenadas em duas dimenso˜es
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2.1 Rotac¸a˜o dos eixos: Definic¸a˜o formal de um vetor
O vetor pode ainda ser formalmente definido como sendo uma quantidade em que os seus compo-
nentes mudam de forma similar aos componentes de um vetor posic¸a˜o sujeito a rotac¸a˜o do sistema
de coordenadas, conforme apresentada na Figura 1.
Considere x1, x2 e x3 como sendo os eixos originais do sistema de coordenadas e x
′
1, x
′
2 e x
′
3
como os eixos do sistema rotacionado por um aˆngulo θ.
Definindo-se o coseno do aˆngulo entre o eixo i do antigo sistema de coordenadas e j do novo
sistema de coordenadas como Cij a seguinte relac¸a˜o pode ser escrita para o novo sistema de coor-
denadas.
x′1 = x1C1,j + x2C2,j + x3C3,j =
3∑
i=1
xiCi,j
Similarmente tem-se
x1 = x
′
1Ci,1 + x
′
2Ci,2 + x
′
3Ci,3 =
3∑
j=1
xiCi,j
3 Tensor de segunda ordem
No estudo de mecaˆnica dos fluidos, os escalares e vetores na˜o sa˜o suficientes para a completa
descric¸a˜o do escoamento. De fato, entidades f´ısicas como as tenso˜es ocorrem em fluidos e podem
ser compreendidas como forc¸a˜ por unidade de a´rea.
Nesse sentido, definindo-se T como tensa˜o tem-se algo como T = f/A, em que f e´ uma forc¸a e
A e´ uma a´rea. Sendo f e A vetores, a quantidade T na˜o esta´ definida.
Necessita-se de uma entidade em que duas direc¸o˜es esta˜o associadas. Uma relativa a a´rea e
outra relativa a forc¸a.
De fato, faz-se necessa´rio a especificac¸a˜o de 9 componentes para que T seja especificada em um
sistema de refereˆncia, correspondendo as 9 combinac¸o˜es dos dois vetores base.
Ale´m disso, a exemplo do que foi discutido com os vetores, essa quantidade deve mudar apropri-
adamente quando o sistema de refereˆncia for modificado. Dessa forma, os respectivos componentes
devem mudar adequadamente.
Assim, a tensa˜o em um ponto e´ completamente especificada por 9 componentes τij que pode
ser escrito na forma matricial da seguinte maneira:
τ =
τ11 τ12 τ13τ21 τ22 τ23
τ31 τ32 τ33

A especificac¸a˜o dos 9 componentes anteriores de uma tensa˜o em uma superf´ıcie paralela ao eixo
de coordenadas determina o estado de tensa˜o em um ponto, uma vez que a tensa˜o em qualquer
plano arbitra´rio pode ser determinada. Para tal, basta rotacionar o sistema de coordenadas a
exemplo do que foi feito quando definiu-se os vetores. A Figura 3 ilustra as tenso˜es normais e de
cisalhamento nas faces de um cubo hipote´tico.
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Figure 3: Campo de tenso˜es num ponto. Componentes normais e de cisalhamento
4 Delta de Kronecker
O delta de Kronecker e´ definido como
δij = 1
se i = j e como
δij = 0
se i 6= j.
Na forma matricial tem-se
δ =
1 0 00 1 0
0 0 1

Um exemplo de aplicac¸a˜o do delta de Kronecker a´ apresentado a seguir na representac¸a˜o do
componente de um vetor. De fato, para um ı´ndice que se repete, o operador substitui o ı´ndice pelo
ı´ndice do delta de Kronecker.
δijaj = δi,1a1 + δi,2a2 + δi,3a3 = ai
Uma outra notac¸a˜o que tem devida importaˆncia, principalmente para o estudo da taxa de tensa˜o
de deformac¸a˜o e rotac¸a˜o, e´ o s´ımbolo �i,j,k definido como sendo:
�i,j,k =

0 se qualquer i, j, k sa˜o similares
1 se i, j, k=123,231 ou 321 (ordem c´ıclica)
−1 se i, j, k=321,213 ou 132 (ordem ant-c´ıclica)
Dado o vetor ω e o tensor anti-sime´trico Ω a seguir
ω =
∣∣∣∣∣∣
ω1
ω2
ω3
∣∣∣∣∣∣
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Ω =
∣∣∣∣∣∣
0 ω3 − ω2
−ω3 0 ω1
ω2 − ω1 0
∣∣∣∣∣∣
tem-se que:
Ωi,j = �i,j,kωk
5 Produto escalar
O produto escalar de dois vetores u e v e´ definido como um escalar da seguinte forma;
u · v = v · u = u1v1 + u2v2 + u3v3 = uivi
Visto que u · v = uvcos(θ), em que θ, e´ o aˆngulo formado entre os dois vetores, e u e v sa˜o as
magnitudes dos vetores u e v, o produto escalar e´ a magnitude de um vetor vezes o componente
do outro vetor na direc¸a˜o do primeiro.
Cabe ainda mencionar que o produto escalar u · v e´ a soma dos termos da diagonal do tensor
uivi .
6 Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores u e v e´ definido como um vetor w de magnitude u v sen(θ)
em que θ e´ o aˆngulo formado entre os vetores e cuja direc¸a˜o e´ perpendicular e segue a regra da ma˜o
direita.
O produto vetorial pode ser escrito a partir do determinante da matriz abaixo:
u× v =
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
7 Operador ∇: Gradiente, divergente e rotacional
O vetor operador nabla e´ definido como:
∇ = ∂
∂x
e1 +
∂
∂y
e2 +
∂
∂z
e3
Quando aplicado a um escalar φ (func¸a˜o da posic¸a˜o) gera o vetor;
∇φ = ei ∂φ
∂xi
O vetor ∇φ e´ chamado o gradiente de φ
O divergente do vetor u e´ definido como sendo:
∇ · u ≡ ∂ui
∂xi
=
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
Ainda podemos generalizar e definir o divergente de um tensor de segunda ordem como um
vetor em que o componente i e´ definido como:
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(∇ · τ)i = ∂τij
∂xj
Ana´lise da operac¸a˜o do divergente evidencia que essa operac¸a˜o reduz a ordem do
tensor de uma unidade. Por outro lado, o gradiente aumenta a ordem do tensor de
uma unidade.
O rotacional do campo vetorial u e´ definido como ∇× u e pode ser escrito como;
∇× u =
(
∂ui
∂xj
− ∂uj
∂xi
)
com os treˆs componentes (
∂u3
∂x2
− ∂u2
∂x3
)
(
∂u1
∂x3
− ∂u3
∂x1
)
(
∂u2
∂x1
− ∂u1
∂x2
)
Um campo vetorial e´ dito solenoidal se ∇ · u = 0 e irrotacional se ∇× u = 0
8 Leitura adicional
• Kundu P.K. e Cohen I.M Fluid Mechanics, 4th Ed. Academic Press, 2008. Cap 2.
• R. Aris Vectors, Tensors and the basic equations of fluid mechanics. 1 ed. Dover 1989. Cap
2.
	Introdução
	Escalares e vetores
	Rotação dos eixos: Definição formal de um vetorTensor de segunda ordem
	Delta de Kronecker
	Produto escalar
	Produto vetorial
	Operador : Gradiente, divergente e rotacional
	Leitura adicional