Métodos matemáticos aplicados a Engenharia Química

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Universidade Federal do Paraná � UFPR
Departamento de Engenharia Quími
a
Métodos Matemáti
os Apli
ados à
Engenharia Quími
a I
Prof. Éliton Fontana
2018/1
2
Este material foi desenvolvido 
omo 
omplemento para a dis
iplina de Métodos Matemáti
os
Apli
ados à Engenharia Quími
a I. Devido à falta de atenção ou de 
onhe
imento do autor, even-
tuais erros podem estar presentes ao longo do texto.
Diversos autores serviram de base para a elaboração deste material, sendo em muitos 
asos
tre
hos e exer
í
ios 
opiados de forma direta. Infelizmente, ao longo do desenvolvimento estas
referên
ias se perderam no tempo 
omo lágrimas na 
huva... De qualquer forma gostaria de desta
ar
alguns livros que foram fundamentais para o material apresentado a seguir:
ˆ W. E. Boy
e e R. C DiPrima (Equações Diferen
iais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno): Sem dúvida o mais utilizado. Ex
elente material para ini
iar o estudo de
equações diferen
iais, além de 
obrir prati
amente todos os tópi
os da dis
iplina.
ˆ E. Kreyszig (Advan
ed Engineering Mathemati
s), A. Je�rey (Advan
ed Engineering Mathe-
mati
s) e M. D. Greenberg (Advan
ed Engineering Mathemati
s): três livros 
om o mesmo
título, mas 
om abordagens diferen
iadas. Apresentam os tópi
os de forma mais resumida,
om ex
elentes exer
í
ios (em parti
ular o Kreyszig).
3
Conteúdo
1. Con
eitos Bási
os e Campo de Direções 8
1.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Classi�
ação das Equações Diferen
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Equações Diferen
iais Ordinárias (EDO) e Par
iais (EDP) . . . . . . 9
1.2.2. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5. Coe�
ientes 
onstantes e variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Campo de Direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Modelagem de Sistemas Físi
os 19
2.1. Modelos Matemáti
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Cres
imento Popula
ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Equação Logísti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Equações Diferen
iais Ordinárias de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Apli
ações de EDO's de 1ª Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Existên
ia e Uni
idade para EDO's de 1
a
Ordem 35
3.1. EDO's de 1
a
Ordem Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Teorema da Existên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Teorema da Uni
idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Métodos de Resolução de EDO's de 1
a
Ordem 42
4.1. Método do Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.1. Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
5. Reta de Fases e Bifur
ações 50
5.1. Equações Aut�nomas e Reta de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.1. Reta de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Bifur
ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Introdução às EDO's de 2
a
Ordem 61
6.1. Equações Diferen
iais Ordinárias de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1. Redução de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.2. Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2. Equações Lineares Homogêneas 
om Coe�
ientes Constantes . . . . . . . . . 65
6.3. Soluções Fundamentais de Equações Lineares Homo- gêneas . . . . . . . . . 66
7. Equação Cara
terísti
a de EDO's de 2
a
Ordem 74
7.1. Equação Cara
terísti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.1. Equação Cara
terísti
a 
om Raízes Reais e Distintas . . . . . . . . . 74
7.1.2. Equação Cara
terísti
a 
om Raízes Complexas . . . . . . . . . . . . . 76
7.1.3. Equação Cara
terísti
a 
om Coe�
ientes Repetidos . . . . . . . . . . 77
7.2. Equações Não-Homogêneas: Método dos Coe�
ientes Indeterminados . . . . 78
7.2.1. Somatório de funções distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8. Introdução às Séries de Potên
ia 87
8.1. Séries de Potên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2. Raio de Convergên
ia de Séries de Potên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3. Expansão em Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9. Solução de EDO's por Séries de Potên
ia 95
9.1. Solução em Séries de Potên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.Problemas de Autovalor e Séries de Fourier 107
10.1. Problemas de Valor de Contorno e de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.1.1. Problemas de Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2. Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.2.1. Fórmulas de Euler-Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.2.2. Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5
11.Método de Separação de Variáveis 116
11.1. Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.1.1. Resolução do Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . 118
11.1.2. Resolução do Problema de Valor Ini
ial . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1.3. Superposição das Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1.4. Solução Parti
ular da Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.2. Equação de Lapla
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.Introdução à Transformada de Lapla
e 129
12.1. Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.1.1. Integrais 
om Intervalos In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.2. Existên
ia da Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3. Linearidade da Transformada de Lapla
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4. Deslo
amento na Frequên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.5. Transformada de Lapla
e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.Resolução de EDO's 
om a Transformada de Lapla
e 142
13.1. Transformada de Derivadas e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.1.1. Resolução de Problemas de Valor Ini
ial . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.2. Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.2.1. Propriedades da Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.3. Funções de Transferên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13.3.1. Ganho da Função de Transferên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.3.2. Pólos e Zeros da FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.EDO's 
om Forçamentos Des
ontínuos 158
14.1. Função Degrau e Deslo
amento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.1.1. Deslo
amento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.2. Função Delta de Dira
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 162
14.3. EDO's 
om Forçamentos Des
ontínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Appendi
es 169
A. Integrais Impróprias 170
A.1. Integrais 
om Intervalos In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6
A.2. Integrais 
om dois intervalos in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.3. Intervalos de integração 
ontendo des
ontinuidades . . . . . . . . . . . . . . 174
A.4. Teste de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B. Introdução ao Wolfram Mathemati
a 183
B.1. Uma Visão Geral Sobre o Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.1.1. Comandos Bási
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.1.2. O Bási
o Sobre Comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.1.3. Funções Trigonométri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.1.4. Exer
í
ios Propostos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2. Construindo e Visualizando Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2.1. Visualização Grá�
a de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B.2.2. Exer
í
ios Propostos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
B.3. Manipulação Algébri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.3.1. Fatorando e Expandindo Polin�mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.3.2. En
ontrado Raízes 
om a Função FindRoot . . . . . . . . . . . . . . 194
B.3.3. Exer
í
ios Propostos III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.3.4. Resolvendo Equações 
om os Comandos Solve e NSolve . . . . . . . . 196
B.3.5. Resolvendo Sistemas de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.3.6. Exer
í
ios Propostos IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
C. Resolução de ED's 
om o Mathemati
a 201
C.1. Equações Diferen
iais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
C.1.1. EDO's 
om Solução Analíti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
C.1.2. Exer
í
ios Propostos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
C.1.3. EDO's 
om Solução Numéri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
C.1.4. Exer
í
ios Propostos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
C.2. Equações Diferen
iais Par
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
C.2.1. EDP's 
om Solução Analíti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
C.2.2. Exer
í
ios Propostos III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
C.2.3. EDP's 
om Solução Numéri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
C.2.4. Exer
í
ios Propostos IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7
1. Con
eitos Bási
os e Campo de
Direções
1.1. Introdução
Uma equação algébri
a representa uma igualdade entre duas funções, podendo 
onter uma
ou mais variáveis des
onhe
idas. A resolução de equações algébri
as impli
a em en
ontrar
os valores que satisfaçam a igualdade. Por exemplo:
z3 + z = 2 y2 + x2 = 1
Pode-se determinar valores de x, y e z que satisfaçam as igualdades.
Uma equação diferen
ial envolve alguma igualdade entre termos 
ontendo a derivada de
uma ou mais funções des
onhe
idas em relação a uma ou mais variáveis. A resolução das
equações diferen
iais 
onsiste em en
ontrar as funções que satisfaçam a igualdade. Por
exemplo:
dy
dx
+ 3x = 1
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
= 0
A solução da primeira equação diferen
ial será da forma y = f(x) e da segunda será da
forma T = f(x, y). Assim 
omo para as equações algébri
as, uma equação diferen
ial ou um
sistema de equações diferen
iais pode não possuir solução, possuir solução úni
a ou possuir
várias soluções.
Uma equação diferen
ial 
ontém variáveis dependentes e variáveis independentes.
As variáveis dependentes representam as funções que possuem derivadas presentes na equa-
ção, enquanto que as variáveis independentes representam em relação ao quê estas derivadas
são avaliadas.
Por exemplo, 
onsidere a seguinte equação diferen
ial:
dy
dt
= 3y + t
8
Esta equação possui uma variável dependente (y) e uma independente (t). Assim, a solução
da equação será uma função do tipo y = y(t). Uma mesma equação pode possuir diversas
variáveis depententes e independentes. Normalmente, as variáveis dependentes representam
quantidades físi
as que se deseja determinar, 
omo por exemplo a temperatura de um sis-
tema, velo
idade, 
on
entração de espé
ies quími
as, indivíduos em uma população, et
. Em
ontrapartida, as variáveis independentes mais 
omuns em problemas de engenharia são o
tempo e as 
oordenadas espa
iais.
As equações diferen
iais 
om formato similar à equação anterior podem ser expressas 
omo:
dy
dt
= f(t, y)
A prin
ípio, pode-se imaginar que esta equação não possui solução, já que se trata de uma
úni
a equação 
om duas variáveis y e t. No entanto, deve-se lembrar que y é uma função de
t, ou seja, y depedende de t (por isso é 
hamada de variável dependente). Em muitos 
asos,
é 
onveniente expli
itar esta dependên
ia, es
revendo a relação anterior 
omo:
dy
dt
= f(t, y(t))
Considere agora a seguinte equação:
∂T
∂t
= α
∂2T
∂x2
onde α é uma 
onstante. Neste 
aso, a equação possui uma variável dependente (T ) e duas
independentes (t e x). A solução será uma função de duas variáveis do tipo T = f(t, x). A
onstante α atua 
omo um parâmetro da equação.
1.2. Classi�
ação das Equações Diferen
iais
As equações diferen
iais são 
lassi�
adas de a
ordo 
om suas 
ara
terísti
as. Esta 
lassi-
�
ação é essen
ial para a determinação dos métodos de análise mais adequados para 
ada
equação.
1.2.1. Equações Diferen
iais Ordinárias (EDO) e Par
iais (EDP)
Quando a função des
onhe
ida depende somente de uma variável independente a equação
é 
hamada de Equação Diferen
ial Ordinária (EDO). Por exemplo:
4
d2y
dt2
+ sin(t)
dy
dt
= et
9
De forma genéri
a, uma EDO pode ser expressa 
omo:
f(t, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
Caso a variável dependente dependa de duas ou mais variáveis, a equação é 
lassi�
ada
omo Equação Diferen
ial Par
ial (EDP). Por exemplo:
∂T
∂t
= α2
∂2T
∂x2
1.2.2. Ordem
A ordem de uma equação diferen
ial é a ordem da derivada de maior ordem que apare
e
na equação. Por exemplo:
d2y
dt2
= 0 segunda ordem
dy
dt
+ y3 = 0 primeira ordem
A ordem da equação não está rela
ionada 
om a maior potên
ia na qual a variável está
elevada.
1.2.3. Linearidade
Uma equação algébri
a é dita linear quando pode ser es
rita da forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . anxn + b = 0
ou seja, quando as variáveis x1, x2, . . . xn não apare
em em termos não-lineares.
De forma semelhante, a equação diferen
ial ordinária
F (t, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
é dita linear se F é uma função linear em relação à variável dependente e suas derivadas
(y, y′, y′′, . . . , y(n)).
Isto impli
a que uma EDO linear pode ser es
rita da forma:
an(t)
dny
dtn
+ an−1(t)
d(n−1)y
dt(n−1)
+ . . .+ a0(t)y = g(t)
ou seja, a variável y ou suas derivadas não estão presentes em termos não-lineares, 
omo
por exemplo produto entre a variável e as derivadas, yn 
om n 6= 1 e funções não lineares
10
ontendo a variável y (funções trigonométri
as, exponen
ial, et
.). A variável independente
(t) pode estar presente em termos não-lineares. Exemplos de equações lineares:
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = 0
dy
dt
+ t2y = sin(t)
dy
dt
− yet = 0
Quando as equações não podem ser expressas da forma apresentada anteriormente são
onsideradas não-lineares. As equações difereniais não-lineares possuem em geral uma re-
solução muito mais 
omplexa e por isso são mais difí
eis de serem avaliadas analiti
amente.
Exemplos de equações não-lineares:
dy
dt
+ y2 = 0 y
dy
dt
= t
d2y
dt2
= sin(y)
dy
dt
+ tey = 0
De forma similar, uma EDP é dita não-linear quando possui algum termo não linear
envolvendo qualquer variável dependente.
As EDO's lineares ainda podem ser divididas em outras 
ategorias que são utilizadas para
fa
ilitar a es
olha dos métodos de solução:
1.2.4. Homogeneidade
Uma equação diferen
ial do tipo
F (t, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
é homogênea quando o termo asso
iado somente à variável independente é nulo. Na forma
apresentada anteriormente para as EDO's lineares, a equação é homogênea quando g(t) = 0.
Caso algum termo diferente de zero não estiver multipli
ado pela variável dependente (y) ou
alguma de suas derivadas, a equação é dita não-homogênea;
1.2.5. Coe�
ientes 
onstantes e variáveis
Esta 
lassi�
ação 
ostuma ser empregada somente para EDO's. Na expressão para uma
EDO genéri
a vista anteriormente, os 
oe�
ientes an(t), an−1(t)...a0(t) podem ser funções
onhe
idas da variável independente t. No entanto, 
aso estes 
oe�
ientes sejam 
onstantes
(não dependam de t) a equação é 
onhe
ida 
omo EDO 
om 
oe�
ientes 
onstantes, 
aso
ontrário é 
hamada de EDO 
om 
oe�
ientes variáveis.
11
Uma 
lasse de equações muito importante nas 
iên
ias exatas são as equações aut�nomas.
Estas equações surgem quando a variável independente não apare
e de forma explí
ita na
equação.
12
Exer
í
io 1: Classi�que as seguintes equações diferen
iais de a
ordo 
om os 
ritérios
vistos anteriormente:
a)
dy
dt
= t2y + 2 b)
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y = 0
c)
dy
dt
= y2(1 + t) d)
d3y
dt3
= 2
dy
dt
+ ty + et
Exer
í
io 2: Es
reva a forma geral para uma equação diferen
ial 
om as seguintes 
a-
ra
terísti
as:
a) EDO de primeira ordem linear;
b) EDO de segunda ordem;
) EDO de segunda ordem linear, não-homogênea e 
om 
oe�
ientes variáveis.
1.3. Campo de Direções
Do ponto de vista geométri
o, a derivada de uma função y(t) representa a in
linação da
reta tangente à função em 
ada ponto. Considere uma equação de primeira ordem do tipo:
dy
dt
= f(y, t)
A prin
ípio, as soluções y(t) da equação diferen
ial não são 
onhe
idas. Porém, sabe-se que
a in
linação da reta tangente à solução em qualquer ponto (t1, y1) vai ser f(y1, t1), já que
este é o valor da derivada neste ponto.
O 
ampo de direções é 
onstruído 
al
ulando-se f(y, t) para diversos pontos em um inter-
valo de y e t. Em 
ada ponto, desenha-se uma reta (ou seta) 
ujo 
oe�
iente angular é o
valor de f(y, t) naquele ponto.
Por exemplo, 
onsidere a equação:
dy
dt
= y + t
Avaliando a in
linação da reta tangente para diversos valores de y e t no intervalo de -2 a
2 para as duas variáveis, obtém-se o 
ampo de direções apresentado a seguir.
13
O 
omando utilizado para plotar o 
ampo de direções anterior no Mathemati
a foi o
seguinte:
É importante observar que para 
onstruir o 
ampo de direções, não é pre
iso resolver a
equação diferen
ial, bastando avaliar f(y, t) em diversos pontos.
Como a derivada de y(t) representa a in
linação da reta tangente à função em um dado
ponto, as retas traçadas no 
ampo de direções devem ser tangentes às soluções y(t). Assim,
avaliando-se para um número muito grande de pontos, pode-se obter as soluções da equação
diferen
ial que passam por um determinado ponto, o que impli
a que o 
ampo de direções
de uma equação diferen
ial é uma representação grá�
a da trajetória das soluções desta
equação.
Como pode ser visto, existem in�nitos 
aminhos ao longo do 
ampo de direções, portanto,
existem in�nitas possíveis soluções. Normalmente, a resolução de problemas 
om interesse
físi
o envolve a espe
i�
ação de uma solução em parti
ular que atenda a uma 
ondição
espe
í�
a. Por exemplo, se y representa a 
on
entração de uma determinada espé
ie em um
reator, sabe-se que em algum instante ini
ial esta 
on
entração deve 
orresponder a um valor
onhe
ido (valor presente na 
orrente de alimentação, por exemplo). Portanto, a solução que
se está bus
ando, além de satisfazer as equações que des
revem o pro
esso, deve satisfazer
uma 
ondição ini
ial espe
í�
a, ou seja, deve passar por um ponto (t0, y0) 
onhe
ido.
14
O 
onjunto de uma equação diferen
ial 
om uma 
ondição ini
ial espe
í�
a é 
hamado de
Problema de Valor Ini
ial (PVI), podendo ser expresso de forma geral 
omo:
dy
dt
= f(t, y) y(t0) = y0
Considere novamente o exemplo anterior:
dy
dt
= y + t
Porém, suponha que se deseja obter uma solução que satisfaça a 
ondição y(0) = y0, onde
y0 ∈ ℜ. Pode-se bus
ar no 
ampo de direções a trajetória que passa por este ponto e traçar
a solução 
orrespondente. Na �gura a seguir são ilustrados os 
asos para y0 = 1, y0 = 0 e
y0 = −1.
Quando a equação diferen
ial é da forma dy/dx = f(y) (equação aut�noma), o 
ampo
de direção será 
omposto por retas paralelas ao longo do eixo x, enquanto que quando
dy/dx = f(x), o 
ampo será 
omposto por retas paralelas em y, 
omo ilustrado nos exemplos
a seguir.
15
Exemplo 2: Faça um esboço do 
ampo de direções das seguintes Equações Diferen
iais
e determine o valor da solução 
onforme t→∞:
a)
dy
dt
= t
b)
dy
dt
= 2y − 3
c)
dy
dt
= sin(t)
d)
dy
dt
= et
16
Lista de Exer
í
ios 01 - Classi�
ação e Campo de Direções
1) Classi�que as seguintes equações diferen
iais em relação ao tipo (ordinária ou pari
al),
ordem, linearidade e homogeneidade.
a)
dy
dt
= y2 − t
b)
dy
dt
= e2/y
c)ey
dy
dt
+ t2y2 = 0
d)
dy
dt
+
y
t2
= 2te1/t
e)
∂y
∂t
+
∂2y
∂x2
= 5y
f)
dy
dx
=
2 + y
1 + x
g)x2
∂2y
∂t2
+ t2
∂2y
∂x2
= 0
h)
dy
dx
= eix + 2
2) Faça um esboço do 
ampo de direções das seguintes equações diferen
ias e determine o
omportamento das equações 
onforme t→∞. Caso este 
omportamento dependa do valor
ini
ial de y, espe
i�que 
omo é esta dependên
ia.
a)
dy
dt
=
1
t
R: y(t→∞)→ −∞, t0 < 0, y(t→∞)→∞, t0 > 0
b)
dy
dt
= cos(y)
R: y(t→∞)→ pi/2, −pi/2 < y0 < 3pi/2, y(t→∞)→ −3pi/2, −2pi < y0 < −3pi/2, . . .
c)
dy
dt
= y2 + 1
R: y(t→∞)→∞
d)
dy
dt
= t2
R: y(t→∞)→∞
3) Utilizando algum software espe
í�
o, 
onstrua o 
ampo de direções para as equações a
seguir e determine o 
omportamento das equações 
onforme x → ∞. Caso este 
omporta-
mento dependa do valor ini
ial de y, espe
i�que 
omo é esta dependên
ia.
a)
dy
dx
= ex−y
R: y(x→∞)→∞
17
b)
dy
dx
= xy
R: y(x→∞)→ −∞, x0 < 0, y(x→∞)→∞, x0 > 0
c)
dy
dx
= xy2
R: y(x→∞)→ 0, y0 < 0, y(x→∞)→∞, y0 > 0
d)
dy
dx
= cos(x+ y)
R: y(x→∞)→ −∞
4) Asso
ie os 
ampos de direções forne
idos na sequên
ia 
om alguma das seguintes EDO's.
Faça uma breve justi�
ativa da es
olha. Di
a: Avalie o sinal da derivada em 
ada quadrante
(positivo/negativo) e a existên
ia de pontos onde o 
ampo é horizontal (ou seja, dy/dx = 0).
1)
dy
dx
= x+ 1
2)
dy
dx
= y + 1
3)
dy
dx
= x2 − y2
4)
dy
dx
= xy
5)
dy
dx
= y − 1
6)
dy
dx
= x2 + y2
R: (a) Eq. 2, (b) Eq. 4, (
) Eq. 1, (d) Eq. 6
18
2. Modelagem de Sistemas Físi
os
2.1. Modelos Matemáti
os
Um modelo matemáti
o de um determinado pro
esso físi
o é uma des
rição deste pro
esso
através de um 
onjunto de equações (algébri
as e/ou diferen
iais). Os modelos matemáti
os
podem ser usados para prever o 
omportamento do sistema estudado.
Os modelosde problemas na engenharia envolvem prin
ípios de 
onservação ou leis físi
as
onhe
idas que des
revem 
omo alguma variável dependente varia em função de uma ou
mais variáveis independentes. Por exemplo, pode-se apli
ar os prin
ípios de 
onservação de
energia para determinar 
omo a temperatura varia ao longo do 
omprimento de um material.
Conhe
endo-se 
ondições em fronteiras espe
í�
as, pode-se determinar a temperatura em
qualquer ponto do sistema.
A 
onstrução de modelos matemáti
os é uma parte fundamental em diversas áreas do
onhe
imento além da engenharia, 
omo por exemplo na biologia, meteorologia, e
onomia,
iên
ias da 
omputação, 
iên
ias so
iais, et
. Devido ao avanço na 
apa
idade 
omputa
ional
o
orrido nos último anos, a utilização de modelos matemáti
os tem se tornado 
ada vez mais
ne
essária.
Para ilustrar a utilização e a análise de modelos matemáti
os, a seguir será 
onsiderado
o exemplo de modelos utilizados para des
rever 
res
imento popula
ional. Para fa
ilitar
a 
ompreensão, serão 
onsiderados modelos que des
revem o 
res
imento de populações de
animais, porém, estes modelos são amplamente utilizados em diversas outras áreas, 
omo por
exemplo para des
rever a variação de uma população de molé
ulas 
om um determinado peso
mole
ular em um sistema poliméri
o, a população de ba
térias em sistemas fermentativos, a
população de bolhas 
om um determinado tamanho em sistemas líquido/gás, et
.
19
2.1.1. Cres
imento Popula
ional
Para ini
iar o estudo das equações diferen
iais, vamos 
onsiderar alguns modelos simpli-
�
ados para des
rever a variação no número de indivíduos de uma população ao longo do
tempo.
A derivada de uma variável y em relação a uma variável x (dy/dx) indi
a 
omo y varia
em relação a x. Considere o 
aso onde deseja-se saber 
omo uma população de p ratos em
uma área rural varia ao longo de t meses. A taxa de variação será:
[taxa de variação] =
dp
dt
=
[
ratos
mês
]
Vamos supor que, na ausên
ia de predadores, os ratos se reproduzam numa taxa propor
io-
nal ao número de indivíduos na população (quanto mais ratos, maior a taxa de 
res
imento):
dp
dt
∼ p
Esta relação pode ser transformada em uma igualdade 
om o uso de uma 
onstante de
propor
ionalidade r > 0:
dp
dt
= rp
Segundo esta equação, a taxa de 
res
imento de uma população ini
ial p0 será sempre
positiva, sendo que no limite onde t → ∞, p → ∞, ou seja, a população de ratos tende ao
in�nito. Felizmente, este modelo não representa adequadamente a variação na população de
ratos para longos períodos de tempo, pois eventualmente irão o
orrer limitações de espaço
ou re
ursos que farão 
om que a população pare de 
res
er ou passe a 
res
er 
om uma taxa
menor. No entanto, este modelo (
hamado de modelo Malthusiano) des
reve muito bem o
res
imento ini
ial de populações pequenas.
Vamos 
onsiderar agora um modelo (um pou
o) mais realista. Suponha que nesta área
rural existam 
orujas que matam 15 ratos por dia (ou 450 ratos por mês) e que r = 0.5mês−1.
Assim, o modelo pode ser rees
rito 
omo:
dp
dt
= 0.5p− 450
Neste 
aso, a taxa de 
res
imento é representada por uma reta, 
omo ilustrado na �gura
a seguir.
20
Quando dp/dt < 0, a população irá diminuir 
om o tempo e quando dp/dt > 0, a população
irá aumentar 
om o tempo. O 
aso onde dp/dt = 0 é espe
ialmente importante pois repre-
senta o ponto onde a população está em equilíbrio. Os valores de p onde dp/dt = 0 ∀t são
hamados de pontos de equilíbrio (também 
onhe
idos 
omo pontos �xos) e representam
situações onde a população não diminui nem aumenta ao longo do tempo.
Campo de Direções
Considere a equação diferen
ial apresentada anteriormente:
dp
dt
= 0.5p− 450
Neste 
aso, a função do lado direito depende somente de p e pode ser expressa 
omo f(p) =
0.5p − 450. Para traçar o 
ampo de direções, é interessante primeiramente determinar os
pontos de equilíbrio (pontos onde f(p) = 0):
f(p) = 0 → 0.5p− 450 = 0 → p = 900
Os pontos de equilíbrio 
orrespondem à linhas horizontais no 
ampo de direções. Assim, em
p = 900 o 
ampo de direções é horizontal.
Avaliando valores de p próximos a 900, pode-se determinar a in
linação no 
ampo de
direções para 
ada ponto. Como a equação é uma equação aut�noma, a in
linação é a
mesma para todos os valores de t. Por exemplo:
p = 850 → f(p) = −25 p = 800 → f(p) = −50
p = 950 → f(p) = 25 p = 1000 → f(p) = 50
Com isso, pode-se 
onstruir o 
ampo de direções apresentado na �gura a seguir.
21
De modo geral, pode-se observar que para valores de p < 900 a população de ratos de
res
e
e para valores de p > 900 a população aumenta, sendo que a taxa de aumento/diminuição
aumenta 
onforme de distan
ia de p = 900.
2.1.2. Equação Logísti
a
A equação logísti
a é um modelo de 
res
imento popula
ional que assume que a taxa de
res
imento relativa de
res
e linearmente 
onforme a população aumenta. O termo �relativo�
representa o valor por membro da população:
[Taxa de 
res
imento relativa] =
1
p
dp
dt
de modo que a equação logísti
a pode ser representada 
omo:
1
p
dp
dt
= k −mp
O 
oe�
iente m 
orresponde à in
linação da reta:
m =
k − 0
N − 0 =
k
N
Assim:
1
p
dp
dt
= k − N
k
p → dp
dt
= kp− k
N
p2 → dp
dt
= kp
(
1− p
N
)
a 
onstante k é 
hamada de taxa de 
res
imento intrínse
o e leva em 
onta a taxa de 
res-
imento na ausên
ia de fatores limitantes (diferença entre nas
imento e morte, imigração e
emigração, et
.) e a 
onstante N é 
hamada de 
apa
idade de suporte logísti
o.
22
O lado direito da equação logísti
a é uma parábola em relação à variável p. Avaliando os
pontos �xos da equação:
dp
dt
= 0 = kp
(
1− p
N
)
→ p1 = 0 p2 = N
Assim, observa-se que a 
apa
idade de suporte representa um ponto �xo da equação. Pelo
grá�
o, pode-se observar que a taxa de 
res
imento só é positiva no intervalo 0 < p < N ,
sendo negativa para valores de p > N .
Exemplo 01) Considere que a equação logísti
a é empregada para modelar o 
res
imento
da população de ratos dis
utida anteriormente.
(a) Assumindo que k = 1mês−1 e que N = 900 ratos, faça o grá�
o de dp/dt vs p e um
esboço do 
ampo de direções.
Como visto anteriormente, neste 
aso os pontos de equilíbrio 
orresponde a p = 0 e p = N .
23
(b) Considere que 200 ratos são 
açados por mês. A
res
ente este termo na equação
logísti
a, faça o grá�
o de dp/dt vs p e um esboço do 
ampo de direções resultante.
En
ontrando os novos pontos de equilíbrio:
dp
dt
= p
(
1− p
900
)
−200 = 0 → 180000 = p(900−p) → −p2+900p−180000 = 0
De onde se obtém que:
p1 = 300 p2 = 600
(
) Considere agora que 250 ratos são 
açados por mês. A
res
ente este termo na equação
logísti
a, faça o grá�
o de dp/dt vs p e um esboço do 
ampo de direções resultante.
Neste 
aso, a equação logísti
a pode ser es
rita 
omo:
dp
dt
= p
(
1− p
900
)
− 250 = 0
Esta equação não possui raízes reais e é menor que zero para qualquer valor de p. Assim,
quando 250 ratos são 
açados por mês, a população de ratos irá inevitavelmente diminuir e
desapare
er 
om o tempo.
24
2.2. Equações Diferen
iais Ordinárias de Primeira Ordem
As equações diferen
iais de primeira ordem podem ser expressas 
omo:
dy
dt
= f(y, t)
Não existe um método geral que possa ser apli
ado para resolver esta equação para qual-
quer função f(y, t), mas existem métodos apli
áveis para determinadas sub
lasses. Em
muitos 
asos, a equação pode ser resolvida por integração direta.
A solução geral das EDO's de primeira ordem irá sempreonter 1 
onstante a ser de-
terminada. Caso alguma 
ondição seja espe
i�
ada para a determinação desta 
onstante,
omo por exemplo o valor da variável dependente para algum valor espe
í�
o da variável
independente, 
hama-se o 
onjunto da equação mais a 
ondição de problema de Problema
de Valor Ini
ial (PVI) e a solução obtida de solução parti
ular.
A 
lasse mais simples de EDO's de primeira ordem são as equações separáveis, que podem
ser resolvidas por integração direta.
2.2.1. Equações Separáveis
Em muitos 
asos, as equações diferen
iais de primeira ordem podem ser es
ritas da forma:
g(y)
dy
dx
= f(x)
Nesta forma, pode-se integrar ambos os lados da equação em relação a x:∫
g(y)
dy
dx
dx =
∫
f(x)dx
Como (dy/dx) ∗ dx = dy, tem-se que:∫
g(y)dy =
∫
f(x)dx
25
Se as funções g(y) e f(x) forem 
ontínuas, então as integrais podem ser avaliadas e pode-se
obter uma solução geral para a equação diferen
ial. Este método de solução é 
hamado de
separação de variáveis e a equação diferen
ial é 
hamada de equação separável, pois pode-se
separar a variável dependente e a independente em lados distintos da igualdade.
Exemplo 02-a: En
ontre a solução geral para a equação empregada anteriormente para
des
rever a variação na população de ratos do 
ampo:
dp
dt
= 0.5p− 450
Esta é uma EDO linear aut�noma que pode ser separada 
omo:
dp
p− 900 =
dt
2
Integrando os dois lados da equação:∫
dp
p− 900 =
∫
dt
2
O termo do lado esquerdo pode ser resolvido fazendo u = p− 900. Assim:
ln |p− 900|+ c1 = t
2
+ c2
As duas 
onstantes de integração podem ser agrupadas:
ln |p− 900| = t
2
+ c
Apli
ando a função exponen
ial em ambos os lados:
p− 900 = et/2+c = ecet/2
Como c é uma 
onstante, ec também é 
onstante. Assim, a solução geral da equação pode
ser es
rita 
omo:
p(t) = 900 + cet/2
Exemplo 02-b: Obtenha a solução parti
ular para as 
ondições ini
iais (em t = 0)
p = 950 e p = 850. Avalie o 
omportamento de p 
onforme t→∞ e 
ompare 
om a análise
do 
ampo de direções.
Considerando a 
ondição ini
ial p(0) = 950:
950 = 900 + ce0 → c = 950− 900 = 50
26
Assim, a solução parti
ular será:
p900 = 900 + 50e
t/2
Para a 
ondição ini
ial p(0) = 850:
850 = 900 + ce0 → c = 850− 900 = −50
A solução parti
ular será:
p850 = 900− 50et/2
Conforme t→∞, temos que p900 →∞ e p850 → −∞ (ou tende a zero, já que p representa
o número de ratos). Este 
omportamento está de a
ordo 
om o observado no 
ampo de
direções.
Exemplo 03: En
ontre a solução geral para a equação logísti
a:
dP
dt
= kP
(
1− P
N
)
En
ontre também a solução parti
ular para a 
ondição ini
ial P = P0 para t = 0.
A equação logísti
a pode ser es
rita da forma:
N
P (N − P )
dP
dt
= k →
∫
N
P (N − P )dP =
∫
kdt
A integral do lado esquerdo da equação pode ser resolvida por frações par
iais:
N
P (N − P ) =
a
P
+
b
N − P =
a(N − P ) + bP
P (N − P ) =
aN + (b− a)P
P (N − P )
As 
onstantes a e b podem ser obtidas da forma:
aN = N (b− a)P = 0 → a = b = 1
De modo que:
N
P (N − P ) =
1
P
+
1
N − P
Com isso, a equação anterior pode ser avaliada 
omo:∫
dP
P
+
∫
dP
N − P =
∫
kdt
ln |P | − ln |N − P | = kt+ c → ln
∣∣∣ P
N − P
∣∣∣ = kt + c
27
avaliando a exponen
ial em ambos os lados:∣∣∣ P
N − P
∣∣∣ = c1ekt c1 = ec
De modo que a solução geral pode ser obtida:
P = c1(N − P )ekt
A 
ondição ini
ial espe
i�
a que P (0) = P0:
P0 = c1(N − P0)ek0 → P0 = c1(N − P0)
De onde se obtém que:
c1 =
P0
N − P0
Substituindo na solução geral:
P =
P0(N − P )
N − P0 e
kt → (N − P0)P = P0(N − P )ekt
Resolvendo para P :
(N − P0)P + P0ektP = P0Nekt →
(
N − P0
P0
+ ekt
)
P = Nekt
Colo
ando ekt em evidên
ia:(
N − P0
P0ekt
+ 1
)
P = N → ((N/P0 − 1)e−kt + 1)P = N
De�nindo α = N/P0 − 1, obtém-se a expressão:
P =
N
1 + αe−kt
Esta função apresenta um 
omportamento sigmoidal. Ini
ialmente o
orre um aumento
exponen
ial (alta disponibilidade de re
ursos) que tende a diminuir e estabilizar 
om o tempo.
2.3. Apli
ações de EDO's de 1ª Ordem
Exer
í
io 01: Uma determinada população de ba
térias 
res
e a uma taxa propor
ional
à quantidade de ba
térias presente. Se a quantidade de ba
térias 
res
e de 1 grama para 50
gramas em 12 horas, qual a massa de ba
térias presente após 18 horas?
Exer
í
io 02: A análise da quantidade de 
arbono-14 pode ser empregada para deter-
minar a idade de fósseis de organismos orgâni
os, pois este passa a de
air após a morte
28
do organismo. Sabendo que o tempo de meia vida (tempo ne
essário para que metade do
material de
aia para C12) do C14 é de 5715 anos, determine a idade de uma múmia onde a
relação C14/C12 é de 52.5% do valor en
ontrado em organismos vivos. A taxa de de
aimento
de materiais radioativos é dada por:
dy
dt
= −ky
onde k é uma 
onstante.
Exer
í
io 03: A variação temporal na temperatura de um 
orpo quente exposto em um
ambiente 
om temperatura Ta pode ser avaliada através da Lei de Newton do Resfria-
mento, dada por:
dT
dt
= −k(T − T∞)
onde T é a temperatura do 
orpo, t o tempo, T∞ é a temperatura ambiente e k é uma
onstante que depende do material e da área de tro
a térmi
a. Obtenha a solução geral para
esta EDO.
Exer
í
io 04: Um material 
erâmi
o é removido de um forno a uma temperatura de 1500
K e exposto a um ambiente a 300K. Considerando que este material possui um 
oe�
iente
k = 0.0004 s−1, determine a variação na temperatura do material em função do tempo. Qual
a temperatura do material em t = 3600 s? Considere que a variação na temperatura segue
a Lei de Newton do resfriamento.
Exer
í
io 05: Considere um 
ir
uito 
ontendo uma força eletromotriz que produz uma
tensão E(t), um 
apa
itor 
m 
apa
itân
ia C e uma resistor 
om resistên
ia R. A apli
ação
de Lei de Kir
hho� neste sistema resulta em
RI +
Q
C
= E(t)
onde Q é a 
arga. Considerando que I = dQ/dt, a equação pode ser expressa 
omo:
R
dQ
dt
+
Q
C
= E(t)
Assumindo que E(t) é um valor 
onstante E e que a 
arga ini
ial é nula, determine Q(t).
29
Lista de Exer
í
ios 02 - Apli
ações de EDO's de 1
a
Ordem
01) A velo
idade v(t) de um objeto em queda pode ser des
rita pela equação:
m
dv
dt
= mg − γv
onde m é a massa do objeto, g a a
eleração da gravidade e γ é um 
oe�
iente rela
ionado
om o arraste 
ausado pelo ar e 
om o formato do objeto.
(a) En
ontre os pontos de equilíbrio (velo
idade terminal, v0) para esta equação;
R: v0 = mg/γ
(b) Considerando que m = 10 kg, g = 9.82ms−2 e γ = 2 kg/s, faça um esboço do 
ampo
de direções para esta equação;
(
) En
ontre a solução geral para esta EDO;
R: v(t) = 49 + c1e
−t/5
(d) Considerando que o objeto esteja ini
ialmente em repouso, determine a função que
des
reve a velo
idade ao longo do tempo. Qual o valor da velo
idade quando t→∞?
R: v(t) = 49(1 − e−t/5), v(t→∞) = 49m/s
02) A população de uma espé
ie de peixe em um lago é modelada pela equação logísti
a
om taxa de 
res
imento intrínse
o k = 0.2 ano−1 e 
apa
idade de 
arga de N = 200 peixes.
(a) Es
reva a equação diferen
ial que des
reve a taxa de 
res
imento da população de
peixes;
R: dp/dt = kp(1− p/N)
(b) Obtenha o 
ampo de direções para esta equação;
(
) Considerando que ini
ialmente existem 100 peixes no lago, en
ontre uma expressão
para o número de peixes no lago ao longo do tempo. Utilize o resultado para estimar o
número de peixes após 5 anos;
R: p(t) = 200/(1 + 2.02e−0.2t), p(5) ≈ 115
(d) Considere agora que o
orre uma migração 
ontínua que faz 
om que 30 novos indivíduos
sejaminseridos no lago a 
ada ano. Ajuste o modelo logísti
o para 
onsiderar a migração;
R: dp/dt = kp(1− p/N) + 30
(e) Obtenha o 
ampo de direções para este novo 
aso e 
om base nisso preveja qual a
quantidade de indivíduos que estará presente após um longo período de tempo (t→∞).
R: p(t→∞) = 300
30
03) A taxa de 
res
imento de tumores pode ser des
rita pelo modelo de Gompertz, dado
por:
dy
dt
= −Ay ln y
onde y(t) é a massa das 
élulas do tumor em um tempo t e A é uma 
onstante positiva
asso
iada às 
ondições de desenvolvimento do tumor. O de
línio na massa do tumor para
y > 1 o
orre devido ao fato de que as 
élulas no interior do tumor podem morrer devido à
falta de oxigênio e nutrientes. Obtenha a solução geral para esta EDO.
Di
a:
∫
dy/(y ln(y)) = ln(ln(y)) + c
R: y(t) = ec1e
−At
04) Em uma análise determinou-se a massa de um tumor 
omo sendo 10 mi
ro-gramas.
Considerando que neste 
aso a 
onstante A é de A = −0.02 dia−1, determine a massa do
tumor após 30 dias.
R: y(30 dias) = 66.39 mi
ro-gramas
05) A taxa de 
res
imento de uma 
ultura de ba
térias é propor
ional ao número de
indivíduos, podendo ser modelada 
omo:
dg
dt
= kg
onde g representa o número de 
élulas e k é uma 
onstante positiva. Considerando que a
população é de g = 106 em t = 0 e de g = 1.5× 106 após uma hora, determine a função g(t).
Qual a número de 
élulas após 5 horas?
R: g(5 horas) = 7.594 × 106 
élulas
06) Após produzir 10 kg de �uma substân
ia azul misteriosa�, Walter White pede para
Jesse Pinkman armazenar a substân
ia em um lo
al seguro. No entanto, Jesse armazena o
material em um lo
al inadequado, o que faz 
om que ele se degrade ao longo do tempo. A
taxa de degradação é dada por:
dA
dt
= −kA2
onde A representa a massa do material e k é uma 
onstante positiva. Após 15 dias, Walter
analisa o produto e determina que restam 9.25 kg do material puro. Obtenha uma função
que des
reva a massa da substân
ia ao longo do tempo e determine a massa restante após
30 dias.
R: A(30 dias) = 8.60465 kg
31
07) A Lei de Newton do resfriamento pode ser utilizada para modelar a variação na tem-
peratura de um 
orpo exposto em um ambiente 
om temperatura 
onstante. Por exemplo,
ostuma ser utilizada na investigação 
riminal para determinar a hora da morte em 
asos
de assassinato. Pode-se 
onsiderar que até a hora da morte, a temperatura do 
orpo é apro-
ximadamente 38◦C. Após a morte, o 
orpo 
omeça a perder 
alor para o ambiente, sendo
que a variação na temperatura pode ser modelada pela Lei de Newton. Por 
onveniên
ia, a
equação pode ser es
rita 
omo:
dT
dt
= k(Te − T )
onde Te é a temperatura ambiente.
Considere que vo
ê 
hega na 
ena de um 
rime as 15:00h e en
ontra um 
orpo. A vítima
é en
ontrada em uma sala que está em uma temperatura 
onstante de 25◦C o dia todo.
Através de uma medição, vo
ê determina que a temperatura do 
orpo é 34◦C. Após uma
hora, uma nova medição é realizada e a temperatura medida é de 31◦C. Determine a hora
da morte 
onsiderando que a temperatura da pessoa viva era de 38◦C.
R: 14:05h
08) Algumas doenças (
omo o tifo) são disseminadas basi
amente por portadores, indi-
víduos que podem transmitir a doença, mas que não exibem seus sintomas. Considere que
x e y representam, respe
tivamente, a proporção de indivíduos portadores e sus
etíveis na
população. Suponha que os portadores são identi�
ados e removidos da população a uma
taxa β, de modo que:
dy
dt
= −βy
Suponha, também, que a doença se propaga a uma taxa propor
ional ao produto xy, sendo
que:
dx
dt
= −αxy
(a) Determine a variação de portadores ao longo do tempo (y(t)) 
onsiderando que y(0) =
y0;
R: y = y0e
−βt
(b) Utilize o resultado do item (a) para en
ontrar a variação na proporção de indivíduos
sus
etíveis (x(t)), 
onsiderando que x(0) = x0;
R: y = x0e
−
αy0
β
(1−e−βt)
32
(
) En
ontre a proporção da população que es
apa à epidemia, en
ontrando o valor limite
de x quando t→∞.
R: x0e
−
αy0
β
09) Uma pessoa desavisada entra em uma garagem 
om um volume total de V = 80m3 e
liga um 
arro, liberando uma vazão de Q1 = 0.005m
3/min de monóxido de 
arbono. Através
de uma janela, uma 
orrente de Q2 = 0.8m
3/min de ar deixa a garagem. Considerando que
uma 
orrente equivalente de ar puro entra na garagem para manter o volume total 
onstante,
a variação no volume de monóxido de 
arbono VCO é dada por:
dVCO
dt
= Q1 −Q2VCO
V
Quando o volume de CO 
hegar a 0.1% do volume total da garagem, a pessoa irá desmaiar
e eventualmente morrer. Determine quanto tempo esta pessoa tem para deixar a garagem,
onsiderando que ini
ialmente não existia nenhum CO no ambiente.
10) O balanço de massa para um reagente em um reator homogêneo resultou na seguinte
equação:
V
dc
dt
= F −Qc− kV c
onde c é a 
on
entração do reagente, V o volume do reator, F a taxa 
om que o reagente
é alimentado, Q a vazão na saída e k a velo
idade de reação. Considere que ini
ialmente
(t = 0) o reator está isento do reagente (c(0) = 0).
a) Determine qual a 
on
entração do reagente no reator após ser atingido o equilíbrio (ou
seja, quando dc/dt = 0);
b) Determine o tempo ne
essário para que a 
on
entração do reagente seja a metade da
on
entração no estado de equilíbrio;
) Admitindo que os parâmetros V , F , Q e k são positivos, faça um esboço do 
ampo de
direções para esta EDO.
11) Um dado material radioativo x de
ai 
om uma taxa k1 formando um elemento y. Este
elemento, por sua vez, também sofre de
aimento 
om uma taxa k2, de modo que a variação
na 
on
entração destes elementos é dada pelo seguinte 
onjunto de equações:
dx
dt
= −k1x dy
dt
= k1x− k2y
Considerando que ini
ialmente os valores para x e y sejam, respe
tivamente, x0 e y0, deter-
mine a variação em x e y 
omo uma função do tempo t.
33
⋆1 12) (Redução de ordem) Considere a seguinte EDO de segunda ordem, que repre-
senta 
omo a distribuição de temperatura varia ao longo da parede de um 
ano metáli
o 
om
raio interno R1 e raio externo R2:
r
d2T
dr2
+
dT
dr
= 0
Esta EDO (assim 
omo qualqer outra EDO de segunda ordem) pode ser transformada em
um sistema de 2 EDO's de primeira ordem através da mudança de variável u = dT/dr. Neste
aso em parti
ular, pode-se resolver separadamente a equação para obter u(r) e na sequên
ia
a equação para T (r). Considerando que a temperatura em r = R1 é T1 e em r = R2 é T2,
obtenha T (r).
R: T (r) = T1 + (T2 − T1)(ln(r/R1)/ ln(R2/R1))
⋆ 13) (Mudança de variável) En
ontre a solução geral para a seguinte EDO:
2xyy′ = y2 − x2
Di
a: De�na uma nova variável u = y/x.
R: y2 = cx− x2
1
Questões indi
adas 
om esta estrela podem exigir uma dedi
ação maior, porém garantem uma quantidade
de pontos de experiên
ia 
onsideravelmente superior.
34
3. Existên
ia e Uni
idade para EDO's de
1
a
Ordem
Antes de dis
utir a existên
ia e uni
idade das EDO's, é pre
iso avaliar o 
on
eito de
domínio de uma equação diferen
ial e domínio de solução de um problema de valor ini
ial.
Considere uma equação do tipo:
dy
dt
= f(t, y)
O domínio desta equação 
orresponde ao subdomínio do plano ty onde a função f(t, y) é
de�nida. Em outras palavras, pode-se dizer que o domínio de solução 
orresponde a região
onde o 
ampo de direções é de�nido, ou seja, representa todas as regiões onde pode haver
alguma solução da equação.
Exemplo 01: Avalie o domínio das seguintes EDO's:
a)
dy
dt
= y3 − t2 b)dy
dt
= y2 c)
dy
dt
=
y
t
d)
dy
dt
= ln(t)
Considere agora o seguinte problema de valor ini
ial:
dy
dt
= f(y, t) y(t0) = y0
A solução destePVI, se existir, será uma função y(t). O domínio de solução deste
PVI 
orresponde ao intervalo englobando (t0, y0) onde esta solução é 
ontínua. Por exemplo,
onsidere o seguinte PVI:
dy
dt
=
1
t2
y(−1) = 2
A solução deste PVI será y(t) = (t − 1)/t. Esta solução não é de�nida em t = 0, pois
y(t) → ∞ 
onforme t → 0. Portanto, uma solução que parte do ponto (−1, 2) não será
válida para valores de x ≥ 0 devido a esta des
ontinuidade.
É importante desta
ar a diferença entre o domínio da equação diferen
ial e o domínio da
solução do PVI. Para o exemplo anterior, o domínio da equação será todo o plano real 
om
ex
eção da linha t = 0. Em 
ontrapartida, o intervalo da solução do PVI é (−∞, 0).
35
Considere agora que a 
ondição ini
ial seja alterada:
dy
dt
=
1
t2
y(1) = 2
A solução neste 
aso será y(t) = (3t− 1)/t. Esta função também não é de�nida em t = 0,
porém neste 
aso o domínio da solução é o intervalo (0,∞).
Antes de tentar resolver o problema em bus
a de uma solução, deve-se 
onsiderar uma
série questões:
i) Existên
ia: Existe alguma função y(t) que satisfaz esta EDO 
om a 
ondição ini
ial
espe
i�
ada?
ii) Uni
idade: Se uma solução existir, esta é úni
a ou existem mais de uma função y(t)
que satisfazem as 
ondições?
iii) Intervalo de Validade: Considerando que exista uma solução úni
a, esta solução pode
ser utilizada para avaliar y(t) para qualquer valor de t ou existe algum intervalo delimitado
onde a solução é válida?
Para analisar 
omo estas perguntas podem ser respondias, será primeiramente 
onsiderado
o 
aso de equações lineares e na sequên
ia os resultados serão generalizados para qualquer
tipo de EDO de primeira ordem.
3.1. EDO's de 1
a
Ordem Lineares
Um problema de valor ini
ial (PVI) de primeira ordem linear pode ser es
rito de forma
geral 
omo:
y′(t) + p(t)y = q(t) y(t0) = y0
Para esta forma de equação, as questões anteriores podem ser respondidas 
onsiderando
o seguinte teorema:
Teorema 01 - Existên
ia e Uni
idade para Equações Lineares: Uma EDO de
primeira ordem linear y′(t) + p(t)y = q(t) admite solução passando por um ponto y(t0) = y0
se p(t) e q(t) são 
ontínuas em t = t0. Esta solução será úni
a e o domínio de solução é pelo
menos igual ao maior intervalo 
ontendo t = t0 onde p(t) e q(t) são 
ontínuas.
Uma outra forma de enun
iar o teorema anterior é a seguinte:
Considere o seguinte PVI:
y′(t) + p(t)y = q(t) y(t0) = y0
36
Se p(t) e q(t) são funções 
ontínuas em um intervalo aberto α < t < β e este intervalo 
ontém
t0, então existe uma solução úni
a para o PVI neste intervalo.
Este teorema estabele
e uma 
ondição su�
iente mas não ne
essária para garantir a exis-
tên
ia, uni
idade e intervalo de solução do PVI. É importante observar que este teorema
de�ne as 
ara
terísti
as da solução baseadas somente no valor de t0, sendo que y0 não afeta
as 
on
lusões.
Exemplo 02: Determine o intervalo de validade do seguinte PVI:
(t2 − 9)y′ + 2y = ln |20− 4t| y(4) = −3
Os 
ritérios de�nidos no Teorema 01 são válidos para EDO's de primeira ordem lineares,
sendo que para problemas não-lineares outros fatores afetam a solução e devem ser 
onside-
rados. A seguir serão avaliadas separadamente as 
ondições para existên
ia e uni
idade da
solução.
3.2. Teorema da Existên
ia
Primeiramente, deve-se determinar se o PVI avaliado possui alguma solução. A 
ondição
de existên
ia para problemas de 1
a
ordem é garantida pelo seguinte teorema:
Teorema da Existên
ia: Considere uma função f(y, t) 
ontínua em um retângulo da
forma:
{(t, y)|a < t < b, c < y < d}
no plano ty. Se (t0, y0) é um ponto neste retângulo, então existe algum valor ǫ > 0 e ao
menos uma solução y(t) para o problema de valor ini
ial:
dy
dt
= f(t, y) y(t0) = y0
no intervalo t0− ǫ < t < t0+ ǫ. Esta 
ondição é su�
iente (mas não ne
essária) para garantir
que o PVI possui ao menos uma solução.
O parâmetro ǫ não possui um valor 
onstante, mas sim irá variar dependendo de 
ada
aso. Este parâmetro pode ser pensado 
omo algum valor para a esquerda e para a direita
do ponto t0 onde o PVI vai possuir solução.
Como será ilustrado no exemplo a seguir, em alguns 
asos pode-se determinar o valor de
ǫ 
om base na solução do PVI, porém, de modo geral o importante é que este valor existe.
37
Em outras palavras, 
onsiderando que f(t, y) seja 
ontínua em um retângulo englobando o
ponto (t0, y0), então existe alguma solução para o PVI de�nida em pelo menos uma pequena
região em torno do ponto (t0, y0).
Exemplo 02: Determine o valor de ǫ para o seguinte PVI:
dy
dt
= 1 + y2 y(0) = 0
Neste 
aso, a função f(t, y) = 1 + y2 é 
ontínua em todo plano ty, portanto, irá existir
ao menos uma solução que passa em qualquer ponto (t0, y0). Porém, o valor de ǫ para 
ada
ponto não será ne
essariamente o mesmo.
Esta equação aut�noma pode ser separada da forma:∫
dy
1 + y2
=
∫
dt → arctan y = t+ k → y = tan(t+ k)
Utilizando a 
ondição ini
ial:
0 = tan(0 + k) → k = 0
Assim, a solução do PVI é:
y(t) = tan(t)
A função tangente não é de�nida em t = ±π/2. Conforme t se aproxima de π/2, a função
y(t) tende ao in�nito, enquanto que 
onforme t se aproxima de −π/2 a solução tende a −∞.
Assim, a 
ondição ini
ial deve estar de�nida em um intervalo (−π/2, π/2) para que a
solução do PVI exista. Com t0 = 0, o 
ritério para existên
ia resulta em:
t0 − ǫ < t < t0 + ǫ → − π/2 < t < π/2 → ǫ = π/2
38
Se a 
ondição ini
ial fosse, por exemplo y(π/4) = 1, teríamos que ǫ = π/4.
A prin
ípio, pode-se imaginar que a des
ontinuidade da solução em t = ±π/2 fosse impedir
que alguma solução passando por um ponto (π/2, y0) existisse, o que iria 
ontradizer o
teorema. No entanto, 
aso uma 
ondição neste ponto fosse espe
i�
ada, a solução seria
deslo
ada para que a 
urva passasse por este ponto, portanto o teorema 
ontinua válido.
3.3. Teorema da Uni
idade
Em alguns 
asos, pode-se obter mais de uma solução que satisfaça um úni
o PVI. Para
determinar quando um PVI possui somente uma solução, pode-se utilizar o teorema da
uni
idade:
Teorema da Uni
idade: Suponha que f(t, y) e ∂f/∂y são funções 
ontínuas em um
retângulo da forma
{(t, y)|a < t < b, c < y < d}
no plano ty, se (t0, y0) é um ponto neste retângulo e y1(t) e y2(t) são duas funções que
resolvem o PVI
dy
dt
= f(t, y) y(t0) = y0
39
para todo t no intervalo t0 − ǫ < t < t0 + ǫ (onde ǫ é algum valor positivo), então
y1(t) = y2(t)
para t0 − ǫ < t < t0 + ǫ. Ou seja, a solução do PVI é úni
a.
Dessa forma, se f(t, y) e ∂f/∂y forem 
ontínuas em um intervalo 
ontendo o ponto ini
ial,
os teoremas da existên
ia e da uni
idade garante que haverá uma úni
a solução que satisfaz
a equação diferen
ial e a 
ondição ini
ial espe
i�
ada.
Obs.: Derivada de Função de várias variáveis: Quando se avalia a derivada par
ial de
uma função f(t, y) em relação à uma das variáveis t ou y, 
onsidera-se a outra variável 
omo
uma 
onstante. Por exemplo, 
onsidere a função f(t, y) = t2 + y3 + 5ty:
∂f
∂t
= 2t+ 5y
∂f
∂y
= 3y2 + 5t
A derivada total da função f(t, y) em relação a t é dada por:
d
dt
(f(t, y)) =
∂f
∂t
+
∂f
∂y
dy
dt
Exemplo 03: Avalie a existên
ia e a uni
idade dos seguintes PVI's:
(a)
dy
dx
= x− y + 1 y(1) = 2
(b)
dy
dx
= 2
y
x
y(x0) = y0
Exemplo 04: Avalie 
omo o intervalo de validade para o seguinte PVI depende do valor
de y0:
dy
dt
= y2 y(0) = y0
40
Lista de Exer
í
ios 03 - Existên
ia e Uni
idade
01) Determine se os seguintes PVI's possuem solução e se esta solução é úni
a. Caso existir
solução úni
a, determine o domínio de solução:
a)
dy
dt
= et − y y(0) = 0R: Solução úni
a, domínio = ℜ2
b)
dy
dt
=
sin(t)
t2 − 9 + 5e
t y(0) = π
R: Solução úni
a, domínio = (−3, 3)
c)
dy
dx
= 3x+ tan(x)y y(2π) = 0
R: Solução úni
a, domínio = (3pi/2, 5pi/2)
d)
dy
dx
= 3x+ tan(x)y y(π/2) = 0
R: Sem solução
e)
dy
dt
= e−t + ln |6− t|y y(6) = 0
R: Sem solução
41
4. Métodos de Resolução de EDO's de
1
a
Ordem
Não existe um método úni
o para a resolução de qualquer EDO de primeira ordem. Po-
rém, para muitas sub
lasses de equações (
omo as separáveis, vistas anteriormente) existem
métodos que podem ser utilizados para a obtenção de uma solução analíti
a. Por solução
analíti
a entende-se uma função de�nida em um dado intervalo de solução que satisfaz a
equação diferen
ial e as 
ondições ini
iais espe
i�
adas em todo este intervalo. Este termo
é utilizado para diferen
iar as soluções numéri
as, que são aproximações obtidas através de
métodos numéri
os. Dentre os métodos de obtenção de soluções analíti
as, um dos mais im-
portantes é o método do fator integrante, que pode ser apli
ado para a resolução de qualquer
EDO de primeira ordem linear, 
omo será apresentado a seguir.
4.1. Método do Fator Integrante
As EDO's de primeira ordem lineares podem ser expressas 
omo:
dy
dt
+ p(t)y = g(t)
Quando as funções p(t) e g(t) são 
onstantes, a equação é uma EDO aut�noma e pode ser
resolvida por separação de variáveis e integração simples.
A integração direta também pode ser empregada quando p(t) = 0. Porém, não pode ser
apli
ada para funções genéri
as p(t) e g(t) pois nem sempre é possível separar as variáveis t
e y em lados diferentes da igualdade.
Neste 
aso, pode-se utilizar um fator integrante (µ(t)) para auxiliar a resolução da equação
diferen
ial. O fator integrante é um termo que possibilita a integração da equação. Cada
equação irá possuir um fator integrante próprio, por isso não é possível espe
i�
ar um formato
42
para a função µ(t) sem analisar a EDO. Multipli
ando a forma geral de uma EDO linear
pelo fator integrante, temos:
µ(t)
dy
dt
+ µ(t)p(t)y = µ(t)q(t)
Uma possibilidade de resolver esta equação é se o lado esquero puder ser es
rito 
omo:
d(µ(t)y)
dt
= µ(t)
dy
dt
+ µ(t)p(t)y
Neste 
aso, pode-se integrar os dois lados da equação anterior e obter y(t). Assim, se
for possível en
ontrar um fator µ(t) que permita esta modi�
ação, será possível resolver a
equação.
Considerando a regra do produto para a análise de derivadas, a equação anterior pode ser
rees
rita 
omo:
d(µ(t)y)
dt
= µ(t)
dy
dt
+ y
dµ(t)
dt
= µ(t)
dy
dt
+ µ(t)p(t)y
Simpli�
ando a equação:
dµ(t)
dt
= µ(t)p(t)
Esta equação é separável, podendo ser resolvida 
omo:
1
µ(t)
dµ(t)
dt
= p(t) → ln(µ(t)) =
∫
p(t)dt+ c → µ(t) = Ce
∫
p(t)dt
onde C é uma 
onstante de integração. Como o fator irá multipli
ar todos os termos da
equação, esta 
onstante será sempre 
an
elada e por 
onveniên
ia pode ser omitida. Assim,
o fator integrante pode ser de�nido 
omo:
µ(t) = e
∫
p(t)dt
Para veri�
ar se este fator irá de fato permitir a integração da EDO linear, vamos substitui-
lo na equação e averiguar a equação.
Avaliando primeiramente a derivada de µ(t) obtemos:
dµ
dt
= e
∫
p(t)dt d
dt
(∫
p(t)dt
)
= e
∫
p(t)dtp(t) = µ(t)p(t)
Multipli
ando uma EDO linear de 1ª ordem qualquer pelo fator integrante:
µ(t)
dy
dt
+ µ(t)p(t)y = µ(t)q(t)
Como µ(t)p(t) = dµ/dt, a equação anterior pode ser es
rita 
omo:
µ(t)
dy
dt
+
dµ(t)
dt
y = µ(t)q(t)
43
O lado esquerdo da equação é a derivada do produto yµ(t), de modo que:
d
dt
(µ(t)y) = µ(t)q(t)
De�nindo Y (t) = µ(t)y(t) e f(t) = µ(t)q(t) temos:
dY
dt
= f(t)
Este tipo de equação pode ser resolvida por integração simples:
Y (t) =
∫
f(t)dt → µ(t)y(t) =
∫
µ(t)q(t)dt
Como µ(t) 6= 0 para qualquer valor de t, pode-se avaliar y(t) 
omo:
y(t) =
1
µ(t)
∫
µ(t)q(t)dt
Exemplo 01: Resolva o seguinte PVI:
dy
dt
+
1
2
y =
1
2
et/3 y(0) = y0
4.1.1. Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma equação não-linear de primeira ordem, que pode ser es
rita
da forma:
dy
dt
+ p(t)y = q(t)yn, n 6= 1
Dividindo todos os termos por yn, a equação pode ser es
rita 
omo:
y−n
dy
dt
+ p(t)y1−n = q(t)
Esta equação pode ser transformada em uma equação linear através da transformação
u = y1−n. Isto impli
a que:
du
dt
= (1− n)y−ndy
dt
Com isso, a equação pode ser expressa 
omo:
y−n
(
1
(1− n)y−n
du
dt
)
+ p(t)u = q(t) → 1
(1− n)
du
dt
+ p(t)u = q(t)
Esta é uma equação linear que pode então ser resolvida utilizando o método do fator
integrante. Após a obtenção de u(t), pode-se voltar para as variáveis originais.
Exemplo 02: En
ontre a solução geral para a seguinte equação diferen
ial:
x
dy
dx
− y = (xy)2
44
4.2. Equações Exatas
Grande parte das EDO's de primeira ordem que admitem solução analíti
a podem ser
resolvidas por separação ou 
om o uso de um fator integrante, porém algumas equações
espe
í�
as que surgem em determinadas áreas possuem formas de solução distintas, 
omo
por exemplo as equações exatas.
Estas equações surgem em diversas apli
ações na área das engenharias, 
omo por exemplo
em termodinâmi
a. Estas equações possuem uma estrutura relativamente simples e possuem
um método estabele
ido de solução.
Considere a EDO de primeira ordem em termos da variável dependente y(x):
M(x, y) +N(x, y)
dy
dx
= 0 → M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
Esta equação é dita exata se existe uma função ψ(x, y) de modo que:
∂ψ(x, y)
∂x
= M(x, y)
∂ψ(x, y)
∂y
= N(x, y)
Pode-se mostrar que a função ψ(x, y) existe se e somente se:
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
A derivada total da função ψ(x, y) em relação a x é de�nida 
omo:
dψ(x, y)
dx
=
∂ψ
∂x
+
∂ψ
∂y
dy
dx
= M(x, y) +N(x, y)
dy
dx
Desse modo, uma equação diferen
ial de primeira ordem exata pode ser es
rita 
omo:
d
dx
(ψ(x, y)) = 0
A solução geral desta equação é da forma:
ψ(x, y) = 
onstante
De modo que 
onhe
endo-se a função ψ(x, y), pode-se expli
itar a função y(x).
Exemplo 03: En
ontre a solução geral para a seguinte EDO:
dy
dx
=
x− y
x− y2
Pode-se ver que esta equação é não-linear e também não-separável. Pode-se, no entanto,
es
rever esta equação da forma:
(x− y)dx+ (y2 − x)dy = 0
45
De modo que que M(x, y) = (x − y) e N(x, y) = (y2 − x). Pode-se agora 
he
ar se esta
equação é exata:
∂M
∂y
= −1 ∂N
∂x
= −1
Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.
Para determinar o valor de ψ(x, y), pode-se utilizar as equações que de�nem M(x, y) e
N(x, y):
∂ψ(x, y)
∂x
= M(x, y)
∂ψ(x, y)
∂y
= N(x, y)
Pode-se obter duas equações para ψ destas de�nições, uma mantendo y 
onstantes e
integrando em relação a x e outra mantendo x 
onstantes e integrando em relação a y. Por
exemplo, 
omeçando 
om a equação para M(x, y):
∂ψ(x, y)
∂x
= M(x, y) = (x− y)
Integrando em relação a x:∫
∂ψ(x, y)
∂x
dx =
∫
(x− y)dx → ψ(x, y) = x
2
2
− yx+ h(y)
onde a função h(y) é adi
ionada para representar a dependên
ia em relação a y. Utilizando
a segunda equação:
∂ψ(x, y)
∂y
= N(x, y) = (y2 − x)
Utilizando a expressão obtida anteriormente para ψ(x, y):
∂ψ(x, y)
∂y
=
∂
∂y
(
x2
2
− yx+ h(y)
)
= −x+ dh
dy
= (y2 − x)
de modo que:
dh
dy
= y2 →
∫
dh =
∫
y2dy → h(y) = y
3
3
+ c
Substituindo na equação para ψ(x, y):
ψ(x, y) =
x2
2
− yx+ h(y) = x
2
2
− yx+ y
3
3
+ c
Como trata-se de uma equação exata, sabe-se que ψ(x, y) = 
onstante:
ψ(x, y) =
x2
2
− yx+ y
3
3
+ c = k
46Fazendo c1 = c− k obtém-se:
ψ(x, y) =
x2
2
− yx+ y
3
3
+ c1 = 0
A função y(x) não pode ser representada de forma explí
ita, porém sabe-se que a solução
é a família de 
urvas que satisfaz:
x2
2
− yx+ y
3
3
+ c1 = 0
Exemplo 2: En
ontre a solução geral da EDO:
(2x+ 3) + (2y − 2)dy
dx
= 0
47
Lista de Exer
í
ios 04 - Métodos de Resolução de EDO's de 1
a
Ordem
01) Resolva os seguintes problemas de valor ini
ial. Quando possível, veri�que se a resposta
esta 
orreta substituindo a solução obtida na equação diferen
ial.
a)
dy
dt
= t2 + t+ 1 y(0) = 2
b) y2
dy
dt
=
√
t y(0) = 1
R: y(t) = (2t3/2 + 1)1/3
)
dy
dt
= t2y y(0) = 1
d)
dy
dt
+ 4ty = t y(0) = 1
R: y(t) = (1 + 3e−2t
2
)/4
e) t
dy
dt
+ y = t2 + 1 y(2) = 0
R: y(t) = (t3 + 3t− 14)/3t
f)
dy
dt
= 4y + t y(0) = 1/8
g)
dy
dt
+ ky = e2kt y(0) =
1
3k
R: y(t) = e2kt/(3k)
h)
dy
dt
+
1
3
y = ety4 y(0) = 1/2
R: y(t)3 = 1/(et(8 − 3t))
i) t
dy
dt
+ y = y2t2 ln t y(1) = 1
R: y(t) = (t2 − t2 ln(t))−1
j)
dy
dt
+
2
t
y = −t2 cos(t)y2 y(π) = 1
R: y(t) = (t2(sin(t) + pi−2))−1
k) (t2 − 2y)dy
dt
= 3t2 − 2ty y(0) = 4
R: t2y − t3 − y2 + 16 = 0
l) 2ty
dy
dt
= (t sin(t)− cos(t)− y2) y(π) = 0
R: ty2 + t cos(t) + pi = 0
m) −2xy sin(x2) + cos(x2)dy
dt
y(0) = 1
R: y = 1/(cos(x2))
n) e−2θ − 2re−2θ dθ
dr
y(e) = 2
R: θ = 3/2 + ln(r)/2
02) En
ontre a solução geral da equação:
t2
dy
dt
+ 2ty = 2
e mostre que as 
ondições ini
iais y(1) = 1 e y(−1) = −3 resultam em 
ondições parti
ulares
idênti
as. Este resultado viola o teorema da Uni
idade?
03) Um tanque 
om volume total Vt = 280L 
ontém ini
ialmente uma massa m0 = 10 kg
de sal dissolvidos em um volume V0 = 180L litros de água. Suponha que uma 
orrente 
om
48
vazãoQi = 12L/min seja alimentada ao tanque, 
ontendo uma 
on
entração C0 = 0.25 kg/L
de sal. Esta alimentação rapidamente se mistura 
om a solução no tanque, de modo que
pode-se 
onsiderar que a 
on
entração de sal é igual em todo o tanque. A solução de água
é sal é removida do tanque 
om uma vazão Qo = 8L/min.
A variação no volume de solução no tanque ao longo do tempo (V (t)) pode ser expressa
em termos da diferença entre o que é alimentado e o que é removido:
dV
dt
= Qi −Qo
De forma semelhante, a variação na massa de sal presente no tanque ao longo do tempo,
S(t), é dada por:
dS
dt
= C0Qi − S
V
Qo
Considerando que Qi > Qo, determine a quantidade de sal presente no tanque quando este
omeça a transbordar (V = Vt).
R: S = 55.53 kg
49
5. Reta de Fases e Bifur
ações
5.1. Equações Aut�nomas e Reta de Fases
As equações diferen
iais de primeira ordem são ditas aut�nomas quando podem ser es
ritas
da forma:
dy
dt
= f(y)
Isto signi�
a que a taxa de variação depende somente do estado atual da variável e não do
ponto no tempo onde a variável é avaliada. As equações vistas para 
res
imento população
são exemplos de equações aut�nomas. As EDO's de primeira ordem aut�nomas são sempre
separáveis e podem ser resolvidas por integração simples.
As equações aut�nomas possuem uma 
ara
terísti
a muito importante de que as soluções
parti
ulares podem ser deslo
adas ao longo do eixo t. Assim, se for 
onhe
ida a solução de
uma equação aut�noma que obede
e uma 
ondição ini
ial espe
í�
a, pode-se obter soluções
para outras 
ondições ini
iais simplesmente deslo
ando esta solução para a direita ou para
a esquerda. Lembrando, para deslo
ar uma função f(x) em a unidades para a direita, basta
avaliar f(x− a).
Exemplo 01: A solução do PVI:
dy
dt
= 1 + y2 y(0) = 0
é y(t) = tan(t). En
ontre a solução para a 
ondição y(1) = 0.
5.1.1. Reta de Fases
Como visto anteriormente, o 
ampo de direções de uma equação aut�noma da forma
y′(t) = f(y) não irá variar ao longo de t. Assim, se for determinado a in
linação da fun-
ção f(y) ao longo de uma reta representando algum valor qualquer de t qualquer, pode-se
onstruir todo o 
ampo de direção deslo
ando esta reta ao longo do eixo t.
50
A representação do 
ampo de direções 
omo uma úni
a reta é 
hamada de linha de fase.
Esta linha 
onsiste em uma reta indi
ando os pontos de equilíbrio e e setas indi
ando o sinal
da derivada entre os pontos. Considerando que f(y) seja uma função 
ontínua e diferen
iável,
aso existam dois pontos a e b de modo que f ′(a) < 0 e f ′(b) > 0, existe algum ponto de
equilíbrio entre a e b. Por isso, para a 
onstrução da reta de fases, basta de�nir os pontos
de equilíbrio e o sinal da derivada entre os pontos.
Exemplo 2: Construa a linha de fase para a equação:
dp
dt
= 0.5p− 450
Neste 
aso, o úni
o ponto de equilíbrio é p = 900. A
ima deste valor, dp/dt > 0 e abaixo
dele dp/dt < 0. Assim, a linha de fase pode ser 
onstruída:
Pode-se ver que se o valor ini
ial de p for algo próximo (mas não igual) a 900, a solução
irá se afastar do ponto �xo. Neste 
aso, o ponto é 
hamado de repulsor (ou fonte).
De modo geral, dizemos que um ponto de equilíbrio y0 é uma fonte quando a solução da
equação diferen
ial 
om valor ini
ial próxima a este ponto tende a y0 
onforme t → −∞.
Considerando que y0 seja utilizada 
omo 
ondição ini
ial, qualquer pequena pertubação fará
om que o sistema se afaste do ponto y0 
onforme o tempo avança, por isso este tipo de
ponto de equilíbrio está asso
iado 
om uma solução instável.
Exemplo 03: Construa a linha de fase para a equação logísti
a:
dp
dt
= kp
(
1− p
N
)
Com visto anteriormente, os pontos �xos desta equação são p = 0 e p = N . A linha de
fase pode ser avaliada 
omo:
51
Neste 
aso, o ponto y = 0 se 
omporta 
omo um repulsor. O ponto N , no entanto, possui
um 
omportamento oposto, sendo que uma 
ondição ini
ial próxima a N irá tender ao ponto
N ao longo do tempo. Neste 
aso, o ponto N é 
hamado de atrator (ou poço).
Um ponto de equilíbrio y0 é um poço se toda 
ondição ini
ial su�
ientemente próxima a
y0 tende para y0 
onforme t→∞. Assim, quando a 
ondição y = y0 é perturbada, o sistema
volta para y0 e neste 
aso o ponto de equilíbrio está asso
iado a uma solução estável.
Exemplo 04: Construa a linha de fase para a equação:
dy
dt
= y2 cos(y)
Primeiramente, deve-se en
ontrar os pontos de equilíbrio da equação. Temos que:
y2 cos(y) = 0 ⇔ y2 = 0 ou cos(y) = 0
y2 = 0 impli
a que y = 0. A função cos(y) resulta em:
cos(y) = 0 → y = ±π
2
, ±3π
2
, ±5π
2
. . .
Para avaliar se o lado direito da equação é positivo ou negativo, pode-se 
onsiderar que
y2 é sempre positivo, de modo que o sinal será de�nido pelo valor da função cos(y).
52
Construindo a linha de fase:
Esta linha de fases possui diversos atratores e repulsores. O ponto y = 0 possui um
omportamento híbrido, pois soluções partindo de algum ponto pou
o abaixo de 0 tendem a
0 e soluções partindo de pontos pou
o a
ima de 0 tendem ao próximo ponto �xo. Este tipo
de ponto de equilíbrio é 
hamado de nó e 
orresponde a uma solução semi-estável.
Exemplo 05: Construa a linha de fase para a equação:
dy
dt
= 3y3 − 12y2
e 
lassi�que os pontos de equilíbrio 
omo fontes, poços ou nós.
5.2. Bifur
ações
A grande maioria dos modelos matemáti
os envolve, além das variáveis dependentes e
independentes, um 
erto número de parâmetros. Por exemplo, no modelo de 
res
imento
exponen
ial:
dp
dt
= kp
existe o parâmetro k que irá depender da população e das 
ondições avaliadas.
Em alguns 
asos, uma pequena variação no valor de algum parâmetro leva a uma grande
variação no 
omportamento do sistema ao longo do tempo e nos pontos de equilíbrio. Esta
mudança de 
omportamentoé 
hamada de bifur
ação.
53
Exemplo 06: Considere novamente a equação logísti
a modi�
ada para in
luir um termo
referente ao número de indivíduos 
açados:
dp
dt
= kp
(
1− p
N
)
− c
Esta equação possui três parâmetros: a taxa de 
res
imento intrínse
a k, a 
apa
idade de
arga N e a taxa 
onstante de remoção c.
Considerando que os parâmetros k e N são �xos, determine para quais valores de c a
equação logísti
a modi�
ada possui pontos de equilíbrio reais.
R: c < kN/4
Para avaliar o 
omportamento do sistema 
onforme um parâmetro a é variado, 
onsidere
o modelo simpli�
ado:
dy
dt
= y(1− y)− a
Para a = 0, a equação possui dois pontos de equilíbrio, y = 0 e y = 1, sendo que y = 0 é
uma fonte e y = 1 um poço.
Considere agora que a = 1/8. Os pontos de equilíbrio serão as raízes da equação:
y(1− y)− 1
8
= 0 → − 8y2 + 8y − 1 = 0 → y = 8±
√
64− 32
16
ou seja:
y =
1
2
±
√
32
16
→ y1 = 0.1465 y2 = 0.85553
Avaliando a linha de fase, obtém-se um 
omportamento semelhante ao 
aso a = 0, porém
om os pontos de equilíbrio mais próximos.
Considerando agora a = 1/5, os pontos de equilíbrio serão:
y(1− y)− 1
5
= 0 → − 5y2 + 5y − 1 = 0 → y = 5±
√
25− 20
10
ou ainda:
y =
1
2
±
√
5
10
→ y1 = 0.2764 y2 = 0.7236
Avaliando agora para a = 1/4:
y(1− y)− 1
4
= 0 → − 4y2 + 4y − 1 = 0 → y = 4±
√
16− 16
8
=
1
2
Neste 
aso, obtém-se somente um ponto de equilíbrio. Avaliando a linha de fase, per
ebe-se
que este ponto é um nó.
54
Finalmente, 
onsiderando a = 3/8, os pontos de equilíbrio são:
y(1− y)− 3
8
= 0 → − 8y2 + 8y − 3 = 0 → y = 8±
√
64− 96
16
Neste 
aso, o sistema não apresenta nenhum ponto de equilíbrio real, 
om dp/dt < 0 para
qualquer valor de y, ou seja, a taxa de 
res
imento é negativa não importando o valor ini
ial.
A reta de fase para estes 
asos é apresentada na �gura a seguir:
Ligando os pontos de equilíbrio para um número su�
ientemente grande de valores de a,
obtém-se o diagrama de bifur
ação da equação diferen
ial:
Neste 
aso, o ponto a = 1/4 representa um ponto de bifur
ação. A linha sólida é utilizada
para representar os pontos de equilíbrio estáveis (poços), enquanto que a linha tra
ejada é
usada para representar pontos instáveis (fontes). O 
ír
ulo preen
hido pela metade repre-
senta um ponto de nó. Este tipo de bifur
ação, onde uma solução estável e uma instável
olapsam em um nó, é 
hamada de bifur
ação sela-nó.
Bifur
ações do tipo sela-nó também surgem na análise de equações 
om a seguinte forma:
dy
dt
= y2 + r
55
onde r e uma parâmetro. De 
erta forma, esta equação representa a forma mais simples que
origina este tipo de bifur
ação, por isto é 
hamada de forma normal da bifu
ação sela-nó.
Apesar de ser a forma mais simples, quando analisado próximo ao ponto de bifur
ação, todos
os sitemas que apresentam uma bifur
ação deste tipo possuem um 
omportamento sema-
lhante (dois pontos �xos 
olapsando e desapare
endo), por isso a forma normal representa
qualitativamente qualquer sistema 
om esta forma de bifur
ação.
Para o 
aso anterior, os pontos de equilíbrio são as soluções da equação:
y(1− y)− a = 0 → − y2 + y − a = 0 → y = 1±
√
1− 4a
−2
Para 
ada valor de a, podem ser obtidos de zero a dois pontos de equilíbrio (raízes reais).
Para saber se um ponto de equilíbrio é estável ou instável, pode-se re
orrer ao seguinte
teorema:
Teorema 01: Condições de estabilidade e instabilidade. Considerando uma função
f(y) 
ontínua 
om df/dy também 
ontínua, a equação diferen
ial dy/dt = f(y) possui um
ponto de equilíbrio em y0 quando f(y0) = 0. Se df/dy(y0) < 0, então este ponto é um poço
(estável) e se df/dy(y0) > 0 então este ponto é uma fonte (instável).
O diagrama de bifur
ação pode ser obtido plotando-se a função que rela
iona os pontos
de equilíbrio 
om o parâmetro avaliado. Por exemplo, para o 
aso anterior, a parte estável
orresponde a 
urva:
y1 =
1
2
+
√
1− 4a
2
e a parte instável 
orresponde a:
y2 =
1
2
−
√
1− 4a
2
Avaliando a função original:
f(y) = y(1− y)− a → df
dy
= f ′(y) = 1− 2y
Substituindo as expressões para os pontos de equilíbrio:
f ′(y1) = 1− 2
(
1
2
+
√
1− 4a
2
)
= 1− 1−
√
1− 4a
2
= −√1− 4a
f ′(y2) = 1− 2
(
1
2
−
√
1− 4a
2
)
= 1− 1 +
√
1− 4a
2
= +
√
1− 4a
56
Considerando que a < 1/4 para que a equação possua pontos de equilíbrio reais, pode-se
ver que f ′(y1) < 0 e f
′(y2) > 0, de modo que a 
urva y1 representa soluções estáveis e a
urva y2 soluções instáveis, 
onforme observado anteriormente.
Exemplo 07: En
ontre o ponto de bifur
ação e esbo
e o diagrama de bifur
ação para a
equação logísti
a modi�
ada:
dp
dt
= f(p) = kp
(
1− p
N
)
− c
em função do parâmetro c.
Como visto anteriormente, esta equação possui pontos de equilíbrios reais somente se
c ≤ kN/4, portanto o ponto de bifur
ação é c = kN/4. Neste 
aso, a equação irá possuir 2
pontos de equilíbrio (função quadráti
a).
Além disso, os pontos de equilíbrio o
orrem quando:
p =
k ±√k2 − (4kc/N)
2k/N
E os dois ramos de solução podem ser expressos 
omo:
p1 =
k +
√
k2 − (4kc/N)
2k/N
p2 =
k −√k2 − (4kc/N)
2k/N
Como k, 
 e N são 
onstantes positivas, estas 
urvas representam uma parábola em re-
lação ao eixo p (semelhante ao diagrama obtido anteriormente). Como visto em exemplos
anteriores, a solução p1 representa pontos de equilíbrio estáveis e a solução p2 pontos instá-
veis. (Obs.: Neste 
aso não é possível apli
ar o teorema pois os valores de k, N e 
 não são
espe
i�
ados).
57
Exemplo 08: A forma normal para uma bifur
ação forquilha sub
ríti
a é dada por:
dy
dt
= ry + y3
onde r é um parâmetro. Faça um esboço do diagrama de bifur
ação para esta equação.
58
Lista de Exer
í
ios 05 - Reta de Fase e Bifur
ações
01) Construa a linha de fase e 
lassi�que os pontos de equilíbrio 
omo fontes, poços ou
nós para as seguintes equações diferen
iais aut�nomas:
a)
dy
dt
= y2 − y
R: y = 0 (poço), y = 1 (fonte)
b)a
dy
dt
+ y = b a, b > 0
R: y = b (poço)
c)
dy
dt
= (1− y) sin(y)
R: y = 1 (poço), y = 0 (fonte), y = −pi
(poço), . . .
d)
dy
dt
= y cos(πy/2)
R: y = 1 (poço), y = 0 (fonte), y = −1 (poço),
. . .
02) Utilizando a linha de fase da equação diferen
ia, determine o 
omportamento da
solução dos seguintes PVI's 
onforme t→ −∞ e t→∞.
a)
dy
dt
= y2 − 4y − 12 y(0) = 1
R: y(−∞) = 6, y(∞) = −2
b)
dy
dt
= y sin(πy/2) y(0) = 0
R: y(−∞) = 0, y(∞) = 0
c)
dy
dt
= y sin(πy/2) y(0) = −1
R: y(−∞) = 2, y(∞) = 0
d)
dp
dt
= kp
(
1− p
N
)(
1− m
p
)
p(0) =
N
2
k, m, p, N > 0 N > 2m
R: p(−∞) = m, p(∞) = N
03) Construa a linha de fase para a equação diferen
ial aut�noma:
dy
dt
= f(y)
onde f(y) é apresentada nos grá�
os a seguir.
59
04) A forma normal de uma bifur
ação do tipo sela-nó é expressa pela equação:
dy
dt
= r + y2
onde r é um parâmetro. Faça um esboço do diagrama de bifur
ação para esta equação.
05) A forma normal de uma bifur
ação do tipo trans
ríti
a é expressa pela equação:
dy
dt
= ry + y2
onde r é um parâmetro. Faça um esboço do diagrama de bifur
ação para esta equação.
06) Uma bifur
ação do tipo forquilha pode o
orrer de duas formas: sub
ríti
a e super
rí-
ti
a. A forma normal de uma bifur
ação forquilha sub
ríti
a é:
dy
dt
= ry + y3
enquanto que forma normal de uma bifur
ação forquilha super
ríti
a é dada por:
dy
dt
= ry − y3
onde r é um parâmetro. Faça um esboço do diagrama de bifur
ação para estes dois 
asos.
60
6. Introdução às EDO's de 2
a
Ordem