Circuitos Elétricos I: Excitação Senoidal e Fasores

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DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
 
Capítulo 10 
 
Excitação Senoidal e Fasores 
 
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10.1 Propriedades das Senóides: 
Onda senoidal: 
 
Amplitude = Vm 
Frequência angular = ω [rad/s] 
Senóide é uma função periódica: 
 
Período: T = 2π/ω	
Frequência: f = 1/T = ω/2π	
Expressão geral: 
onde φ é o ângulo de fase. 
v t( ) =Vm sen ωt( )
v t +T( ) = v t( )
v t( ) =Vm sen ωt +φ( )
Vm 
-Vm 
π/ω	
 2π/ω	
 t 
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Curva de uma senóide defasada de φ radianos: 
 
 
 
 
 
Note que: 
π/ω	
 2π/ω	
 t 
v t( ) =Vm sen ωt +φ( )
v t( ) =Vm sen ωt( )
φ/ω	
cos ωt − π
2
!
"
#
$
%
&= sen ωt( )
sen ωt + π
2
!
"
#
$
%
&= cos ωt( )
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Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra de 
mesma frequência. 
 
 
 
 
 
 
Portanto, v1 antecede v2 de 30º - 108º = -78º, ou v1 está defasada em relação a v2 
de 78º. 
v1 = 4cos ωt +30°( )
v2 = −2sen ωt +18°( ) v2 = 2sen ωt +18°+180°( )
v2 = 2cos ωt +18°+180°−90°( )
v2 = 2cos ωt +108°( )
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Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma frequência: 
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 A
A2 + B2
cos ωt( )+ B
A2 + B2
sen ωt( )
!
"
#
#
$
%
&
&
A 
B 
A2 + B2
θ	
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt( )cos θ( )+ sen ωt( )sen θ( )!" #$
cos θ( ) sen θ( )
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Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt( )cos θ( )+ sen ωt( )sen θ( )!" #$
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"# $%
θ = tan−1 B
A
"
#
$
%
&
'
Então, 
Obs.: cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a - b) 
 cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) = cos(a + b) 
cos ωt −θ( )
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Exemplo: 
−5cos 3t( )+12sen 3t( ) = −5( )
2
+122 cos 3t −θ( )"# $%
θ = tan−1 12
−5
"
#
$
%
&
'=112,6°
−5cos 3t( )+12sen 3t( ) =13cos 3t −112,6°( )
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10.2 Exemplo de um Circuito RL 
Encontrar if . 
 
 
 
 
Por tentativa, temos: 
 
 
Então: 
L vg = Vm cos(ωt) 
R 
+ 
-	
 i L di
dt
+ Ri =Vm cos ωt( )
i f = Acos ωt( )+ Bsen ωt( )
L d
dt
Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!" #$+ R Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!" #$=Vm cos ωt( )
−LωAsen ωt( )+ LωBcos ωt( )+ RAcos ωt( )+ RBsen ωt( ) =Vm cos ωt( )
−LωA+ RB = 0
LωB+ RA =Vm
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Assim, 
 
 
Portanto, 
 
mas 
 
 
Portanto, 
A =
RVm
R2 +ω2L2
B =
ωLVm
R2 +ω2L2
i f =
RVm
R2 +ω2L2
cos ωt( )+ ωLVm
R2 +ω2L2
sen ωt( )
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"# $%
θ = tan−1 B
A
"
#
$
%
&
'
i f =
Vm
R2 +ω2L2
cos ωt − tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
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Então, podemos escrever a corrente forçada como: 
 
onde 
 
 
Resposta natural: 
 
A corrente se estabiliza em seu valor de regime permanente c.a. dado pela 
corrente forçada. 
Método muito trabalhoso para a obtenção das equações de corrente! 
φ = − tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
i f = Im cos ωt +φ!" #$
Im =
Vm
R2 +ω2L2
in = A1exp −
R
L
t
"
#
$
%
&
'
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10.3 Método Alternativo utilizando Números Complexos 
Para a análise de circuitos com excitação senoidal. 
Propriedades dos números complexos: 
Representação na forma retangular de um número complexo: 
 
onde , a = parte real de A e b = parte imaginária de A. 
Representação na forma polar: 
 
onde 
j = −1
A = A e jα = A∠α
A = a2 +b2
α = tan−1 b
a
"
#
$
%
&
'
A = a+ jb
A = a+ jb
Re 
Im 
a 
b 
A
α	
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Exemplo: A = 4 + j 3 
 
 
 
Exemplo: A = -5 -j 12 
 
A = 42 +32 = 5
α = tan−1 3
4( ) = 36,9°
A = 5∠36,9°
A = −5( )
2
+ −12( )
2
=13
α =180º+ tan−1 −12
−5( ) = 247,4°
A =13∠247,4°
A = −5− j12
Re 
Im 
-12 
-5 
A
α	
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Outras relações úteis: 
 
 
Fórmula de Euler: 
j =1∠90°
j2 = −1=1∠180°
Vm cos ωt( )+ jVm sen ωt( ) =Vme jωt
Re Vme
jωt{ }=Vm cos ωt( )
Im Vme
jωt{ }=Vm sen ωt( )
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Retomando o exemplo do circuito RL: 
Seja v1 = Vmejωt a excitação complexa do circuito, então 
 
Componente forçada da corrente i1 na forma complexa deve resolver a equação: 
L vg = Vm cos(ωt) 
R 
+ 
-	
 i 
vg = Vm cos(ωt) = Re{v1} 
L
di1
dt
+ Ri1 = v1 onde v1 =Vme
jωt
L v1 = Vm ejωt 
R 
+ 
-	
 i1 
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Para resolver a equação vamos tentar: 
 
Então, 
 
 
Logo, 
L
di1
dt
+ Ri1 =Vme
jωt
i1 = Ae
jωt
jωLAe jωt + RAe jωt =Vme
jωt
jωL+ R( )Ae jωt =Vme jωt
A =
Vm
R+ jωL
=
Vm
R2 +ω2L2
e
− j tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
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Então: 
 
 
 
 
mas if = Re{i1}, assim 
 
 
 
Portanto, se i1 é a resposta complexa para a função excitação complexa v1, 
então if = Re{i1} é a resposta para a excitação vg = Re{v1}. 
i1 = Ae
jωt =
Vm
R2 +ω2L2
e
− j tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
*
*
+
,
-
-
-
e jωt
i1 =
Vm
R2 +ω2L2
e
j ωt−tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
i f = Re
Vm
R2 +ω2L2
e
j ωt−tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
0
1
0
2
3
0
4
0
=
Vm
R2 +ω2L2
cos ωt − tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
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Note que: 
 
pode ser escrita como: 
 
e, portanto, de 
 
temos: 
 
Portanto, é mais fácil usar a função excitação complexa v1 para encontrar a 
resposta complexa i1. 
A função excitação real é Re{v1} ⇒ a resposta real é Re{i1}. 
Re L
di1
dt
+ Ri1
!
"
#
$
%
&
= Re Vme
jωt{ }
L d
dt
Re i1{ }( )+ R Re i1{ }( ) =Vm cos ωt( )
L di
dt
+ Ri =Vm cos ωt( )
i = i f = Re i1{ }
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10.4 Excitações Complexas 
Sem perda da generalidade, vamos considerar a entrada como sendo uma fonte 
de tensão e a saída como sendo uma corrente através de um elemento. 
Em geral, a excitação é da forma: 
 
Enquanto que a resposta forçada é da forma: 
 
 
Portanto, sabendo-se os valores de ω, θ e Vm, podemos calcular Im e φ. 
vg =Vm cos ωt +θ( )
i = i f = Im cos ωt +φ( )
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Circuito + -	
vg =Vm cos ωt +θ( )
i = Im cos ωt +φ( )
Para resolver i no circuito, vamos considerar a excitação complexa: 
 
 
 
 
 
Pois sabemos que 
v1 =Vme
j ωt+θ( )
Circuito + -	
i1v1 =Vme
j ωt+θ( )
i = Re i1{ }
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A equação representativa do circuito pode ser resolvida para a resposta forçada, 
visto que 
 
a solução tentativa é: 
 
 
Comparando com , temos 
 
Assim, 
 
e 
v1 =Vme
jθe jωt
i1 = Ae
jωt
i = Im cos ωt +φ( ) i = Re i1{ }
Im cos ωt +φ( ) = Re Ae jωt{ }
A = Ime
jφ
i1 = Ime
jφe jωt
Re{ } 
i = Im cos ωt +φ(
)
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Exemplo: Cálculo da resposta forçada if de 
 
Troca para a excitação complexa: 
 
Resposta complexa i1 deve satisfazer: 
 
Então, i1 pode ter a seguinte forma: 
 
Substituindo, obtemos 
d 2i
dt2
+ 2 di
dt
+8i =12 2 cos 2t +15°( )
v1 =12 2e
j 2t+15°( )
d 2i1
dt2
+ 2
di1
dt
+8i1 =12 2e
j 2t+15°( )
i1 = Ae
j2t
d 2
dt2
Ae j2t( )+ 2 ddt Ae
j2t( )+8 Ae j2t( ) =12 2e j 2t+15°( )
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Assim, 
 
Logo, 
 
Portanto, 
 
E a resposta real é: 
−4+ j4+8( )Ae j2t =12 2e j15°e j2t
A = 12 2e
j15°
4+ j4
=
12 2∠15°
4 2∠45°
= 3∠−30°
i1 = Ae
j2t = 3∠−30°( )e j2t = 3e j 2t−30°( )
i = Re i1{ }= Re 3e
j 2t−30°( ){ } = 3cos 2t −30°( )
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Exercício: Calcular a resposta forçada v: 
a) 10 Ω	
+ 
-	
[ ]V 10 8tjg ev =
1/20 F 
5 Ω	
+ 
v 
- 
i 
5i = v
v − vg
10
+ i + 1
20
dv
dt
= 0
v − vg
10
+
v
5
+
1
20
dv
dt
= 0
dv
dt
+6v = 20e j8tdv
dt
+6v = 2vg
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Resposta forçada: 
v = Ae j8t
dv
dt
+6v = 20e j8t j8Ae j8t +6Ae j8t = 20e j8t
6+ j8( )Ae j8t = 20e j8t
A = 20
6+ j8
=
20∠0°
10∠53,1°
= 2∠−53,1°
v = 2e− j53,1°e j8t = 2e j 8t−53,1°( )
b) Se vg = 10 cos(8t) [V], então: 
v = Re 2e j 8t−53,1°( ){ } = 2cos 8t −53,1°( )
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10.5 Fasores 
Fasores permitem colocar os resultados obtidos anteriormente em uma forma 
mais compacta. 
Tensão senoidal: 
 
Forma fasorial 
 
Razão para a definição de fasor (fórmula de Euler): 
 
Assim, 
V =Vme
jθ =Vm∠θ
Vm cos ωt +θ( ) = Re Vme jθe jω t{ }
v =Vm cos ω t +θ( )
v = Re Ve jω t{ }
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Exemplo: Dado 
Representação fasorial: 
 
Visto que ω = 4 rad/s, v é prontamente obtida de V. 
Representação fasorial para corrente: 
 
 
 
Exemplo: Dado ω = 6 rad/s, e I = 2∠15º, então temos: 
 
v =10cos 4t +30°( ) V!" #$
V =10∠30° V"# $%
I = Ime
jφ = Im∠φ 
i = Im cos ω t +φ( )
i = 2cos 6t +15°( )
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Representação fasorial para tensão e corrente é feita a partir da representação 
temporal na forma de cosseno. 
 
Exemplo: Dada a função: 
Podemos mudá-la para: 
 
 
Assim, a representação fasorial é: 
v = 8sen 3t +30°( ) V!" #$
v = 8cos 3t +30°−90°( )
= 8cos 3t −60°( )
V = 8∠−60° V#$ %&
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
pois θ = 0 e portanto, V = Vm ∠0º. Substituindo este valor e fazendo i = i1 na 
equação representativa, temos: 
 
onde i = Re{i1} 
L vg = Vm cos(ωt) 
R 
+ 
-	
 i 
L di
dt
+ Ri =Vm cos ω t( )
v1 =Vme
jω t =Ve jω t
L
di1
dt
+ Ri1 =Ve
jω t
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Tentando a solução: 
obtemos: 
 
Assim, 
 
Substituindo na expressão de i1, obtemos 
 
 
Tomando a parte real desta expressão temos: 
i1 = Ie
jω t
jωLIe jω t + RIe jω t =Ve jω t
jωLI+ RI =V
I = V
R+ jω L
=
Vm∠0º
R2 +ω2L2∠ tan−1 ω L
R
#
$
%
&
'
(
=
Vm
R2 +ω2L2
∠− tan−1 ω L
R
#
$
%
&
'
(
i1 =
Vm
R2 +ω2L2
exp j ω t − tan−1 ω L
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
0
10
2
3
0
40
i =
Vm
R2 +ω2L2
cos ω t − tan−1 ω L
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
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Note que podemos ir da equação característica do circuito: 
 
 
direto para a equação fasorial: 
L di
dt
+ Ri =Vm cos ω t( )
jω LI+ RI =V
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10.6 Relações Tensão-Corrente para Fasores 
Tensão-Corrente para resistores: 
 
onde 
 
 
Tensão e corrente complexas: 
 
Substituindo na lei de Ohm e eliminando o fator e jωt: 
v = Ri
i = Im cos ωt +φ( )
v =Vm cos ωt +θ( )
( )θω += tjmeVv1 ( )φω += tjmeIi1
Vme
j ω t+θ( ) = RIme
j ω t+φ( ) Vme
jθ = RIme
jφ V = RI
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Da equação: 
 
podemos verificar que 
 
 
Portanto, a tensão e a corrente senoidais para um resistor possuem o mesmo 
ângulo de fase, isto é, estão em fase. 
Vme
jθ = RIme
jφ
Vm = RIm
θ = φ
v,i 
t 
v 
i 
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Exemplo: R = 5 Ω, v = 10 cos(100t + 30º) [V] 
 
 
 
 
 
 
 
No domínio do tempo: 
i = 2cos 100t +30°( ) A!" #$
v 
+ 
-	
i 
R = 5 Ω	
 V = RI 
+ 
-	
I 
R = 5 Ω	
V =10∠30° V"# $%
I = V
R
=
10∠30°
5
= 2∠30° A"# $%
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Tensão-Corrente para indutores: 
 
 
 
 
 
 
Tensão e corrente complexas: 
v = Ldi/dt 
+ 
-	
i 
L V = jωLI 
+ 
-	
I 
jωL 
v = L di
dt
Vme
j ωt+θ( ) = L d
dt
Ime
j ωt+φ( )!
"#
$
%&
= jωLIme
j ωt+φ( )
v1 =Vme
j ωt+θ( ) i1 = Ime
j ωt+φ( )
Vme
jθ = jωLIme
jφ V = jωLI
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Se a corrente no indutor é dada pela a equação 
Então, como j = 1∠90º, temos: 
 
 
Portanto, no domínio do tempo temos: 
Comparando com , verificamos que a corrente pelo indutor está 
atrasada da tensão de 90º. 
i = Im cos ωt +φ( )
V = jωLI = jωL Im∠φ( )
=ωL Im∠φ +90°( )
v =ωLIm cos ωt +φ +90°( )
( )φω += tIi m cos
v,i 
t 
v 
i 
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Tensão-Corrente para capacitores: 
 
 
 
 
 
 
Tensão e corrente complexas: 
dt
dvCi =
v 
+ 
-	
i = Cdv/dt 
C V 
+ 
-	
I= jωCV 
1/jωC 
Ime
j ωt+φ( ) =C d
dt
Vme
j ωt+θ( )!
"#
$
%&
= jωCVme
j ωt+θ( )
v1 =Vme
j ωt+θ( ) i1 = Ime
j ωt+φ( )
Ime
jφ = jωCVme
jθ I = jωCV
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Se a tensão no capacitor é dada pela a equação 
Então, como j = 1∠90º, temos: 
 
 
Portanto, no domínio do tempo temos: 
Comparando com , verificamos que a corrente pelo capacitor 
está adiantada da tensão de 90º. 
v =Vm cos ω t +θ( )
I = jωCV = jωC Vm∠θ( )
=ωCVm∠ θ +90°( )
i =ωCVm cos ω t +θ +90°( )
v =Vm cos ωt +θ( )
v,i 
t 
v i 
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Exemplo: Capacitor C = 1 µF e tensão igual a 
 
 
 
 
 
 
 
Corrente no domínio do tempo: 
i = cos 100t +120°( ) mA!" #$
v 
+ 
-	
i = Cdv/dt 
C = 1 µF 
I = jωCV = j100( ) ⋅ 10−6( ) ⋅ 10∠30°( ) A$% &'
=1∠120° mA$% &'
v =10cos 100t +30°( ) V!" #$
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10.7 Impedância e Admitância 
Circuito geral com grandezas fasoriais: 
 
 
 
 
 
Impedância Z do circuito: 
Circuito 
Fasorial 
I 
+ 
V
_ 
V =Vm∠θ
I = Im∠φ
Z = V
I
Z = Z∠θz =
Vm
Im
∠ θ −φ( )
Z =
Vm
Im
θz =θ −φ
[Ω]	
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Impedância Z segue as mesmas regras dos resistores em circuitos. 
A impedância é um número complexo mas não é um fasor. 
Impedância na forma retangular: 
 
onde R = Re{Z} = componente resistiva (resistência) 
 X = Im{Z} = componente reativa (reatância) 
Em geral, Z = Z(jω) é uma função complexa de jω mas R = R(ω) e X = X(ω) são 
funções reais de ω. 
Note que 
Z = R+ jX
Z = R2 + X
2
θz = tan
−1 X
R
"
#
$
%
&
'
|Z| 
X 
θz 
R 
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Exemplo: V = 10∠56,9º e I = 2∠20º 
 
 
 
 
 
Forma retangular: 
Circuito 
Fasorial 
I 
+ 
V
_ 
Z = V
I
=
10∠56,9°
2∠20°
= 5∠36,9° Ω#$ %&
Z = 5 cos 36,9°( )+ j sen 36,9°( )!" #$
= 4+ j3 Ω!" #$
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Impedância Z de resistores, indutores e capacitores: 
 
 
 
 
No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a reatância 
zero. 
No caso do indutor e do capacitor, a impedância é reatância pura, sem 
componente resistiva. 
Reatância indutiva: 
Reatância capacitiva: 
ZR = R
X L =ωL
ZC =
1
jωC
= − j 1
ωC
=
1
ωC
∠−90°
XC = −
1
ωC
ZL = jωL
ZL = jX L
ZC = jXC
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A reatância indutiva é positiva e a reatância capacitiva é negativa. 
No caso geral, podemos ter as seguintes situações: 
•  X = 0 ⇒ circuito resistivo. 
•  X > 0 ⇒ circuito indutivo. 
•  X < 0 ⇒ circuito capacitivo. 
A recíproca da impedância é chamada de admitância: 
 
 
onde G = Re{Y} é a condutância e B = Im{Y} é a susceptância. 
Z = R+ jX
Y = 1
Z
Y =G + jB
Y =G + jB = 1
Z
=
1
R+ jX
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Relação entre as componentes de Y e Z: 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Importante: R e G (X e B) não são recíprocos!!! 
G + jB = 1
R+ jX
×
R− jX
R− jX
#
$
%
&
'
(
G + jB = R− jX
R2 + X 2
=
R
R2 + X 2
− j X
R2 + X 2
G = 1
R
B = − X
R2 + X 2
B = 1
X
G = R
R2 + X 2
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Exemplo: Z = 4 + j 3 
Então, 
 
Portanto, 
Y = 1
4+ j3
=
4− j3
42 +32
=
4
25
− j 3
25
G = 4
25
B = − 3
25
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10.8 Leis de Kirchhoff e Associações de Impedâncias 
As leis de Kirchhoff são válidas para fasores, assim como para as tensões e 
correntes correspondentes no domínio do tempo. 
A lei de Kirchhoff de tensões aplicada em um laço típico resulta na equação: 
 
Dividindo por e jω t, temos: 
 
ou seja, 
 
onde 
V1e
j ωt+θ1( ) +V2e
j ωt+θ2( ) +!+VNe
j ωt+θN( ) = 0
V1+V2 +!+VN = 0
Vn =Vn∠θn , n =1, 2,!, N
V1e
jθ1 +V2e
jθ2 +!+VNe
jθN = 0
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A lei de Kirchhoff de correntes aplicada em um nó típico resulta na equação: 
 
Dividindo por e jω t, temos , ou seja, 
 
onde 
 
Se as excitações são senoidais com frequência comum em um circuito, 
podemos encontrar as tensões e correntes fasoriais para todos os elementos e 
utilizar as leis de Kirchhoff para a análise. 
A análise em regime permanente c.a. é idêntica à análise para circuitos 
resistivos, com a impedância no lugar da resistência. 
I1e
j ωt+φ1( ) + I2e
j ωt+φ2( ) +!+ INe
j ωt+φN( ) = 0
I1+ I2 +!+ IN = 0
In = In∠φn , n =1, 2,!, N
I1e
jφ1 + I2e
jφ2 +!+ INe
jφN = 0
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
Lei de Kirchhoff de tensões: 
V =V1+V2 +!+VN
Z1 
+ V1 -	
Z2 
+ V2 -	
ZN 
+ VN -	
I 
+ 
V 
-	
Zeq V1 = Z1I V2 = Z2I VN = ZNI
V = Z1+Z2 +!+ZN( )I
V = Zeq I
Zeq = Z1+Z2 +!+ZN
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De maneira análoga, temos para N admitâncias em paralelo: 
 
 
 
 
 
Lei de Kirchhoff de correntes: 
 
Yeq =Y1+Y2 +!+YN
I 
+ 
V 
-	
Yeq 
I1 =VY1
YN Y1 Y2 
I1 I2 IN 
I2 =VY2 IN =VYN
I = I1+ I2 +!+ IN
I = Y1+Y2 +!+YN( )V
I =YeqV
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No caso particular de apenas dois elementos em paralelo, temos: 
 
 
Obs.: Regras de divisão de tensão e de corrente também são válidas para 
circuitos fasoriais, com a impedância e as quantidades no domínio da 
frequência. 
Zeq =
1
Yeq
=
1
Y1+Y2
=
Z1Z2
Z1+Z2
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Exemplo: Circuito RL. 
 
 
 
 
Lei de Kirchhoff de tensões no circuito fasorial: 
L vg = Vm cos(ωt) 
R 
+ 
-	
 i jωL Vm ∠0º 
R 
+ 
-	
 I 
RI+ZLI =Vm∠0°
R+ jωL( )I =Vm∠0°
I =
Vm∠0°
R+ jωL
=
Vm
R2 +ω2L2
∠− tan−1 ωL
R
#
$
%
&
'
(
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No domínio do tempo: 
 
 
 
 
Método alternativo de solução: 
Impedância vista pelos terminais da fonte é: 
 
e a corrente: 
 
como obtida anteriormente. 
I =
Vm
R2 +ω2L2
∠− tan−1 ωL
R
#
$
%
&
'
(
i =
Vm
R2 +ω2L2
cos ωt − tan−1 ωL
R
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
Z = R+ jωL
I = V
Z
=
Vm∠0°
R+ jωL
jωL V 
R 
+ 
-	
I 
Z 
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10.9 Circuitos Fasoriais 
Equação representativa de um circuito fasorial é uma equação fasorial. 
Resolvendo esta equação obtemos uma resposta na forma de fasor, que é 
convertida para uma resposta no domínio do tempo. 
 
Exemplo: Cálculo de i no circuito. 
vg = 5 cos(3t) 
3 Ω 
+ 
-	
1 Ω 
1H 
1/9 F 
i i1 
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5∠0º 
3 Ω 
+ 
-	
1 Ω 
j3 Ω 
-j3 Ω 
I I1 
Impedância vista dos terminais da fonte: 
 
Portanto, temos: 
 
Por divisão de corrente, temos: 
 
Corrente no domínio do tempo: 
Z =1+
3+ j3( ) − j3( )
3+ j3− j3
= 4− j3
I1 =
5∠0°
4− j3
=
5∠0°
5∠−36,9°
=1∠36,9°
I = 3+ j3
3+ j3− j3
I1 = 1+ j( ) ⋅ 1∠36,9°( ) = 2∠45°( ) ⋅ 1∠36,9°( ) = 2∠81,9°
i = 2 cos 3t +81,9°( ) A!" #$
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Exemplo: Cálculo de i no circuito com fonte de tensão dependente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Kirchhoff de correntes em a: 
V1 
I 
+ 
-	
4 Ω 
-j2 Ω	
3∠0º [A] (1/2)V1 
+ 
-	
a 
v1 
i 
+ 
-	
4 Ω 
1/8 F 
3cos(4t) [A] (1/2)v1 
+ 
-	
a 
I+
1
2
V1
− j2
= 3∠0°I+
V1 −
1
2
V1
− j2
= 3∠0°
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Pela lei de Ohm, temos V1 = 4I, logo 
 
 
 
 
Portanto, temos: 
 
 
Obs.: O método fasorial de obter i, calculando primeiramente I = V/Z e 
trocando I por i, não funciona se Z(jω) = 0. Pois, neste caso, o circuito é 
excitado na frequência natural jω. 
I+
1
2
4I
− j2
= 3∠0°
− j2I+ 2I = − j6
I = − j6
2− j2
=
6∠−90°
2 2∠− 45°
=
3
2
∠− 45°
i = 3
2
cos 4t − 45°( ) A"# $%