Curso de Circuitos Elétricos-Orsini e Consoni.pdf

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Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 – Capítulo 1 
 
 
Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos 
 
 
L. Q. Orsini e D. Consonni 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
CURSO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Volume 1 
 
 
 
1. Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos 
 
 
2. Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff 
 
 
3. A Análise Nodal e suas Variantes; Análise de 
Malhas 
 
 
4. Redução de Redes e Aplicações Tecnológicas 
de Redes Resistivas 
 
 
5. Estudo de Redes de Primeira Ordem 
 
 
6. Estudo de Redes de Segunda Ordem 
 
 
7. Introdução à Transformação de Laplace 
 
 
8. Transformação de Laplace e Funções de Rede 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA INFORMAÇÃO 
ELÉTRICA ENERGIA 
 
A Engenharia Elétrica visa essencialmente 
prover 
 materiais, dispositivos 
 RECURSOS processos físicos e 
 químicos 
 
 MÉTODOS análise e síntese 
 
para promover: 
• Produção 
• Transmissão 
• Distribuição 
• Armazenagem 
• Transformação 
• Processamento 
 
 
de ENERGIA e INFORMAÇÃO
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
Engenharia Elétrica 
 
 
Aplicações práticas de fenômenos 
eletromagnéticos 
Eletromagnetismo 
 - Oersted 1820 
 - Gauss / Ampère ~ 1825 
 - Faraday - Henry 1831 
 - Siemens ~ 1850 
 - Maxwell 1864 
 - Hertz 1888 
 - Landell de Moura 1894 
 - Marconi 1901 
 
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tensões 
e 
correntes 
campos dentro 
de condutores 
interação de 
campos 
Teoria 
Eletromagnética 
Restrições 
Leis de 
Kirchhoff 
Teoria das 
Redes Elétricas 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
Eletromag x Circuitos 
Teoria Clássica de Eletromagnetismo 
 
Equações de Maxwell 
 
Leis que relacionam campos elétricos e magnéticos 
 
grandezas vetoriais 
 
Métodos de solução complicados aproximações 
 
Teoria Clássica de Circuitos 
 
Leis de Kirchhoff 
 
Relações entre tensões e correntes em elementos simples 
ideais: R L C 
 
grandezas escalares 
 
Métodos de solução bem estabelecidos 
 
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E x e m p l o s 
 
 
 a) Rede de distribuição de energia 
 Elétrica: 60 Hz 
 5a harmônica: 300 Hz 
 
 
λ = = =c
f
3.10
300
10 metros
8
6
 
 
Sistema contido em um raio de 10 km 
 
 Vale a Teoria dos Circuitos 
 
b) Receptor FM: 100 MHz 
 
λ = =3.10
10
3 metros
8
8 
 
 λ/4 = 0,75 m 
 Dimensões do circuito << 75 cm 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
TABELA DE UNIDADES 
 
 
 SISTEMAS CONSISTENTES 
GRANDEZA S.I. A.F. R.F. U.H.F. 
Tensão V V V V 
Corrente A mA mA mA 
Resistência Ω kΩ kΩ kΩ 
Condutância S mS mS mS 
Capacitância F µF nF pF 
Indutância H H mH µH 
Tempo s ms µs ns 
Freq. angular rad/s krad/s Mrad/s Grad/s 
Frequência Hz kHz MHz GHz 
 
T Tera 1012 
G Giga 109 
M Mega 106 
k Quilo 103 
m Mili 10-3 
µµµµ Micro 10-6 
n Nano 10-9 
p Pico 10-12 
 
 
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SISTEMAS DE UNIDADES CONSISTENTES 
 GRANDEZA S.I. 
ÁUDIO 
FREQ. 
RÁDIO 
FREQ. 
Tempo seg mseg µseg 
Frequência Hz kHz MHz 
Tensão V V V 
Corrente A mA mA 
Resistência Ω kΩ kΩ 
Condutância S mS mS 
Capacitância F µF nF 
Indutância H H mH 
 
 
 
 
 
 
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MODELAMENTO 
 
 Lanterna: 
 
 
 
 
 Modelo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
chave 
lâmpada 
mola 
pilhas 
capa 
R1 Rc 
Rllll 3V 
Rllll 
3V 
R1 
Rc 
 
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MODELOS
S
TEORIAS 
INTERPRETAÇÃO 
DOS 
FENÔMENOS 
SÍNTESE PROJETO 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I : 
 
CONCEITOS BÁSICOS: 
 
 • CARGA ELÉTRICA q (t) : 
 
 Múltiplo inteiro de 1,602 . 10-19 coulombs 
 
 • CORRENTE ELÉTRICA ATRAVÉS DE 
 UMA SUPERFÍCIE: 
 
 - VALOR MÉDIO: 
 
 
i = 
q(t)
t
 (AMPÈRES)m
∆
∆ 
 
 
 - VALOR INSTANTÂNEO: 
 
 
 
 
i(t) = 
dq(t)
dt
 ( AMPÈRES )
 
 
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Carga elétrica 
 • Conservativa 
 • Quantizada 1,6 . 10-19 C 
 • Bipolar 
 Atração e Repulsão 
 
 • Móvel ou Fixa 
 
 • Materiais: 
Condutores
Semi condutores
Isolantes
−
R
S
||
T
|
|
 
 
 Corrente Elétrica ( física ) 
 • Condução lâmpada incandescente 
 • Convecção íons em eletrólitos → luz néon 
 • Difusão semicondutores 
 • Deslocamento dielétricos 
 
 i(t) = dq/dt 
 
 
q t i d q t0t
t
0
b g b g b g= +z τ τ 
 
+ 
 
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CORRENTE ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 Q1 Q2 
 
 
 
Sentido de Referência 
 
 
 
 
 
 
 Q3 Q4 
 
 
 
i
Q
t
Q Q Q Q
tm
1 2 3 4= = + − + −∆
∆ ∆ 
 
+ 
+ 
 
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Contínua CC 
 DC 
 Ex.: senoidal 
 - Periódica, média 
 nula num período 
 
 Alternativa CA 
 AC 
 Ex.: exponencial 
 Não-periódica 
 Ex.: triangular 
 Pulsada 
i 
t 
i 
t 
i 
t 
i 
t 
 
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A 
i 
Amperímetro 
 Ideal 
curto-circuito 
– 3 A 3 A 
A A 
 
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CONCEITO DE TENSÃO ELÉTRICA 
( ddp ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Circuito elétrico 
 
 
 
b) Analogia mecânica 
 
i 
B i εεεε R 
i 
 
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 d w(t) = v(t) dq(t) 
 
 
 
 d w(t) →→→→ energia ( trabalho ) necessária 
 para separar cargas positivas 
 de cargas negativas ( J ) 
 
 
 dq(t) →→→→ quantidade de carga a ser 
 separada ( C ) 
 
 
 
 v(t) →→→→ tensão elétrica ( V ) 
 
 
 
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Tensão Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
Q 
E 
Q Q 
d v = 0 v = Ed 
 Polaridade 
 de 
 referência 
 Ele- 
mento v V 
v = Ed v = Ed 
Q Q 
Q Q 
 Referência de Potencial B 
A A 
vA vAB = vA - vB 
 
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FONTES DE TENSÃO 
 
 
• Ação Química Baterias, Pilhas 
 
• Magnetismo Geradores 
 
• Luz → Fotoeletricidade Célula Solar 
 
• Calor → Termo-eletricidade 
 Par termoelétrico 
 
• Pressão Mecânica → Piezoeletricidade 
 Cristal piezoelétrico 
 
• Fricção 
 
 
 
 
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Volta apresenta a 
Napoleão e a 
cientistas 
franceses sua grande 
invenção (1799) 
A pilha inventada por Alessandro Volta
 
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PILHA VOLTAICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 água sulfato de cobre 
 
 íons de cobre 
 íons de zinco 
 
 
 
 
 
corrente de 
elétrons 
Cobre Zinco 
 
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Pilha Seca Alcalina 
 
Células Primárias 
 
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BIPOLOS ELÉTRICOS 
 
 - SÍMBOLOS : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - PROPRIEDADES: 
 
 
i t i' t , t
v t v t v t , tA B
b g b g
b g b g b g
= ∀
= − ∀
R
S|
T| 
i A 
v 
i’ 
B 
i A 
v 
i’ 
B 
 
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i J x dS
S
= z r r
 
v E x d
b
a
= z r rl 
 
i
dq
dt
=
 
 
v
dw
dq
=
 ( CAMPO POTENCIAL ) 
 
AMPERÍMETRO VOLTÍMETRO 
 
 
i 
v
a 
b
i i 
A 
V 
v 
 
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I M P O R T A N T E : 
 
 AS FLECHAS DE REFERÊNCIA 
 DE TENSÃO E DE CORRENTE 
SÃO - 
 
- REGRAS PARA LIGAR 
VOLTÍMETROS E AMPERÍ- 
METROS AO CIRCUITO ! 
 
 
 
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 Potência instantânea : 
 
 
 
 
 p(t) = ( W ) 
 
 
 Mas : 
 
 d w(t) = v(t) . d q(t) 
 e 
 d q(t) = i(t) . dt 
 
 p(t) = v(t) . i(t) 
 
 
d w(t) 
 dt 
 
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v(t)
dw(t)
dq(t)
=
 
 - É MEDIDA PELOS VOLTÍMETROS 
 - POTÊNCIA INSTANTÂNEA: 
 p(t) = v(t) . i(t) ( WATTS ) 
 
- PARA SABER SE A POTÊNCIA 
 ESTÁ SENDO RECEBIDA OU 
 FORNECIDA É PRECISO FIXAR 
CONVENÇÕES ! 
( VOLTS ) 
 
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CONVENÇÕES 
Gerador 
 
 
 
 
 
 
 
Receptor 
 
 
 
 
 
i 
A 
V v 
i 
V 
i 
v 
A 
V v 
i 
 
 
A 
V v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 
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SENTIDOS DE REFERÊNCIA 
NOS BIPOLOS 
 
Convenção do Receptor (SPICE) 
 
 
 
 
 
 
Convenção do Gerador 
 
 
 
 
i 
v
i 
v V 
A 
 
 
V 
A 
 
 
 
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- CONVENÇÃO DO GERADOR: 
 
v.i > 0 BIPOLO FORNECE 
 POTÊNCIA 
 
- CONVENÇÃO DO RECEPTOR: 
 
 v.i > 0 BIPOLO RECEBE 
 POTÊNCIA 
 
 
 
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P
1
t t
. p t .dt
2 1
t
t
1
2=
− z b g 
 
CONVENÇÃO DE NOTAÇÃO: 
 - LETRAS MINÚSCULAS PARA 
 FUNÇÕES DO TEMPO. 
 - LETRAS MAIÚSCULAS PARA 
 GRANDEZAS INDEPENDENTES 
 DO TEMPO. 
 - CASO DE v E i PERIÓDICOS 
 COM PERÍODO T : 
 
 
P
1
T
v t . i t . dt
T
= z b g b g 
( WATTS ) 
 
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w t, t p .d0 t
t
0
a f a f= =z τ τ 
 
 
= z v . i . dtt0 τ τ τb g b g 
 
 
UNIDADE PRÁTICA DE ENERGIA: 
- QUILOWATT – HORA ( kWh ) 
1 kWh = 3,6 . 106 J 
 
- MEDIDOR DE ENERGIA: 
CALCULA 
 
p . d
t
t
0
τ τb gz 
( JOULES ) 
 
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ALGUNS VALORES NUMÉRICOS 
 
CARGA ELÉTRICA 
 
• Carga em uma célula DRAM (quando o bit 1 é 
armazenado) 50 fcoulomb 
• Carga em um capacitor de potência 5 mcoulomb 
• Carga em um raio 3000 coulomb 
 
 
CORRENTE ELÉTRICA 
 
• Corrente de fuga em transistores de CIs fA 
• Corrente de sinais em transistores de CIs µA-mA 
• Limite de corrente suportada pelo corpo humano 
 ~10mA 
• Correntes de alimentação em CIs 100mA-10A 
• LED 10mA-100mA 
• Lâmpadas e eletrodomésticos pequenos 1A-10A 
• Limite de Corrente residencial 20A 
• Rede de distribuição residencial 100A 
• Rede de distribuição comercial ou industrial 1000A 
 
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ALGUNS VALORES NUMÉRICOS 
TENSÃO ELÉTRICA 
• Sinal em uma antena 1µV 
• Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) 1µV 
• Sinal de áudio (CD player) 100mV 
• Tensão de alimentação de um CI 1,8V a 12V 
• Bateria de carro 12V 
• Rede de distribuição residencial 10kV 
• Monitor a cores 10kV 
• Sistema de transmissão de potência 100kV 
POTÊNCIA 
 
• Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) pW 
• CIs µW a vários W 
• Lâmpada residencial 100W 
• Aquecedor elétrico 1kW 
• Máximo consumo residencial 25kW 
• Sistema de som em show de rock 50kW 
• Central transmissora de rádio 100kW 
• Sistema de iluminação de show de rock 250kW 
• Usina de geração de energia elétrica 1GW 
 
 
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PASSIVOS
RESISTORES
CAPACITORES
INDUTORES
ATIVOS
GERADORES DE TENSÃO
GERADORES DE CORRENTE
R
S|
T|
RST
R
S
|
|
|
|
T
|
|
|
|
 
 
 
 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À 
 RELAÇÃO CORRENTE-TENSÃO: 
 
 
−
−
RST
LINEARES
NÃO LINEARES 
 
 
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 v = r ( i ) i = g ( v ) 
 1 – Linear Fixo Ideal 
 
 v = R i R ΩΩΩΩ 
 i = G v G S 
 
 
 p vi Ri Gv
v
R
i
G
2 2
2 2
= = = = = 
 
 2 – Linear Variável 
 v ( t ) = R ( t ) i ( t ) 
 
 reostato controle 
 de corrente 
 
 
 potenciômetro 
 controle de tensão 
 
 3 – Não-linear 
i 
R v 
B A 
B 
A 
 
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George Simon Ohm 
 
 
• Alemão (Erlangen, 1789; 
Colônia, 1854) 
• Físico e Matemático 
• Professor de Física, Univ. 
de Colônia 
• 1827 Lei de Ohm 
(empírica) 22 anos para 
ser reconhecida 
• Pesquisas nas áreas de 
física molecular, acústica 
e comunicação 
telegráfica 
 
Aparato Experimental usado por Ohm 
R
A
= ρ. l
 
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v = r ( i ) i = g ( v ) 
 Controlado por Controlado por 
 corrente tensão 
 
Ex: Diodo ideal 
 
 
 
 
 
 
Diodo real: i = g(v) = Is ( e
λλλλv – 1 ) 
i 
v 
i 
v 
v 
i i 
v 
curto 
aberto 
 
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1 – Carvão 
 
 Valor 
 Potência máxima 1/8 1/4 1/2 
 1 2 watts 
 Tolerância 10 % 5 % 1% 
 0,5 % 0,1 % 
 
 Imax
Pmax
R
= 
 Tensão 
 Frequência 
Resistência varia com Umidade 
 Temperatura 
2 – Fio 
 Potências mais elevadas 
 Modelo: 
 
3 – Filme Metálico: Circuitosintegrados 
Corrente máxima: 
 
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 q ( t ) = C ( v ) 
 1- Linear , Fixo →→→→ Ideal 
 
 q = C v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 - Linear , Variável 
 q ( t) = C ( t ) v ( t ) 
 
 
 
3 - Não – linear 
 Ex.: q(t) = C ( v ) . v(t) 
i 
C v i C dv
d t
=
 
v
1
C
id t v t 0
t
t
0
= +z b g
p
1
2
C
d v
d t
2
=
W
1
2
C v v t
1
2
q
C
2 2
0
2
= − =b gd i
i (t) C t
dv(t)
d t
v (t)
d C t
d t
= +( )
( )
 
0 
 
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Garrafa de Leyden 
 
Universidade de Leyden ( Holanda ) 
 1746 
 
 
 A ↑↑↑↑ 
 d ↓↓↓↓ C ↑↑↑↑ 
C
A
d
= εεεε
 
 
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 Valores: µµµµF →→→→ pF 
 Especificações: Ex.: 100 nF / 500V 
 
 
 
 Tipos: de acordo com o dielétrico 
 •••• cerâmica 
 •••• mylar 
 •••• poliestireno 
 •••• eletrolítico 
 •••• tântalo 
 
 Modelo: 
 
 
 
 
 
tensão de ruptura 
do dielétrico 
C G 
 
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 v
1
C
id t v 0= +z v 1C id t v 0= −z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v
1
C
idt v 0= − +z v 1C idt v 0= − −z 
i(t) 
v(t) v0 
i C
dv
d t
=
i(t) 
v(t) v0 
i C
dv
d t
= −
 
i(t) 
v(t) v0 
i(t) 
v(t) v0 
 
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 ψψψψ = L ( i ) 
 1 – Linear , Fixo →→→→ Ideal 
 
 
 v
d
dt
L
d i
d t
= =ψ 
 
 i
1
L
v d t i t 0
t
t
0
= +z b g 
 p
1
2
L
d i
d t
2
= 
 w
1
2
Li
1
2
L i2 0
2= − 
 2 – Linear, Variável 
 ψψψψ = L ( t ) i ( t ) 
 v L t
di(t)
dt
i(t)
dL(t)
dt
= +b g 
 3 – Não-linear 
 Ex.: 
i 
v L 
ψψψψ = L . i 
 
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Solenóide com espiras bem afastadas, mostrando 
as linhas de indução magnética e a sua 
concentração no interior da bobina. 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i L v dt i 0= +z1 i L v dt i 0= −z1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i(t) 
v(t) i0 
i(t) 
v(t) i0 
v L
di
dt
=
 
i(t) 
v(t) i0 
i(t) 
v(t) i0 
v L
di
dt
= −
 
i
L
v dt i 0=
− +z1 i L vdt i 0= − −z1
 
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 Tensão Corrente 
 
 
 Resistência Condutância 
 
 
 Indutância Capacitância 
 
 
 Carga elétrica Fluxo magnético 
 
 
 Aberto Curto 
 
 
 
Carga elétrica Fluxo magnético 
Indutância Capacitância
a
Tensão Corrente 
Resistência Condutância 
Aberto Curto 
 
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 RESISTOR CAPACITOR INDUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 p = R i
2 
 G v
2 
 v2/ R 
 i2/ G 
 
 
i 
L v 
i 
C v 
i 
v 
R 
G 
q = C v ψψψψ = L i 
v = Ri v
1
C
idt v0= +z v L didt=
i = Gv i C
dv
dt
= i
1
L
vdt i0= +z 
p C
dv
dt
2
= 1
2 
p L
di
dt
2
= 1
2 
w Cv2= 1
2 
w Li 2= 1
2 
 
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 p = v i = v
2
 G 
 R 
( G ) 
v 
i 
v(t) 
1 
-1 
t
G 
p(t) 
t 
> 0 
w(t) 
t 
w p d
t
t
0
= z λλλλ λλλλb g
i(t) 
G 
-G 
t
i = G v 
 
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i 
C v 
i C
dv
dt
= i(t) 
C 
-C 
t1 2 1 0 2 
1 
t
v(t) 
v t
1
C
i d v t 0
t
t
0
b g b g b g= +z λλλλ λλλλ
p(t) 
C 
-C 
t1 2 
receb
e 
> 0 
< 0 
dá 
p = v i 
1 0 2 
C/2 
t
w(t) 
w
1
2
Cv2=
v(t0) = 0 
 t0 = 0 
 W > 0 passivo 
(convenção receptor) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gerador Real: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
ic 
E RC 
( carga ) 
Rg 
vc 
vc 
ic 
E 
ideal 
real 
vc 
Rc 
E 
ideal 
real 
es(t) 
 
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FONTES DE ALIMENTAÇÃO AC/DC 
 
 
Tensão AC Retificação e Filtragem 
 Tensão DC 
 
 
a) Terminais disponíveis 
b) Tensão positiva em relação ao terra 
c) Tensão negativa em relação ao terra 
d) Tensão flutuante 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerador Real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ic 
vc 
I 
ideal 
real 
ic 
Rc 
I 
ideal 
real 
is(t) is(t) I 
ic 
I RC 
( carga ) 
Rg vc 
 
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µµµµ - ganho de tensão rm - transresistência 
 
 Geradores de Tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
gm - transcondutância ββββ - ganho de corrente 
 
 Geradores de Corrente 
vc rm ic ic 
vc ic ββββ ic gm vc 
µµµµvc 
 
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 Aplicação dos geradores vinculados 
Transistor Bipolar 
 Símbolo 
C - Coletor 
E - Emissor 
B - Base 
 Estrutura Física 
 Modelo em circuitos 
rππππ ββββib 
ib 
 
ic 
 
E 
B 
E 
C 
ic = ββββ ib 
 
 
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 H ( t ) = u-1 ( t ) = 1111( t ) 
 
 
 = 
 
 
H(t) 
t 
1 
0 para t 0
1 para t 0
<
≥
RST
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 Pulso retangular de duração ττττ 
 f(t) = E [ H(t) – H ( t – ττττ ) ] 
 
 
 
 
 
 
 Pulso senoidal 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(t) E sin
2
T
. t . H t H t
T
2m
= FHG
I
KJ − −
F
HG
I
KJ
L
NM
O
QP
ππππ b g
 
E 
ττττ 0 t 
f(t) 
Em 
T/2 0 t 
f(t) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 Função co-senoidal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
t 
v t 115 2cos377t H tb g d i b g=
Função rampa 
f (t) = t [ H(t) – H( t – T ) ] 
Pulso de radar 
v(t) = V [ H(t – t0) – 
-H(t – t0 – ∆∆∆∆)] sen ωωωω(t-t 0) 
Onda quadrada 
f t H sen
t
T
H sen
t
T
b g = FHG
I
KJ
F
HG
I
KJ − −
F
HG
I
KJ
F
HG
I
KJ
ππππ ππππ
 
t 
E 
T 
t t0 t0 +∆∆∆∆ 
+v 
–v 
1 
T 2T 
-1 
t 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1/ττττ1 
 
 
Função de Dirac: 
 
 
 
A função de Dirac é, de fato, uma 
função generalizada . 
1 
ττττi ττττ2 τ1 
f i(t) 
t 
f t
0 para t 0
t
0 t
1 para t
i
i
i
i
b g =
≤
< ≤
>
R
S
||
T
|
|
ττττ
ττττ
ττττ
 
f t
0 para t 0
1
0 t
0 para t
i
'
i
i
i
b g =
≤
< ≤
>
R
S
||
T
|
|
ττττ
ττττ
ττττ
 
1/ττττi 
ττττi ττττ2 τ1 
f i’(t) 
t 
1/ττττ2 
δδδδ(t) = lim f i’(t) 
τi→0 
 
 
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 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO 
 IMPULSIVA 
 
• δ(t) = 0, ∀ t ≠ 0 
 
• δ(t-t 0) = 0, ∀ t ≠ t0 
 
Representações gráficas da função 
impulsiva: 
 
 δ(t) ∞ δ(t-t 0) ∞ 
 
 
 
 0 t 0 t0 t 
 
• δ τ τ( )dt
t
= ∀ >
−z 1 01 , t, t1 
• )t(
dt
)t(dH
δ= 
• f t T t dt f T( ). ( ) ( )− =−∞
∞z δ 
 
 (para f (.) contínua em T) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f ’ 1 
t 
( E ) 
t2 
t1 
(–E ) 
E/ττττ 
f ’ 2 
t 
(–E ) 
ττττ 
f3 
E 
1 2 t 3 
–E 
f ’ 3 
t 
( 2E ) 
1 3 
(–2E ) 
2 
( 2E ) 
(–2E ) 
f ’ 4 
3T 2T t 
( E ) 
T 
( E ) ( E ) 
. . . 
f1 
E 
t1 t2 t 
E 
ττττ t 
f2 
f4 
E 
T 2T t 3T 
2E 
3E 
. . . 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 eg(t) = E e
 s t E, s reais 
 
 s = – σσσσ E > 0, σ > 0 
 
 eg(t) = E e
 – σσσσ t = E e – t/ττττ 
 
 σσσσ →→→→ freqüência neperiana ( Np/s ) 
 
 
 
 Para t = ττττ →→→→ eg = E/e 
eg 
t 
E 
ττττ 2ττττ 3ττττ 
37 % 
13,5 % 5 % 
ττττ
σσσσ
= 1
 
→→→→ constante de tempo ( s ) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
EXCITAÇÃO CO-SENOIDAL 
 
• Derivada e Integral → Senóides 
Circuito em Regime Permanente Senoidal 
• Dispositivos Reais → 
 geram excitação senoidal 
• Soma de senóides de mesma freqüência = 
senóide 
• Análise de Fourier → ∀ função periódica = 
=soma de senóides harmônicas, da forma 
 fk(t) =A km cos (k ωωωω0t + θθθθk ) 
 (k = 0, 1, 2, …) 
Akm = amplitude ou valor máximo ou valor de 
pico (real e > 0) da k-ésima harmônica 
 
ωωωω0 = freqüência angular fundamental (real, rd/s) 
 
θθθθk = defasagem (real, o ou rd) 
 
fk = freqüência da k-ésima harmônica (real , Hz 
ou ciclos/s) 
 
T = período (real, s) = 1 / f 0 , ωωωω0 = 2ππππ / T 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Retangular ou Cartesiana 
 
 
 
 
Fórmula de Euler : e
 j φφφφ = cos φφφφ + j sin φφφφ 
Séries de Mac Laurin: 
 
 sinx x
x
3!
x
5!
x
7!
. . . . . .
3 5 7
= − + − + 
 cosx 1
x
2!
x
4!
x
6!
. . . . . .
2 4 6
= − + − + 
e cosx jsinx 1 jx
jx
2!
jx
3!
. . . .jx
2 3
= + = + + + +b g b g 
 
j y 
j b z 
a x 
φφφφ 
z  
z = a + j b 
z = z e j φφφφ = z  φφφφ 
Polar 
z = z cos φφφφ + j z sin φφφφ = z (cosφφφφ + jsinφφφφ) = 
 = z e
 j φφφφ 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 e jθθθθ = cosθθθθ + j senθθθθ 
 
 Seja B = cosθθθθ + j senθθθθ 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 Integrando : 
 lnB = j θθθθ + C ←←←← constante 
 Para θθθθ = 0 →→→→ B = 1 →→→→ lnB = 0 
 ⇒⇒⇒⇒ C = 0 ⇒⇒⇒⇒ B = e
 jθθθθ 
 ⇒⇒⇒⇒ e j θθθθ = cosθθθθ + j senθθθθ 
dB
d
sen j cos
j cos + j sen
θθθθ
θθθθ
==== θθθθ θθθθ
= − +θ
b g 
dB
d
j B
θθθθ
=
 
dB
B
j d= θθθθ
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 Fórmulas de Euler : 
 
 e jφφφφ = cos φφφφ + j sen φφφφ 
 e – jφφφφ = cos φφφφ – j sen φφφφ 
 
 Forma Cartesiana: z = a + jb 
 Forma Polar : z = z e
 j φφφφ 
 
 
a z cos
b z sen
=
=
R
S|
T|
φφφφ
φφφφ 
 
 
z a b
arctg b a
2 2= +
=
R
S|
T| φφφφ 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
1 – Soma e Subtração →→→→ 
 Forma Retangular ou Cartesiana 
 z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2 
 z1 ±±±± z2 = ( a1 ±±±± a2 ) + j ( b1 ±±±± b2 ) 
 
 
 
 
 
2 – Multiplicação e Divisão →→→→ 
 Forma Polar 
 z c e1 1
j 1= φφφφ z c e2 2
j 2= φφφφ 
 z z c c e1 2 1 2
j 1 2= +( )φφφφ φφφφ 
 
 
j y 
x 
z1 + z2 z2 
z1 
z z
c
c
e1 2
1
2
j 1 2= −( )φφφφ φφφφ
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 Propriedades : 
 
 z = a + j b = z e
 jφφφφ 
 
 z* = a – j b = z e
 – jφφφφ 
 z + z* = 2 a = 2 Re ( z ) 
  e jφφφφ  = 1 
 
 e ±±±± j ππππ = 1 ±±±± ππππ = – 1 
 e ±±±± j ππππ/2 = 1 ±±±± ππππ/2 = ±±±± j 1 
 
 Fórmulas de Moivre : 
 
cos t
1
2
e ej t j tωωωω ωωωω ωωωω= + −d i 
 sen t 1
2 j
e ej t j tωωωω ωωωω ωωωω= − −d i
 
 
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Coordenadas Retangulares: a, b 
 
Coordenadas Polares: r, Φ 
Im 
Re 
z 
jb 
r 
a 
Φ 
 
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Conjugados 
Im 
Re 
z jb 
r 
a 
Φ 
-jb 
r 
-Φ 
z* 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Círculo Unitário 
-1= e -j180 = e j180 1 = e 
j0 
Im 
Re 
ejΦ senΦ 
1 
cosΦ 
Φ 
-j = e -j90 
j = e j90 
 
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 e –jΦ 
 
 
 
Círculo Unitário 
1 = e j0 -1= e j180 
Im 
Re 
ejΦ senΦ 
1 
cosΦ 
Φ 
-j = e -j90 
j = e j90 
-cosΦ 
sen(-Φ) 
1 
Φ 
Φ 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) = 
 
 
1
2
A e A e
R e A e
m
j t
m
* j t
m
j t
$ $
$
ωωωω ωωωω
ωωωω
+R
S|
T|
−d i
 
 
 
 Valor instantâneo do sinal →→→→ 
 
 Domínio do tempo →→→→ 
 
 s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) 
 
 Fasor associado a sinal senoidal: 
 
 
$S A e Am
j
m= =
θθθθ θθθθ 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
CO-SENÓIDES E FASORES 
 
Função co-senoidal no domínio do tempo: 
 
y t Y t Ym m( ) cos( ) ,= + > >ω θ ω 0 0 
 
Fasor que a representa: 
 
• Exprimir a função como parte real do 
complexo: 
 
ℜ = ℜ+e Y e e Y e em
j t
m
j j t[ ] [ . ]( )ω θ θ ω 
 
• O fasor representativo dessa função será 
definido por: 
 
 
$ $ , arg $Y Y e Y Y Ym
j
m= = =
θ θ 
 
 
• Notação de Kennely : 
$Y Ym= ∠θ 
 
 
 
� ângulo θ pode ser fornecido em graus ou radianos 
� freqüência ω deve ser dada à parte 
� o módulo e o ângulo do fasor são, respectivamente, a 
amplitude e fase da função co-senoidal 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
CO-SENÓIDES E FASORES 
 
 
Função co-senoidal representada por fasor: 
 
Dados um fasor e sua freqüência, determinar a 
correspondente função do tempo : 
 
• Escrever o fasor na forma exponencial: 
 
$Y Y em
j= θ 
 
• Adicionar a informação de freqüência : 
 
 
$ ( )Y e Y ej t m
j tω ω θ= +
 
 
• Tomar a parte real desta expressão: 
 
y t e Y e Y tm
j t
m( ) [ ] cos( )
( )= ℜ = ++ω θ ω θ 
 
 
O módulo e o ângulo do fasor são, 
respectivamente, a amplitude e a defasagem da 
função y(t) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
i 
v 
$ $V RI=
C 
i 
v 
v L 
i 
i 
v 
t 
$ $V
1
j C
I=
ωωωω 
 
i 
v 
t 
$ $V j LI= ωωωω
 
i 
v 
t 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
DIAGRAMAS FASORIAIS NOS 
ELEMENTOS BÁSICOS DE 
CIRCUITOS 
 
 Resistências 
 - corrente e tensão em fase 
 i 
 
 V 
 R v V = R II 
 
Indutâncias 
 - corrente atrasada de π / 2 
 i 
 V 
 L v I V = j ω L I 
 
 
 
 
Capacitâncias 
 - corrente adiantada de π / 2 
 i 
 I V = -j I /(ω C) 
 C v V 
 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = GV Resistor V = RI 
Capacitor I = j ωωωωCV V = – j 1 ωωωωC 
I 
I = – j 
 1 
ωωωωL 
V Indutor V = jωωωωLI 
Impedância: Z = V / I 
Admitância: Y = I / V 
Resistor Z = R Y = G 
Capacitor Z = 1 
jωωωωC 
Y = jωωωωC 
Indutor Y = 1 
jωωωωL 
V – I 
Z = jωωωωL 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
f(t) = Amsin(ωωωωt + φφφφ) = Amcos (ωωωωt + φφφφ – 90o) 
 sin a = cos ( a – 90
o ) * 
 sin a = cos ( 90
o – a ) 
 a = ωωωωt + φφφφ 
Co-senóide + DC →→→→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Médio 
vAB 
t 
VAB 
t 
Componente Contínua 
 DC 
V
1
T
v dtAB AB
0
T
= z 
vab 
t 
Componente incremental 
 AC ( alternativa ) 
+
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1 
 
 
 
 
 
 
– Amp Op 
 
 
 
 
 µµµµ →→→→ ganho de tensão 
 
– Trafo ideal 
 
 
 
 
 
 
 
– Girador ideal 
 
 
 
v1 v2 
i1 i2 
-µµµµv1 
v v
i
2 1
1
= −
=
RST
µµµµ
0 
i1 
v1 
i2 
v2 
n1 : n2 v
n
n
v
i
n
n
i
2
2
1
1
2
1
2
1
=
= −
R
S
||
T
|
| 
 n1 / n2 = relação de transformação 
v1 v2 
i2 i1 k v k i
v k i
1 2
2 1
=
= −
RST
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 – Capítulo 2 
 
 
Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff 
 
 
L. Q. Orsini e D. Consonni 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B6 B1 B2 
B3 B4 
B5 
1 
2 3 
4 
1 
B1 B2 
B3 
B4 
B5 
B6 
2 
3 
4 
B6 B1 B2 
B3 B4 
B5 
1 
2 3 
4 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Problema da Ponte de Königsberg (1736) 
 Topologia 
 Leonard Euler 
(1707-1783) 
Matemático suíço, 
produziu cerca de 900 
monografias em 
matemática, música, 
astronomia, mecânica, 
ótica, etc...Viveu muito 
tempo em São 
Petesburgo (Rússia), 
protegido pela czarina 
Catarina, a Grande. 
Perdeu um olho, e 
sofreu de cegueira 
crescente. 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
GRAFOS 
 
 
 
Número de nós = nt = 4 
Número de Ramos = r = 6 
Ramos de árvore = 3 
Ramos de ligação = 3 
 
Número de árvores = 
nt 
(nt-2) = 16 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÕES DE SUB-GRAFO 
 
 
• ÁRVORE (de grafo conexo) : sub-grafo 
conexo que contém todos os nós + conjunto 
de ramos suficiente para interligar os nós ⇒ 
nenhum percurso fechado. 
 
• LAÇO : qualquer sub-grafo conexo tal que 2 
e apenas 2 ramos incidem em cada nó; 2 
nós pertencem a cada ramo ⇒ trajetória 
fechada. 
 
• CORTE (ou conjunto de corte) (de grafo 
conexo) : conjunto de ramos tal que se 
todos são removidos, o grafo fica dividido 
em 2 partes; se todos são removidos menos 
1, o grafo se mantém conexo. 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
TEOREMA BÁSICO DAS ÁRVORES 
 
 
Grafo Conexo com n t nós e r ramos: 
 
 
• Há um caminho único entre qualquer 
par de nós em uma árvore 
 
• n = n t – 1 Ramos de árvores 
 
l = r – n t + 1 Ramos de ligação 
 
• cada ramo de ligação ⇒⇒⇒⇒ um único laço 
fundamental 
 
l laços fundamentais 
 
• Cada ramo de árvore ⇒⇒⇒⇒ um único 
corte fundamental 
 
n cortes fundamentais 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 Planares 
Grafos 
 Não-planares 
 
Os grafos não-planares contêm como sub-
grafo pelo menos um dos: 
 
GRAFOS DE KURATOVSKY 
 
 
 
 
 
5 nós 
 
10 ramos 
 
 
6 nós 
 
9 ramos 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1a. Lei : Correntes ( nós e cortes ) 
 Gustav Robert 
Kirchhoff 
(1824-1887) 
 
Físico alemão, 
publicou seu trabalho 
sobre correntes e 
tensões elétricas em 
1847. Realizou 
pesquisas com Robert 
Bunsen, que 
resultaram na 
descoberta do césio e 
do rubídio. 
 
 2a. Lei : Tensões ( laços e malhas ) 
± =∑ j tk
k
( ) 0
± =∑ v tk
k
( ) 0
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
• Aplicada a um nó: 
 
 
 
 
 
 
• Aplicada a um corte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
j 1 
j 2 
j 3 
j 4 
– j1 + j2 + j3 – j4 = 0 
 j1 – j2 – j3 = 0 
orientação do 
 corte 
j 1 j 2 j 3 
n1 
n2 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simulação com o PSpice 
iD 
iR iC 
iD 
iR 
iC 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 iC + iR – iD = 0 
 iD = iC + iR 
 
iD 
iC iR 
iD 
iC 
iR 
t 
t 
t 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 Aplicada a laços : 
 
 
 
 
 llll = no de ramos no laço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v1 – v2 + v3 – v4 + v5 – v6 = 0 
 
± = ∀
=
∑ v ti
i 1
b g
l
0000 t
 
j1 
v1 
v2 
v3 
v4 
v5 
v6 
j2 
j3 
j4 
j5 
j6 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simulação com o PSpice 
eg 
vD 
vR 
eg 
vD 
vR 
 eg = vR + vD 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) = 
 
 
1
2
A e A e
R e A e
m
j t
m
* j t
m
j t
$ $
$
ωωωω ωωωω
ωωωω
+R
S|
T|
−d i
 
 
 
 Valor instantâneo do sinal →→→→ 
 
 Domínio do tempo →→→→ 
 
 s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) 
 
 Fasor associado a sinal senoidal: 
 
 
$S A e Am
j
m= =
θθθθ θθθθ 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Lei K.: 
 
 em cada nó 
 
 
 2a Lei K.: 
 
 em um laço 
 
Exemplo: Linha Trifásica 
 
 
 
 
 
 
± =∑ $Jk
k
0
 
± =∑ $Vk
k
0
v1(t) = Vm cos ( ωωωωt – 90o ) 
v2(t) = Vm cos( ωωωωt + 150o) 
v3(t) = Vm cos ( ωωωωt + 30o ) 
$ $ $V V V 01 2 3+ + =
v2 
v1 v3 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 a sin ωωωωt + b cos ωωωωt = c cos (ωωωωt + θθθθ ) 
 = c cos ωωωωt cos θθθθ – c sin ωωωωt sin θθθθ 
 
 a = – c sin θθθθ 
 
 b = c cos θθθθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c a b2 2= +
 
θθθθ = −
F
HG
I
KJarc tg
a
b
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
s(t) = A1 cos (ωωωωt + θθθθ1) + A2 cos (ωωωωt + θθθθ2) 
 + . . . . + An cos ( ωωωωt + θθθθn ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
$A A1 1 1= θθθθ 
$A A2 2 2= θθθθ 
$A An n n= θθθθ 
$ $ $ $S A A ... . A1 2 n= + + + 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 s(t) = s1(t) + s2(t) + . . . . sn(t) 
 si(t) sinais senoidais 
 mesma frequência 
 
 
 
 
 
 
 Se s(t) = s1(t) . s2(t)$ $ $ $S S S ... . . . S1 2 n= + + + 
$ $ $S S . S1 2≠
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 Se: 
 
s (t) = A1cos (ωωωωt + θθθθ1) . A2cos (ωωωωt + θθθθ2) 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
 Lembrar que: 
 
 
 
 
$
$
A A
A A
1 1
2 2
=
=
θθθθ
θθθθ
1111
2222
 
$ $ $S A . A1 2≠
cosa .cosb
1
2
cos a b
1
2
cos a b= − + +b g b g
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tensão Corrente 
 
 
 Resistência Condutância 
 
 
 Indutância Capacitância 
 
 
 Carga elétrica Fluxo magnético 
 
 
 Aberto Curto 
 
Carga elétrica Fluxo magnético 
Indutância Capacitância
a
Tensão Corrente 
Resistência Condutância 
Aberto Curto 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 – Capítulo 3 
 
Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas 
 
 
L. Q. Orsini e D. Consonni 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE DE REDES 
 
 
 ANÁLISE NODAL ⇒⇒⇒⇒ 
1a. Lei de Kirchhoff em NÓS 
 
 ANÁLISE DE MALHAS ⇒⇒⇒⇒ 
2a. Lei de Kirchhoff MALHAS 
 
 ANÁLISE DE CORTES ⇒⇒⇒⇒ 
1a. Lei Kirchhoff CORTES 
FUNDAMENTAIS 
 
 ANÁLISE DE LAÇOS ⇒⇒⇒⇒ 
2a. Lei Kirchhoff LAÇOS 
FUNDAMENTAIS 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
Etapas da Análise Nodal 
 
1.Definir ramos e nós 
2.Escolher nó de referência (“terra”) 
3.Definir tensões nodais 
4.Aplicar a 1a. Lei de Kirchhoff a cada nó, 
exceto o de referência 
5.Exprimir as correntes de ramo em 
função das tensões nodais 
6.Ordenar as equações em relação às 
tensões nodais 
7.Compor a equação matricial 
relacionando tensões nodais e excitações 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE NODAL 
 
Nó Genérico i: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª. Lei de Kirchhoff: 
 
– j1 + j2 + ··· – jk = is1 – is2 
 
Relações Constitutivas j / v (Lei de Ohm): 
 
– G1v1 + G2v2 + ··· – Gkvk = is1 – is2 
 
Relações tensões de ramo / tensões nodais: 
 
– G1(e1 – ei) + G2(ei – e2) + ··· – Gk(ek – ei) = is1 – is2 
 
Resultado: 
 
– G1e1 – G2e2 + (G1 + G2 + ··· + Gk)ei + ··· – Gkek = is1 – is2 
 
e1 
j2 
G2 v2 
j1 G1 
v1 
GK 
vk 
jk 
is1 is2 
ei 
e2 
ek 
. . . 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
Sentidos de Referências (Flechas) 
de Correntes e Tensões nos Bipolos 
 
 
São regras para Ligar Amperímetros 
e Voltímetros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
v 
B 
A B 
V 
+ 
+ - 
- 
v 
i 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
Exemplo de Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
1ª. Lei de Kirchhoff nos nós: 
Nó 1 : j1 + j2 – is1 = 0 
Nó 2: – j2 + j3 + is2 = 0 
Relações Constitutivas j / v e 
relações tensão de ramo / tensões nodais: 
 
j1 = G1v1 = G1e1 
j2 = G2v2 = G2 (e1 – e2) 
j3 = G3v3 = G3e2 
Resultado: 
 Nó 1 : G1e1 + G2e1 – G2e2 – is1 = 0 
 Nó 2 : – G2e1 + G2e2 + G3e2 + is2 = 0 
Matricialmente: 
 ( )
( )
G G G
G G G
e
e
i
i
s
s
1 2 2
2 2 3
1
2
1
2
+ −
− +
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP
=
L
NM
O
QP
 
 
G e t in sn. ( )
~ ~
=
is1 
1 j2 
G2 j1 
G1 G3 is2 
j3 
2 
0 
v1 
v2 
v3 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
ANÁLISE NODAL DE REDES 
RESISTIVAS LINEARES 
 
 
Equação Geral 
 
 
 
 
 
 
 
 Gn - Matriz das condutâncias nodais 
 
 
- vetor das tensões nodais 
 
 
 - vetor das fontes de corrente 
 
 
 
Sistema Algébrico Linear 
G e t i tn sn. ( ) ( )
~ ~
=
e t
~
( )
 
i tsn
~
( )
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
Exemplo de Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação matricial de análise nodal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is1 is2 
is3 
G1 G2 G6 
G3 
G4 G5 e3 e1 e2 
( )
( )
( )
G G G G G
G G G G G
G G G G G
e
e
e
i i
i i
s s
s s
1 3 4 4 3
4 4 5 6 5
3 5 2 3 5
1
2
3
1 3
2 3
0
+ + − −
− + + −
− − + +
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
=
+
−
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
ANÁLISE NODAL 
 
� r tensões e r correntes desconhecidas 
 
 
• Exprimir r tensões de ramos em função das 
(n-1) tensões nodais → 2a Lei de Kirchhoff 
 
� (n-1) tensões e r correntes desconhecidas 
• Exprimir r correntes de ramos em função das 
(n-1) tensões nodais → Lei de Ohm 
 
� (n-1) tensões desconhecidas 
• Escrever (n-1) equações independentes e 
resolver → 1a Lei de Kirchhoff 
 
Quando ramo = fonte de corrente → 
 
� r tensões e (r-1) correntes desconhecidas 
 
RESPOSTA 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE NODAL EM REGIME 
PERMANENTE SENOIDAL 
 
 
 
 
 
 - Matriz de admitâncias nodais 
 
Admitâncias: 
 
 
 
- vetor dos fasores das tensões 
 nodais 
 
- vetor dos fasores das fontes de 
corrente nodais 
 
 
Sistema de Equações 
 Algébricas Complexas 
Y j E In sn( ). $ $
~ ~
ω =
$
~
E
 
$
~
Isn
Y jn ( )ω 
Y
I
V
=
$
$ 
j Cω 
 
1
j Lω G 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
Exemplo de Análise Nodal em RPS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i t t
I
s
o
s
o
( ) cos ( )
$
= +
= ∠
10 2 45
10 45
 
 
1 2 2
2 0 5 2 0 25 0
1
2
+ −
− + −
L
NM
O
QP
L
N
M
O
Q
P =
L
N
M
O
Q
P
j j
j j j
E
E
I s
, ,
$
$
$
 
$ ,
$ ,
E
E
o
o
1
2
6 22 49
6 83 65
= ∠
= ∠
 
 
is(t) 
 
1ΩΩΩΩ 
1S 
2ΩΩΩΩ 
0,5S 
 
1F j2 
 
2H 
1/j4 
E1
^
 E2
^
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
ANÁLISE NODAL MODIFICADA 
 
 Incógnitas: 
 
 1 - Tensões nodais 
 2 - Correntes nos ramos 
tipo impedância : 
 - indutores 
 - geradores ideais de tensão, 
 independentes ou vinculados 
 - correntes controladoras 
 de geradores vinculados 
 
 Equações: 
 
 1a. L. K. nos nós 
independentes 
 
 2a. L. K. nos ramos tipo 
impedância 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE NODAL MODIFICADA 
 
 
Obtenção das Equações: 
 
• Aplicar a 1a. L.K. aos nós 
independentes e eliminar as correntes 
nos ramos tipo admitância, em função 
das tensões nodais 
 
• Aplicar a 2a. L.K. aos ramos tipo 
impedância, mantendo suas 
correntes como incógnitas 
 
• Ordenar as equações, nos dois tipos 
de incógnitas: tensões nodais e 
correntes dos ramos tipo impedância 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
Análise Nodal Modificada 
 
Redes Resistivas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações de 1 a.L.K. : 
 
 
 
 
 
 
 
No. de equações = No. de nós independentes 
 
 
 
Equações de 2 a.L.K. : 
 
 
 
 
 
 
 
 
No. de equações = No. de ramos tipo impedância 
G e B i in s. .
~ ~ ~
 + =
 
F e R i es. .
~ ~ ~
 + =
G B
F R
e
i
i
e
n
s
s−
L
NM
O
QP
L
N
M
M
O
Q
P
P
=
L
N
M
M
O
Q
P
P
~
~
~
~
1a. L. K 
2a. L. K 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
Análise Nodal Modificada 
(Padrão SPICE) 
 
 
• Ramos Tipo Impedância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Ramos Tipo Admitância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
 + – 
eS 
L 
L + – E 
µvC 
 + – H 
rmic 
R 
R 
C 
C 
F 
βic 
G 
gmvc 
I 
is 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
Programa Computacional 
para Análise de Circuitos 
 
 
 
• Descrição do Circuito (Entrada) 
 
• Montagem da Matriz de ANM 
 
• Solução do Sistema• Saída da Solução Desejada 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ramos Típicos para Análise Computacional 
 C.C. - SPICE 
Ramo “R” 
(RK ≠≠≠≠ 0) 
RK 
ei ef 
jk 
ei ef jk 
IG 
 Ramo “I” 
+ – 
ei ef jk 
VG 
Ramo “V” 
+ 
 – 
VCONT 
Ramo “F” 
ic 
ei 
ef 
jk 
ββββic 
Ramo “G” 
ei 
ef 
jk 
 gmvc 
ec 
et 
vc 
 Ramo “H” 
+ 
 – 
VCONT 
ic 
ei 
ef 
jk 
 rmic + – 
 Ramo “E” 
ei 
ef 
jk 
 µµµµvc 
ec 
et 
vc + – 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
 
 
Programa PSPICE 
 
Ramos para Análise C.A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “C” 
 
 
 
 “L” 
 
 
 
 ei ef 
CK 
jk LK 
ik 
 ei ef 
Ramo “C”: Ramo “L”: 
( ik é corrente incógnita ) 
$ ( $ $ )J j C E Ek i f= − ω 
$ $ $E E j L Ii f k− − = ω 0 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
Análise Nodal em 
Redes Não-Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diodos k=1,2 
1a. Lei de Kirchhoff nos três nós independentes: 
 
iG 
G1 G2 
D1 D2 
e3 e2 
e1 
iD1 iD2 
v2 v1 
i I eDk sk
vk= − ( λ 1)
 
G e e G e e i
G e e I e
G e e I e
G
s
e
s
e
1 1 2 2 1 3
1 2 1 1
2 3 1 2
2
3
1 0
1 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− + − =
− + − =
− + − =
 
 
 
λ
λ
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
DUALIDADE 
 
 
Tensão ↔ Corrente 
 
Resistência (R) ↔ Condutância (G) 
 
Indutância (L) ↔ Capacitância (C) 
 
Carga Elétrica (Q) ↔ Fluxo Magnético (ψ) 
 
Aberto ↔ Curto 
 
Impedância (Z) ↔ Admitância (Y) 
 
Série ↔ Paralelo 
 
Nó ↔ Malha 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE NODAL ANÁLISE DE MALHAS 
 
 
Nós Malhas 
 
 Nó de Referência Malha Externa 
 
Incógnitas : 
 
tensões nodais correntes de malha 
 
 1a. Lei de K. 2a.Lei de K. 
aos nós não de às malhas, 
referência exceto externa 
 
Relações i/v Relações v/i 
 nos ramos nos ramos 
 
 Tensões nos Correntes nos 
ramos → ramos → 
tensões nodais correntes de 
 malhas 
 
 Fontes de Fontes de 
 corrente tensão 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
MALHAS DE REDES PLANARES 
 
Malhas internas são laços que não 
contém nenhum ramo em seu interior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - correntes de malha 
 
A cada malha interna se atribui uma 
corrente de malha . 
 
 
 
malhas 
internas 
malha 
externa 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE DE MALHAS 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico Planar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
II III 
1 
2 3 
4 5 
6 
i I 
i II 
i III 
malha I : { 1,4,5 } 
 
malha II : { 2,5,6 } 
 
malha III : { 3,4,6 } 
 
malha externa : { 1,2,3 } 
 
Relações corrente de ramo/correntes de malha: 
 
 j1 = iI j4 = iI - iIII 
j2 = iII j5 = iII - iI 
j3 = iIII j6 = iIII - iII 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
Etapas da Análise de Malhas 
 
1.Definir as malhas da rede planar 
2.Atribuir uma corrente de malha a cada 
malha independente 
4.Aplicar a 2a. Lei de Kirchhoff a cada 
malha independente 
5.Eliminar as tensões, usando relações 
constitutivas v/j 
6. Exprimir as correntes de ramo em 
função das correntes de malha 
7.Ordenar as equações em relação às 
correntes de malha 
8.Compor a equação matricial 
relacionando correntes de malha e 
excitações 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE DE MALHAS DE REDES 
RESISTIVAS LINEARES 
 
 
Equação Geral 
 
 
 
 
 
 
 
Rm - Matriz das resistências de 
 malha 
 
 
 - vetor das correntes de malhas 
 
 
 - - vetor das fontes de tensão 
 
 
 
Sistema Algébrico Linear 
R i t e tm sm. ( ) ( )
~ ~
=
 
~
( )i t
e tsm
~
( )
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3 
 
 
ANÁLISE DE MALHAS RPS 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impedâncias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3H 
j6ΩΩΩΩ 
-j0,25ΩΩΩΩ 2F 2ΩΩΩΩ 
10∠∠∠∠45454545οοοο 
ω = 2 2ΩΩΩΩ 5ΩΩΩΩ $I1
$I2 $I3 
Z
V
I
=
$
$
j Lω 1
j Cω 
7 5 0
5 7 0 25 2
0 2 2 6
10 45
0
0
1
2
3
−
− − −
− +
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
∠L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
j
j
I
I
I
o
,
$
$
$
 = 
$
$
$
, ,
, ,
, ,
I
I
I
o
o
o
1
2
3
2 995 41 76
2 120 38 81
0 696 32 75
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
∠
∠
∠ −
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
 = 
R
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 - Capítulo 4 
 
Redução de Redes e 
Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas 
 
L. Q. Orsini e D. Consonni 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 ASSOCIAÇÕES SÉRIE 
 
 Req = R1 + R2 
 
 Geq = G1 . G2 
 G1 + G2 
 
Leq = L 1 + L2 
 
 
 Ceq = C1 . C2 
 C1 + C2 
 
ASSOCIAÇÕES PARALELO 
 
 Req = R1 . R2 
 R1 + R2 
 
 
 Geq = G1 + G2 
 
 
 Leq = L 1 . L2 
 L1 + L2 
 
 
 Ceq = C1 + C2 
 
R1 R2 
G1 G2 
L1 L2 
C1 C2 
R1 
R2 
G1 
G2 
L2 
L1 
C1 
C2 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 24ΩΩΩΩ 
12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 
L 
12ΩΩΩΩ 
12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 
( a ) ( b ) 
12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 
L 12ΩΩΩΩ 
12.24
12 24
8
+
=
( c ) 
12ΩΩΩΩ 
L 12ΩΩΩΩ 20ΩΩΩΩ 
( d ) 
( f ) 
12ΩΩΩΩ 
L 
12.20
12 20
15
2+
= L 12
15
2
39
2
+ = ΩΩΩΩ
( e ) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
DIVISÃO DE TENSÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
v2 = v0 . R2 
 R1 + R2 
 
= i 
 
DIVISÃO DE CORRENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i2 = i0 . G2 = i0 . R1 
 G1 + G2 R1 + R2 
 = v 
R1 
R2 v2 v0 
i 
G1 G2 
i0 i2 
v 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
FONTES EQUIVALENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v = es – Rs. i i = i s – v / Rp 
 
⇒ v = Rp . i s – Rp . i 
 
 
es – Rs . i = Rp. i s – Rp . i 
 
válido para ∀∀∀∀v e ∀∀∀∀i SE : 
 
 
Rp = Rs 
 
Rp.i s = es 
is Rp v 
i 
es v 
i Rs 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
µµµµv 
R 
µµµµv 
 R 
R 
R 
gmv 
 
R gmv R 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
FONTES POTENCIALMENTE DUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FONTES ESTRITAMENTE DUAIS 
 
 
 
 es = is 
 
R = G 
is G v 
i 
es v 
i R 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
es 
Rs 
v is 
i 
Rp v 
 Rp = Rs 
 es = Rp is 
 
es 
Ls 
is Lp 
 d ( is(t) ) 
 dt 
 
 Lp = Ls 
 
 es(t) = L 
 
es 
Cs 
is Cp 
 Cp = Cs 
 
 is(t) = C 
 
 d ( es(t) ) 
 dt 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
 
 
 
 
 
 
 
Rs fixo 
 
Potência na carga R L : 
 
 
pLmax. ocorre para RL = Rs →→→→ 
 
condição de carga casada 
 
p
v
R
e R
R RL L
s L
s L
= =
+
2 2
2
.
( )
p
e
RL
s
s
max .
=
2
4 η = =p
p
L
total
50%
Rendimento : 
v es 
Rs 
RL 
i 
is 
 
RL 
Rs 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r E = 10V 
R = 1r 
Pr 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão 
a’ es 
i1 
a 
d 
c 
b 
i2 
i3 
es 
i1 
a 
d 
c 
b 
i2 
i3 
es 
es 
a’ 
i1 b 
a’ 
es 
a c 
i2 
d 
i3 
es 
es 
a 
b 
c d 
e 
is 
a 
b 
c d 
e 
is 
is 
is 
is 
Corrente 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R10 
e1 
R20 R30 
e2 e3 
R12 
e1 
R23 
R31 
e2 e3 
R10 = 
R12 R31 
 R∆∆∆∆ 
R20 = 
R12 R23 
 R∆∆∆∆ 
R30 = 
R31 R23 
 R∆∆∆∆ 
 R∆∆∆∆ = R12 + R23 + R31 
R12 = 
R10 R20 
 RY 
R23 = 
R20 R30 
 RY 
R31 = 
R30 R10 
 RY 
 GY = G10 + G20 + G30 
RY = 
 1 
 GY 
Para R10 = R20 = R30 então Restrela = Rtriângulo 1 3 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
LINEARIDADE 
 
 
 Elemento 
 Linear 
 
 
 
• HOMOGENEIDADE : 
 
K. x(t) →→→→ K. y(t) 
 
• ADITIVIDADE : 
Então : 
Se : x1(t) →→→→ y1(t) x 1(t) + x 2(t) →→→→ 
 x2(t) →→→→ y2(t) y1(t) + y2(t) 
 
 
 
CONSEQÜÊNCIAS : 
 
Proporcionalidade entre excitação e 
resposta 
 
Superposição 
 
K1. x1(t) + K 2. x2(t) →→→→ K1. y1(t) + K 2. y2(t) 
x(t) y(t) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
 
REDE LINEAR 
 
VÁRIAS EXCITAÇÕES 
 
RESPOSTA = ∑ respostas devidas a 
cada gerador independente, com os 
demais desativados 
 
 
Fonte de Tensão = curto-circuito 
 
Fonte de Corrente = circuito aberto 
 
 
ATENÇÃO : Nunca inativar 
 
 gerador vinculado 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
TEOREMAS DE THÉVENIN E 
DE NORTON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REDE LINEAR FIXA 
 
 Ro = eo io = eo 
 io Ro 
 
eo 
Ro 
v 
i 
io Ro v 
i 
R 
R 
R 
v 
i 
v 
i 
R 
is 
es 
Req v 
i 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leon-Charles 
Thévenin (1857-1927) 
 
Engenheiro telegráfico, 
oficial e educador francês 
(École Polytechnique), 
famoso por seu teorema 
publicado em 1883. 
Trabalhou ativamente no 
estudo e projeto de 
sistemas telegráficos 
(incluindo transmissão 
subterrânea), capacitores 
cilíndricos e 
eletromagnetismo. 
 
 
 
 Edward L. Norton 
(1898-1983) 
 
Engenheiro elétrico, 
cientista e inventor 
americano, da Bell 
Laboratories. Propôs em 
1926, na AT&T, o dual do 
teorema de Thévenin, para 
facilitar o projeto de 
instrumentos de gravação, 
operados por corrente. 
Realizou pesquisas nas 
áreas de circuitos, 
sistemas acústicos, 
telefonia e transmissão de 
dados. Obteve 19 patentes 
com seus trabalhos. 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
TEOREMAS DE THÉVENIN E 
DE NORTON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rede “Morta” = Rede linear inativada 
e0 = tensão em aberto produzida pela rede linear entre 
os terminais A e B 
i0 = corrente de curto produzida pela rede linear entre 
os terminais A e B 
 
 
Rede Linear 
 
Rede 
Arbitrária 
v 
i A 
B 
B 
 
 
Rede “Morta” 
 
 
Rede “Morta” 
 
Rede 
Arbitrária 
 
Rede 
Arbitrária 
v 
v 
i 
i 
A 
A 
B e0 
i0 
Thévenin: 
Norton: 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
Aplicação dos Teoremas de 
Thévenin e Norton 
 
1- Circuito com Resistores e Geradores independentes:
 
 ®Calcular eo ou io com geradores ativados 
 ®Calcular Ro com geradores desativados 
 
 
2- Circuito com Resistores e Geradores vinculados 
(nenhum gerador independente) 
 
® eo = io = 0 
®Calcular Ro impondo tensão e calculando corrente (ou 
vice-versa) 
 
3- Circuito com Resistores e Geradores vinculados e 
 Geradores independentes 
 
® Calcular eo 
® Calcular io 
® Calcular Ro = eo / io 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
ATENUADORES RESISTIVOS 
 
• quadripolos resistivos 
 
• tensão de saída vo é uma fração 
conhecida da tensão de entrada v i 
 
 
 
 
 
 
 Tipos de atenuadores resistivos 
 
• Lineares 
 
• Logarítmicos 
 
• Resistência característica 
constante 
v i vo Atenuador 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
ATENUADOR RESISTIVO LINEAR 
 
 
 
 
Atenuação com a chave na 
k-ésima posição: 
 
 
∑
∑
=
===
f
i
i
k
i
i
i
k
k
R
R
v
v
A
1
1
 
Rf 
Rk 
R1 
vi 
vk 
 f 
 
 
 f-1 
 
 k 
 
 
 k-1
 
 
 1 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
ATENUADOR RESISTIVO 
LOGARÍTMICO 
 
Atenuação em decibéis (dB) com a chave 
na k-ésima posição: 
v i 
vo 
R0 
 
R1 
 
 
 
Rk 
 
 
 
Rn 
 
 
RF 
A dB
v
vk
o
i
( ) .log=
F
HG
I
KJ20 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
EXEMPLO DE CÁLCULO DE 
ATENUADOR LOGARÍTMICO 
 
 Atenuação/passo= -6 dB 
Dados No. passos: n=3 
 Resistência total: RT = 100kΩ 
 
• Cálculo de N (atenuação por passo): 
 k=1 A1 = 20 logN=-6 N=0,501 
 
• Cálculo de R0 : 
 R N RT0 1= −( ) = 49,9 kΩ 
• Cálculo das resistências 
intermediárias: 
 
 R NR ii i+ = =1 0 1, , 
 R N R k
R NR k
1 0
2 1
25
12 53
= =
= =
RST
Ω
Ω,
 
• Cálculo de RF : 
 R R R R R kF T= − + + =( ) ,0 1 2 1257 Ω 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
 
 
ATENUADOR DE RESISTÊNCIA 
CARACTERÍSTICA CONSTANTE 
 
 
 
Quadripolos que, terminados pela 
resistência característica Rc, 
apresentam à entrada a mesma 
resistência Rc 
 
 
 
 Atenuação k = v2 / v1 
 
 Resistência característica: RC 
 
RC v1 v2 RC 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4 
EXEMPLO DE CÁLCULO DE 
ATENUADOR DE RESISTÊNCIA 
CARACTERÍSTICA CONSTANTE 
 
Atenuador em “T” 
 
 
 
 
 
• Atenuação: k= 0,1 
 
• Resistência característica: RT = 50 Ω 
 
Cálculo dos resistores: 
 
R
k
k
R
R
k
k
R
S T
p T
= −
+
= −
+
=
=
−
=
−
=
1
1
1 0 1
1 0 1
50 40 91
2
1
0 2
1 0 01
50 10 102
.
,
,
. ,
.
,
,
. ,
Ω
Ω 
 
 
v2 v1 
RT 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 – Capítulo 5 
 
Estudo de Redes de Primeira Ordem 
 
L. Q. Orsini e D. Consonni 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
CIRCUITO LINEAR 
INVARIANTE NO TEMPO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelo Matemático 
 
 
Equação Diferencial Ordinária Linear e a 
Coeficientes Constantes 
f(t) = função dada 
R 
L 
C 
ENTRADA SAÍDA 
f(t) 
y(t) 
ao
d y
dt
d y
dt
n
n a a y
n
n n + + + = f (t)1
1
1
−
− ...
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 F ( x , y , y’, y”, . . . . . y
(n) ) = 0 
 •••• Ordinárias : 
 F ( x , y(x), y’(x), . . . . yn(x) ) = 0 
 ordem n 
 •••• Lineares : 
 C0(x) y
n(x) + C1(x) y
n-1(x) + . . . . + 
 Cn(x) y(x) = f(x) 
 •••• Coeficientes Constantes : 
 C0(x) = C0 
 C1(x) = C1 . . . . . Cn(x) = Cn 
 constantes 
 •••• 1a Ordem : 
 A0 y’ + A1 y = f(x) 
 A0 + A1 y = f(x) 
 
dy 
dx 
 Solução :y(x) 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ordinária – ordem 2 
 não-linear – 4o grau 
 coeficientes constantes 
∂
∂
= ∂
∂ ∂
F
HG
I
KJ +
3
3
2 4y
x
y
x t
x tsin y tb g
 
derivada parcial 
 ordem 3 
2x
d y
dx
dy
dx
1
y
2
2
2
+
F
HG
I
KJ = 
ordinária 
não-linear 
coeficientes variáveis 
d y
dx
dy
dx
2
2
4F
HG
I
KJ = 
d y
dx
x
dy
dx
y tanx
4
4
2
3+
F
HG
I
KJ − = 
ordinária 
não-linear 
coef. variáveis 
d y
dx
a y sin x+ =
a ∈∈∈∈ RRRR 
 ordinária – ordem 1 
 linear 
 coeficientes constantes 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 A0 + A1 x(t) = f(t) 
 
A0 , A1 – coeficientes dependentes dos 
 parâmetros do circuito 
 t – variável independente →→→→ tempo 
 
 x(t) – resposta do circuito 
 ( tensão ou corrente ) 
 
 f(t) – depende da excitação do 
 circuito 
 
 Forma Padronizada : 
 
 
 x(t) + a x(t) = f(t) 
 
dx 
dt 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 E. D. O. L. C. C. Completa : 
 
 
 
 
 
 
 E. D. O. L. C. C. Homogênea: 
 
 
 
 
 
 
 Solução da Equação Completa = 
 
 
 Solução Geral da Equação Homogênea 
 + 
 Solução Particular da Equação 
 Completa 
a
d y
dt
a
d y
dt
. . . . a y f t0
n
n 1
n 1
n 1 n+ + + =
−
− b g
a
d y
dt
a
d y
dt
. . . . a y 00
n
n 1
n 1
n 1 n+ + + =
−
− 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 ( 1a Ordem ) 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução do P.V.I. : 
 x(t) tal que : 
 
 
 
 1 – Satisfaz à equação diferencial 
 2 – Passa pelo ponto ( x0 , t0 ) 
 
 
&x t ax t f t
x t condição inicial0 0
b g b g b g
b g
+ =
= =
R
S|
T| x
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 ( 1a Ordem ) 
 
 1 – Determinar raízes da equação 
 característica 
 s + a = 0 →→→→ s1 = – a 
 
 
 2 – Determinar solução geral da 
 equação homogênea 
 Sistema Livre f ( . ) = 0 
 
 
 
 A = constante de integração 
 
x t A eh
s t1b g =
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 ( 1a Ordem ) 
 
 3 – Achar solução particular φφφφ ( t ) 
 da equação completa 
 
 4 – Solução da equação completa : 
 
 x(t) = xh(t) + φφφφ(t) = A e – at + φφφφ(t) 
 
 
 5 – Determinar a constante de 
 integração 
 
 
 
 
 
 
 
x 0
at
0A e t
0= +− φφφφ b g
A e tat 0 0
0= −x φφφφb gc g
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x(t) = 
x t e t0 0
a t t0− +− −φφφφ φφφφb g b gb g
1 24444 34444 123
 
Resposta Transitória Resposta 
Permanente 
x(t) = 
x e t e t0
a t t
0
a t t0 0− − − −+ − +b g b gb g b g
1 24 34 1 244444 344444
φφφφ φφφφ
 
Resposta Livre Resposta Forçada 
( Entrada Zero ) ( Estado Zero ) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x t x t e t0 0
a t t0b g b g b gb g= − +− −φφφφ φφφφ
1 24444 34444 123 
Transitória Permanente 
x(t) = 
x e e t0
a t t a t t0 0− − − −+ − +b g b gb g b g
1 24 34 1 244444 344444
φφφφ φφφφt0
 
Livre Forçada 
x(t) = 
x e e f d0
a t t a t
t
t
0
0
− − − −+ zb g b g b g1 24 34
1 24444 34444
λλλλ λλλλ λλλλ
 
Livre Forçada 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 Comportamento Livre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L R 
i 
i0 vL vR ττττ = L / R 
i
i0 
t 
i(t) = i0 e
 – t/ττττ 
vL 
–Ri0 
t 
vL = L 
di 
dt 
vL(t) = – Ri0 e 
– t/ττττ 
vR 
Ri0 
t 
vR = R i 
vR(t) = R i0 e 
– t/ττττ 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 •••• Respostas Livres : 
 – Exponenciais decrescentes a partir 
 de valor inicial. 
 – Constante de tempo : L / R 
 
 
 •••• Energia inicialmente armazenada no 
 indutor →→→→ Dissipada no resistor 
 
 
 •••• Indutor opõe-se à variação brusca de 
 de corrente →→→→ provoca atraso no 
 tempo para que se estabeleça o 
 equilíbrio. 
 
 
 •••• Aumentar atraso →→→→ Aumentar ττττ 
 →→→→ Aumentar L →→→→ Diminuir R 
 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 Resposta ao Degrau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ττττ = L / R es L 
R i 
i0 vL 
vR 
es 
E 
t 
i 
E/R 
t 
i0 
i(t) = ( i0 – E/R )e
 – t/ττττ + E 
R 
es(t) = E . H(t) 
vR 
E 
t 
Ri0 
vR(t) = ( Ri0 – E ) e – t
/ττττ + E 
vL 
t 
vL(t) = ( E – Ri0 ) e – t
/ττττ 
E – Ri0 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i t i E R e E R0
t t 0
b g b g :
b g
= − +
− −
ττττ
1 2444 3444 
t 
i 
i0 
t0 
i0 – 
E 
R 
transitório 
i 
i0 
t0 
t 
i0 
E 
R 
t0 
i 
entrada zero 
 ( livre ) 
estado zero 
 ( forçada ) 
i t i e
E
R
1 e0
t t t t0 0
b g
b g b g
= + −
F
HG
I
KJ
− − − −
ττττ ττττ
 
t 
i 
i0 
E 
R 
t0 
permanente 
t 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 Resposta ao Pulso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es L 
R i 
es 
0 t 
E 
T 
i 
t T 
E/R 
ττττ 
i t 1 e
E
R
0 t T
i t 1 e
E
R
e t T
t
T t T
b g c h b g
b g c h b gb g
= − ≤ ≤
= − >
R
S
|||
T
|||
−
− − −
ττττ
ττττ ττττ
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 Resposta ao Impulso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es L 
R i 
vL 
vR 
es 
( ψψψψ ) 
t 
es(t) = ψψψψ δδδδ(t) 
i t i
L
e0
tb g = +FHG
I
KJ
−ψψψψ ττττ
i 
i0 + ψψψψ/L 
t 
i0 
v t R i
L
eR 0
tb g = +FHG
I
KJ
−ψψψψ ττττ
vL ( ψψψψ ) 
t 
–R ( i0 + ψψψψ/L ) 
t 
vR R ( i0 + ψψψψ/L ) 
v t t
R i
L
e
L
0
t
b g b g= −
− +
F
HG
I
KJ
−
ψψψψ δδδδ
ψψψψ ττττ
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 •••• Indutor em t = t0 opõe-se à 
 variação de corrente 
 i = i0 
 
 
 
 •••• Para excitação contínua ( C.C. ) em 
 t →→→→ ∞∞∞∞ indutor vira curto-circuito 
 vL →→→→ 0 
 
 
 
 •••• Impulso de tensão →→→→ provoca fluxo 
 magnético instantâneo ψψψψ →→→→ produz 
 descontinuidade de corrente no 
 indutor : ψψψψ/L 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Impedância : Z ( j ωωωω ) = R + jωωωωL 
 
 
 
 i(t) = A e – t/ττττ + ip(t) 
 
 
 
•Impor i ( t0 ) = i0 
 →→→→ Determinar A 
es L 
R i(t) 
~ 
es(t) = Em cos ( ωωωωt + θθθθ ) 
$E E em m=
jθθθθ
• Resposta Permanente 
$ $I
1
R j L
Em m= + ωωωω
• Resposta Completa 
$I cos tm ωωωω ψψψψ+b g
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 – Derivada da parte real de um 
 complexo = parte real da 
 derivada 
 
 
 
 
 – Parte real da soma de 
 complexos = soma das 
 partes reais 
 
 
 
 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 es(t) = Em cos ( ωωωωt + θθθθ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para não haver transitório : 
 
 
 
 Forçada = Permanente se : ψψψψ = 90o 
 
i(t) = 
i I cos e I cos t0 m
R
L
t
m− + +
−
$ $ψψψψ ωωωω ψψψψe j b g
1 24444 34444 1 2444 3444 
Transitória Permanente 
i(t) = 
i e I e I cos t0
R
L
t
m
R
L
t
m
− −
− + +
124 34 1 24444444 34444444
$ cos$ψψψψ ωωωω ψψψψb g
Livre Forçada 
i I cos0 m= $ ψψψψ 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es(t) 3H 
6ΩΩΩΩ i(t) 
~ 
es(t) = 12 cos 2t 
i ( 0 ) = 2A 
i0 = 2 A 
i I cos 1 A0 m− =$ ψψψψ
0
2
1
–1 
–2 
21 3 4 5 
t ( seg)
i(t) 
i0 →→→→ 
ip 
it 
i = it + ip 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RC paralelo Dual do RL série 
 Equação : 1a Lei de Kirchhoff →→→→ 
 C + = is 
 
 + v = 
 
 
Comportamento Livre 
 v(t) = v0 e
 – t / ττττ ττττ = RC 
 energia armazenada no capacitor →→→→ 
 dissipada no resistor 
 
 
 
 
 
ou is R 
iR 
C 
iC 
v0 v 
es C 
R 
v 
es = isR 
dv 
dt 
 v 
 R 
dv 
dt 
 1 
RC 
is 
C 
v 
R 
iR 
C 
iC 
v0 
v 
v0 
t 
iR 
t 
v0 
 R 
iC t 
-v0 
 R 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
Comportamento Forçado 
Resposta ao Degrau 
 is(t) = I . H ( t – t0 ) v ( t0 ) = v0 
 t0 = 0 
 v ( t ) = R I + A e
 – t / ττττ A = v0 – RI 
 v ( t ) = RI + ( v0 – RI ) e
 – t / ττττ 
 Para o circuito série : E = RI 
 v ( t ) = E + ( v0 – E ) e
 – t / ττττ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es C 
R 
v(t) 
vR 
es 
E 
t 
v 
v0 
t 
RIs 
vR 
t 
RIs – v0 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 Resposta ao Degrau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is C R 
v0 
iR iC 
v 
is 
I 
t 
v 
v0 t 
RI 
is = I H ( t ) 
v = ( v0 – RI ) e
 – t / ττττ + RI 
iR 
v0/R t 
I 
iR = ( – I ) e
 – t / ττττ + I v0 
 R 
iC 
t 
( I – v0/R ) 
iC = ( I – ) e
 – t / ττττ v0 R 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
Resposta ao Impulso 
 is(t) = Q δδδδ ( t ) ( A, s ) 
 v ( 0+ ) = v ( 0 – ) + 
 v ( t ) = ( v ( 0 – ) + Q/C ) e – t /ττττ 
 Excitação Senoidal 
 is(t) = Im cos ( ωωωωt + θθθθ ) 
 RPS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
C 
$I I em m
j= θθθθ 
$ $V
1
1
R
j C
Im m=
+ ωωωω 
Y j
I
V
1
R
j Cm
m
ωωωω ωωωωb g = = +
$
$
Admitância 
 complexa : 
Resposta completa : 
v t A e v tt p
V cos tm
b g b g
b g
= +−
+
ττττ
ωωωω ψψψψ$
123
 
impor v ( t0 ) = v0 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
Circuito RC 
Resposta Completa com Excitação Senoidal 
 
ττττ = 1ms f = 1 kHz 
v 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta Permanente Senoidal : 
 
 
 
 
Frequência de corte superior: 
 ωωωωC = = 
es C 
R 
v 
ττττ = RC 
es 
E 
t 
T 
Bom integrador 
 ττττ > > T 
 
v 
t 
v 
t 
G
1
1 R C
v 2 2 2
= =
+
$
$
V
E
s ωωωω
 
 1 
RC 
 1 
 τ 
1 
ωωωωC ωωωω 
Gv 
1 2 
T 
E 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta Permanente Senoidal : 
 
 
 
Frequência de corte inferior: 
 ωωωωC = = 
es 
E 
t 
T 
Bom diferenciador : 
 ττττ < < < T 
 
es 
C 
R 
v 
ττττ = RC 
v 
t t 
G
R C
1 R C
v 2 2 2
= =
+
$
$
V
E
s
ωωωω
ωωωω 
 1 
RC 
 1 
 τ 
Gv 
1 
ωωωωC ωωωω 
1 2 
E 
E 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
Circuito RC série 
Diferenciador Integrador 
 
 
 
 
ve vs ve vs 
ve 
vs 
vs 
vs 
ττττ > > > Tp 
 ττττ ≈≈≈≈ Tp 
ττττ < < < Tp 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 I – Constante de Tempo : 
 – Inativar geradores independentes 
 – Determinar resistência “vista” pelo 
 elemento armazenador de energia 
 – Calcular cte de tempo : L/R ou RC 
 
 II – Resposta Transitória 
 – Comportamento Livre, Modo Natural 
 A e – t / ττττ 
 
III – Resposta Permanente 
 – Depende da função de excitação 
 
IV – Transitória + Permanente 
 – Impor condição inicial →→→→ Determinar A 
 – Condições iniciais : 
 
 
 
 
 
t t
C curto
L aberto0
=
RST
t
C aberto
L curto
= ∞
RST
( para excitação 
 contínua ) 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
 
 
 
 I – Função excitação definida por segmen- 
 tos →→→→ Descontinuidades 
 – Aplicar “receita” para cada segmento 
 – Ajustar constantes admitindo as condi- 
 ções finais de um segmento como condi- 
 ção inicial para o próximo : 
 ( v em C ou i em L ) 
 
II – Circuito modificado por operação de 
 chaves 
 Idem 
 OBS.: Chaveamento de indutores ou 
 capacitores →→→→ tensões ou correntes 
 impulsivas →→→→ Estudo por Laplace 
 
III – Excitações Impulsivas →→→→ 
 Descontinuidades de 
 tensão em capacitores 
 correntes em indutores 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
Excitação : is (t) 
Resposta : v(t) 
 
Degrau Impulso 
 
 
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C .A. Desoer, E.S. 
Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5 
 
Excitação : es (t) 
Resposta : i(t) 
 
Degrau Impulso 
 
 
 
 
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C .A. Desoer, E.S. 
Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979) 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 – Capítulo 6 
 
Estudo de Redes de Segunda Ordem 
 
L Q. Orsini e D. Consonni 
 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6 
 
 
 
 Equação diferencial ordinária, linear, 
 coeficientes constantes, 2a ordem 
 Sistemas de 2 equações de 1a ordem 
 
 
 R , L , C 1 malha ou 1 par de nós 
 Redes 
 R + 2C , R + 2L 
 
 
 Duas condições iniciais 
 v0 resposta ( t0 ) 
 i0 derivada da resposta ( t0 ) 
 
 
 Aplicações : 
 Circuitos sintonizados 
 Filtros passa-banda 
 Modelos de circuitos reais 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6 
 
 
 
 
 
Ciclo de Freqüência ω 0
1=
LC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
Ciclo de freqüência: 
+++ 
+++ 
++ 
++ 
- - - 
- - 
- - - 
- - 
++ 
++ - - 
- - 
i 
i 
i 
i 
i 
i 
v 
v 
v 
v 
v 
v 
ω 0
1=
LC
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comportamento Livre 
 es = 0 is = 0 
 Condições iniciais 
 i ( t0 ) , vC ( t0 ) v ( t0 ) , iL ( t0 ) 
 
 Equação característica 
 
 
 
 
 
es 
i R 
vC 
2a L. K. 
L 
C 
Série Paralelo 
is 
iL 
G 
v 
1a L. K. 
L C 
L
di
dt
Ri
1
C
idt es+ + =z
d i
dt
R
L
di
dt
1
LC
i =
1
L
de
dt
2
2
s+ +
C
dv
dt
Gv
1
L
vdt i s+ + =z
d v
dt
G
C
dv
dt
1
LC
v =
1
C
di
dt
2
2
s+ +
s
R
L
s
1
LC
02 + + =
αααα R 2L
ωωωω 0000
2222 1 L C
s
G
C
s
1
LC
02 + + =
αααα G 2C
ωωωω 0000
2222 1 L C
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 raízes ou auto-valores ou 
 freqüências complexas próprias