RESOLUÇÃO CAP 3 R. C. Hibbeler 7ª edição

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91 
Capítulo 3 
 
 
 
 
Propriedades Mecânicas dos 
Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
92 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.1 - PROBLEMAS 
3.1. Um cilindro de concreto com 150 mm de diâmetro e 300 mm de comprimento de referência é testado sob 
compressão. Os resultados do ensaio são apresentados na tabela como carga em relação à contração. Desenhe o diagrama 
tensão-deformação usando escalas de 10 mm = 2 MPa e 10 mm = 0,1 (10-3) mm/mm. Use o diagrama para determinar 
o módulo de elasticidade aproximado. 
 
 Figura 3.1 
 
Eaprox = 
10,7 × 106 − 0
0,0004 − 0
 = 26,67 GPa 
 
3.2. Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é 
linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o 
módulo de resiliência. 
 
 Figura 3.2 
Eaprox = 
232 × 106− 0
0,0006 − 0
 = 387,3 GPa 
ur = 
232 × 106 × 0,0006 
2
 = 0,0696 MJ/m³ 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
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3.3. Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é 
linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o valor aproximado do módulo 
de tenacidade. A tensão de ruptura é σr = 373,8 MPa. 
 
 Figura 3.3 
(ut)aprox =
(0,001+0,0004)(232)
2
+ (0,0012)(318) +
(0,0012)(55)
2
+
(0,0004)(86)
2
 
ut = 0,595 MJ/m³ 
*3.4. Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 13 mm e 50 mm de comprimento de referência foi submetido 
a um ensaio de tração. Os dados resultantes são apresentados na tabela. Construa o gráfico do diagrama tensão-
deformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade, da tensão de escoamento, do limite de 
resistência e da tensão de ruptura. Use uma escala de 10 mm = 209 MPa e 10 mm = 0,05 mm/mm. Desenhe novamente 
a região elástica usando a mesma escala de tensão, mas use uma escala de deformação de 10 mm = 0,001 mm/mm. 
 
 Figura 3.4 
Eaprox = 
391 × 106
0,0015
 = 260,8 GPa 
 𝛔𝐞 = 𝟒𝟒𝟖 𝐌𝐏𝐚 
𝛔𝐥𝐢𝐦 = 𝟖𝟗𝟎 𝐌𝐏𝐚 e 𝛔𝐑 = 𝟕𝟓𝟑, 𝟖 𝐌𝐏𝐚 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
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3.5. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para um aço-liga com 12 mm de diâmetro original e comprimento 
de referência 50 mm. Determine os valores para o material, a carga aplicada ao corpo de prova que causa escoamento e 
a carga máxima que o corpo de prova suportará. 
 
Figura 3.5 
 E =
290 × 106
0,001
 = 290 GPa 
 290 =
Pe
π
4
 × 122
 ∴ Pe = 32,80 kN 
550 =
Pmáx
π
4
 × 122
 ∴ Pmáx = 62,2 kN 
3.6. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para um aço-liga com 12 mm de diâmetro original e 50 mm de 
comprimento de referência. Se o corpo de prova for submetido a carga de tração até 500 MPa, determine o valor 
aproximado da recuperação elástica e do aumento no comprimento de referência após o descarregamento. 
 
Figura 3.6 
 E =
(290 − 0) × 106
0,001 − 0
 = 290 GPa ∴ 
σ
E
= 
500 × 106
290 × 109
 = 1,72414 × 10-3 mm/mm 
ValorRE = 1,72414 × 10
-3 × 50 = 0,08621 mm 
Aumento no comprimento = (0,08 – 0,00172414)(50) = 3,91379 mm 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
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3.7. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para um aço-liga com 12 mm de diâmetro original e 50 mm de 
comprimento de referência. Determine os valores aproximados do módulo de resiliência e do módulo de tenacidade para 
o material. 
 
Figura 3.7 
ur = 
290 × 106 × 0,001
2
 = 0,145 MPa 
ut = 33 × 0,04 × 100 = 132 MPa 
*3.8. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação de uma barra de aço. Determine os valores aproximados do 
módulo de elasticidade, limite de proporcionalidade, limite de resistência e módulo de resiliência. Se a barra for 
submetida a uma carga de tração de 450 MPa, determine o valor da recuperação da deformação elástica e da deformação 
permanente na barra quando descarregada. 
 
Figura 3.8 
E =
325(106)
0,0015
= 𝟐𝟏𝟕 𝐆𝐏𝐚 σP = 325 MPa σr = 500 MPa ur =
1
2
(0,0015)(325)(106) = 𝟐𝟒𝟒 𝐤𝐉/𝐦³ 
ValorRE =
450(106)
E
=
450(106)
217(109)
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟎𝟕 𝐦𝐦/𝐦𝐦 DeformaçãoPER = 0,0750 − 0,00207 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟗 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
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3.9. A figura mostra o diagrama σ - ∊ para as fibras elásticas que compõem a pele e os músculos dos seres humanos. 
Determine o módulo de elasticidade das fibras e estime os módulos de tenacidade e de resiliência. 
 
 
Figura 3.9 
 
E = 
77 
2
 = 38,5 kPa 
 ur = 
77 × 2
2
 = 77 kPa 
ut = 77 + (385 + 77)(
0,25
2
) = 134,75 kPa 
 
3.10. Uma barra de aço A-36 tem comprimento de 1.250 mm e área de seção transversal de 430 mm². Determine o 
comprimento da barra se ela for submetida a uma tração axial de 25 kN. O material tem comportamento elástico linear. 
 
Figura 3.10 
 
σ = 
P
A
=
25 × 103
430
 = 58,14 MPa 
 σ = E∊ ∴ ∊ = 
σ
E
=
58,14 × 106
200 × 109
 = 2,907 × 10-4 mm/mm 
L = ∊L0 + L0 = 2,907 × 10-4 × 1.250 + 1.250 = 1.250,363 mm 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
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3.11. O diagrama tensão-deformação para o polietileno que é utilizado para revestir cabos coaxiais é determinado por 
um ensaio com um corpo de prova com comprimento de referência de 250 mm. Se uma carga P aplicada ao corpo de 
prova desenvolver uma deformação ∊ = 0,024 mm/mm, determine o valor aproximado do comprimento do corpo de 
prova medido entre os pontos de referência quando a carga é removida. Considere que o corpo de prova se recupere 
elasticamente. 
 
Figura 3.11 
 
E = 
14 × 106
0,004
 = 3,5 GPa 
 3,5 × 109 = 
26 × 106
0,024 − ϵ
 ∴ ∊ = 0,01657 mm/mm 
L = ∊L0 + L0 = 0,01657 × 250 + 250 = 254,143 mm 
*3.12. A figura mostra o diagrama tensão-deformação para fibra de vidro. Se uma barra de 50 mm de diâmetro e 2 m 
de comprimento fabricada com esse material for submetida a uma carga de tração axial de 60 kN, determine seu 
alongamento. 
 
Figura 3.12 
 
σ = 
P
π
4
 d²
=
60 × 103
π
4
 × 502
 = 30,56 MPa 
 ∊ = (
30,56
300
)
2
= 1,0375 × 10-2 mm/mm 
δ = ∊L = 0,010375 × 50 = 20,8 mm 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
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3.13. A mudança de peso de um avião é determinada pela leitura de um extensômetro A montado no suporte de alumínio 
da roda do avião. Antes de o avião ser carregado, a leitura do extensômetro no suporte é ∊1 = 0,00100 mm/mm, ao passo 
que, após o carregamento, é ∊2 = 0,00243 mm/mm. Determine a mudança na força que age sobre o suporte se a área da 
seção transversal dele for 2.200 mm². Eal = 70 GPa. 
 
 
Figura 3.13 
∊ = ∊2 − ∊1 = 0,00243 – 0,00100 = 0,00143 mm/mm 
 σ = ∊Eal = 0,00143 × 70 × 109 = 100,1 MPa 
100,1 =
ΔP
2.200
 ∴ ΔP = 220,22 kN 
 
3.14. Um corpo de prova com comprimento original de 300 mm tem diâmetro original de 12 mm e é submetido a uma 
força de 2,5 kN. Quando a força é aumentada para 9 kN, o corpo deprova sofre um alongamento de 22,5 mm. Determine 
o módulo de elasticidade para o material se ele permanecer elástico. 
 
ΔP = 9 – 2,5 = 6,5 kN 
 σ =
ΔP
π 
4 
d²
= 6,5 × 10
3
π
4
 × 122
 = 57,473 MPa 
 Δ∊ = 
σ
E
 ∴ E =
σL
δ
=
57,473 × 300 
22,5
 = 766,3 MPa 
 
3.15. Um elemento estrutural de um reator nuclear é feito de uma liga de zircônio. Se esse elemento tiver se suportar 
uma carga axial de 20 kN, determine a área da seção transversal exigida. Use um fator de segurança 3 em relação ao 
escoamento. Qual é a carga sobre o elemento se ele tiver 1m de comprimento e seu alongamento for 0,5 mm? Ezr = 100 
GPa, σe = 400 MPa. O material tem comportamento elástico. 
 
σe = FS
P
A
 ∴ Aexig =
3 × 20 × 103
400
 = 150 mm² 
ϵ =
δ
L
=
0,5
1.000
= 0,0005 
0,0005 =
σe
Ezr
=
P
AEzr
 ∴ P = 0,0005 × 150 × 100 × 103 = 7,5 kN 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
99 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*3.16. O poste é sustentado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB de aço A-36. Se o diâmetro do arame 
for 5 mm, determine quanto ele se deforma quando uma força horizontal de 15 kN agir sobre o poste. 
 
 Figura 3.16 
 
 
 
 
 
3.17. A adição de plastificadores ao cloreto de polivinil provoca a redução de sua rigidez. Os diagramas tensão-
deformação apresentados a seguir mostram tal efeito para três tipos desse material. Especifique o tipo que deve ser usado 
na fabricação de uma haste com 125 mm de comprimento e 50 mm de diâmetro que terá de suportar, no mínimo, uma 
carga axial de 100 kN e alongar, no máximo, 6 mm. 
 
Figura 3.17 
σ =
P
π
4
d²
=
100 × 103
π
4
 × 502
 = 50,93 MPa 
 ϵ =
δ
L
=
6
125
 = 0,048 mm/mm 
Logo, o material que atende as características do diagrama tensão – deformação é o copolímero. 
↶ ∑ MC = 0 
−15 × 1,2 + 2,2 × TABsen(30°) = 0 
TAB = 16,3636 kN 
LAB = 
2,2
cos(30°)
 = 2,54 m 
σAB = 
TAB
π
4
 d²
=
16,3636 × 103
π
4
 × 52
 = 833,4 MPa 
∊ = 
σAB
Eaço
=
833,4 × 106
200 × 109
 = 0,004167 mm/mm 
δAB = ∊LAB = 0,004167 × 2.540 = 10,586 mm 
 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
100 
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3.18. Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de 200 kg. Se a tensão axial admissível para os cabos for σadm = 130 
MPa, determine o diâmetro exigido para cada cabo. Além disso, qual é o novo comprimento do cabo AB após a aplicação 
da carga? Considere que o comprimento não alongado de AB seja 750 mm. Eaço = 200 GPa. 
 
 Figura 3.18 
WA = 200 × 9,81 = 1.962 N 
 
 
 
 
 
 
 
3.19. A figura mostra o diagrama tensão-deformação para duas barras de poliestireno. Se a área da seção transversal da 
barra AB for 950 mm² e a de BC for 2.500mm², determine a maior força P que pode ser suportada antes que qualquer 
dos elementos sofra ruptura. Considere que não ocorre nenhuma flambagem. 
 
 Figura 3.19 
 
 
 
→ + ∑ Fx = 0 
−TABcos(60°) + 0,6TAC = 0 [1] 
↑ + ∑ Fy = 0 
TABsen(60°) + 0,8TAC – 1.962 = 0 [2] 
Solucionando [1] e [2], obtem-se: 
TAB = 1.280,177 N e TAC = 1.066,77 N 
 
 σadm = 
TAB
AAB
 ∴ dAB = √
4TAB
πσadm
= √
4 × 1.280,177
π × 130
 = 3,54 mm 
dAC = √
4TAC
πσadm
= √
4 × 1.066,77
π × 130
 = 3,23 mm 
ϵ =
σadm
Eaço
=
130 × 106
200 × 109
= 0,00065 mm/mm 
LAB’ = (1 + ∊)LAB = (1 + 0,00065)(750) = 750,49 mm 
 
↶ + ∑ MC = 0 
−1,2P + 1,2(0,6FAB) = 0 
FAB = 1,667P 
→ + ∑ Fx = 0 
0,8 × 1,667P – Cx = 0 
Cx = FCB = 1,333P 
(σAB)C =
1,667P
950
 ∴ P = 99,75 kN 
(σBC)T =
1,333P
2.500
 ∴ 𝐏 = 𝟔𝟓, 𝟔𝟑 𝐤𝐍 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
101 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*3.20. A figura mostra o diagrama tensão-deformação de duas barras de poliestireno. Determine a área da seção 
transversal de cada barra de modo que elas sofram ruptura simultânea quando a carga P = 15 kN é aplicada. Considere 
que não ocorra nenhuma flambagem. 
 
 Figura 3.20 
 
 
 
 
3.21. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for suportada por uma 
barra AB e um poste CD, ambos feitos desse material, e for submetida à carga P = 80 kN, determine o ângulo de 
inclinação da viga quando a carga for aplicada. O diâmetro da barra é 40 mm, e o diâmetro do poste é 80 mm. 
 
 Figura 3.21 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ MC = 0 
−1,2 × 15 + 1,2(0,6FAB) = 0 
FAB = 25 kN 
→ + ∑ Fx = 0 
0,8 × 25 – Cx = 0 
Cx = FCB = 20 kN 
175 =
25 × 103
AAB
 ∴ 𝐀𝐀𝐁 = 𝟏𝟒𝟐, 𝟖𝟔 𝐦𝐦² 
35 =
20 × 103
ABC
 ∴ 𝐀𝐁𝐂 = 𝟓𝟕𝟏, 𝟒𝟑 𝐦𝐦² 
 
↑ + ∑ Fy = 0 
FAB + FCD – 80 = 0 
FAB = FCD = 40 kN 
E = 
32,2 × 106
0,01
 = 3,22 GPa 
σAB =
FAB
π
4
dAB
2 =
40 × 103
π
4
 × 402
 = 31,831 MPa 
ϵAB =
σAB
E
=
31,831
3,22 × 103
 = 0,0098854 mm/mm 
 
σCD =
FCD
π
4
dCD
2 =
40 × 103
π
4
 × 802
 = 7,958 MPa 
ϵCD =
σCD
E
=
7,958
3,22 × 103
 = 0,00247133 mm/mm 
δAB = ∊ABLAB = 0,0098854 × 2.000 = 19,7708 mm 
δCD = ∊CDLCD = 0,0024713 × 500 = 1,235665 mm 
 
 
α = arctang(
19,7708 − 1,235665
1.500
) = 0,708° 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
102 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.22. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for suportada por uma 
barra AB e um poste CD, ambos feitos desse material, determine a maior carga P que pode ser aplicada à viga antes da 
ruptura. O diâmetro da barra é 12 mm, e o diâmetro do poste é 40 mm. 
 
 Figura 3.22 
 
 
 
 
3.23. A viga é sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem AB de aço A-36. Se o cabo tiver diâmetro de 
5 mm, determine quanto ele estica quando um carregamento distribuído w = 1,5 kN/m agir sobre o tubo. O material 
permanece elástico. 
 
 Figura 3.23 
 
 
 
 
↑ + ∑ Fy = 0 
FAB + FCD – P = 0 
FAB = FCD = 0,5P 
 
σAB =
FAB
π
4
dAB
2 ∴ 50 =
0,5P
π
4
 × 122
 ∴ 𝐏 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟏 𝐤𝐍 
σCD =
FCD
π
4
dCD
2 ∴ 95 =
0,5P
π
4
 × 402
 ∴ P = 238,76 kN 
↶ + ∑ MC = 0 
−4,5 × 1,5 + 3FABsen(30°) = 0 
FAB = 4,5 kN 
LAB = 
3
cos(30°)
 = 3,46 m 
σAB =
FAB
π
4
dAB
2 =
4,5 × 103
π
4
 × 52
= 229,18 MPa 
ϵ =
σAB
Eaço
=
229,18 × 106
200 × 109
= 1,146 × 10−3 mm/mm 
δAB = ∊LAB = 1,146 × 10
-3 × 3.460 = 3,970 mm 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
103 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*3.24. A viga é sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem AB de aço A-36. Se o cabo tiver diâmetro 
de 5 mm, determine o carregamento w se a extremidade B for deslocada 18 mm para baixo. 
 
 Figura 3.24 
 
 
 
 
 
 
3.25. Às vezes, são instalados indicadores de tração em vez de torquímetros para garantir que um parafuso tenha a tração 
prescrita quando utilizado em conexões. Se uma porca do parafuso for apertadade tal modo que seis cabeças do 
indicador, cujas alturas originais eram de 3 mm, forem esmagadas até 0,3 mm, deixando uma érea de contato de 1,5 
mm² em cada cabeça, determine a tensão na haste do parafuso. O diagrama tensão-deformação do material é mostrado 
na figura. 
 
 Figura 3.25 
∊ = 
0,3
3
 = 0,1 mm/mm 
Equação da reta que passa pelos pontos (0,0015 mm/mm, 450 MPa) e (0,3 mm/mm, 600 MPa): 
σ = 502,513∊ + 449,246 
Logo, quando ∊ = 0,1 mm/mm, tem-se: σ = 502,513 × 0,1 + 449,246 = 500 MPa, sendo assim: 
σ = 
T
6A
 ∴ T = 6Aσ = 6 × 1,5 × 500 = 4.500 N = 4,50 kN 
↶ + ∑ MC = 0 
−1,5 × 3w + 3FABsen(30°) = 0 
FAB = 3w 
α = arctang(
18
3.000
) = 0,343776° 
LAB =
3
cos(30°)
= 3,46 m 
AB’ = √(3tang30°)2 + 32 − 2 × (3tang30°) × 3 × cos(90° − 0,343776°) 
AB’ = 3,4731 m 
ϵ =
AB′− AB
AB
= 3,4731− 3,46
3,46
 = 2,59471 × 10-3 mm/mm 
σAB =
FAB
π
4
dAB
2 =
3w
π
4
 × 0,0052
= 152.788,745w 
σAB = Eaço∊ ∴ 152.788,745w = 200 × 10
3 × 2,59471 × 10−3 ∴ w = 3,40 kN/m 
 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
104 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.2 – PROBLEMAS 
3.26. A haste plástica de acrílico tem 200 mm de comprimento e 15 mm de diâmetro. Se uma carga axial de 300 N for 
aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro. Ep = 2,70 GPa, 𝜈p = 0,4. 
 
Figura 3.26 
σ = 
P
π
4
d2
=
300
π
4
 × 152
 = 1,6976 
 ∊long = 
σ
Ep
=
1,6976 × 106
2,70 × 109
 = 0,00062874 mm/mm 
δcomp = ∊longL = 0,00062874 × 200 = 0,126 mm 
ν = 0,4 = −
ϵlat
0,00062874
 ∴ ∊lat = −0,0002515 mm/mm ∴ ∆d = d∊lat = 15 × (−0,0002515) = −0,00377 mm 
3.27. O bloco é feito de titânio Ti-6A1-4V. É submetido a uma compressão de 1,5 mm ao longo do eixo y, e sua forma 
sofre uma inclinação de θ = 89,7°. Determine ϵx, ϵy e γxy 
 
Figura 3.27 
δy = −ϵyLy ∴ 1,5 = ϵy × 100 ∴ 𝛜𝐲 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟎 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
 0,36 = −
ϵx
−0,0150
 ∴ 𝛜𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟒𝟎 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
α = 180° − 89,7° = 90,3° ∴ γxy =
π
2
−
π
180°
(90,3°) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟐𝟒 𝐫𝐚𝐝 
*3.28. Um bloco cilíndrico curto de bronze C86.100, com diâmetro original de 38 mm e comprimento de 75 mm, é 
colocado em uma máquina de compressão e comprimido até atingir o comprimento de 74,5 mm. Determine o novo 
diâmetro do bloco. 
δy = L – L0 = 74,5 – 75 = −0,5 mm ∴ ϵy =
δy
L0
= − 0,5
75
 = −6,667 × 10-3 mm/mm 
νb = 0,34 = −
ϵx
(−6,667 × 10−3)
 ∴ ϵx = 2,2667 × 10
−3 mm/mm 
d’ = d + dϵx = 38 + 38 × 2,2667 × 10
-3 = 38,0861 mm 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
105 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.29. A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para um aço-liga. O corpo de prova do qual ela 
foi obtida tinha diâmetro original de 13 mm e comprimento de referência de 50 mm. Quando a carga aplicada ao corpo 
de prova for 50 kN, o diâmetro é 12,99265 mm. Determine o coeficiente de Poisson para o material. 
 
Figura 3.29 
E = 
σ′
ϵ
=
400 × 106
0,002
 = 200 GPa σ =
P
π
4
d²
= 50 × 10
3
π
4
 × 12,992652
 = 376,7 MPa 
σ = Eϵlong ∴ 376,6 × 10
6 = (200 × 109)ϵlong ∴ ϵlong = 1,883 × 10
−3 mm/mm 
ϵlat =
d − d0
d0
= 12,99265 − 13
13
 = −5,6538 × 10-4 mm /mm ∴ ν = − ϵlat
ϵlong
= −
(−5,6538 × 10−4)
1,883 × 10−3
 = 0,300 
3.30. A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para um aço-liga. O corpo de prova do qual ela 
foi obtida tinha diâmetro original de 13 mm e comprimento de referência de 50 mm. Se uma carga P = 20 kN for aplicada 
ao corpo de prova, determine seu diâmetro e comprimento de referência. Considere ν = 0,4. 
 
Figura 3.30 
E = 
σ′
ϵ
=
400 × 106
0,002
 = 200 GPa σ =
P
π
4
d²
= 20 × 10
3
π
4
 × 132
 = 150,68 MPa 
σ = Eϵlong ∴ 150,68 × 10
6 = (200 × 109)ϵlong ∴ ϵlong = 7,534 × 10
−4 mm/mm 
L’ = L + Lϵlong = 50 + 50 × 7,534 × 10
−4 = 50,0377 mm 
 0,4 = −
ϵlat
7,534 × 10−4
 ∴ ϵlat = −3,0136 × 10
−4 mm/mm 
d = d0 + d0ϵlat = 13 + 13(−3,0136 × 10
−4) = 12,99608 mm 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
106 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.31. A figura mostra o diagrama tensão-deformação de cisalhamento para um aço-liga. Se um parafuso de 6 mm de 
diâmetro feito desse material for utilizado em uma junta sobreposta, determine o módulo de elasticidade E e a força P 
exigida para provocar o escoamento do material. Considere ν = 0,3. 
 
 
Figura 3.31 
 
 τ =
P
π
4
d²
 ∴ 350 = Pπ
4
 × 62 
 ∴ P = 9,896 kN 
 G =
350(106)
0,004
 = 87,5 GPa 
G =
E
2(1 + ν)
 ∴ E = 2(1 + 0,3)(87,5 × 109) = 227,5 GPa 
*3.32. As sapatas do freio do pneu de uma bicicleta são feitas de borracha. Se uma força de atrito de 50 N for aplicada 
de cada lado dos pneus, determine a deformação por cisalhamento média na borracha. As dimensões da seção transversal 
de cada sapata são 20 mm e 50 mm. Gb = 0,20 MPa. 
 
 Figura 3.32 
 
τ = 
V
A
=
50
50 × 20
 = 50 kPa 
 50 × 103 = (0,20 × 106)γ ∴ 𝛄 = 0,250 rad 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
107 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.33. O tampão tem diâmetro de 30 mm e ajusta-se ao interior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32 mm. 
Ambos, tampão e luva, têm 50 mm de comprimento. Determine a pressão axial p que deve ser aplicada à parte superior 
do tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva. Determine também a que distância o tampão deve ser 
comprimido para baixo para que isso aconteça. O material do tampão tem E = 5 MPa e ν = 45. 
 
Figura 3.33 
 
σ = Eϵlong ∴ ϵlong = −
p
E
= −
p
5 × 106
 = (−2 × 10−7)p 
∊lat = −νϵlong = (−0,45)(−2 × 10
−7)p = (9 × 10−8)p 
d’t = dl ∴ ϵlatdt + dt = dl ∴ [(9 × 10
−8)p](30) + 30 = 32 ∴ p = 741 kPa 
δ = ϵlongL = (−2 × 10
−7)(741 × 103)(50) = −7,41 mm 
 
3.34. O bloco de borracha é submetido a um alongamento de 0,75 mm ao longo do eixo x, e suas faces verticais sofrem 
uma inclinação de modo que θ = 89,3°. Determine as deformações ϵx, ϵy e γxy. Considere υb = 0,5. 
 
Figura 3.34 
 
ϵx =
δ
Lx
= 0,75
100
 = 0,00750 mm/mm 
 0,5 = −
ϵy
0,00750
 ∴ 𝛜𝐲 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟕𝟓 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
γxy =
π
2
−
π
180°
(θ) =
π
2
−
π
180°
(89,3°) = 0,0122 rad 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
108 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.3 - PROBLEMAS DE REVISÃO 
3.35. A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio. O corpo de prova 
usado para o ensaio tem comprimento de referência de 50 mm e 12,5 mm de diâmetro. Quando a carga aplicada for 45 
kN, o novo diâmetro do corpo de prova será 12,48375 mm. Calcule o módulo de cisalhamento Gal para o alumínio. 
 
 
Figura 3.35 
E = 
σ
ϵ
=
500 × 106
0,00614
 = 81,433 GPa σ = 
P
π 
4
d
2 =
45 × 103
π
4
 × 12,52
 = 366,693 MPa 
ϵlong = 
σ
E
=
366,693 × 106
81,433 × 109
 = 4,503 × 10-3 mm/mm ∴ ν = − 
ϵlat
ϵlong
= −
ϵlat
4,503 × 10−3
 ∴ ϵlat = −4,503(10
−3)υ 
12,48375 = 12,5 + (12,5)(−0,004503ν)∴ ν = 0,2887 ∴ Gal = 
E
2(1 + ν)
=
81,433
2(1 + 0,2887)
 = 31,60 GPa 
*3.36. A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio. O corpo de prova 
usado para o ensaio tem comprimento de referência de 50 mm e 12,5 mm de diâmetro. Quando a carga aplicada é 50 
kN, determine o novo diâmetro do corpo de prova. O módulo de cisalhamento Gal = 28 GPa. 
 
Figura 3.36 
E = 
σ
ϵ
=
500 × 106
0,00614
 = 81,433 GPa σ = 
P
π 
4
d
2 =
50 × 103
π
4
 × 12,52
 = 407,4366 MPa 
ϵlong = 
σ
E
=
407,4366 × 106
81,433 × 109
 = 5,0032 × 10-3 mm/mm 
ν = − 
ϵlat
5,0032 × 10−3
 ∴ ϵlat = −5,0032(10
−3)υ Gal = 28 = 
81,433
2(1 + ν)
 ∴ ν = 0,454 
ϵlat = −5,0032 × 10
-3 × 0,454 = −2,272 × 10-3 mm/mm ∴ d’ = d + dϵlat = 12,5 + (12,5)(−0,002272) = 12,4716 mm 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
109 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.37. O cabeçote H está acoplado ao cilindro de um compressor por seis parafusos de aço. Se a força de aperto de cada 
parafuso for 4 kN, determine a deformação normal nos parafusos. Cada um deles tem 5 mm de diâmetro. Se σe = 280 
MPa e Eaço = 200 GPa, qual é a deformação em cada parafuso quando a porca é desatarraxada, aliviando, assim, a força 
de aperto? 
 
Figura 3.37 
σp = 
P
π 
4
d
2 =
4 × 103
π
4
 × 52
 = 203,72 MPa ∴ 203,72 = 200.000ϵlong ∴ 𝛜𝐥𝐨𝐧𝐠 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟖𝟔 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
Ao desatarraxar a porca, o parafuso volta ao seu tamanho original, pois σp< σe= 280 MPa ∴ δp = 0, logo: 𝛜 = 𝟎 
3.38. O tubo rígido é sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem AB de aço A-36. Se o diâmetro do cabo 
for 5 mm, determine o quanto ele é esticado quando uma carga P = 1,5 kN age sobre o tubo. O material permanece 
elástico. 
 
 Figura 3.38 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ MC = 0 
−2,4 × 1,5 + 2,4TABcos(60°) = 0 
TAB = 3 kN 
LAB = 
2,4
sen(60°)
 = 2,771 m 
 
σAB =
TAB
π
4
dAB
2 =
3 × 103
π
4
 × 5
2 = 152,79 MPa 
152,79 = (200 × 103)ϵlong ∴ ϵlong = 7,63944 × 10
−4 mm/mm 
δAB = ϵlongLAB = 7,63944 × 10
-4 × 2.771 = 2,1171 mm 
 
 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
110 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.39. O tubo rígido é sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem AB de aço A-36. Se o diâmetro do cabo 
for 5 mm, determine a carga P se a extremidade B for deslocada 2,5 mm para a direita. 
 
 
 Figura 3.39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*3.40. Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência 
de 50 mm sofre uma deformação de 0,40 mm/mm quando a tensão é de 490 MPa. Se σe = 315 MPa quando 𝜖e = 0,0025 
mm/mm, determine a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada. 
 
 ϵ =
490 × 0,0025
315
 = 3,8889 × 10-3 mm/mm 
 ϵp = 0,40 – 0,0038889 = 0,3961 mm/mm 
δ = L + ϵpL = 50 + 0,3961 × 50 = 69,806 mm 
 
 
↶ + ∑ MC = 0 
−2,4P + 2,4TABcos(60°) = 0 
TAB = 2P 
LAB = 
2,4
sen(60°)
 = 2,7713 m 
AC = 
2,4
tan(60°)
 = 1,386 m 
ϕ = 
2,5 × 180
2400π
 = 0,059683° 
σAB =
TAB
π
4
dAB
2 =
2P
π
4
 × 52
 = (0,10186P) MPa 
σAB = Eaçoϵ ∴ 0,10186P = (200 × 103)ϵ ∴ ϵ = (5,093 × 10−7P) 
LAB’ = LAB + LABϵ = 2.771,3 + 2.771,3 × (5,093 × 10−7P) = (2.7713 + 0,0014114P) mm 
LAB’ = √2.4002 + 1.3862 − 2(2.400)(1.386)cos (90° + 0,059683°) = 2.772,531 m m 
Iguala-se: 2.771,3 + 0,0014114P = 2.772,531 ∴ P = 0,872 kN 
 
 
 
 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
111 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.41. O parafuso de 8 mm de diâmetro é feito de uma liga de alumínio e está instalado em uma luva de magnésio com 
diâmetro interno de 12 mm e diâmetro externo de 20 mm. Se os comprimentos originais do parafuso e da luva forem 80 
mm e 50 mm, respectivamente, determine as deformações na luva e no parafuso se a porca do parafuso for apertada de 
tal modo que a tensão no parafuso seja de 8 kN. Considere que o material em A é rígido. Eal = 70 GPa, Emg = 45 GPa. 
 
Figura 3.41 
σp =
P
π
4
dp
2 =
8 × 103
π
4
 × 82
 = 159,15 MPa 
 σp = Ealϵp ∴ 159,15 = (70 × 10
3)ϵp ∴ 𝛜𝐩 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟕 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
σl =
P
π
4
 (d0
2 − di
2)
=
8 × 103
π
4
(202 − 122)
 = 39,789 MPa ∴ σl = Emgϵl ∴ 39,789 = (45 × 10
3)ϵp ∴ 𝛜𝐥 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟖𝟒 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
3.42. Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de 50 mm foi 
submetido a um ensaio de tração. Os dados resultantes do teste são apresentados na tabela. Construa o diagrama tensão-
deformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade, limite de resistência e tensão de ruptura. 
Use uma escala de 20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm. Desenhe novamente a região elástica linear usando a 
mesma escala de tensão, mas uma escala de deformação de 20 mm = 0,001 mm/mm. 
 
 Figura 3.42 
A = 
π
4
× 0,01252 = 1,2272 × 10-4 m² 
Eaprox = 
125 × 106
0,0005
 = 250 GPa 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
112 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
3.43. Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de 50 mm foi 
submetido a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados na tabela, construa o diagrama tensão-deformação e 
determine o valor aproximado do módulo de tenacidade. Use uma escala de 20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm. 
 
Figura 3.43 
 
ut = 188,5 × 25 × 106 × 0,025 = 118 × 106 
𝐍
𝐦²
 
*3.44. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elat = 100 GPa. Se a haste tiver 3 m de 
comprimento e for submetida a uma carga axial de 2 kN, determine seu alongamento. Qual será o alongamento se o 
diâmetro for 6 mm? 
 
Figura 3.44 
σ =
P
π
4
d1
2 =
2 × 103
π
4
 × 82
 = 39,789 MPa 
 σ = Elatϵlong ∴ 39,789 = (100 × 10
3)ϵlong ∴ ϵlong = 3,9789 × 10
−4 mm/mm 
δ = Lϵlong = 3.000 × 3,9789 × 10
-4 = 1,193 mm σ =
P
π
4
d2
2 =
2 × 103
π
4
 × 62
 = 70,7355 MPa 
 σ = Elatϵlong ∴ 70,7355 = (100 × 10
3)ϵlong ∴ ϵlong = 7,07355 × 10
−4 mm/mm 
δ = Lϵlong= 3.000 × 7,07355 × 10
−4 = 2,122 mm