aula vetores

Prévia do material em texto

Grandeza Vetorial
 Algumas vezes necessitamos mais que um número e 
uma unidade para representar uma grandeza física.
 Sendo assim, surgiu uma representação matemática 
que expressa outras característica de uma grandeza... O 
VETOR
 
O que é um Vetor?
 É um ente matemático representado por um segmento 
de reta orientado. E tem algumas características 
básicas.
 Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta)
 Tem uma direção.
 E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está 
apontando).
Módulo
Sentido
Direção da
Reta Suporte
 
Representação de uma Grandeza Vetorial
 As grandezas vetoriais são representadas da seguinte 
forma: 
 a letra que representa a grandeza e uma a “flechinha” 
sobre a letra. 
V
F
d
 
Vetores e campos vetoriais
Notação:
escalarAA
vetorA
=

 
Comparação entre vetores
 Vetores Iguais
a
b
r
s
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido
a = b
O vetor a é igual ao vetor b.
 
Os vetores e são iguais, enquanto e 
são opostos.
Comparação entre vetores
 Vetores Opostos
a
a
b
r
s
c
t
b

a c
Se tiverem comprimentos diferentes podem ser ditos 
paralelos ou antiparalelos )( bea

)( cea 
 
Soma Vetorial
 Através da soma vetorial encontramos o vetor 
resultante.
 O vetor resultante seria como se todos os vetores 
envolvidos na soma fossem substituídos por um, e 
este tivesse o mesmo efeito.
 
Regra do Paralelogramo
 É útil para realizar a adição de apenas dois vetores.
 Exemplo: a b
Determinar a soma a + b.
Posiciona-se a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traça-se 
uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro.
O vetor soma ou resultante é o vetor que une a origem dos dois 
vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, 
formando assim um paralelogramo.
 
Fazendo a Soma através da Regra do Paralelogramo
Ra
b
α
O módulo da soma, ou seja, o valor desse vetor resultante é dado 
por:
R = a + b + 2.a.b.cos α2 2 2
Reta Paralela ao vetor b e que passa 
pela extremidade do vetor a.
Reta Paralela ao vetor a e que 
passa pela extremidade do 
vetor b.
 
Regra do Polígono
 É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores.
 Exemplo:
a b
c
Determinar a soma a + b + c
Posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a 
extremidade de um vetor coloca-se junto à origem do outro.
O vetor soma ou resultante é o vetor que une a origem do 
primeiro do primeiro com a extremidade do último, formando 
assim um polígono.
 
Fazendo a Soma através da Regra do Polígono
a
b c
S
a
b
c cbaS

++=
 
Componentes de um vetor
 
O módulo ou comprimento do vetor é um 
número real não negativo, dado por
                               
Vetor unitário é o que tem o módulo igual 
a 1. 
Existem três vetores unitários: base 
canônica para o espaço R3: 
Módulo de um vetor 
22
yx AAAA +==
)1,0,0(ˆ
)0,1,0(ˆ
)0,0,1(ˆ
=
=
=
k
j
i
 
Escrevendo um vetor
Um vetor pode ser expresso em termos: 
• De seu módulo e ângulo com eixo: 
Ex: o vetor tem módulo A formando 
ângulo θ com o eixo x; 
• Triplas ordenadas: 
• Das componentes e vetores unitários: 
kAjAiAA zyx ˆˆˆ ++=

),,( zyx AAAA =

 
Se e a soma é  
Soma de vetores
),,( zyx AAAA =

),,( zyx BBBB =

BA

+
))(),(),(( zzyyxx BABABABA +++=+

kBAjBAiBABA zzyyxx ˆ)(ˆ)(ˆ)( +++++=+

ou
Este procedimento pode ser usado para uma quantidade N de vetores!
 
Propriedades da soma de vetores
I – Comutatividade:
II- Associatividade:
III – Elemento neutro: 
Existe um vetor tal que
IV- Elemento oposto; 
Para cada vetor existe um vetor tal que
 
ABBA

+=+
BACBAC

++=++ )()(
)0,0,0(=O

AAO

=+
A

A

−
OAA

=−+ )(
 
Se é um escalar e é um vetor, então: c A

),,( zyx cAcAcAAc =×

ou
kcAjcAicAAc zyx ˆˆˆ ++=×

Produto de um escalar por vetor
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17