Séries e Sequências Matemáticas

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FORMULÁRIO - Séries e seqüências 
 
Nome Proposição Comentário 
Convergência de 
seqüências 
Uma seqüência {an} converge se 
Lan
n


lim
 
Série geométrica 
A série 


0k
kar
 converge se |r|<1 e diverge se |r|1. 
Se a série convergir, terá soma 
r
a
ar
k
k



 10
. 
Teste da divergência Se 
0lim 

k
k
u
, então 
 ku
diverge Se
0lim 

k
k
u
, então 
 ku
pode ou não convergir. 
Teste da integral Seja 
 ku
uma série com termos positivos e seja f(x) a 
função que resulta quando k for substituído por x no termo 
geral da série. Se f for decrescente e contínua para x1. 
Então 


1k
ku
e 
dxxf

1
)(
 ambas convergem ou divergem. 
Aplica-se apenas para séries com 
termos positivos. Use-o quando 
f(x) for fácil de integrar. 
P séries (série hiper-
harmônica) 


1
1
k
pk
 converge se p > 1 e diverge 0<p1. 
 
Teste da comparação 
Sejam 


1k
ka
e 


1k
kb
 séries de termos não negativos tais 
que: 
,...,, 3312211 bababa 
 
Se 


1k
kb
convergir, então 


1k
ka
também converge, se 


1k
ka
divergir, então 


1k
kb
também diverge. 
Aplica-se apenas para séries com 
termos não negativos. 
Teste da razão Seja 
 ku
uma série de termos positivo e suponha que 
k
k
k u
u 1lim 


 
a) A serie converge se p<1 
b) A serie diverge se p>1 
c) O teste é inconclusivo se p=1 
 
Tente este teste quando 
ku
 
envolver k-ésimas potências ou 
fatoriais. 
Teste da raiz Seja 
 ku
uma série de termos positivo e tal que
k
k
k
k
k
k
uu /1)(limlim


 
a) A serie converge se p<1 
b) A serie diverge se p>1 
c) O teste é inconclusivo se p=1 
Tente este teste quando 
ku
 
envolver k-ésimas potências. 
Teste da comparação 
dos limites Sejam 
 ka
e 
 kb
 séries de termos positivos tais que: 
k
k
k b
a

 lim
 
Se 0 < p < , então as séries convergem ou divergem. 
 
Teste da série 
alternada A série




1
1)1(
k
k
k a
ou 




1
)1(
k
k
k a
 converge se: 
a) 
...321  aaa
 ; 
b) 
0lim 

k
k
a
. 
Aplica-se apenas à séries 
alternadas 
Teste da razão para 
convergência absoluta 
Seja 
 ku
uma série de termos diferentes de zero tal que: 
||
||
lim 1
k
k
k u
u 


 
a) A serie converge absolutamente se p<1 
b) A serie diverge se p>1 
c) O teste é inconclusivo se p=1 
A série não necessita ser termos 
positivos nem ser alternada para 
usar este teste. 
 
Uma série será condicionalmente 
convergente quando for 
convergente e absolutamente 
divergente 
Série de potência 
Teremos uma série de potência, 


0k
k
k xc
, quando seus 
termos forem dependentes de da variável x 
 
As série de Taylor e Maclaurin 
são casos particulares das séries 
de potências. 
Convergência de série 
de potência 
Para cada série de potencia, uma das condições é válida: 
a) A série converge somente se x = 0; 
b) A série converge absolutamente para todos os valores reais de x. 
A série converge absolutamente para todos os valores de x em algum intervalo aberto finito (-R, 
R) e diverge se x < -R ou x > R. Em cada um dos pontos x=R e x=-R a série pode convergir 
absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da série em particular 
Se f tiver derivadas de todas as ordens em 0, então chamamos a série 
...
!
)0(
...
!2
)0(''
)0(')0(
!
)0( )(
0
2
)(



k
k
k
k
k
x
k
f
x
f
xffx
k
f
 
de série de Maclaurin para f. 
Se f tiver derivadas de todas as ordens em x0, então chamamos a série 
...)(
!
)(
...)(
!2
)(''
))((')()(
!
)(
0
0
)(
0
2
0
0
0000
0
)(



k
k
k
k
k
xx
k
xf
xx
xf
xxxfxfxx
k
xf
 
de série de Taylor para f em torno de x = x0. 
 
 
Série de Fourier 
Chama-se série de Fourier a função dada pela seguinte soma: 




0
0 )cos(
2
)(
k
nn nxsenbnxa
a
xf
 onde: 





dxxfa )(
1
0
; 





nxdxxfan cos)(
1
 





nxdxsenxfbn )(
1
 
 
 
Transformada de Laplace: 
)(sX
=£
  


 dtetxtx st)()(
 
Teorema: se £
  )()( sXtx 
, então £
 
ds
sXd
txt
))((
)(. 
 
 
 
Transformada de Fourier: 
)(sX
=F
  


 dtetxtx tj)()(