Laboratório de Mecânica dos Fluídos Relatório 3 - Força hidrostática sobre superfície plana submersa

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Laboratório de Mecânica dos Fluídos
Relatório 3 - Força hidrostática sobre superfície plana submersa
 
Turma: 2111EC13 
Aula prática nº3
Data 03/04/2018
Componentes do grupo:
Barbara Zerneri RA: 161010385 
George Diban		 RA: 161011179
Heloisa Chicone Maria RA: 161011152
Maria Paula Nantes RA: 161010342
Raíssa Rodrigues RA: 161012311
OBJETIVOS
Este experimento tem como objetivo a determinação de forças hidrostáticas que atuam sobre superfícies planas submersas. 
INTRODUÇÃO
Para a determinação da força resultante em uma superfície plana submersa, utilizamos um corpo inclinado de formato qualquer, com a superfície livre do fluido em contato com a atmosfera, como mostra a figura abaixo:
 
Figura 1- Esquema de uma força que atua em um diferencial de área , localizada em uma profundidade .
A força que atua em um diferencial de área , localizada em uma profundidade e imersa em um fluido de peso específico é
 
 (1)
e é perpendicular à essa superfície.
 
 
Desse modo pode-se obter a força resultante na superfície somando-se todas as forças diferenciais que atuam na superfície:
 
 	 (2)
Onde , então
 	 (3)
 
Se forem constantes temos:
 	 (4) 	
A integral da equação (4) é o momento de primeira ordem de área. Podemos reescrevê-lo como:
 	 	 	 (5)
 
 
Em que é a coordenada do centróide, medido a partir do eixo x que passa através do ponto 0.
 
Portanto a equação (4) pode ser reescrita como:
 
 
 , ou 	 	 	 (6) 	
 
Dessa forma, verifica-se que a força resultante é obtida pelo produto da pressão, no centro de gravidade da superfície, por sua própria área. Podemos perceber que a força resultante independe de e é função apenas do peso específico do fluido, da área total e da profundidade do centróide da superfície.
 
 
A força resultante não age no centro de gravidade da superfície, mas sim sobre um ponto chamado de centro de pressão. Para encontrarmos o local de ação da força resultante devemos encontrar a coordenada , que é determinada através da soma dos momentos em torno do eixo x. O momento da força resultante deve ser igual aos momentos das forças devidas à pressão, portanto:
 
 
 	 (7)
 
 
Como , obtemos:
 
 	 	 	 	 (8)
 
 
O numerador da equação (8) é o momento de segunda ordem de área, mais conhecido como momento de inércia . Assim, reescrevemos:
 
 	 	(9)
Utilizando o teorema dos eixos paralelos podemos reescrever o momento de inércia como:
 
 (10)
 
Substituindo:
 	 	 
 (11) 	
 
Observando a equação (11) podemos ver o porquê a força resultante não passa pelo centro geométrico da superfície, já que .
 
A coordenada pode ser obtida da mesma forma de :
 	 
 
 (12)
 
 
METODOLOGIA
MATERIAIS
Piezômetros; 
Mangueiras de Silicone;
Água; 
Placa com Orifícios e b=20cm; 
Túnel de Água; 
Bomba de Água
MÉTODOS
Inicialmente, uma placa de largura conhecida e com 8 marcações de níveis foi colocada dentro do túnel de água, perpendicular à superfície do fundo do túnel e esse foi cheio até que a água cobrisse a placa. Também foi preparado um piezômetro com água (como as pressões desse experimento são baixas não foi necessário mercúrio, apenas água), para que observássemos as pressões nos 8 níveis. 
Cada marcação foi ligada ao seu respectivo piezômetro, sendo que com uma válvula controla-se o nível de água para que esta fique superior a todos os orifícios da placa, como representada na figura:
Figura 2: modelo esquemático do experimento.
Como a altura da água se manteve constante, todos os piezômetros possuem a mesma (altura inicial) já que os piezômetros atuam como vasos ligantes e estão sujeitos à mesma pressão, portanto teoricamente ficam nivelados. No entanto, pequenas diferenças ocorrem, possivelmente, devido a não retirada completa do ar nas mangueiras e a outros fatores de causa de erro
Depois de medida essa altura dos 8 piezômetros, desliga-se a bomba, o que cessa o fluxo de água pelo túnel, e o que faz com que os orifícios fiquem expostos à pressão atmosférica, assim a altura dos piezômetros diminuem até estabilizarem em um nova altura . A diferença de altura ( − ) representa a altura de cada orifício em relação à superfície livre da água e o do orifício 8 coincide com a altura da placa.
Feito isso foi possível calcular a pressão relativa (considerando = 0 ) atuante em cada nível de água no túnel, através da equação:
= γ .O .( − )
Pode-se também, a partir dos dados coletados, calcular o módulo da força resultante () atuante na placa, partindo-se da equação 
Sendo: : Diferencial de força; : Pressão; : Diferencial de área. )
Considerando e temos que:
Integrando-se, tem-se:
 ∫= ∫⇒ = 
como ∫ , sendo a posição do centro de gravidade da placa, e a área da placa: 
 
Observando-se que o valor de é equivalente ao de , que é a altura vertical do centro de gravidade até a superfície livre do líquido, obtém-se a equação final para o módulo da força resultante atuante na placa:
 
Nesse caso, = , sendo a pressão atuante no centro de gravidade da placa. 
O ponto de aplicação da força () pode ser obtido através da seguinte somatória de momentos atuantes: 
Substituindo-se por obtém-se:
. = ⇒ 
Sabe-se que a expressão ∫ quantifica o valor da inércia da placa (), que pode também ser descrita por + .
Substituindo-se então o valor da inércia ( ) obtém-se a expressão para o cálculo do ponto de aplicação da força:
 
RESULTADOS E CÁLCULOS
Com a placa totalmente submersa foi possível obter a altura inicial nos pontos 1 a 8; com a diminuição da altura da água foi possível obter a altura final em cada ponto. Os dados coletados estão dispostos na tabela 1 abaixo.
Tabela 1: altura inicial e final medidas nos piezômetros
	piezômetro
	hi( 10 -²m)
	hf(10-²m)
	(10-²m)
	1
	34,6
	29,8
	4,8
	2
	34,7
	24,8
	9,9
	3
	34,6
	19,8
	14,8
	4
	34,7
	14,9
	19,8
	5
	94,5
	68,9
	25,6
	6
	94,7
	66,9
	27,8
	7
	94,7
	62,4
	32,3
	8
	94,7
	59,7
	35,0
 
Determinada a altura em cada ponto foi possível calcular a pressão nos pontos 1 a 8 através da fórmula : ; para isso considerou-se o 
Ponto 1 :
P1 = 9810 x 0,048
P1=470,88 N/m² (Pa)
O mesmo método de cálculo foi aplicado aos demais pontos e os resultados obtidos estão inseridos na tabela 3 a seguir.
Tabela 3: resultado do cálculo da pressão parcial nos pontos 1 a 8
	piezômetro
	pressão ( PaP
	1
	470,88
	2
	971,19
	3
	1451,88
	4
	1942,38
	5
	2511,36
	6
	2727,18
	7
	3168,63
	8
	3433,50
A partir do resultado 8 , podemos encontrar a altura da placa () e calcular a força resultante () e a coordena a partir desta:
= =0,35 m
= 
= 9810 x 35 x (0,2 x 0,35)
= 245 N
=
Com o resultado da Tabela 2 foi possível montar o gráfico: Pressão x Altura, anexado a seguir:
Gráfico 1: Pressão x Altura
DISCUSSÕES E CONCLUSÕES
 A partir desse experimento foi possível entender a atuação da força hidrostática sobre elementos submersos. Notou-se que a força aplicada em determinadoponto depende diretamente da profundidade em que ele se encontra, assim como que o local de atuação da força resultante () difere do centro de gravidade do objeto (). A força resultante também independe do ângulo formado entre a placa e a superfície livre.
 Vale ressaltar que as medições foram feitas com instrumentos de boa precisão e os cálculos feitos diversas vezes a fim de minimizar os erros envolvidos no experimento, mas ainda assim os erros, mesmo que mínimos, estão presentes.
BIBLIOGRAFIA
 FORÇA HIDROSTÁTICA Disponível em: <https://docslide. com.br/documents/ relatorio-03.html>. Acesso em 5/03/2018.
MUNSON, Bruce R. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos / Tradução da 4ª ed. americana, São Paulo, SP: Edgard Blucher, 2004.