RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

Solução 
 Diagrama de corpo livre: 
 45 
 
 

 
 0xF
 
055cos.8 xA
 (1) 
 
 

 
  0yF
 
055.84.5  senAy
 (2) 
 
(
 
 0AM
 
02.4.57).55(.8  Msen
 (3) 
 
Pela equação (1) obtemos 
kNAx 59,4
 
O sinal negativo indica que o sentido correto deste vetor é para a esquerda e não para direita 
como está indicado no diagrama de corpo livre. 
Pela equação (2) obtemos: 
kNAy 55,26
 
 Neste caso o sentido do vetor 
yA
está correto no diagrama. 
Finalmente pela equação (3) obtemos: 
mkNM .87,85
 
 Neste caso, também, está correto o sentido do momento. 
 
 
3) Determinar as reações de apoio da viga, a seguir. 
 
 
 Solução: 
a) Diagrama de corpo livre. 
Para construir o diagrama de corpo livre vamos substituir o par de forças de 7kN pelo 
momento 
mkNM .2,46,0.7 
 
 
 46 
b) Reações de apoio 
 

 
 0yF
 
0 yy BA
 (1) 
 
(
 
 0BM
 
02,43  yA
 (2) 
Resolvendo obtemos: 
 
kNBA yy 4,1
 
5.10 Apoio tipo cabo flexível e haste articulada 
 Além dos apoios anteriormente mostrados, uma viga pode também estar vinculada através 
de cabo flexível, conforme mostra a Figura 29, onde BC é um cabo flexível que amarra a 
extremidade B da viga a um ponto C da parede. Este tipo de vínculo funciona como um apoio 
articulado móvel, pois a direção da força é conhecida e é a direção do próprio cabo. Além disso, 
conhecemos também o seu sentido, pois um cabo só trabalha a tração. 
 
Figura 29 
 O vínculo através de uma haste articulada, conforme a Figura 30, funciona como o do cabo 
flexível, cuja direção da força é a do eixo da haste, mas, neste caso, o sentido da força que a haste 
exerce sobre o corpo nem sempre é conhecida, já que, a haste sendo rígida, pode trabalhar também à 
compressão. 
 
Figura 30 
 É importante que as extremidades da haste sejam articuladas conforme mostra a Figura 30, 
para que ela funcione como apoio articulado móvel. Se, por ventura, uma das extremidades não for 
articulada como mostra a Figura 31, então ela funcionará como um apoio articulado fixo. Neste 
caso a direção da reação de apoio não será conhecida. 
 
Figura 31 
 
 
 
 47 
5.11 Exercício resolvido 
Determinar as reações de apoio da seguinte viga, sendo BC um cabo flexível. 
 
Solução. 
Primeiro passo, desenhamos o diagrama de corpo livre mostrado na figura à direita. 
Segundo passo, determinamos as componentes das forças inclinadas. 
 𝐷𝑥 = 27𝑐𝑜𝑠58° = 14,3𝑘𝑁 𝐷𝑦 = 27𝑠𝑒𝑛58° = 22,9𝑘𝑁 
 𝐵𝑥 = 𝐵𝑐𝑜𝑠35° 𝐵𝑦 = 𝐵𝑠𝑒𝑛35° 
Terceiro passo, escrevemos as equações de equilíbrio. 
 
→
+ ∑ 𝐹𝑥 = 0 => −𝐴𝑥 + 14,3 + 𝐵𝑥 = 0 => 𝐴𝑥 = 14,3 + 𝐵𝑐𝑜𝑠35° (1) 
 ↑ + ∑ 𝐹𝑦 = 0 => 𝐴𝑦 − 14 − 22,9 + 𝐵𝑠𝑒𝑛35° = 0 => 𝐴𝑦 + 𝐵𝑠𝑒𝑛35° = 36,9 (2) 
 (>+ ∑ MB = 0 => 𝐴𝑦6 − 14.5 − 22,9.2 = 0 => 𝐴𝑦 = 19,3𝑘𝑁 
Substituímos este valor de Ay na equação (2) e obtemos 
𝐵 = 30,7𝑘𝑁 
Pela equação (1) obtemos 𝐴𝑥 = 39,4𝑘𝑁 
 
 
5.12 A influência do peso próprio da viga na flexão. 
Quando uma viga prismática e homogênea está em posição horizontal o peso próprio dela se 
distribui uniformemente ao longo de seu comprimento com sentido para baixo, perpendicularmente 
ao seu eixo, provocando flexão. Em muitos casos o efeito do peso próprio da viga é desprezível em 
relação às forças externas aplicadas, mas, existem situações onde sua influência não pode ser 
desprezada. Isto normalmente ocorre, por exemplo, para vigas em balanço quando seu comprimento 
é relativamente grande ou para vigas simplesmente apoiadas que possuem grandes vãos (distância 
entre apoios). Nestes casos devemos então calcular a viga considerando o peso próprio como uma 
carga uniformemente distribuída igual ao seu peso por unidade de comprimento (Figura 32). 
A influência do peso próprio, logicamente, sempre deverá ser avaliada pelo calculista. Nos 
problemas apresentados nesta apostila, o peso próprio será desprezado, a menos que mencionado o 
contrário. 
 
 
Figura 32 
 48 
 
5.13 Exercícios: 
 
Determinar as reações de apoio nas seguintes vigas 
1) 
 
 Respostas: 
NDNAA yyx 2275250  
 
 
 
2) 
 
 
 
 Respostas: 
NmMNCC yx 2040053000  
 
 
 3) 
 
Respostas: Ay = 55kN ↓ By = 1515kN ↑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
 
 
4) 
 
 
 
 Respostas: Ax = 40,29kN, Ay = 86,16kN e Tração no cabo FG = 66,65kN 
 
 
5) Retomando o exercício nº 1 e considerando que o peso próprio da viga AE é 27kgf/m 
determinar suas reações de apoio. (1kgf=10N) 
 
Respostas: 
NDNAA yyx 34904300  
 
 
 50 
5.14 Esforços internos nas vigas 
Quando se carrega uma viga aparecem esforços internos (momento e forças) e, 
consequentemente, tensões normais ou tensões de cisalhamento nas seções transversais da viga. 
Para determinar estas tensões é preciso, então, calcular o momento e as forças que atuam na seção 
transversal considerada. As forças que atuam na seção transversal de uma viga podem ser de dois 
tipos: paralela (tangente) à seção transversal e normal à seção transversal. O momento e as forças 
normais à seção transversal provocam tensões normais (tração e/ou compressão) e as forças 
tangenciais provocam tensões de cisalhamento. 
Vamos estudar primeiro lugar as vigas cujas seções transversais estão sujeitas somente a 
momento e força tangencial. Posteriormente abordaremos vigas em cujas seções transversais 
ocorrem, também, forças normais. 
 
5.15 Momento fletor e força cortante 
O momento que atua numa seção transversal de uma viga sujeita à flexão é chamado de 
momento fletor e a força paralela à seção é chamada de força cortante. 
Seja a viga AB mostrada na Figura 33.a e vamos considerar uma seção transversal n-n que 
está à distância x do apoio A. Isolamos na Figura 33.b a parte da viga que está à direita desta seção 
transversal n-n. 
 
Figura 33 
 A ação das forças R1,P1, e P2 da parte esquerda da viga sobre a seção n-n da parte direita da 
viga (Figura 33.b) se resume, neste caso, num momento M denominado momento fletor e numa 
força vertical V denominada força cortante. 
 A força cortante é calculada por 
 
211 PPRV 
 
 O momento fletor é calculado por 
 
)()(. 211 bxPaxPxRM 
 
Portanto a força cortante V numa seção transversal qualquer é igual à soma (à resultante) das 
forças que estão à esquerda desta seção transversal. O momento fletor M numa seção transversal 
qualquer é igual à soma dos momentos das forças que estão à esquerda desta seção transversal em 
relação ao centro de gravidade desta seção transversal. 
 
Se tivermos uma carga distribuída além de cargas concentradas, para a determinação da 
força cortante e do momento fletor, deveremos considerar além da reação de apoio e das forças 
concentradas que estão à esquerda da seção transversal, devemos considerar também somente o 
trecho da carga distribuída que está à esquerda desta. 
Portanto pela Figura 34, temos 
xqPRV .11 
 
2
..)(11
x
xqaxPxRM 
 ou 
2
)(
2
11
x
qaxPxRM 
 
 51 
 
Figura 34 
 Nestes exemplos vimos a influência da parte