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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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, ou 
3mm
, etc. 
 
Figura 50 
 
 
6.2 Centro de gravidade (ou centróide) 
 
A posição do centro de gravidade C de várias figuras geométricas simples é conhecida. Por 
exemplo, o centro de gravidade de um retângulo, de um quadrado, de um círculo, está na interseção 
de seus eixos de simetria. Por exemplo, a Figura 51.a mostra um retângulo e seus eixos de simetria 
x e y. 
xQ
yQ
 80 
 No caso do triângulo, o centro de gravidade está situado a 1/3 da altura (Figura 51.b). 
A Tabela 1 no final desta apostila fornece a posição dos centros de gravidade para várias 
figuras usuais, além de outras propriedades. 
 
Figura 51 
 
 
Quando o centróide C de uma figura pode ser localizado por meio de seus eixos de simetria, 
o seu momento estático em relação a um eixo qualquer x ou y pode ser obtido por meio das 
equações (6.1) e (6.2). 
 
6.3 Exercícios 
 
1) Determinar os momentos estáticos em relação aos eixos x e y do retângulo mostrado na 
figura: 
 
 
Solução: 
 Sabemos que o centro de gravidade do retângulo está situado na interseção dos seus eixos de 
simetria (ponto C). Então temos: 
 
cmy 5* 
 
cmx 2* 
 
2404.10 cmcmcmA 
 
 Então: 
 
3* 2005.40. cmyAQx 
 
3* 802.40. cmxAQy 
 
 
 
 81 
2) Determinar os momentos estáticos em relação aos eixos x e y do círculo mostrado na 
figura, sabendo-se que seu diâmetro é 0,6m. 
 
Respostas: 
3085,0 mQy 
 e 
0xQ
 
 
 
6.4 Determinação do centro de gravidade (centróide) de uma área 
 
No caso de figuras mais irregulares cuja posição do centro de gravidade não conhecemos, 
para calculá-la, temos de usar as equações (6.1) e (6.2). Para determinarmos a posição do centro de 
gravidade basta dividirmos o momento estático pela área, isto é, 
 
A
Q
y x*
 (6.3) 
 
A
Q
x
y
*
 (6.4) 
 Mas para aplicar estas equações temos que determinar sua área e o momento estático da 
figura. 
 A área é calculada pela soma das áreas das figuras simples que a compõe. 
 O momento estático de uma figura composta por um conjunto de figuras geométricas 
simples é calculado pela soma dos momentos estáticos de cada figura simples (tudo em relação ao 
mesmo eixo). 
 Seja, por exemplo, determinar o momento estático e a posição do centro de gravidade de 
uma área conforme mostrada na Figura 52.a. 
. Para calcular o momento estático e o centro de gravidade C da área A, devemos primeiro 
dividi-la em figuras simples como os dois retângulos de áreas A1 e A2 e o triângulo de área A3. 
(Figura 52.b) 
 82 
 
Figura 52 
 
 
 
Para calcular o momento estático 
xQ
 da área A, em relação ao eixo x, devemos calcular os 
momentos estáticos de cada área A1 , A2 e A3. em relação ao mesmo eixo x. A soma destes 
momentos estáticos individuais nos dará o momento estático da área total A. Isto é, 
 
*
33
*
22
*
11 ... yAyAyAQx 
 
 
Identicamente podemos determinar o 
yQ
 calculando os momentos estáticos em relação ao 
eixo y. 
 
 
Generalizando podemos escrever: 
 

i
iix yAQ
*.
 e 

i
iiy xAQ
*.
 (6.5) 
 
Para a determinação das coordenadas *X e *Y do centróide da figura total A, substituímos 
nas Eqs. 6.5, 
xQ
 por 
*.YA
 e 
yQ
 por 
*.XA
. Temos 
 

i
ii yAYA
** ..
 e 

i
ii xAXA
** ..
 
 
Resolvendo para *X e *Y e lembrando que A é a soma das áreas 
iA
, temos 
 



i
i
i
ii
A
xA
X
*
*
.
 e 



i
i
i
ii
A
yA
Y
*
*
.
 (6.6) 
Colocando-se: 
yiii QxA 
*.
 e 
xiii QyA 
*.
 podemos escrever as equações (6.6) na forma: 
 83 



i
i
i
yi
A
Q
X *
 e 



i
i
i
xi
A
Q
Y *
 (6.7) 
 
Exercício resolvido 
 Determinar a posição do centróide da área hachurada mostrada na Figura 53.a. 
 Solução 
 Vamos dividir a figura no triângulo 1, no quadrado 2 e no círculo 3, conforme mostra a 
Figura 53.b. 
Como o círculo 3 não faz parte da área hachurada a sua área deverá ser subtraída. 
 
Figura 53 
 
 
 
22 7,1513,28144363.12.12
2
6.12
cmA   
 
32,15586.3,288.14416.36 cmQx 
 
 
 
36,11058.3,287.1449.36 cmQy 
 
 
cm
A
Q
Y x 3,10
7,151
2,1558* 
 
cm
A
Q
X
y
3,7
7,151
6,1105* 
 
Podemos organizar este cálculo utilizando a seguinte tabela: 
 
Fig. Ai yi
* 
Qxi=Ai. yi
*
 xi
* 
Qyi=Ai. xi
*
 
1 12x6/2 = 36 16 576 9 324 
2 12x12 = 144 8 1152 7 1008 
3 -π x 32 = -28,3 6 -169,8 8 -226,4 
 
𝛴𝐴𝑖 = 151,7 𝛴𝑄𝑥𝑖 = 1558,2 𝛴𝑄𝑦𝑖 = 1105,6 
𝑌∗ =
∑ 𝑄𝑥𝑖
∑ 𝐴𝑖
=
1558,2
151,7
= 10,3𝑐𝑚 𝑌∗ =
∑ 𝑄𝑦𝑖
∑ 𝐴𝑖
=
1105,6
151,7
= 7,3𝑐𝑚 
 84 
 
6.5 Exercícios 
 
 Determinar o centróide das seguintes figuras: 
 
a) b) 
 
 
Respostas: a) 
cmYX 65,4*0* 
 b) 
cmYX 5,1*0* 
 
 
 
c) 
 
 
 
Respostas: 
mmYmmX 3,27*8,41* 
 
 
 
 
 85 
 
6.6 Momento de inércia (ou momento de segunda ordem) 
 
a) Momento de inércia retangular 
 
Consideremos a área A situada no plano xy (Figura 54.a) e o elemento de área dA de 
coordenadas x e y. 
 
Figura 54 
 
Momento de inércia da área A em relação ao eixo x é determinado por 
 

A
x dAyI .
2
 (6.7) 
Momento de inércia da área A em relação ao eixo y é determinado por 

A
y dAxI .
2
 (6.8) 
Para o caso de um retângulo, de lados b e h, conforme mostrado na Figura 54.b, onde os 
eixos dos x e y são eixos centroidais, isto é, são eixos passam pelo centróide da figura, os seus 
momentos de inércia centroidais são: 
 
 
12
. 3hb
I x 
 
12
. 3bh
I y 
 
As tabelas 1 e 2 adiante apresentam, para diversas figuras, ás fórmulas para o cálculo de 
várias características geométricas, dentre elas, para o cálculo da área e do momento de inércia em 
relação ao eixo centroidal. 
 
b) Momento de inércia polar 
 
Definimos momento de inércia polar da área A em relação ao ponto O (Figura 55) à integral: 
 
 

A
O dAJ .
2
 (5.9) 
onde 

 é a distancia do elemento dA à origem O. 
Para o caso de um círculo de raio c, o momento de inércia polar em relação ao seu centro é 
 
2
. 4c
JO


 
 86 
(Ver Tabela 1 adiante para outras figuras geométricas) 
 
Unidades: os momentos de inércia no SI são usualmente expressos em: 
4m
 ou 
4mm
. 
 
 
 
Figura 55 
 
 
6.7 Raio de giração 
 
O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido por 
 
A
I
r xx 
 (6.10) 
O raio de giração de uma área A em relação ao eixo y é definido por 
 
A
I
r
y
y 
 (6.11) 
O raio de giração de uma área A em relação à origem O é definido por 
 
A
J
r OO 
 (6.12) 
 
 
6.8 Teorema dos eixos paralelos 
 
“O momento de inércia 
xI
 de uma área A em relação a um eixo arbitrário x é igual ao 
momento de inércia 
'xI
 da área em relação ao seu eixo centroidal 
'x
, paralelo ao eixo x, mais 
o produto da área pelo quadrado da distância d entre os eixos x e 
'x
.” 
 
Considerando a Figura 56, fica: 
 
 87 
2
' .dAII xx 
 (6.14) 
 
Figura 56

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