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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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Exemplo: 
ferro fundido, concreto, aço temperado. 
 A Figura 3 mostra os gráficos do aço recozido (dúctil), temperado (frágil) e temperado e revenido 
que se situa entre os dois quanto à sua fragilidade ou ductibilidade. 
 
Figura 3 
 
2.5 Ensaios tecnológicos de materiais 
Os dados para a execução do diagrama tensão-deformação são obtidos utilizando-se 
máquinas de ensaio de tração ou de compressão. Para o ensaio de tração, um corpo de prova do 
 10 
material a ser estudado, é colocado entre as garras da máquina de ensaio. As máquinas mais 
modernas possuem extensômetros para medir alongamentos e células de carga que medem a força 
aplicada. Através de uma central de processamento acoplada à máquina as medições são 
processadas na forma de tensões e deformações específicas, reproduzindo o diagrama num monitor. 
2.6 Lei de Hooke 
Vemos que a curva do diagrama tensão-deformação é uma reta que vai de seu início até o 
ponto que define o limite de proporcionalidade (ponto P da Figura 2). Esta relação linear entre a 
tensão 

e a deformação específica 

 é conhecida como Lei de Hooke e pode ser escrita assim: 
 
 .E
 (2.3) 
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade. Isto é, a relação entre a tensão e a 
deformação é igual a uma constante (E) chamada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. 
Sua unidade é igual à de tensão: Kgf/cm2, N/mm2, Pa =N/m2, etc. 
O módulo de elasticidade é a medida da rigidez de um material. Ou seja, quanto maior o 
módulo de elasticidade de um material menor a deformação que ele sofre sob uma mesma tensão. 
O módulo de elasticidade do aço doce é E=207GPa e o do alumínio E=69GPa. Portanto para uma 
mesma tensão o alumínio deforma-se elasticamente três vezes mais que o aço. 
Considerando a barra da Figura 1.b de comprimento L, área da seção transversal A, e sujeita 
à carga axial P e ainda supondo que a tensão 
AP
 é menor que a tensão de proporcionalidade, 
podemos aplicar a Lei de Hooke e desenvolver a equação para calcular a deformação total 

. 
Substituindo na equação da Lei de Hooke (2.3) o valor de 

 da equação (2.1) e de 

 da 
equação (2.2), temos 
 
L
E
A
P .

 
 Ou seja 
 
EA
LP
.
.

 (2.4) 
Exercício: 
Determinar a deformação total e específica de uma barra de aço (E=200GPa) de 4m de 
comprimento e 15mm de diâmetro submetida a uma carga de tração de 20kN. 
Respostas: 
mm26,2
 e 
410.66,5 
 
 
2.7 Tensões admissíveis e coeficientes de segurança 
 Vimos pelo diagrama de tensão-deformação que existe um limite de resistência ou uma 
tensão de escoamento conforme o material. Conhecendo-se estes limites pode-se estabelecer uma 
tensão segura para o trabalho da estrutura. Esta tensão é chamada de tensão admissível (
adm
) e é 
obtida dividindo-se a tensão última ou a tensão de escoamento por um coeficiente de segurança 
(CS). 
 Ou seja, 
 
CS
U
adm

 
 ou 
CS
Y
adm

 
 (2.5) 
 Quando o material não apresenta uma tensão de escoamento bem definida, como é o caso 
dos materiais frágeis, utilizamos a equação com a tensão última 
U
. Mas nos casos de materiais 
dúcteis cuja tensão de escoamento 
Y
 é bem definida usamos então a segunda equação. 
A escolha do CS adequado para as diferentes aplicações práticas depende de vários fatores 
como: 
-Heterogeneidade do material 
-Número de vezes que a carga é aplicada durante a vida da peça. 
-Tipo de aplicação da carga: estática, dinâmica, cíclicas, instantânea, etc. 
 11 
-Deterioração por causas imprevisíveis,. 
-Responsabilidade da peça na estrutura. 
- Etc. 
Nos dimensionamentos e aplicações em estruturas e máquinas os CS ou as tensões 
admissíveis são especificados por Normas Técnicas de entidades credenciadas. 
As tensões admissíveis e CS, fornecidos nos exercícios desta apostila, são meramente 
fictícios e servem apenas para efeito de treinamento de como usá-los. 
 
 
2.8 Dimensionamento das barras 
 
 Vimos que as forças axiais de tração ou compressão produzem tensões normais nas seções 
transversais da barra que podem ser calculadas pela fórmula: 
 
A
P

 
 Sabendo-se qual é a tensão admissível do material da barra (
adm
) podemos pela fórmula 
acima calcular qual deverá ser a área mínima recomendável da seção transversal da barra, isto é, 
 
adm
P
A


 (2.6) 
 
 No caso de barras sujeitas a tração esta fórmula é suficiente para o dimensionamento da 
barra. Entretanto, no caso de compressão a solução não é tão simples porque, neste caso, estará 
sujeita, também, a um efeito adicional chamado de flambagem. Assim sendo, o dimensionamento 
de barras sob compressão deverá ser feito utilizando-se a teoria de Flambagem que não faz parte do 
escopo desta apostila. 
 Além da tensão admissível o dimensionamento de uma barra deve respeitar também os 
limites de deformação impostos pelas Normas Técnicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
 
 
2.9 Exercícios 
Obs.: desprezar os pesos próprios das peças em todos os exercícios, exceto quando mencionado o contrário. 
 
 
1) Uma determinada barra de uma treliça está sujeita a uma força de tração de 26kN. 
Pretendendo-se usar barra redonda (cilíndrica), pede-se determinar qual deve ser o seu diâmetro 
mais econômico recomendável, sabendo-se que comercialmente encontram-se barras com diâmetros 
10mm, 15mm, 20mm, 25mm, etc. Supor que tensão admissível seja 140MPa. 
 Resposta: 20mm. 
 
 
2) A estrutura mostrada na figura suporta a carga de 60kN no ponto A. Pede-se determinar: 
a) A tensão normal na barra AC sabendo-se que seu diâmetro é 30mm 
b) O diâmetro mais econômico para a barra AC, supondo-se uma tensão admissível 
de 165MPa. 
c) A tensão normal na barra AB sabendo-se que a área de sua seção transversal é 
220cm
 
 
 
Respostas: a) 
MPaAC 6,141
 b) 
mmd 8,27
 c) 
MPaAB 40
 
 
3) As barras 1 e 2 da figura estão soldadas entre si e presas ao teto em A. Devido à ação das 
forças atuantes pede-se determinar: 
 a) A tensão normal na barra 1 e na barra 2. 
 b) A deformação total e específica de cada barra sabendo-se que o módulo de elasticidade 
do material de ambas as barras é 210 GPa. 
 13 
 
 
Respostas: a) 
MPa7,351 
 e 
MPa5,422 
 
 b) 
m51 10.34

 e 
5
1 10.17

 
m52 10.61

 e 
5
2 10.20

 
 
 
4) As barras 1 e 2 de 30mm de diâmetro, mostrada na figura, estão soldadas entre si e 
presas ao teto em A. Devido à ação das forças atuantes pede-se determinar a tensão 
normal na barra 1 e na barra 2. 
 
 
Respostas: 
MPa5,421 
 
MPa8,702 
 
 
5) Resolver os problemas 2.2, 2.3, 2.6 e 2.14 da pág. 89 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
 
 
 14 
2.10 Problemas estaticamente indeterminados 
 
Um sistema é estaticamente indeterminado quando não pode ser resolvido somente com as 
equações da estática. Neste caso devemos também lançar mão de equações da deformação. 
Geralmente estes problemas envolvem materiais que possuem módulos de elasticidade 
diferentes. Para a solução, primeiro escrevemos as equações de equilíbrio da estática e, em seguida, 
relacionando as equações das deformações de cada material obtemos

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