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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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2.14 Diagrama das forças normais 
O diagrama das forças normais é feito lançando no eixo das abscissas a distância x da seção 
transversal considerada, e no eixo das ordenadas o valor da força normal N que atua naquela seção. 
 
Exemplo numérico: 
Dada a barra mostrada na figura (a) abaixo determinar as equações das forças normais e 
desenhar os seu diagrama. 
 
 Solução 
 - Equações das forças normais 
 Trecho AB: 
30  x
 
200N
 
Trecho BC: 
5,53  x
 
700900200 N
 
Trecho CD: 
5,65,5  x
 
300400900200 N
 
 
 - Diagrama das forças normais N está mostrado na fig. (b). 
 Pelo diagrama podemos ver que o trecho AB está sujeito a uma tração de 200N, o trecho BC 
está sujeito a uma compressão de 700N e o trecho CD está sujeito a uma compressão de 300N. 
 
 Através do diagrama de forças normais podemos verificar quais são as seções transversais 
mais solicitadas e, assim, podemos dimensionar a barra levando em conta os esforços mais críticos. 
 
 
2.15 A influência do peso próprio da barra na tração ou compressão. 
 
 Até agora não levamos em conta a existência do peso próprio da barra. Realmente, em 
muitas aplicações, a influência do peso próprio da barra é tão pequena, em relação às forças 
aplicadas, que pode ser desprezada. Porém, existem situações nas quais esta influência é 
considerável e, portanto, não deve ser desprezada. Vamos, pois, estudar a influência do peso próprio 
no cálculo das tensões e deformações. 
 20 
 Quando a barra está em posição vertical, como na Figura 7, a força produzida pelo peso 
próprio da barra é na direção de seu eixo e, portanto, produz força normal e tensão normal nas 
seções transversais. Porém se a barra está posicionada horizontalmente a ação do peso próprio são 
forças transversais à barra e, portanto, não produzem diretamente forças normais ou tensões 
normais. Nesta situação o peso próprio produzirá flexão cujo estudo veremos mais adiante. 
 Seja uma barra AB de comprimento L, seção transversal com área A, peso específico 

, 
presa na extremidade superior A, conforme a Figura 7. 
 
Figura 7 
Vamos colocar o sistema de eixos de coordenadas conforme mostrado. 
 A força normal que atua na seção transversal nn é provocada pelo peso da barra que está 
abaixo da seção transversal, portanto, 
 
..yAN 
 (2.10) 
 A tensão normal que atua na seção nn é calculada por 
 
 ... y
A
yA

 (2.11) 
 A força normal máxima e, portanto, a tensão normal máxima ocorre para 
Ly 
 e seus 
valores são 
 
 ...max VLAN 
 (1.12) 
 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑉.𝛾
𝐴
= 𝐿. 𝛾 (2.13) 
 Sendo V o volume total da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.16 Deformação provocada pelo peso próprio. 
 21 
 Vamos considerar um elemento da barra de comprimento 
dy
à distância y do eixo x 
conforme mostra a Figura 8. 
 A força normal que atua na seção transversal inferior do elemento dy é 
 
..yAN 
 
 
 
Figura 8 
 
O alongamento provocado no elemento dy é 
 
AE
dyyA
AE
dyN
d
.
...
.
.
)(
 
 
 Então o alongamento total da barra será 
 
AE
LAy
AE
A
dyy
AE
A
L
L
..2
..
2.
.
.
.
. 2
0
2
0
 





 
 (2.14) 
 Mas o peso da barra é 
 
LAW ..
 
 Que substituindo na equação anterior chegamos a 
 
AE
LW
..2
.

 (2.15) 
 
2.17 Superposição de efeitos 
 No regime elástico, quando uma barra qualquer está sujeita ao seu peso próprio e mais uma 
série de forças axiais podemos calcular a força normal, ou a tensão normal, ou a deformação total 
provocados pelo conjunto desta forças, somando algebricamente os efeitos individuais de cada uma 
destas forças. 
 Portanto se na barra AB (ver Figura 9), cujo peso próprio não é desprezível, existe uma força 
axial P aplicada na extremidade B da barra, a força normal total numa seção transversal qualquer é 
calculada por: 
 
..yAPN 
 (2.16) 
 A tensão normal nesta seção é calculada por: 
 22 
 
 .y
A
P

 (2.17) 
A força normal máxima e, portanto, a tensão normal máxima ocorre para 
Ly 
 e seus 
valores são 
 
 ...max VPLAPN 
 (2.18) 
 
 ..max L
A
P
A
VP



 (2.19) 
 Sendo V o volume total da barra. 
 
Figura 9 
 
 A deformação total da barra também pode ser calculada somando os efeitos do peso próprio 
da barra e da força axial P, isto é, 
 
AE
L
P
W
AE
LP
AE
LW
.2.
.
..2
.







 (2.20) 
 
 Exercícios 
 1) Uma barra de aço de 12mm de diâmetro e 90m de comprimento, em posição vertical, é 
presa na extremidade superior e na extremidade inferior suporta uma carga 2kN. Pede-se determinar 
as máximas força normal e a tensão normal na barra, bem como o seu alongamento total sem 
desprezar o seu peso próprio. O peso específico do aço é 
378 mkN
e seu módulo de elasticidade é 
210GPa. 
 Respostas: 2793N, 24,7.10
6
 Pa, 9,08mm 
 
2) Determinar o comprimento máximo que pode ter um fio suspenso verticalmente supondo-
se que sua tensão admissível seja 120MPa e o peso especifico 
378 mkN
. 
Resposta: 1538m 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
2.18 Deformações transversais. Coeficiente de Poisson 
 
Uma força axial de tração provoca um alongamento da barra, mas, também provoca um 
encurtamento nas direções perpendiculares ela. 
Suponhamos a barra mostrada na Figura 10 e que seu eixo longitudinal coincide como o 
eixo dos x do sistema de coordenadas x, y, z. 
Já vimos que para calcular a deformação específica segundo a direção da força axial é só 
dividir a deformação total produzida (que neste caso é um alongamento) pelo comprimento inicial 
da barra. Assim sendo, temos o que se chama de deformação específica longitudinal a qual vamos 
representar por 
x
pois tem a direção do eixo x. 
A deformação específica transversal segundo a direção do eixo y , que chamaremos de 
y
 é 
calculada dividindo-se a deformação total da peça nesta direção (que evidentemente é um 
encurtamento) por sua dimensão original. Similarmente obtemos a deformação específica na 
direção z, 
z
. 
O coeficiente do Poisson (

) é obtido relacionando-se a deformação específica transversal 
com a deformação específica longitudinal. 
Então o coeficiente de Poisson na direção do eixo y é 
 
x
y
y


 
 (2.21.a) 
e na direção do eixo z é 
x
z
z


 
 (2.21.b) 
 
Figura 10 
Obs.: O sinal negativo entra na fórmula do coeficiente de Poisson para tornar o resultado 
positivo, pois, temos alongamento (cujo sinal é positivo) na direção longitudinal e um encurtamento 
(sinal negativo) na direção transversal. 
Supondo que o material da barra seja homogêneo (possui as mesmas propriedades 
mecânicas em qualquer ponto) e que seja também isotrópico (possui as mesmas propriedades 
mecânicas em qualquer direção), então as deformações específicas nas direções transversais serão 
iguais, isto é, 
 
zy  
 e portanto 
zy  
 
 
ou 
x
z
x
y




 
 
 No caso de compressão longitudinal haverá expansão lateral e o coeficiente de Poisson é o 
mesmo da tração. 
 Para o aço de construção o coeficiente de Poisson pode ser tomado como sendo 
3,0
.

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