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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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torção aplicados de forma a torcer a barra. 
A Figura 14 mostra uma barra cilíndrica AB de comprimento L e raio c presa na 
extremidade A. Vamos traçar a geratriz MN e em seguida vamos aplicar na extremidade B um 
momento de torção T. A barra vai sofrer uma torção e a geratriz MN mudará para MN’. 
 
 
Figura 14 
 
 
Devido ao momento de torção cada seção transversal da barra sofre uma rotação 

 
denominada de ângulo de torção (ou ângulo de rotação) da seção. A partir do engastamento em 
A, onde a seção não sofre rotação, o ângulo de torção 

 vai aumentando até a extremidade B. 
Portanto, o ângulo de torção máximo ocorre na extremidade B da barra. 
O ângulo 

 formado por MN e MN’ é denominado de deformação de cisalhamento. 
Como trataremos somente de pequenas deformações (no regime elástico) e medindo 

 e 

 
em radianos, podemos escrever: 
.' LNN 
 e 
.' cNN 
 donde logo 
 
L
c

.

 
Como esta é a deformação de cisalhamento máxima vamos colocar 
 
L
c

.
max 
 (4.1) 
 
A deformação de cisalhamento para um raio interno 

 será então 
 
L


.

 (4.2) 
 
Relacionando 

 e 
max
temos: 
 
c




max
 ou 
max.


c

 (4.3) 
 .. cL 
 31 
4.2 Tensão de cisalhamento 
O momento de torção T provoca em todas as seções transversais da barra uma distribuição 
de forças paralela à seção e , consequentemente, tensão de cisalhamento. 
A Figura 15 mostra a distribuição de forças numa seção transversal qualquer da barra. 
 
Figura 15 
Considerando uma área elementar dA a uma distância 

do centro e, considerando ainda que 
nesta área elementar atua a força elementar dF, então momento desta em relação ao centro da seção 
é 
.dFdT 
, logo o momento para toda área da seção transversal será 
 
 dFT .
 (4.4) 
A tensão de cisalhamento na área dA é calculada por 
dA
dF

 então 
dAdF .
 que 
substituindo em (4.4) obtemos 
 
 dAT ..
 (4.6) 
Multiplicando a equação (4.3) por G ( módulo de elasticidade transversal) obtemos 
 
max... 

 G
c
G 
 
Mas pela lei de Hooke temos 
 .G
 (4.7) 
então 
 
max.


c

 (4.8) 
Substituindo (4.8) em (4.6): 
 
  dAc
dA
c
T .. 2maxmax
2

 (4.9) 
Mas 
 dA.
2
 é o momento de inércia polar em relação ao centro da seção, isto é, 
 dAJ .
2
 que substituindo em (4.9) obtemos 
 
c
J
T
.max
 
Donde 
J
cT .
max 
 (4.10) 
Esta é a tensão de cisalhamento máxima e ocorre na periferia da seção. A tensão de 
cisalhamento num ponto qualquer interno à seção cuja distancia ao centro é 

 é calculada, 
conforme a equação (4.8), por: 
 
J
T 

.

 (4.11) 
 32 
A tensão de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a distância 

 ao eixo da 
barra. 
4.3 Eixo circular vazado (tubo) 
A Figura 16.a mostra a distribuição de tensões de cisalhamento em um eixo circular maciço. 
A Figura 16.b mostra a distribuição de tensões de cisalhamento em um eixo circular vazado, 
de raio interno c1 e raio externo c2. Da equação (4.10) temos neste caso 
 
J
cT 2
max
.

 (4.12.a) 
E da equação (4.8) obtermos 
max
2
1
min .
c
c

 (4.12.b) 
 
 
Figura 16 
O momento de inércia polar para um círculo é calculado por 
 
2
. 4c
J


 (4.13) 
Para a seção transversal de um eixo vazado (tubo) temos 
 
 4142
2
ccJ 
 (4.14) 
O momento de torção T será expresso em N.m, c e ρ em m, e J em m4. A tensão de 
cisalhamento será expressa em N/m
2
, isto é, em pascal (Pa). 
4.4 Deformação de cisalhamento (

) 
Pela equação (4.7) 
 .G
 obtemos 
maxmax . G
 e portanto 
 
G
max
max

 
 (4.16) 
Substituindo 
max
 da equação (4.10) na equação (4.16) obtemos 
 
GJ
cT
.
.
max 
 (4.17) ou 
GJ
T
.
.
 
 (4.18) 
4.5 Ângulo de torção (

) 
Pela equação (4.1) 
L
c

.
max 
 obtemos 
 
max
c
L

 (4.15) 
Substituindo o valor de 
max
da equação (4.17) obtemos finalmente 
 
GJ
LT
.
.

 (4.19) 
 33 
4.6 Exercícios 
 
1) Determinar o diâmetro de uma barra sujeita a um momento de torção de 70Nm cuja tensão 
admissível ao cisalhamento é 30MPa. 
Resposta: 22,8mm 
 
2) Um eixo de 78mm de diâmetro está submetido a um momento de torção de 6kN.m. 
Determinar a tensão máxima de cisalhamento no eixo. 
 Resposta: 
MPa4,64max 
 
 
3) Determinar a tensão de cisalhamento máxima e mínima em um eixo vazado cujos diâmetros 
interno e externo são, respectivamente 90mm e 120mm, sabendo-se que o momento de 
torção atuante é de 20kN.m. 
 Respostas: 
MPa3,86max 
 e 
MPam 7,64min 
 
 
 
4) Um eixo de seção circular de diâmetro 44mm está submetido a um momento de torção de 
1000 N.m. Calcular a tensão máxima de cisalhamento e o ângulo de torção correspondente a 
1m de comprimento, sabendo-se que G = 80 GPa. 
Respostas: 
MPa8,59max 
 e 
rad034,0
 
 
5) A manivela mostrada na figura é feita de uma barra de aço com 15mm de diâmetro. 
Determinar a tensão máxima de cisalhamento na barra sabendo-se que a força F aplicada no 
cabo da manivela é 100N. 
 
Resposta 37,7MPa 
 
6) Recomendação de exercícios do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
- Problema 3.1 e seguintes (pág. 214 e seguintes) 
- Problemas 3.23 a 3.26; 3.31 e 3.32 (pág.236 e seguintes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
4.7 Equações e diagramas do momento de torção 
 
Quando numa barra se aplica um único momento de torção, agindo em sua extremidade, 
como o caso da Figura 14, todas suas seções transversais estarão sujeitas a um mesmo momento de 
torção interno. Entretanto, no caso de existirem vários momentos de torção externos aplicados ao 
longo comprimento da barra, os momentos de torção internos não serão iguais para todas as seções 
transversais. 
Da mesma forma que fizemos para as forças normais podemos, neste caso, desenvolver as 
equações e diagramas dos momentos de torção, os quais mostrarão qual é o momento de torção 
interno que atua em qualquer seção transversal da barra. 
Seja, por exemplo, a barra AC mostrada na Figura 17, submetida aos momentos de torção 
externos 
AT
, 
BT
 e 
CT
. Observar que como a barra AC está em equilíbrio então ∑ 𝑇 = 0, isto é, 
𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 𝑂. 
O momento de torção que atua nas seções transversais do trecho AB é constante. Também 
no trecho BC todas as seções transversais estão submetidas ao mesmo momento de torção, porém, 
de valor diferente ao do trecho AB. 
 
Figura 17 
Antes de escrever as equações dos momentos de torção vamos definir uma convenção de 
sinais. 
Estabeleceremos que se a origem O dos eixos de coordenadas estiver na extremidade 
esquerda da barra então todos os momentos, cujos vetores tem sentidos para a direita (segundo a 
regra da mão direita), são positivos. Logo, se o momento de torção tiver sentido para a esquerda, 
será negativo. Veja a Figura 18. 
 
Figura 18 
Para escrever a equação dos momentos de torção T devemos primeiro colocar : 
T
 . Na 
frente do sinal de igualdade lançamos os valores de todos os momentos de torção externos (com seu 
respectivo sinal convencionado) que estão à esquerda da seção considerada (que está à distância x).

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