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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I (MECÂNICA DOS SÓLIDOS I) Gilson Finotti Jan/18 (R67) 2 OBSERVAÇÕES INICIAIS 1ª. Esta apostila é um mero resumo de aulas para auxiliar os alunos no estudo preliminar da disciplina. Foi baseada nos livros da Bibliografia abaixo, principalmente no livro de Beer e Johnston (Referência 1) cuja simbologia procuramos adotar, a fim de facilitar as consultas dos alunos. Seu objetivo é minimizar a necessidade de anotações em aulas de forma a manter, ao máximo, a atenção dos alunos nas exposições da matéria. Tratando-se de um mero resumo, evidenciam-se as suas limitações, não eximindo, portanto, o aluno da necessidade do estudo dos livros indicados na Bibliografia abaixo os quais enfaticamente recomendamos. Esclarecemos também que esta apostila não esgota todo programa da disciplina e, portanto, sua abrangência é limitada. Nossa intenção, no entanto, é principalmente fornecer um primeiro impulso para que o aluno possa decolar e ter condições para alçar vôos mais elevados. 2ª. Para simplificar a apresentação das figuras optamos por mostrar os corpos (barras, vigas, etc.) em projeção, ou em corte, em vez de representá-los em perspectiva. Isto foi adotado sempre que as forças aplicadas ao corpo estão contidas no seu plano de simetria ou coincidente com seu eixo, e desde que não haja prejuízo de seu entendimento, como mostrado a seguir: 3ª. Em todo desenvolvimento teórico ou prático desprezamos a influência dos pesos próprios dos corpos a menos, logicamente, quando mencionado o contrário. 4ª. Optamos, às vezes, por simbolizar os vetores através de letras em negrito (F) e, às vezes, por uma letra sobreposta com uma seta F . 5ª. Informações sobre erros, correções, críticas ou qualquer contribuição para a melhoria e aprimoramento desta apostila serão sempre bem vindas e, desde já, agradeço. Gilson Finotti Engenheiro Mecânico pela Escola de Engenharia da UFMG Mestre em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP Bibliografia 1) BEER, Ferdinand P. /JOHNSTON JR, E. Russel– Resistência Dos Materiais – 3° Edição – São Paulo: Editora Makron Books, 1996, 1255 P. 2) BEER, Ferdinand P./ JOHNSTON JR, E. Russel – Mecânica Vetorial Para Engenheiros – 5° Edição – São Paulo: Editora Makron Books, 1991, 793 P. 3) TIMOSHENKO, S. P. / GERE. J. M. – Mecânica Dos Sólidos – Vol(s): 1 E 2 - Rio De Janeiro: Editora Ltc, 1994 4) NASH, William A. – Resistência dos materiais – São Paulo: Editora McGraw-Hill, 1976, 384 p. 5) HIBBELER, R. C. – Resistência dos materiais - 3° edição - Rio de Janeiro: Editora LTC, 2000, 701 p. 6) GERE, James M. – Mecânica dos Materiais – São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 698 p. 7) TIMOSHENKO, Stephen P. Resistência dos Materiais – Rio de Janeiro. Vol. 1, Editora LTC, 1976, 451p 8) UGURAL, A. C. – Mecânica dos Materiais – Rio de Janeiro, Editora LTC, 2009, 638 p. 3 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 6 2 TRAÇÃO E COMPRESSÃO ...................................................................................................... 7 2.1 Tensão e deformação ............................................................................................................. 7 2.2 Unidades das tensões e deformações ..................................................................................... 8 2.3 Diagrama tensão-deformação ................................................................................................ 8 2.4 Materiais dúcteis e frágeis ..................................................................................................... 9 2.5 Ensaios tecnológicos de materiais ......................................................................................... 9 2.6 Lei de Hooke ....................................................................................................................... 10 2.7 Tensões admissíveis e coeficientes de segurança ................................................................ 10 2.8 Dimensionamento das barras ............................................................................................... 11 2.9 Exercícios ............................................................................................................................ 12 2.10 Problemas estaticamente indeterminados ........................................................................ 14 2.11 Exercícios ......................................................................................................................... 15 2.12 Tensão Térmica. Influência da variação da temperatura ............................................... 17 2.13 Equações das forças normais ........................................................................................... 18 2.14 Diagrama das forças normais ........................................................................................... 19 2.15 A influência do peso próprio da barra na tração ou compressão. .................................... 19 2.16 Deformação provocada pelo peso próprio. ...................................................................... 20 2.17 Superposição de efeitos .................................................................................................... 21 2.18 Deformações transversais. Coeficiente de Poisson .......................................................... 23 2.19 Exercícios ......................................................................................................................... 24 3 CISALHAMENTO .................................................................................................................... 25 3.1 Solicitações transversais. Tensão de cisalhamento. ............................................................. 25 3.2 Deformação de cisalhamento ............................................................................................... 26 3.3 Exercícios ............................................................................................................................ 27 4 TORÇÃO ................................................................................................................................... 30 4.1 Introdução ............................................................................................................................ 30 4.2 Tensão de cisalhamento ....................................................................................................... 31 4.3 Eixo circular vazado (tubo) ................................................................................................. 32 4.4 Deformação de cisalhamento ( ) ........................................................................................ 32 4.5 Ângulo de torção ( )........................................................................................................... 32 4.6 Exercícios ............................................................................................................................ 33 4.7 Equações e diagramas do momento de torção ..................................................................... 34 4.8 Exercícios ............................................................................................................................ 36 4.9 Cálculo de eixo de transmissão*..........................................................................................37 4.10 Exercícios ......................................................................................................................... 38 4 5 FLEXÃO .................................................................................................................................... 39 5.1 Vigas .................................................................................................................................... 39 5.2 Tipos de apoios das vigas .................................................................................................... 39 5.3 Tipos de carregamentos ....................................................................................................... 39 5.4 Carga uniformemente distribuída ........................................................................................ 40 5.5 Carga não uniformemente distribuída ................................................................................. 40 5.6 Tipos de vigas ...................................................................................................................... 40 5.7 Vigas isostáticas , vigas hiperestáticas e vigas hipostáticas ................................................ 41 5.8 Grau de hiperestaticidade .................................................................................................... 42 5.9 Reações de apoio ................................................................................................................. 43 5.10 Apoio tipo cabo flexível e haste articulada ...................................................................... 46 5.11 Exercício resolvido .......................................................................................................... 47 5.12 A influência do peso próprio da viga na flexão. .............................................................. 47 5.13 Exercícios: ........................................................................................................................ 48 5.14 Esforços internos nas vigas .............................................................................................. 50 5.15 Momento fletor e força cortante....................................................................................... 50 5.16 Convenção de sinais ......................................................................................................... 51 5.17 Diagramas de momentos fletores e forças cortantes ........................................................ 52 5.17.1 Diagrama de momentos fletores e forças cortantes para cargas concentradas. ............ 52 5.17.2 Diagrama de momentos fletores e forças cortantes para cargas distribuidas. .............. 54 5.18 Superposição de efeitos .................................................................................................... 56 5.19 Forças normais (N) .......................................................................................................... 57 5.19.1 Convenção de sinais ..................................................................................................... 57 5.19.2 Equação das forças normais e diagramas ..................................................................... 57 5.20 Exercícios resolvidos ....................................................................................................... 59 5.21 Exercícios ......................................................................................................................... 72 5.22 Relação entre momento fletor e força cortante ................................................................ 73 5.23 Tensões normais na flexão ............................................................................................... 75 5.24 Raio de curvatura ............................................................................................................. 77 5.25 Exercícios ......................................................................................................................... 78 6 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS ............................................. 79 6.1 Momento estático (ou momento de primeira ordem) .......................................................... 79 6.2 Centro de gravidade (ou centróide) ..................................................................................... 79 6.3 Exercícios ............................................................................................................................ 80 6.4 Determinação do centro de gravidade (centróide) de uma área .......................................... 81 6.5 Exercícios ............................................................................................................................ 84 6.6 Momento de inércia (ou momento de segunda ordem) ....................................................... 85 6.7 Raio de giração .................................................................................................................... 86 6.8 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 86 5 6.9 Exercício .............................................................................................................................. 87 6.10 Momento de inércia de uma área composta ..................................................................... 87 6.11 Exercícios ......................................................................................................................... 88 6.12 Tabela 1: Características Geométricas. Formulário 1 ...................................................... 90 6.13 Tabela 2: Características Geométricas. Formulário 2 ...................................................... 91 6.14 Tabela 3: Perfis I Padrão Americano (CSN) .................................................................... 91 6 1 INTRODUÇÃO No curso de Mecânica, na parte referente à Estática, estudamos o equilíbrio dos corpos rígidos. As forças então aplicadas ao corpo rígido são chamadas de forças externas, dentre as quais estão incluídas o peso próprio do corpo e suas reações de apoio. Neste estudo os corpos foram considerados teoricamente indeformáveis. No nosso curso de Resistência dos Materiais, entretanto, estudaremos os corpos deformáveis, isto é, considerando seu comportamento real. Ao estudarmos as estruturas e suas partes levaremos em conta não somente as forças externas, mas também as forças internas. A expressão corpo (e, às vezes, estrutura) é utilizada como termo genérico para estruturas, barras, vigas, componentes de máquinas etc. Enquanto as forças externas são as forças causadas pela ação de outros corpos sobre o corpo estudado, as forças internas são as forças que mantém unidas as suas partes ou os pontos materiais (as partículas) que formam o corpo. As forças e momentos atuantes numa estrutura e em suas partes podem provocar sobre elas vários efeitos tais como tração, compressão, cisalhamento, flexão, torção e flambagem. A Resistência dos Materiais estuda estes efeitos com o objetivo de determinar as tensões e as deformações decorrentes e, consequentemente, desenvolver a teoria básica para o projeto e dimensionamento de estruturas e peças. É através do estudo das tensões e deformações que conseguimos projetar uma estrutura e suas partes de maneira confiável, segura e econômica. As forças externas podem ser classificadas em forças de superfície e forças de corpo. As forças de superfície são forças distribuídas numa superfície do corpo pela ação de outros corpos. Elas podem ser consideradascomo forças concentradas num ponto caso a área de atuação for relativamente pequena. Também podem ser chamadas de forças lineares (ou cargas distribuídas lineares) se atuarem numa faixa relativamente estreita ao longo do corpo. A distribuição das forças de superfície pode ser uniforme ou variável. As forças de corpo são causadas por campos de força (campo gravitacional, campo magnético, etc.) e assim atuam no corpo como um todo. Seu ponto de aplicação pode ser considerado no centroide do corpo. No caso do campo gravitacional a força de corpo é o peso do corpo. Quanto à velocidade de aplicação, a força de superfície pode ser estática ou de impacto. É estática quando a aplicação da força é feita de modo lento e gradativo até atingir seu valor final. A força de impacto acontece quando a força é aplicada de forma instantânea. Pode acontecer também casos onde a força é aplicada de forma alternada ou repetida. A menos que seja mencionado o contrário, as forças de superfície aplicadas ao corpo, isto é, as cargas, serão sempre consideradas forças estáticas em todo o texto desta apostila. 7 2 TRAÇÃO E COMPRESSÃO 2.1 Tensão e deformação Consideremos uma barra prismática, ou cilíndrica de comprimento L presa de um lado, conforme mostra a Figura 1-a. Vamos então carregar esta barra com uma força axial P na outra extremidade conforme a Figura 1-b. Figura 1 Força axial é uma força concentrada cuja direção coincide com o eixo da barra. No caso da Figura 1-b a força axial tem seu sentido para fora da barra tendendo a alongá-la. Neste caso dizemos que a força é de tração. Se a força tivesse o sentido contrário teríamos uma força de compressão. O eixo da barra é a reta que passa pelos centros de gravidade das suas seções transversais. Se a linha de ação da força aplicada não coincide com o eixo da barra, esta não estará sujeita somente a tração ou compressão, mas, existirá também flexão. Inicialmente o efeito do peso próprio da barra não será levado em conta. Posteriormente estudaremos sua influência. Seção transversal normal (cuja área representaremos por A) ou simplesmente seção transversal da barra é qualquer seção obtida quando cortamos a barra com um plano normal ao seu eixo, como o plano n-n mostrado na Figura 1-b. Em termos práticos podemos considerar que a ação da força axial P provoca em qualquer seção transversal da barra uma distribuição de forças uniforme cuja resultante tem a mesma intensidade da força axial aplicada. Por exemplo, na Figura 1-c isolamos a parte da barra que está abaixo da seção transversal n-n. A ação da parte superior da barra sobre esta parte inferior é uma força uniformemente distribuída na seção n-n cuja resultante tem o mesmo módulo de P, porém, de sentido contrário equilibrando esta parte que isolamos. Tensão normal (representada por ) é a força de tração (ou compressão) que atua por unidade de área da seção transversal da barra. Portanto é calculada por: A P (2.1) As tensões normais de tração terão sinal positivo e as tensões normais de compressão terão sinal negativo. Deformação total (representada por ) é a deformação produzida pela ação da força axial P (Figura 1-b). Sinais: alongamento sinal positivo e encurtamento sinal negativo Deformação específica (representada por ) é a deformação total relacionada com o comprimento inicial da barra ou a deformação por unidade de comprimento da barra, isto é, L (2.2) 8 2.2 Unidades das tensões e deformações No Sistema Internacional a unidade da tensão normal é o pascal, o qual é representado por Pa que corresponde a 2mN Seus múltiplos são: PakPa 3101 PaMPa 6101 PaGPa 9101 Nas aplicações práticas de engenharia é muito comum usar-se o Sistema Técnico, ou seja a força em quilograma força (kgf ou simplesmente kg) e a área em 2cm . Portanto a tensão será dada em 2/ cmkgf . Em unidades inglesas, a força P é expressa em libras ( lb ) e a área expressa em polegadas quadradas ( 2in ) e a tensão será expressa em libras por polegada quadrada (psi). Para a deformação total sua unidade é a unidade de comprimento. No SI é, portanto, dada em metros (m), já a deformação específica, logicamente, não possui unidade. Exemplo: Uma barra cuja seção transversal tem 30mm de diâmetro é tracionada por uma força axial de 180kN. Pede-se determinar a tensão normal na barra. Solução 26 26 2 2 22 10.707 10 707 4 )30.( 4 . m mm m mm mmd A A força sendo de tração teremos tensão de tração que é positiva, então MPaPa m N A P 25510.255 10.707 10.180 6 26 3 O valor de acima obtido deve ser comparado com o máximo valor de tensão à tração que pode ser aplicado com segurança à barra, a chamada tensão admissível, representada normalmente por adm . Desta comparação podemos verificar se a barra pode ser usada para suportar a carga de 180kN. Através de tabelas de propriedades de materiais, e Normas Técnicas, se a tensão admissível é MPaadm 140 , concluímos que a barra feita com aquele material não pode ser usada com segurança. Devemos, portanto, mudar o material ou aumentar seu diâmetro de modo a não ultrapassar a tensão admissível. Desta forma o cálculo da tensão atuante numa peça serve para dimensionarmos a peça. 2.3 Diagrama tensão-deformação Variando a carga P aplicada nas extremidades de uma barra de um determinado material, podemos construir um gráfico onde lançamos no eixo das abscissas os valores da deformação específica e no eixo das ordenadas a tensão normal e obteremos o diagrama tensão- deformação . A Figura 2 mostra um diagrama tensão-deformação característico do aço de construção. Esta curva apresenta alguns pontos importantes (P, Y, U e R) que descrevemos a seguir. Limite de proporcionalidade ou tensão de proporcionalidade ( P ) È o valor máximo da tensão acima da qual deixa de existir a relação linear entre tensão e deformação (ponto P). Limite de elasticidade Existe um ponto logo acima de P (não mostrado) que é chamado de limite de elasticidade a partir do qual a barra deixa o regime elástico e atinge o regime plástico. O regime elástico é aquele no qual a barra ao ser aliviada da carga ela retorna ao seu comprimento inicial. Já no regime plástico a barra sofre deformação permanente não retornando ao seu comprimento inicial. Limite de escoamento ou tensão de escoamento ( Y ) 9 È o valor da tensão acima do qual a deformação aumenta sem praticamente aumentar o valor da tensão. Neste ponto diz-se que o material começa a escoar (ponto Y), isto é, mesmo sem aumento da tensão, o material continua a se deformar até um determinado ponto. Figura 2 Limite de resistência ou tensão última ( U ) É a maior tensão atingida no ensaio (ponto U). Depois do escoamento o material volta a oferecer resistência e, então, para que haja deformação é necessário aumentar a tensão até um ponto máximo (U) a partir do qual a resistência do material vai diminuindo até se romper. Limite de ruptura ou tensão de ruptura ( R ) É a tensão onde ocorre a ruptura do corpo (ponto R). 2.4 Materiais dúcteis e frágeis Materiais dúcteis são os que apresentam grandes deformações antes de romperem-se. Exemplo: aço recozido, alumínio Materiais frágeis são os que apresentam pequenas deformações antes de romperem-se.Exemplo: ferro fundido, concreto, aço temperado. A Figura 3 mostra os gráficos do aço recozido (dúctil), temperado (frágil) e temperado e revenido que se situa entre os dois quanto à sua fragilidade ou ductibilidade. Figura 3 2.5 Ensaios tecnológicos de materiais Os dados para a execução do diagrama tensão-deformação são obtidos utilizando-se máquinas de ensaio de tração ou de compressão. Para o ensaio de tração, um corpo de prova do 10 material a ser estudado, é colocado entre as garras da máquina de ensaio. As máquinas mais modernas possuem extensômetros para medir alongamentos e células de carga que medem a força aplicada. Através de uma central de processamento acoplada à máquina as medições são processadas na forma de tensões e deformações específicas, reproduzindo o diagrama num monitor. 2.6 Lei de Hooke Vemos que a curva do diagrama tensão-deformação é uma reta que vai de seu início até o ponto que define o limite de proporcionalidade (ponto P da Figura 2). Esta relação linear entre a tensão e a deformação específica é conhecida como Lei de Hooke e pode ser escrita assim: .E (2.3) O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade. Isto é, a relação entre a tensão e a deformação é igual a uma constante (E) chamada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. Sua unidade é igual à de tensão: Kgf/cm2, N/mm2, Pa =N/m2, etc. O módulo de elasticidade é a medida da rigidez de um material. Ou seja, quanto maior o módulo de elasticidade de um material menor a deformação que ele sofre sob uma mesma tensão. O módulo de elasticidade do aço doce é E=207GPa e o do alumínio E=69GPa. Portanto para uma mesma tensão o alumínio deforma-se elasticamente três vezes mais que o aço. Considerando a barra da Figura 1.b de comprimento L, área da seção transversal A, e sujeita à carga axial P e ainda supondo que a tensão AP é menor que a tensão de proporcionalidade, podemos aplicar a Lei de Hooke e desenvolver a equação para calcular a deformação total . Substituindo na equação da Lei de Hooke (2.3) o valor de da equação (2.1) e de da equação (2.2), temos L E A P . Ou seja EA LP . . (2.4) Exercício: Determinar a deformação total e específica de uma barra de aço (E=200GPa) de 4m de comprimento e 15mm de diâmetro submetida a uma carga de tração de 20kN. Respostas: mm26,2 e 410.66,5 2.7 Tensões admissíveis e coeficientes de segurança Vimos pelo diagrama de tensão-deformação que existe um limite de resistência ou uma tensão de escoamento conforme o material. Conhecendo-se estes limites pode-se estabelecer uma tensão segura para o trabalho da estrutura. Esta tensão é chamada de tensão admissível ( adm ) e é obtida dividindo-se a tensão última ou a tensão de escoamento por um coeficiente de segurança (CS). Ou seja, CS U adm ou CS Y adm (2.5) Quando o material não apresenta uma tensão de escoamento bem definida, como é o caso dos materiais frágeis, utilizamos a equação com a tensão última U . Mas nos casos de materiais dúcteis cuja tensão de escoamento Y é bem definida usamos então a segunda equação. A escolha do CS adequado para as diferentes aplicações práticas depende de vários fatores como: -Heterogeneidade do material -Número de vezes que a carga é aplicada durante a vida da peça. -Tipo de aplicação da carga: estática, dinâmica, cíclicas, instantânea, etc. 11 -Deterioração por causas imprevisíveis,. -Responsabilidade da peça na estrutura. - Etc. Nos dimensionamentos e aplicações em estruturas e máquinas os CS ou as tensões admissíveis são especificados por Normas Técnicas de entidades credenciadas. As tensões admissíveis e CS, fornecidos nos exercícios desta apostila, são meramente fictícios e servem apenas para efeito de treinamento de como usá-los. 2.8 Dimensionamento das barras Vimos que as forças axiais de tração ou compressão produzem tensões normais nas seções transversais da barra que podem ser calculadas pela fórmula: A P Sabendo-se qual é a tensão admissível do material da barra ( adm ) podemos pela fórmula acima calcular qual deverá ser a área mínima recomendável da seção transversal da barra, isto é, adm P A (2.6) No caso de barras sujeitas a tração esta fórmula é suficiente para o dimensionamento da barra. Entretanto, no caso de compressão a solução não é tão simples porque, neste caso, estará sujeita, também, a um efeito adicional chamado de flambagem. Assim sendo, o dimensionamento de barras sob compressão deverá ser feito utilizando-se a teoria de Flambagem que não faz parte do escopo desta apostila. Além da tensão admissível o dimensionamento de uma barra deve respeitar também os limites de deformação impostos pelas Normas Técnicas. 12 2.9 Exercícios Obs.: desprezar os pesos próprios das peças em todos os exercícios, exceto quando mencionado o contrário. 1) Uma determinada barra de uma treliça está sujeita a uma força de tração de 26kN. Pretendendo-se usar barra redonda (cilíndrica), pede-se determinar qual deve ser o seu diâmetro mais econômico recomendável, sabendo-se que comercialmente encontram-se barras com diâmetros 10mm, 15mm, 20mm, 25mm, etc. Supor que tensão admissível seja 140MPa. Resposta: 20mm. 2) A estrutura mostrada na figura suporta a carga de 60kN no ponto A. Pede-se determinar: a) A tensão normal na barra AC sabendo-se que seu diâmetro é 30mm b) O diâmetro mais econômico para a barra AC, supondo-se uma tensão admissível de 165MPa. c) A tensão normal na barra AB sabendo-se que a área de sua seção transversal é 220cm Respostas: a) MPaAC 6,141 b) mmd 8,27 c) MPaAB 40 3) As barras 1 e 2 da figura estão soldadas entre si e presas ao teto em A. Devido à ação das forças atuantes pede-se determinar: a) A tensão normal na barra 1 e na barra 2. b) A deformação total e específica de cada barra sabendo-se que o módulo de elasticidade do material de ambas as barras é 210 GPa. 13 Respostas: a) MPa7,351 e MPa5,422 b) m51 10.34 e 5 1 10.17 m52 10.61 e 5 2 10.20 4) As barras 1 e 2 de 30mm de diâmetro, mostrada na figura, estão soldadas entre si e presas ao teto em A. Devido à ação das forças atuantes pede-se determinar a tensão normal na barra 1 e na barra 2. Respostas: MPa5,421 MPa8,702 5) Resolver os problemas 2.2, 2.3, 2.6 e 2.14 da pág. 89 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 14 2.10 Problemas estaticamente indeterminados Um sistema é estaticamente indeterminado quando não pode ser resolvido somente com as equações da estática. Neste caso devemos também lançar mão de equações da deformação. Geralmente estes problemas envolvem materiais que possuem módulos de elasticidade diferentes. Para a solução, primeiro escrevemos as equações de equilíbrio da estática e, em seguida, relacionando as equações das deformações de cada material obtemosmais uma equação. Exemplo Um bloco de peso P é suspenso por 3 tirantes igualmente espaçados conforme a Figura 4.O tirante 1, do centro, tem área da seção transversal 1A e módulo de elasticidade 1E . Os tirantes laterais 2 tem a área da seção transversal de valor 2A e módulo de elasticidade 2E . Devido à simetria dos tirantes e à centralização do bloco o alongamento dos tirantes foi uniforme. Pede-se determinar as forças que atuam em cada tirante. Figura 4 Solução Vamos chamar de 1P à força de tração no tirante 1 e 2P às forças de tração nos tirantes 2. As forças de tração nos tirantes 2 são iguais porque suas àreas e módulos de elasticidade são iguais, e a carga está centralizada. Então podemos escrever a equação de equilíbrio PPP 21 .2 (a) Mas temos duas incógnitas 1P e 2P e somente uma equação. Para achar a segunda equação vamos utilizar a deformação das peças. O alongamento total do tirante 1 é: 11 1 1 . . EA LP E o alongamento total dos tirantes 2 é: 22 2 2 . . EA LP Como estes alongamentos são iguais temos 22 2 11 1 .. EA P EA P (b) Temos agora as duas equações (a) e (b) que resolvidas nos fornece 1P e 2P , 2211 11 1 2 EAEA PEA P e 2211 22 2 2 EAEA PEA P 15 2.11 Exercícios 1) A figura mostra uma barra prismática de 80cm de comprimento engastada nas suas extremidades. Uma força axial de KNP 16 é aplicada à distancia cmL 501 da extremidade esquerda. Determinar as reações 1R e 2R nos apoios. Respostas: kNR 61 kNR 102 2) Um bloco de 30kN é suportado por três tirantes de mesmo diâmetro. Sabendo-se que o tirante do meio é de aço cujo módulo de elasticidade é 210GPa e os outros dois são de alumínio cujo módulo de elasticidade é 70GPa, determinar as forças de tração em cada tirante. Respostas: kNFAÇO 18 e kNFAL 6 3) Uma barra redonda e um tubo, de mesmo comprimento L, suportam uma carga P através de uma placa rígida, comprimida sobre ambos, conforme mostra a figura. Sabendo-se que a barra redonda tem área da seção transversal A1, e módulo de elasticidade E1; e o tubo tem seção transversal A2 e módulo de elasticidade E2, pede-se determinar as forças de reação que atuam na barra e no tubo. 16 Respostas: 2211 11 1 EAEA PEA P e 2211 22 2 EAEA PEA P 4) Resolver os problemas 2.34, 2.35, 2.38 da pág. 89 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 17 2.12 Tensão Térmica. Influência da variação da temperatura A variação da temperatura sobre qualquer material provoca variação de suas dimensões e quando levamos em conta a variação da temperatura os esforços internos numa barra serão alterados dependendo dos vínculos desta barra. Por exemplo, se uma barra está fixada em uma extremidade e totalmente livre na outra extremidade um aumento na temperatura da barra provocará seu alongamento, mas, não alterará os esforços internos da barra. Entretanto se suas duas extremidades estiverem fixadas surgirão esforços internos adicionais e consequentemente aumento de sua tensão normal. Esta tensão adicional provocada pela variação da temperatura é a chamada tensão térmica. Portanto, numa barra rigidamente fixada (engastada) nas suas extremidades e isenta de tensões internas um aumento da temperatura provocará tensão normal de compressão e uma diminuição da temperatura provocará tensão normal de tração. Ambas as tensões são tensões térmicas. Para o cálculo da tensão térmica utilizamos a fórmula da dilatação térmica, isto é, 𝜕𝑇 =∝ ∆𝑇 𝐿 (2.7) Onde 𝜕𝑇 é a variação total do comprimento da barra provocada pela variação da temperatura. 𝛼 é o coeficiente de dilatação linear (Unidade no SI: 1/°C ou 1/°K). ∆𝑇 é a variação da temperatura da barra. L é o comprimento inicial da barra. Se as extremidades da barra são fixas, através de engastamentos suficientemente resistentes, eles exercerão sobre a barra uma força axial impedindo a variação de comprimento da barra, consequentemente, utilizando a fórmula da deformação total (2.4) esta força axial de origem térmica é 𝑃𝑇 = − 𝜕𝑇 𝐴 𝐸 𝐿 = −𝛼 ∆𝑇 𝐴 𝐸 (2.8) O sinal é negativo, pois, quando a variação da temperatura for positiva a força térmica é de compressão e se a variação da temperatura for negativa a força térmica é de tração. Assim sendo, a equação da tensão térmica é 𝜎𝑇 = 𝑃𝑇 𝐴 = − 𝜕𝑇 𝐸 𝐿 = −𝛼 ∆𝑇 𝐸 (2.9) Exercício resolvido Uma barra de 750mm de comprimento com seção transversal quadrada de 3cm de lado está presa em suas extremidades e à temperatura de 25°C está isenta de tensões. Quando a temperatura da barra atingir 45°C qual é o valor: (a) das reações nos apoios e (b) da tensão normal que atua na barra? Sabe-se que para o material da barra o módulo de elasticidade é 120GPa e o coeficiente de dilatação linear é 16,7.10 -6 /°C. Desprezar o efeito de flambagem. Solução: Dados: L = 750mm = 0,75m a = 3cm = 3.10 -2 m T1 = 25°C e T2 = 45°C E = 120GPa = 120.10 9 Pa ∝ = 16,7. 10−6/°𝐶 Cálculos: ∆𝑇 = 45°𝐶 − 25°𝐶 = 20°𝐶 𝐴 = (3. 10−2)2 = 9. 10−4𝑚2 (a) 𝑃𝑇 = 16,7. 10 −6. 20.9. 10−4. 120. 109 = 36,072. 103𝑁 (b) 𝜎𝑇 = − 36,072.103 9.10−4 = −4. 107𝑃𝑎 (Compressão) 18 2.13 Equações das forças normais Já vimos que as forças axiais que atuam numa barra provocam forças internas nas suas seções transversais. Estas forças internas, que são normais (“perpendiculares”) às seções transversais são chamadas de forças normais. Suponhamos uma barra AD, sujeita a várias forças axiais ao longo de seu comprimento, conforme a Figura 5. Se estabelecermos que a extremidade esquerda (A) da barra é a origem O, do eixo das abscissas x, podemos escrever as equações que nos fornecem as forças normais N em qualquer seção transversal à distância x da origem. Estas equações são as equações das forças normais da barra. Figura 5 Entretanto, para escrevermos estas equações precisamos primeiro estabelecer uma convenção de sinais dos sentidos das forças. Vamos então estabelecer que se a origem O dos eixos de coordenadas está na extremidade esquerda da barra, então todas as forças cujos sentidos são para a esquerda são positivas. Logo, se a força tiver sentido para a direita, será negativa. Veja a Figura 6. Figura 6 Se, porém, adotarmos como origem O do eixo das abscissas, a extremidade direita da barra, deveremos inverter os sinais acima. Exemplo: Para a barra mostrada na Figura 5 teremos três equações das forças normais, sendo uma para cada trecho: AB, BC e CD. Para escrever a equação da força normal N devemos primeiro colocar : N . Na frente do sinal de igualdade lançamos os valores de todas as forças (com seu respectivo sinal convencionado) que estão à esquerda da seção considerada (que está à distância x). Temos então: Trecho AB: ax 0 1FN Trecho BC: )( baxa 21 FFN Trecho CD: )()( cbaxba 321 FFFN 19 2.14 Diagrama das forças normais O diagrama das forças normais é feito lançando no eixo das abscissas a distância x da seção transversal considerada, e no eixo das ordenadas o valor da força normal N que atua naquela seção. Exemplo numérico: Dada a barra mostrada na figura (a) abaixo determinar as equações das forças normais e desenhar os seu diagrama. Solução - Equações das forças normais Trecho AB: 30 x 200N Trecho BC: 5,53 x 700900200 N Trecho CD: 5,65,5 x 300400900200 N - Diagrama das forças normais N está mostrado na fig. (b). Pelo diagrama podemos ver que o trecho AB está sujeito a uma tração de 200N, o trecho BC está sujeito a uma compressão de 700N e o trecho CD está sujeito a uma compressão de 300N. Através do diagrama de forças normais podemos verificar quais são as seções transversais mais solicitadas e, assim, podemos dimensionar a barra levando em conta os esforços mais críticos. 2.15 A influência do peso próprio da barra na tração ou compressão. Até agora não levamos em conta a existência do peso próprio da barra. Realmente, em muitas aplicações, a influência do peso próprio da barra é tão pequena, em relação às forças aplicadas, que pode ser desprezada. Porém, existem situações nas quais esta influência é considerável e, portanto, não deve ser desprezada. Vamos, pois, estudar a influência do peso próprio no cálculo das tensões e deformações. 20 Quando a barra está em posição vertical, como na Figura 7, a força produzida pelo peso próprio da barra é na direção de seu eixo e, portanto, produz força normal e tensão normal nas seções transversais. Porém se a barra está posicionada horizontalmente a ação do peso próprio são forças transversais à barra e, portanto, não produzem diretamente forças normais ou tensões normais. Nesta situação o peso próprio produzirá flexão cujo estudo veremos mais adiante. Seja uma barra AB de comprimento L, seção transversal com área A, peso específico , presa na extremidade superior A, conforme a Figura 7. Figura 7 Vamos colocar o sistema de eixos de coordenadas conforme mostrado. A força normal que atua na seção transversal nn é provocada pelo peso da barra que está abaixo da seção transversal, portanto, ..yAN (2.10) A tensão normal que atua na seção nn é calculada por ... y A yA (2.11) A força normal máxima e, portanto, a tensão normal máxima ocorre para Ly e seus valores são ...max VLAN (1.12) 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑉.𝛾 𝐴 = 𝐿. 𝛾 (2.13) Sendo V o volume total da barra. 2.16 Deformação provocada pelo peso próprio. 21 Vamos considerar um elemento da barra de comprimento dy à distância y do eixo x conforme mostra a Figura 8. A força normal que atua na seção transversal inferior do elemento dy é ..yAN Figura 8 O alongamento provocado no elemento dy é AE dyyA AE dyN d . ... . . )( Então o alongamento total da barra será AE LAy AE A dyy AE A L L ..2 .. 2. . . . . 2 0 2 0 (2.14) Mas o peso da barra é LAW .. Que substituindo na equação anterior chegamos a AE LW ..2 . (2.15) 2.17 Superposição de efeitos No regime elástico, quando uma barra qualquer está sujeita ao seu peso próprio e mais uma série de forças axiais podemos calcular a força normal, ou a tensão normal, ou a deformação total provocados pelo conjunto desta forças, somando algebricamente os efeitos individuais de cada uma destas forças. Portanto se na barra AB (ver Figura 9), cujo peso próprio não é desprezível, existe uma força axial P aplicada na extremidade B da barra, a força normal total numa seção transversal qualquer é calculada por: ..yAPN (2.16) A tensão normal nesta seção é calculada por: 22 .y A P (2.17) A força normal máxima e, portanto, a tensão normal máxima ocorre para Ly e seus valores são ...max VPLAPN (2.18) ..max L A P A VP (2.19) Sendo V o volume total da barra. Figura 9 A deformação total da barra também pode ser calculada somando os efeitos do peso próprio da barra e da força axial P, isto é, AE L P W AE LP AE LW .2. . ..2 . (2.20) Exercícios 1) Uma barra de aço de 12mm de diâmetro e 90m de comprimento, em posição vertical, é presa na extremidade superior e na extremidade inferior suporta uma carga 2kN. Pede-se determinar as máximas força normal e a tensão normal na barra, bem como o seu alongamento total sem desprezar o seu peso próprio. O peso específico do aço é 378 mkN e seu módulo de elasticidade é 210GPa. Respostas: 2793N, 24,7.10 6 Pa, 9,08mm 2) Determinar o comprimento máximo que pode ter um fio suspenso verticalmente supondo- se que sua tensão admissível seja 120MPa e o peso especifico 378 mkN . Resposta: 1538m 23 2.18 Deformações transversais. Coeficiente de Poisson Uma força axial de tração provoca um alongamento da barra, mas, também provoca um encurtamento nas direções perpendiculares ela. Suponhamos a barra mostrada na Figura 10 e que seu eixo longitudinal coincide como o eixo dos x do sistema de coordenadas x, y, z. Já vimos que para calcular a deformação específica segundo a direção da força axial é só dividir a deformação total produzida (que neste caso é um alongamento) pelo comprimento inicial da barra. Assim sendo, temos o que se chama de deformação específica longitudinal a qual vamos representar por x pois tem a direção do eixo x. A deformação específica transversal segundo a direção do eixo y , que chamaremos de y é calculada dividindo-se a deformação total da peça nesta direção (que evidentemente é um encurtamento) por sua dimensão original. Similarmente obtemos a deformação específica na direção z, z . O coeficiente do Poisson ( ) é obtido relacionando-se a deformação específica transversal com a deformação específica longitudinal. Então o coeficiente de Poisson na direção do eixo y é x y y (2.21.a) e na direção do eixo z é x z z (2.21.b) Figura 10 Obs.: O sinal negativo entra na fórmula do coeficiente de Poisson para tornar o resultado positivo, pois, temos alongamento (cujo sinal é positivo) na direção longitudinal e um encurtamento (sinal negativo) na direção transversal. Supondo que o material da barra seja homogêneo (possui as mesmas propriedades mecânicas em qualquer ponto) e que seja também isotrópico (possui as mesmas propriedades mecânicas em qualquer direção), então as deformações específicas nas direções transversais serão iguais, isto é, zy e portanto zy ou x z x y No caso de compressão longitudinal haverá expansão lateral e o coeficiente de Poisson é o mesmo da tração. Para o aço de construção o coeficiente de Poisson pode ser tomado como sendo 3,0 .24 2.19 Exercícios 1) Suponha uma barra redonda de aço cujo diâmetro tem 50mm. Sabendo-se que seu diâmetro diminuiu 0,01mm após a aplicação de uma força de tração P, que para o aço o coeficiente de Poisson é 0,3 e o módulo de elasticidade é 210GPa, pede-se determinar a força P. Resposta: NP 510.74,2 2) Uma barra de aço de 4,8m de comprimento possui seção transversal retangular cujos lados são mma 20 e mmb 5 . Qual será a redução destes lados quando se submete a barra a uma força axial de tração de 12kN? Sabe-se que o coeficiente de Poisson é 0,3 e o módulo de elasticidade é 210GPa. Resposta: ma 610.42,3 e mb 710.55,8 3) Resolver os problemas 2.66, 2.67, 2.69 da pág. 144 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 25 3 CISALHAMENTO 3.1 Solicitações transversais. Tensão de cisalhamento. Até agora estudamos somente as forças axiais, ou seja, forças coincidentes com o eixo da barra e, portanto, são solicitações normais à seção transversal. Forças transversais ao eixo da barra tendem a provocar corte (ou cisalhamento) da barra. A Figura 11.a mostra uma barra sujeita às laminas de uma tesoura que sob a ação das forças P tendem a cortar a barra na seção n-n. Identicamente, o rebite da Figura 11.b tende a ser cortado na seção n- n. Figura 11 Se considerarmos a seção transversal em n-n da barra (ou do rebite), cuja área representaremos por A, esta estará submetida a uma tensão que não é normal mas paralela a ela, ou seja, uma tensão que tende a “cisalhar” a barra e, por isso, é chamada de tensão de cisalhamento ( ) que é determinada na prática por: A P (3.1) O cálculo da tensão de cisalhamento é necessário para o dimensionamento de rebites, parafusos, chavetas, pinos, etc. os quais, na maioria das vezes trabalham a cisalhamento. Parafusos, rebites e pinos sujeitos a corte simples, duplos, etc. A Figura 11.b mostra um rebite sujeito a corte simples, pois, somente a seção nn do rebite está resistindo ao cisalhamento. Figura 12 A Figura 12.a mostra um rebite sujeito a corte duplo, pois, neste caso há duas seções (nn e mm) resistindo ao corte. A Figura 12.b mostra um rebite sujeito a corte triplo. 26 3.2 Deformação de cisalhamento Suponhamos uma barra prismática BC presa em C e na extremidade B é aplicada uma força transversal P conforme a Figura 13.a. Se a área da seção transversal da barra BC é A então suas seções transversais estarão sujeitas à tensão de cisalhamento: A P (3.2) Figura 13 Analisando um pequeno elemento da barra BC e isolando este elemento conforme a Figura 13.b vemos que este elemento está sujeito à tensão de cisalhamento na sua face superior e na face inferior teremos a mesma tensão porém de sentido contrário, provocando uma distorção: a face da barra era um retângulo e se transformou num losango. Esta distorção, que é medida pelo ângulo é chamada de deformação de cisalhamento. Se, para um determinado material, desenharmos um gráfico, lançando no eixo das ordenadas as tensões de cisalhamento e no eixo das abscissas as deformações de cisalhamento , obteremos o chamado diagrama tensão-deformação de cisalhamento para este material. Para muitos materiais o trecho inicial do diagrama é uma reta, identicamente ao que acontece para o diagrama tensão-deformação de tração/compressão. Ou seja, neste trecho reto se aplica a lei de Hooke, só que agora é para o cisalhamento. Portanto, neste trecho, a relação entre a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento é uma constante que, neste caso, é chamada de módulo de elasticidade transversal, representada por G. Isto é, G ou .G (3.3) Ver Exemplo 2.10 pag. 137 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 27 3.3 Exercícios 1. Determinar a tensão de cisalhamento no rebite mostrado na Figura 11.b sabendo-se que seu diâmetro é 6mm e P = 1000N. Resposta: MPa4,35 2. Determinar as tensões de cisalhamento nos rebites mostrados na figura sabendo-se que seus diâmetros são 6mm e P = 7kN. Resposta: MPa92,61 3. Qual é a força mínima necessária que uma tesoura guilhotina deve exercer para cortar uma chapa de 2mm de espessura (conforme a figura) e cujo comprimento de corte é 1,2m, sabendo-se que a tensão de ruptura ao cisalhamento do material da chapa é 300Mpa Resposta: kNP 720 4. O pino de diâmetro 10mm, espessura da cabeça 6mm, mostrado na figura está sujeito à força axial F=1100kgf. Pede-se verificar se é aconselhável a utilização deste pino, supondo-se que a tensão de cisalhamento admissível e a tensão normal admissível do material deste pino sejam, respectivamente, 70MPa e120MPa. Resposta: Não, porque, embora a tensão de cisalhamento atuante (58,4 MPa) seja menor que a tensão de cisalhamento admissível a tensão normal atuante (140 MPa) é maior que a tensão normal admissível. 5. Uma puncionadeira tem capacadidade de 5000kgf. Verificar se ela pode ser utilizada para efetuar um furo de diâmetro 5/8pol numa chapa de 1/8pol de espessura, cuja tensão de ruptura ao cisalhamento é 280MPa, conforme mostra a figura. 28 Resposta: Sim, porque, a força necessária para executar o furo é de 4445 kgf. 6. Uma polia de 120mm de diâmetro, acionada por correia, transmite seu torque ao eixo de 40mm de diâmetro através de uma chaveta que tem 7mm de largura e 30mm de comprimento conforme mostra a figura. As forças exercidas pela correia são kNF 71 e kNF 22 . Determinar a tensão de cisalhamento na chaveta. Resposta: 71,42 MPa 7. A figura mostra um acoplamento entre dois eixos de transmissão efetuado por 4 parafusos de 15mm de diâmetro, dispostos conforme mostra a figura. Pede-se determinar o torque máximo admissível que este acoplamento pode transmitir, supondo-se que a tensão admissível ao cisalhamento dos parafusos seja 70MPa. Desprezar o atrito entre os flanges. Resposta: 4,45kN.m 8. A cabeça cilíndrica do pendural mostrado na figura está apoiada numa base e sua haste vertical atravessa esta base através de um furo, sem atrito, e é ligada na sua extremidade inferior a uma barra horizontal por um pino. Esta barra horizontal está articulada no apoio à sua direita, e na extremidade esquerda suporta a força vertical de 5,4kN. A tensão normal 29 máxima que pode agir no pendural é 36MPa e a tensão de cisalhamento máxima para o pendural e o pino de ligação com a barra horizontal é 28MPa. Considerando estas tensões máximas determinar: a) O diâmetro da haste do pendural (d1) b) O diâmetro do pino de ligação pendural/barra horizontal (d2) c) A espessura t da cabeça do pendural Respostas: d1 = 2,11.10 -2 m d2 = 1,69.10 -2 m t = 6,79.10 -3 m 30 4 TORÇÃO 4.1 Introdução Estudaremos a torção somente para barras de seção circular. Torção é o efeito produzido numa barra devido à atuação de momentos (ou torques) detorção aplicados de forma a torcer a barra. A Figura 14 mostra uma barra cilíndrica AB de comprimento L e raio c presa na extremidade A. Vamos traçar a geratriz MN e em seguida vamos aplicar na extremidade B um momento de torção T. A barra vai sofrer uma torção e a geratriz MN mudará para MN’. Figura 14 Devido ao momento de torção cada seção transversal da barra sofre uma rotação denominada de ângulo de torção (ou ângulo de rotação) da seção. A partir do engastamento em A, onde a seção não sofre rotação, o ângulo de torção vai aumentando até a extremidade B. Portanto, o ângulo de torção máximo ocorre na extremidade B da barra. O ângulo formado por MN e MN’ é denominado de deformação de cisalhamento. Como trataremos somente de pequenas deformações (no regime elástico) e medindo e em radianos, podemos escrever: .' LNN e .' cNN donde logo L c . Como esta é a deformação de cisalhamento máxima vamos colocar L c . max (4.1) A deformação de cisalhamento para um raio interno será então L . (4.2) Relacionando e max temos: c max ou max. c (4.3) .. cL 31 4.2 Tensão de cisalhamento O momento de torção T provoca em todas as seções transversais da barra uma distribuição de forças paralela à seção e , consequentemente, tensão de cisalhamento. A Figura 15 mostra a distribuição de forças numa seção transversal qualquer da barra. Figura 15 Considerando uma área elementar dA a uma distância do centro e, considerando ainda que nesta área elementar atua a força elementar dF, então momento desta em relação ao centro da seção é .dFdT , logo o momento para toda área da seção transversal será dFT . (4.4) A tensão de cisalhamento na área dA é calculada por dA dF então dAdF . que substituindo em (4.4) obtemos dAT .. (4.6) Multiplicando a equação (4.3) por G ( módulo de elasticidade transversal) obtemos max... G c G Mas pela lei de Hooke temos .G (4.7) então max. c (4.8) Substituindo (4.8) em (4.6): dAc dA c T .. 2maxmax 2 (4.9) Mas dA. 2 é o momento de inércia polar em relação ao centro da seção, isto é, dAJ . 2 que substituindo em (4.9) obtemos c J T .max Donde J cT . max (4.10) Esta é a tensão de cisalhamento máxima e ocorre na periferia da seção. A tensão de cisalhamento num ponto qualquer interno à seção cuja distancia ao centro é é calculada, conforme a equação (4.8), por: J T . (4.11) 32 A tensão de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra. 4.3 Eixo circular vazado (tubo) A Figura 16.a mostra a distribuição de tensões de cisalhamento em um eixo circular maciço. A Figura 16.b mostra a distribuição de tensões de cisalhamento em um eixo circular vazado, de raio interno c1 e raio externo c2. Da equação (4.10) temos neste caso J cT 2 max . (4.12.a) E da equação (4.8) obtermos max 2 1 min . c c (4.12.b) Figura 16 O momento de inércia polar para um círculo é calculado por 2 . 4c J (4.13) Para a seção transversal de um eixo vazado (tubo) temos 4142 2 ccJ (4.14) O momento de torção T será expresso em N.m, c e ρ em m, e J em m4. A tensão de cisalhamento será expressa em N/m 2 , isto é, em pascal (Pa). 4.4 Deformação de cisalhamento ( ) Pela equação (4.7) .G obtemos maxmax . G e portanto G max max (4.16) Substituindo max da equação (4.10) na equação (4.16) obtemos GJ cT . . max (4.17) ou GJ T . . (4.18) 4.5 Ângulo de torção ( ) Pela equação (4.1) L c . max obtemos max c L (4.15) Substituindo o valor de max da equação (4.17) obtemos finalmente GJ LT . . (4.19) 33 4.6 Exercícios 1) Determinar o diâmetro de uma barra sujeita a um momento de torção de 70Nm cuja tensão admissível ao cisalhamento é 30MPa. Resposta: 22,8mm 2) Um eixo de 78mm de diâmetro está submetido a um momento de torção de 6kN.m. Determinar a tensão máxima de cisalhamento no eixo. Resposta: MPa4,64max 3) Determinar a tensão de cisalhamento máxima e mínima em um eixo vazado cujos diâmetros interno e externo são, respectivamente 90mm e 120mm, sabendo-se que o momento de torção atuante é de 20kN.m. Respostas: MPa3,86max e MPam 7,64min 4) Um eixo de seção circular de diâmetro 44mm está submetido a um momento de torção de 1000 N.m. Calcular a tensão máxima de cisalhamento e o ângulo de torção correspondente a 1m de comprimento, sabendo-se que G = 80 GPa. Respostas: MPa8,59max e rad034,0 5) A manivela mostrada na figura é feita de uma barra de aço com 15mm de diâmetro. Determinar a tensão máxima de cisalhamento na barra sabendo-se que a força F aplicada no cabo da manivela é 100N. Resposta 37,7MPa 6) Recomendação de exercícios do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 - Problema 3.1 e seguintes (pág. 214 e seguintes) - Problemas 3.23 a 3.26; 3.31 e 3.32 (pág.236 e seguintes). 34 4.7 Equações e diagramas do momento de torção Quando numa barra se aplica um único momento de torção, agindo em sua extremidade, como o caso da Figura 14, todas suas seções transversais estarão sujeitas a um mesmo momento de torção interno. Entretanto, no caso de existirem vários momentos de torção externos aplicados ao longo comprimento da barra, os momentos de torção internos não serão iguais para todas as seções transversais. Da mesma forma que fizemos para as forças normais podemos, neste caso, desenvolver as equações e diagramas dos momentos de torção, os quais mostrarão qual é o momento de torção interno que atua em qualquer seção transversal da barra. Seja, por exemplo, a barra AC mostrada na Figura 17, submetida aos momentos de torção externos AT , BT e CT . Observar que como a barra AC está em equilíbrio então ∑ 𝑇 = 0, isto é, 𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 𝑂. O momento de torção que atua nas seções transversais do trecho AB é constante. Também no trecho BC todas as seções transversais estão submetidas ao mesmo momento de torção, porém, de valor diferente ao do trecho AB. Figura 17 Antes de escrever as equações dos momentos de torção vamos definir uma convenção de sinais. Estabeleceremos que se a origem O dos eixos de coordenadas estiver na extremidade esquerda da barra então todos os momentos, cujos vetores tem sentidos para a direita (segundo a regra da mão direita), são positivos. Logo, se o momento de torção tiver sentido para a esquerda, será negativo. Veja a Figura 18. Figura 18 Para escrever a equação dos momentos de torção T devemos primeiro colocar : T . Na frente do sinal de igualdade lançamos os valores de todos os momentos de torção externos (com seu respectivo sinal convencionado) que estão à esquerda da seção considerada (que está à distância x).Temos então para a barra da Figura 17: Trecho AB: ax 0 ATT Trecho BC: )( baxa BA TTT 35 Tendo-se as equações dos momentos de torção podemos então desenhar o seu diagrama lançando no eixo das abscissas a posição x da seção transversal e no eixo das ordenadas o valor do momento de torção T. Exercício resolvido Montadas no eixo AC de 30mm de diâmetro, conforme a figura, existem 3 polias A, B e C nas quais atuam, respectivamente, os torques mNTA .280 , mNTB .500 e mNTC .220 com os sentidos mostrados. Pede-se: (a) escrever as equações dos momentos de torção e seus diagramas; (b) determinar as tensões de cisalhamento máximas nos trechos AB e BC do eixo. Solução: Vamos considerar que o eixo cartesiano x tem origem na extremidade A do eixo AC e sua direção é a mesma da linha de centro deste. (a.1) Equações dos momentos de torção Trecho AB: mx 4,00 280ABT Trecho BC: mx 1,14,0 500280BCT 220BCT (a.2) Digrama dos momentos de torção (b.1) Tensão de cisalhamento máxima no trecho AB do eixo 48 43 10.948,7 2 )10.15.( mJ Pa J cTAB AB 6 8 3 10.84,52 10.948,7 10.15.280. (b.1) Tensão de cisalhamento máxima no trecho BC do eixo Pa J cTBC BC 6 8 3 10.52,41 10.948,7 10.15.220. 36 4.8 Exercícios 1) O eixo AD mostrado na Figura 19 está submetido aos torques kNmTA 0,4 , kNmTB 0,7 , kNmTC 0,5 e kNmTD 0,2 Escrever as equações dos momentos de torção e desenhar o seu diagrama. Respostas: 49,00 Tmx ; 36,19,0 Tmxm e 21,26,1 Tmxm 2) Um eixo de 50mm de diâmetro está submetido aos torques kNmTA 6,1 , kNmTB 0,3 , kNmTC 0,2 e kNmTD 6,0 conforme mostra a Figura 19. Sabendo-se que o módulo de elasticidade transversal é 80MPa, pede-se determinar: a) As tensões de cisalhamento máximas nos trechos AB, BC e CD. b) Qual a rotação da seção D em relação à seção A. Respostas: a) 𝜏𝐴𝐵 = 65,20𝑀𝑃𝑎, 𝜏𝐵𝐶 = −57,05𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝐶𝐷 = 24,45𝑀𝑃𝑎 b) 𝜑𝐷/𝐴 = 1,548. 10 −2𝑟𝑎𝑑 Figura 19 3) Resolver os problemas 3.27 a 3.30 do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 (pág.238 e seguintes). 37 4.9 Cálculo de eixo de transmissão* O eixo de transmissão é um elemento de máquina que transmite torque e rotação de um componente para outro. É o caso, por exemplo, do eixo cardã que transmite o movimento do motor para o diferencial do caminhão. No eixo de transmissão devemos considerar a potencia a ser transmitida e a velocidade de rotação do eixo para que possamos dimensioná-lo. Fórmula para determinação do momento de torção T f P T ..2 Onde T é o momento de torção (N.m) P é a potência transmitida ( watts: s mN W . ) f é a freqüência ou rps, ou hertz ( 1 sHz ) Conversão de unidades: rpmHzrps 6011 s mN Whp . 7467461 * Ver pag. 247 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 38 4.10 Exercícios 1) Um eixo de 5m de comprimento e 60mm de diâmetro gira a 300rpm. Sabendo-se que o módulo de elasticidade transversal do material do eixo é G=77GPa e que o ângulo de torção de eixo é 3° pede-se determinar: a) o momento de torção, b) a tensão máxima de cisalhamento e c) a potência transmitida pelo eixo. Respostas: a) NmT 1000 b) MPa6,23max c) WP 410.14,3 2) Um motor de 1800rpm está sujeito a um momento de torção de 5Nm. (a) Qual deve ser a potência mínima do motor? (b) Se este motor está acionando um eixo de 10mm de diâmetro e 3m de comprimento pede-se determinar o ângulo de torção deste eixo sabendo-se que G=80GPa. Respostas: (a) 942W ou 1,26hp; (b) 0,19rd ou 11° 3) Determinar o diâmetro do eixo de um motor de 3hp e 3600rpm sabendo-se que a tensão admissível ao cisalhamento do material do eixo é 60MPa. Resposta: 8mm 4) Um eixo de 6m de comprimento feito de tubo com 60mm de diâmetro externo e parede de 17mm, gira a 240rpm. Sabendo-se que o ângulo de torção é 3,5° e que G=80GPa pede-se determinar: a) a potência que está sendo transmitida; b) a máxima tensão de cisalhamento no eixo. Respostas: a) P=25kW, b) MPa4,24max 5) Recomendação de exercícios: Problemas do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 paginas 255 e seguintes. 39 5 FLEXÃO 5.1 Vigas Viga é uma barra que suporta cargas transversais em relação ao seu eixo. Estudaremos, de início, somente vigas cujas seções transversais são invariáveis (vigas prismáticas) e que possuem eixo de simetria vertical. As cargas aplicadas serão consideradas como atuantes no plano vertical formado pelo eixo de simetria vertical da seção transversal e o eixo da viga, acarretando, portanto, flexão neste plano. 5.2 Tipos de apoios das vigas As vigas podem ser vinculadas a apoios de vários tipos: a) Apoio articulado fixo é o apoio mostrado na Figura 22, do lado esquerdo da viga, o qual permite a rotação da viga, mas, não permite deslocamento em qualquer direção. Este tipo de apoio dá origem a reações de apoios que, normalmente, tem componente vertical e horizontal. Representações esquemáticas: b) Apoio articulado móvel é o apoio mostrado na Figura 22, do lado direito da viga, o qual permite a rotação da viga e deslocamento horizontal, mas, não permite o deslocamento vertical. Portanto, este apoio só possui uma reação de apoio, que no caso da Figura 22, é vertical. Representações esquemáticas: c) Engastamento é o apoio mostrado á esquerda da viga na Figura 23, o qual é um apoio rígido, que não permite nem rotação e nem deslocamento em qualquer direção. Neste caso, além das componentes horizontal e vertical das reações de apoio, aparece uma reação de apoio do tipo momento. Representações esquemáticas: Exemplo: A figura seguinte mostra um exemplo prático de um apoio articulado fixo, no lado esquerdo, onde a barra é apoiada através de um pino que atravessa as peças por furos de diâmetro ligeiramente maior que o diâmetro do pino. No lado direito temos um apoio articulado móvel. A construção é semelhante à anterior, mas, neste caso, a barra possui furo oblongo que permite liberdade de movimento horizontal da barra. 5.3 Tipos de carregamentos Uma viga pode ser carregada por cargas concentradas como as forças P1 e P2 nas Figura 22 e Figura 24 ou cagas distribuídas como q da Figura 23 e Figura 24. 40 As cargas distribuídas são caracterizadas pela taxa de carregamento que é expressa em unidade de força por unidade de comprimento ao longo do eixo da viga. Esta taxa de carregamento pode ser constante como a da Figura 23 e Figura 24 ou pode ser variável. Além de forças, uma viga pode, também, ser sujeita a momentos ou binários como o momento M mostrado na Figura 22. 5.4 Carga uniformemente distribuída É a força distribuída que não varia ao longo de seu comprimento de distribuição. A Figura 20.a mostra a representação de uma força uniformemente distribuída q (N/m). Para efeito do cálculo das reações de apoio transformamos a força distribuída por uma força concentrada no centro de gravidade da força distribuída e cuja intensidade é o valor total da força distribuída, como mostra a Figura 20.b.Figura 20 5.5 Carga não uniformemente distribuída Trata-se de força cuja intensidade varia ao longo da linha de distribuição. Um exemplo deste tipo de força é o caso da força cuja distribuição é triangular, isto é, que varia conforme a função 𝑞 = 𝑞0. 𝑥 𝑎⁄ , onde a é o comprimento da distribuição e x é a posição do ponto considerado. Para o cálculo das reações de apoio podemos substituir a força distribuída conforme mostrada na Figura 21.a pela força concentrada mostrada na Figura 21.b. Se adotamos o SI a unidade de q e qo será N/m. Figura 21 5.6 Tipos de vigas a) Viga simplesmente apoiada ou viga simples é a viga que possui numa extremidade um apoio articulado fixo e na outra extremidade um apoio articulado móvel (Figura 22) b) Viga engastada ou viga em balanço é a viga que possui uma extremidade engastada e sua outra extremidade é livre (Figura 23). c) Viga simples com balanço é a viga simplesmente a apoiada que se prolonga além dos apoios (Figura 24). 41 Figura 22 Figura 23 Figura 24 5.7 Vigas isostáticas , vigas hiperestáticas e vigas hipostáticas Vigas isostáticas são aquelas para as quais a quantidade de equações de equilíbrio da estática é igual à quantidade de seus vínculos (reações de apoio). As vigas que vimos até agora (Figura 22, Figura 23 e Figura 24) são isostáticas. Nas vigas hiperestáticas (Figura 25-a e Figura 25-b) a quantidade de reações de apoio é maior que a de equações de equilíbrio da estática e, então, precisamos incluir também equações de deformação ou outro método, para poder resolvê-las. Quando adicionamos a uma viga isostática um ou mais vínculos a transformamos em hiperestática. 42 Figura 25 As vigas hipostáticas são aquelas cuja quantidade de vínculos é menor que a quantidade de equações da estática (Figura 26). Neste caso a estrutura somente estará em equilíbrio se as forças externas resultarem equilibradas, mas, qualquer variação de uma delas provocará o desequilíbrio da viga. Temos, portanto, uma viga em equilíbrio instável e que deve ser evitada a não ser em condições especiais. Figura 26 O fato de acrescentarmos mais um apoio articulado móvel, mas de forma inadequada como o mostrado na Figura 27, a viga não estará eficazmente vinculada e somente não se movimentará horizontalmente se as forças aplicadas se anularem horizontalmente. Embora neste caso as reações de apoio sejam três não se configura como uma estrutura isostática já que as três reações são verticais e, em assim sendo, não se aplica a equação 0xF e sobram somente as duas equações 00 Ay MF . Figura 27 5.8 Grau de hiperestaticidade O grau de hiperestaticidade é definido pelo número de incógnitas (vínculos) que ultrapassam o número de equações de equilíbrio da estática de uma determinada viga hiperestática. A viga da Figura 25-a tem grau de hiperestaticidade 2, pois, possui 5 reações de apoio a serem calculadas e só há 3 equações de equilíbrio da estática. A viga da Figura 25-b tem grau de hiperestaticidade 1. 43 5.9 Reações de apoio Como vamos trabalhar, inicialmente, somente com vigas isostáticas no plano, utilizaremos então as equações de equilíbrio da estática para a determinação das reações de apoio: a soma das forças verticais, a soma das forças horizontais e a soma dos momentos em relação a um ponto P (polo) qualquer, são nulas, ou seja, 0xF 0yF (5.1) 0PM Estas três equações permitem determinar, portanto, no máximo três incógnitas. O fato de adicionarmos mais uma equação, tomando-se os momentos das forças em relação a um outro ponto diferente de P, não adianta nada, pois, esta nova equação não é independente e não pode ser usada para determinar uma quarta incógnita. Como alternativa podemos substituir uma ou duas destas equações de forças 0xF e 0yF por equações de momentos em relação a pontos diferentes. Mas nestes casos existem algumas restrições, por exemplo, no caso de três equações de momentos os pontos polos destes momentos não poderão estar alinhados. Para utilização correta destas equações devemos estabelecer uma convenção de sinais. Por exemplo: forças horizontais para direita são positivas, para esquerda são negativas; forças verticais para cima são positivas, para baixo são negativas; momentos no sentido horário são positivos e no sentido contrário são negativos. Para efeito de cálculo, normalmente desprezamos a altura da viga, considerando apenas a linha de seu eixo. Logicamente isto não poderá ser adotado quando a altura da viga for relevante a ponto de influir de forma considerável nos resultados. Exercícios resolvidos: 1) Determinar as reações de apoio da viga Figura 28-a. Figura 28 Solução Em primeiro lugar devemos desenhar o diagrama de corpo livre (Figura 28-b) onde mostramos as componentes horizontais e verticais das reações de apoio, bem como as componentes horizontal e vertical da carga aplicada à viga. As forças atuantes na viga deverão sempre ser decompostas em suas componentes horizontais e verticais para que possamos aplicar as equações de equilíbrio da estática (equações 5.1). Por simplificação podemos desenhar diretamente na figura dada no problema as componentes das reações de apoio e cargas em vez de desenhar separadamente o diagrama de corpo livre, desde que não haja comprometimento de sua clareza. Os sentidos corretos das componentes das reações nem sempre são óbvios. Não devemos, entretanto, preocuparmos com isto. Arbitramos previamente seus sentidos e se o resultado dado pelas equações de equilíbrio for negativo isto indicará que o sentido correto é o contrário do arbitrado no início. 44 Outra atitude importante nesta fase inicial do exercício é fazermos a homogeneização das unidades. Se adotarmos a mesma unidade para todas as forças do exercício e a mesma unidade para todas as medidas de comprimento, etc., então poderemos colocar as grandezas, sem suas unidades, nas equações, simplificando-as. Por exemplo, se adotarmos para todas as força dadas no exercício a unidade kN e todas as medidas de comprimento a unidade m, então as forças calculadas serão em kN e os momentos em kN.m . Agora podemos escrever as equações de equilíbrio da estática, mas, lembrando sempre de, no início de cada equação, mostrarmos a convenção de sinal que adotamos. Não importa a convenção adotada desde que a respeitemos para toda equação. 0xF 0cos. PAx (1) 0yF 0. senPBA yy (2) Para a equação de equilíbrio dos momentos devemos convencionar o sentido positivo de rotação e também o ponto em relação ao qual tomaremos os momentos das forças. O ponto de referência dos momentos poderá ser qualquer um no plano da figura, porém, é interessante escolher um dos pontos onde atuam as reações de apoio, pois, desta forma, estaremos anulando os momentos correspondentes destas reações, simplificando as equações. Neste exercício escolhemos o ponto A. ( 0AM 0)..( asenPlBy (3) Pela equação (3) obtemos l asenP By ).( Substituindo este valor de yB na equação (2) determinamos a reação yA l asenP senPAy ).( . donde l al senPAy )( Pela equação (1) obtemos cos.PAx 2) Determinar as reações de apoio da viga engastada abaixo
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