4ªe5ª Aula Expressões fracionárias, equações e inequações

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Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Cálculo I
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Expressões fracionárias, equações e inequações
Data: 4 de dezembro de 2017
1 Expressões fracionárias
Conhecendo o trabalho de fatoração dos Polinômios temos um auxílio no estudo das
expressões algébricas, ou seja,
Definição 1. Chamamos de expressões algébricas aquelas expressões matemáticas for-
madas por letras e números, ou somente letras.
Classificando:
Definição 2. Chamamos de expressão fracionária, um quociente de expressões algébricas. E
de expressão racional, quando o quociente pode ser escrito como a razão de dois polinômios.
Por exemplo,
1.
x2 − 5x√
x2 + 1
, que é fracionaria e não racional;
2.
2(x−√3)(x+√3)
5x2 − x− 3 , é ambos.
Diferente dos polinômios, a variável x pode não está definida para todos os números
reais nas expressões algébrica. Assim,
Definição 3. Chamamos de domínio da expressão algébrica, indicando por D, os números
reais para os quais essa expressão está definida.
Por exemplo,
1.
3x− 1
x− 2 tem domínio igual a D = {x ∈ R|x− 2 6= 0} = {x ∈ R|x 6= 2};
2. x
√
x+ 1 tem domínio igual a D = {x ∈ R|x+ 1 ≥ 0} = {x ∈ R|x ≥ −1}.
:::::::::::::
Observação: É importante lembrar que:
• denominador de um quociente é sempre diferente de zero;
• expressões contida em uma raiz de índice par não deve ser negativa.
1
E a estratégia mais comum para obter o domínio de expressões é buscarmos sua sim-
plificação, ou seja,
Definição 4. Chamamos de simplificação, o processo de eliminarmos fatores comuns no
numerador e denominador de expressões, obtendo sua forma reduzida.
Para isso, em algumas expressões,
I- Fatoramos o numerador e denominador completamente, obtendo seus fatores primos.
Por exemplo,
(a) Para
x3 + 4x2 − 21x
x2 − 49 tem-se
x3 + 4x2 − 21x
x2 − 49 =
x(x2 + 4x− 21)
(x− 7)(x+ 7) =
x(x+ 7)(x− 3)
(x+ 7)(x− 7) =
x(x− 3)
x− 7 ,
onde o seu domínio é D = {x ∈ R|x 6= 7 e x 6= −7};
(b) Para
2x2 + 6x
4x+ 12
tem-se
2x2 + 6x
4x+ 12
=
2x(x+ 3)
4(x+ 3)
=
x
2
,
onde D = {x ∈ R|x 6= −3}.
:::::::::::::
Observação: A forma reduzida deve ter o mesmo domínio da expressão original. De forma
mais geral,
Definição 5. Duas expressões racionais são consideradas equivalentes quando têm o mesmo
domínio e assumem os mesmos valores para todos os números do domínio.
II- Usamos as mesmas propriedades das operações com frações:
(a)
u
v
+
w
v
=
u+ w
v
;
(b)
u
v
+
w
z
=
uz + wv
vz
;
(c)
u
v
· w
z
=
uw
vz
;
(d)
u
v
÷ w
z
=
u
v
· z
w
;
Por exemplo,
(a)
2x2 + 11x− 21
x3 + 2x2 + 4x
÷ x
3 − 8
x2 + 5x− 14 =
(2x− 3)(x+ 7)
x(x2 + 2x+ 4)
· (x− 2)(x+ 7)
(x− 2)(x2 + 2x+ 4) =
(2x+ 3)(x+ 7)2
x(x2 + 2x+ 4)2
, x 6=
2.
(b)
x+ 3
7
· 14
2x+ 6
=
14(x+ 3)
7(2x+ 6)
=
2x+ 6
2x+ 6
= 1, x 6= −3.
2
III- Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum, ou seja,
Definição 6. Chamamos de mínimo múltiplo comum o produto de todos os fatores primos
encontrados nos denominadores, onde cada fator está elevado a sua maior potência.
Aqui, fatores primos são os fatores do polinômio cujos únicos divisores são os polinô-
mios constantes não nulos e as multiplicações de constantes pelo fator.
Por exemplo, a expressão
2
x2 − 2x +
1
x2 + 4x+ 4
− 3
x2 − 4 =
2
x(x− 2) +
1
(x+ 2)2
− 3
(x+ 2)(x− 2) ,
daí como o mínimo múltiplo comum é x(x+ 2)2(x− 2) segue que
2
x2 − 2x +
1
x
− 3
x2 − 4 =
2(x+ 2)2 + x(x− 2)− 3x(x+ 2)
x(x+ 2)2(x− 2)
=
8
x(x+ 2)2(x− 2) , x 6= 0, x 6= −2 e x 6= 2.
IV- Para frações compostas ou frações complexas, quando aparecem frações no numerador
e no denominador das expressões, podemos:
(a) escrever como frações simples e aplicar as propriedades de divisão de frações;
(b) multiplicar pelo mínimo múltiplo comum de todas as frações existentes na expres-
são.
Por exemplo,
3− 7
x+ 2
1− 1
x− 3
=
3(x+ 2)− 7
x+ 2
(x− 3)− 1
x− 3
=
3x− 1
x+ 2
x− 4
x− 3
=
(3x− 1)(x− 3)
(x+ 2)(x− 4) , x 6= 3.
e
1
a2
− 1
b2
1
a
− 1
b
=
1
a2
− 1
b2
1
a
− 1
b
· a
2b2
a2b2
=
b2 − a2
ab2 − a2b
=
(b+ a)(b− a)
ab(b− a) ,
=
b+ a
ab
, a 6= b.
3
(VI) Ou ainda efetuar, quando possível, a divisão expressa racionalmente, ou usar o disposi-
tivo de Briot-Ruffini para divisão por (x− x1), onde x1 é um valor que anula o polinômio.
Por exemplo, para
x3 − 4x2 − x+ 4
x2 − 3x− 4
tem-se
x3 − 4x2 − x+ 4 x2 − 3x− 4
−x3 + 3x2 + 4x x− 1
−x2 + 3x+ 4
−x2 + 3x+ 4
0
donde
x3 − 4x2 − x+ 4
x2 − 3x− 4 = x− 1
ou simplifica o numerador sabendo que 1 anula esse polinômio e
1 1 −4 −1 4
1 −3 −4 0
2 Equações
Com o estudo das expressões passamos a “equilibra-las”, discutindo quais valores reais
mantêm esse “equilíbrio”.
Definição 7. Chamamos de equação, uma declaração matemática expressa por uma igualdade
entre duas expressões algébricas. E solução da equação, todos os valores da variável para os
quais a igualdade seja válida.
Por exemplo, 2x + 4 = 1 ou
12y
18
=
2y
3
são equações e x = −3
2
e y ∈ R são soluções dessas
equações, respectivamente.
E como todo ente matemático, as equações tem classificação, como as equações
lineares e as equações não lineares:
Definição 8. Sejam a, b ∈ R e a 6= 0. Toda equação escrita na forma
ax+ b = 0
é chamada equação linear com uma variável x ou de primeiro grau.
4
E para resolvê-las usamos simplificações obtendo equações equivalentes:
Definição 9. Duas ou mais equações são equivalentes se têm as mesmas soluções.
Por exemplo, como
2x− 3
4
+ 5 = 3x ⇒ 4
(
2x− 3
4
+ 5
)
= 4 (3x) ⇒ 2x− 3 + 20 = 12x⇒
⇒ 2x+ 17− 2x = 12x− 2x ⇒ 17 = 10x,
segue que
2x− 3
4
+ 5 = 3x e 10x = 17 são equivalentes, pois x = 1, 7 é solução de ambas.
Definição 10. Uma equação quadrática em x é aquela que pode ser escrita na forma
ax2 + bx+ c = 0,
onde a, b, c ∈ R e a 6= 0.
E para resolvê-la, podemos:
I- usar fatoração;
II- completar o quadrado, ou seja,
(a) Deixamos o coeficiente de x2 igual a 1;
(b) Depois somamos
(
b
2
)2
, onde b já é o resultante da divisão por a;
(c) Em seguida, usamos que (x + b)2 = c ⇒ x + b = ±√c, onde c também já é o
resultante final das operações anteriores.
Por exemplo,
4x2 − 20x+ 17 = 0 ⇒ x2 − 5x+ 17
4
= 0 ⇒ x2 − 5x = −17
4
⇒ x2 − 5x+
(
5
2
)2
= −17
4
+
(
5
2
)2
⇒
(
x− 5
2
)2
= 2.
Daí,
x− 5
2
=
√
2 e x− 5
2
= −
√
2 ⇒ x = 5
2
±
√
2.
III- usar a formula de Bhaskara, onde para a 6= 0, temos que
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
Definição 11. Sejam u e v expressões algébricas quaisquer em x e v ≥ 0. Toda equação estrita
na forma
|u| = v
é chamada equação modular na variável x ou equação modular.
5
Aqui é importantes lembrarmos que o valor absoluto de um número, representado
por:
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
,
dito módulo de x.
Por exemplo, para resolvermos |x+ 1| = 2x− 3 analiticamente tem-se:
x+ 1 = 2x− 3 ou − (x+ 1) = 2x− 3 e 2x− 3 ≥ 0
⇒ x = 4 ou x = 2
3
e x ≥ 3
2
⇒ x = 4
3 Inequações
Da mesma forma que podemos ”equilibrar” expressões usando a igualdade, podemos ”de-
sequilibrar” e obter as inequações, ou seja,
Definição 12. Chamamos de inequação toda sentença matemática expressa por uma desi-
gualdade. O conjunto de todos os valores que tornam a inequação verdadeira é dito conjunto
solução.
As inequações, assim como as equações, podem ter várias incógnitas e sua escrita
também as classificam:
Definição 13. Uma inequação linear em x pode ser escrita nas seguintes formas:
ax+ b < 0, ax+ b ≤ 0, ax+ b > 0 e ax+ b ≥ 0,
onde a, b ∈ R e a 6= 0.
E para resolvê-las temos as seguintespropriedades:
Teorema 1. Se u, v, w e z são números reais, variáveis ou expressões e c ∈ R, então:
1. se u < v e v < w, então u < w (transitiva);
2. se u < v, então u+ w < v + w (aditiva);
3. se u < v e w < z, então u+ w < v + z (aditiva);
4. se u < v e c > 0, então cu < cv (multiplicativa);
5. se u < v e c < 0, então cu > cv (multiplicativa).
6
Que valem também para ≤, ≥ e >. E são usadas com o intuito de simplificar as inequa-
ções, pois
Definição 14. Duas ou mais inequações são equivalentes se têm o mesmo conjunto solução.
:::::::::::::
Observação: Mais duas propriedades que auxiliam são:
1. se u, v > 0 e u < v, então u2 < v2;
2. se u, v > 0 e u > v, então u2 > v2;
Também, no caso de uma inequação linear de uma variável o conjunto solução forma um
intervalo de números reais.
Por exemplo,
3(x− 1) + 2 ≤ 5x+ 6 ⇒ 3x− 3 + 2 ≤ 5x+ 6
⇒ 3x− 1− 5x+ 1 ≤ 5x+ 6− 5x+ 1, por 2
⇒ −2x ≤ 7
⇒
(
−1
2
)
(−2x) ≥
(
−1
2
)
· 7 ⇒ x ≥ −7
2
Em notação de intervalo, o conjunto solução é S =
[
−7
2
,+∞
[
e graficamente, representamos
por
Também podemos ter inequações duplas, que apresenta duas desigualdades simultâ-
neas.
Por exemplo,
−3 < 2x+ 5
3
≤ 5 ⇒ −9 < 2x+ 5 ≤ 15
⇒ −14 < 2x ≤ 10
⇒ −7 < x ≤ 5
donde, o conjunto solução é S =]− 7, 5] e sua representação gráfica é:
Outro tipo são as inequações modulares,
Definição 15. Chamamos de inequações modulares ou inequações com valor absoluto
aquelas inequações que contem o valor absoluto de uma variável.
7
Assim,
:::::::::::::
Observação: Se u é uma expressão algébrica em x e a ∈ R, a ≥ 0, então
1. |u| < a se, e somente se, −a < u < a;
2. |u| > a se, e somente se, u > a ou u < −a
o mesmo acontece se temos ≤ e ≥.
Por exemplo,
|x− 4| < 3x ⇔ −3x < x− 4 < 3x
⇔ −3x < x− 4, x− 4 < 3x e 3x > 0
⇔ −4x < −4, −2x < 4 e x > 0
onde o conjunto solução é S =]1,∞[∩]− 2,∞[∩]0,∞[=]1,∞[.
Finalizando,
Definição 16. Chamamos de inequações quadráticas, aquelas que são escrita da forma
ax2 + bx+ c < 0, ax2 + bx+ c ≤ 0, ax2 + bx+ c > 0 ou ax2 + bx+ c ≥ 0,
onde a, b, c ∈ R com a 6= 0.
E para resolvê-las:
1. Tomamos a equação quadrática associada, ax2 + bx+ c = 0 e resolvemos;
2. Depois determinamos os valores de x para os quais os fatores de ax2+ bx+ c são positivos
ou negativos, e fazendo o estudo do sinal, escolhemos conforme designar a inequação.
Por exemplo, para 2x2 + 3x ≤ 20 segue que 2x2 + 3x− 20 ≤ 0. Daí, temos:
1. a equação equivalente
2x2 + 3x− 20 = 0 ⇒ (x+ 4)(2x− 5) = 0
⇒ x = −4 ou x = 5
2
2. E para os fatores como
x+ 4, tem-se x = −5 e x = 0 V x+ 4 = −1 e x+ 4 = 4,
2x− 5, tem-se x = 2 e x = 3 ⇒ 2x− 5 = −1 e 2x− 5 = 1
(x+ 4)(2x− 5), segue o jogo de sinal.
Assim, tem-se y ≤ 0 para todo x ∈
[
−4, 5
2
]
.
Portanto, o conjunto solução é S =
[
−4, 5
2
]
.
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