3.1 Cônicas - Parábola

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Prof(a): Dra. Fabíola Sperotto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG
INSTITUTO DE MATEMÀTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF
SEÇÕES CÔNICAS
Professora: Dra. Fabíola Sperotto
INTRODUÇÃO
• Até então estávamos trabalhando com equações
lineares, isto é, equações que possuem apenas termos
do 1° grau, em x, y e z.
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• Agora, trataremos de equações do 2° grau, no plano
cartesiano. Em especial, equações que representam a
parábola, a elipse, a circunferência e a hipérbole.
Cônicas
• Curvas obtidas pela interseção de um plano com um
cone circular de duas folhas, que são chamadas de
seções cônicas ou simplesmente cônicas.
• Apolônio (século III a.C.), mostrou que a partir de um
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Apolônio (século III a.C.), mostrou que a partir de um
cone é possível obter as três espécies de seções
cônicas, apenas variando a inclinação do plano de
seção. Deve-se a ele a introdução dos nomes de elipse
e hipérbole.
• As cônicas de Apolônio tiveram forte influência nos
estudos de Kepler.
• Entre 1609, Kepler apresenta a seguinte lei da
astronomia: “os planetas descrevem órbitas elípticas
em torno do Sol com o Sol ocupando um de seus
focos.
• As seções cônicas modelam as trajetórias descritas por
planetas e satélites.
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planetas e satélites.
• Fermat (1601- 1665) inspirado nos estudos de
Apolônio estabelece o princípio fundamental da
Geometria Analítica, segundo o qual uma equação do
1° grau, no plano, representa uma reta e uma equação
do 2° grau, no plano, uma cônica.
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Aplicações:
•As elipses são usadas na fabricação de engrenagens
de máquinas.
•Os arcos de pontes ou tetos podem as vezes ter
formas elípticas ou parabólicas.
•As parábolas são usadas em espelhos refletores e•As parábolas são usadas em espelhos refletores e
faróis de automóveis.
•Os refletores de dentistas.
•Alguns telescópios denominados refletores usam um
espelho hiperbólico secundário, além do refletor
parabólico principal, para redirecionar a luz do foco
principal para um ponto mais conveniente.
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Cone Circular
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PARÁBOLA
•Definição:
É o lugar geométrico dos pontos que estão
equidistantes de um ponto fixo, chamado foco e
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equidistantes de um ponto fixo, chamado foco e
de uma reta fixa chamada diretriz.
Parábola com eixo de simetria em Ox
FOCO
Reta Diretriz
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Parábola com eixo de simetria em Oy
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Equação Reduzida
• Pela definição:
• Para a parábola com eixo de simetria sobre o eixo y, 
considere
'PPFP =
pF  ,0
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( )
dpxP
yxP
pF
∈





−
∈






2
,'
parábola,
2
,0
44
2
,
2
,0
2
2
2
2
2
22








++=








+−+






−−−=





−−
ppyyppyyx
ypxxpyx
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)2.4(02
2
44
44
2
2
2
2
2
22
=−
→=
++=+−+

pyx
pyx
ppyyppyyx
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0
22
>
=
p
pyx
Eixo de simetria: Oy
Pontos simétricos
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0,0
22
>>
=
xp
pxy
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Eixo de simetria: Ox
0,0
22
<<
=
yp
pyx
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0,0
22
<<
=
xp
pxy
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Equações de translação
• Consideremos um sistema de eixos ortogonais XOY
segundo o qual um ponto P é representado pelo par
ordenado P(x, y). Seja agora um novo sistema de eixos
ortogonais X′O′Y′ cuja origem é o ponto O′(h,k). Se o
ponto P(x’,y’), pertence a este novo sistema, então
temos:
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temos:
kyy
hxx
−=
−=' Equações de 
Translação
Parábola com vértice (h,k)
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Eixo de simetria: 
paralelo ao eixo 
OyOy
)(2)( 2 kyphx −=−
Parábola com vértice (h,k)
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Eixo de simetria: 
paralelo ao eixo 
Ox
)(2)( 2 hxpky −=−
Ox
Parabológrafo
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Antena Parabólica (Parabolóide)
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Igreja de São Francisco - BH
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Planta da Igreja de São Francisco
• Por Oscar Niemeyer
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• http://technologystudent.com/images5/sol9.gif
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• Fonte: 
http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2010/06/for
no-solar.html
Parametrização da Parábola
• Vamos verificar as equações paramétricas da parábola, 
partindo da seguinte ideia. 
• Considere a seguinte equação reduzida cujo eixo de 
simetria é o eixo y:
pyx 22 =
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• Nesta equação x pode assumir qualquer valor real, se 
fizermos x=t, onde t é o parâmetro, assim
pyx 22 =





ℜ∈=
=
tt
p
y
tx
2
2
1
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Constitui as equações paramétricas da parábola de
vértice na origem e eixo de simetria sobre y.
Com procedimento semelhante, obtém-se as
demais formas para o caso do eixo de simetria
sobre x, e no caso do vértice da parábola não estar
localizado na origem do sistema.