Seções Cônicas - Parte I

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24/08/2020 Estácio
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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Aula 5: Seções cônicas – parte I
Apresentação
Do grego kónikos (que tem a forma de cone), as curvas cônicas são obtidas pela interseção de um
plano com um cone circular reto de duas folhas. Na matemática, as origens do estudo de cônicas
estão no livro de Apolônio de Perga (261 a.C.). Na Engenharia, as cônicas têm ampla aplicabilidade
que vão desde pontes até a construção de usinas nucleares.
Em Física, as cônicas são úteis na descrição da trajetória de um objeto. Assim sendo, para
compreender a definição das seções cônicas e começar o estudo de parábolas e elipses, vamos à
aula!
Objetivos
Definir o significado de seções cônicas;
Reconhecer as equações de parábolas e elipses e operar com o esboço de tais cônicas no plano.
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Lugares geométricos: as cônicas
Denominamos lugar geométrico (l.g) a um conjunto de pontos tais que todo eles e só eles
possuem uma dada propriedade.
Equação de um lugar geométrico do plano cartesiano é toda equação nas incógnitas x e y
cujas soluções (x,y) são as coordenadas do pontos do l.g.

Exemplo
Um exemplo é a mediatriz de um segmento ,que é o lugar geométrico dos pontos
equidistantes de A e B. Assim, dados A(0,2) e B(3,1), podemos obter a equação da
mediatriz como segue:
Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendiculares. Conservemos fixa a reta e
e façamos g girar 360° em torno de e mantendo constante o ângulo entre as retas.
Nessas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas
separadas pelo vértice O (Figura 2).
Figura 1: Representação do lugar geométrico definido pela mediatriz do segmento (em vermelho).
AB¯ ¯¯̄¯
AB¯ ¯¯̄¯
P  (x, y)  ∈  mediatriz  ⇔     =     ⇔     =  dAP dPB d2AP d
2
PB
(x − 0   +  (y − 2   =  (3 − x   +  (1 − y   ∴  6x  −  2y  −  6  =  0 3x  −  y  −  3  =  0 )
2
)
2
)
2
)
2
AB¯ ¯¯̄¯
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A reta g é chamada geratriz da superfície cônica, e a reta e, eixo da superfície. Chama-se
seção cônica, ou simplesmente cônica, o conjunto de pontos que formam a interseção de
um plano com a superfície cônica.
Figura 2: Superfície cônica circular infinita gerada pelas retas e e g. | Fonte: WINTERLE, 2014.
Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano qualquer que não passa pelo
vértice O, a cônica será:
Figura 3: Representação das cônicas. (a) Parábola; (b) Elipse; (c) Hipérbole. | Fonte: WINTERLE, 2014.
Se cada um dos planos secantes da figura 3 forem transladados paralelamente até chegarem
ao vértice O, obteremos as respectivas cônicas degeneradas (figura 4):
Uma reta;
Um ponto;
Duas retas.
As superfícies cônicas apresentadas nas figuras 3 e 4 devem ser consideradas ilimitadas, ou
seja, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos.
Figura 4: : Representação de cônicas degeneradas. (a) Uma reta; (b) Um ponto; e, (c) Duas retas. | Fonte:
WINTERLE, 2014.
π
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
Atenção
É importante observar que as cônicas são curvas planas e, portanto, tudo o que for dito
sobre parábola, elipse e hipérbole se passa em um plano.
Parábola
Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de
um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.
Consideremos uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Os pontos P , P , P e P são
equidistantes do ponto F e da reta d. Então, um ponto P qualquer pertence à parábola se, e
somente se,
d(P,F) = d(P,d)
ou, de modo equivalente, d(P,F) = d(P,P’); sendo P’ o pé da perpendicular baixada de P
sobre a reta d.
Figura 5: Representação de uma parábola. | Fonte: WINTERLE, 2014.
Elementos:
Foco: é o ponto F;
Diretriz: é a reta d;
Eixo: é a reta e que passa por F e é perpendicular a d. Observe que a parábola é uma
curva é simétrica em relação ao seu eixo;
1 2 3
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Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo.
Equações reduzidas:
Seja a parábola de vértice V(0,0), temos dois casos:
1
O eixo da parábola é o eixo dos y.
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola de foco F(0,p/2) e diretriz de equação y = -
p/2.
A definição de parábola é equivalente a:
Como , temos:
x = 2py
que é a equação reduzida para este caso.
Figura 6: Representação de uma parábola com eixo situado no eixo dos y. | Fonte: WINTERLE, 2014.

Observação
O número real é chamada parâmetro da parábola. A partir da equação reduzida, temos
o sentido da abertura da parábola ilustrado na Figura 7.
  =    
∣
∣
∣FP
−→− ∣
∣
∣
∣
∣
∣P 'P
− →− ∣
∣
∣
P '(x, −p/2)  ∈  d
2
p ≠ 0
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Figura 7: Representação de uma parábola com eixo situado no eixo dos y – sentido da abertura (concavidade) da
parábola. | Fonte: WINTERLE, 2014.
2
O eixo da parábola é o eixo dos x.
Sendo P(x,y) um ponto qualquer da parábola de foco F(p/2,0) e diretriz x = - p/2 obteremos,
de forma análoga ao primeiro caso, a equação reduzida:
y = 2px
Da análise da equação reduzida, conclui-se imediatamente o sentido da abertura da parábola,
ilustrado na figura 8.
Figura 8: Representação de: (a) Uma parábola com eixo situado no eixo dos x; e, (b) Sentido da abertura
(concavidade) da parábola. | Fonte: WINTERLE, 2014.

Exemplo 1
Para cada uma das parábolas , construir o gráfico e encontrar o
foco e a uma equação diretriz.
2
  =  8y e x  = −  x2
1
2
y2
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Resolução:
.
Logo ou 
A equação da diretriz é:
.
Figura 9: Representação da parábola (em vermelho) definida por x = 8y. Observe o foco F (ponto em verde)
e a reta diretriz (em azul).
.
Logo:
  =  py  ∴  2p  =  8  ⇒=  4x2
F   (0, )p
2
F  (0, 2)
y  =   − p/2  ∴  y  =   − 2
2
x  =   −     ∴     =   − 2x1
2
y2 y2
  =  2px  ∴  2p  = −2  ⇒  p  = −1y2
F   ( , ) ou F   (− , )p
2 0
1
2 0
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Figura 10: Representação da parábola (em vermelho) definida por . Observe o foco F (ponto em
azul) e a reta diretriz (em verde).
Atividade
1. Qual a equação da parábola que satisfaz as condições: V(0,0), passa pelo ponto
P(-2,5) e concavidade voltada para cima?
 a) 5x - 4y = 0
 b) 5x + 4y = 0
 c) x - y = 0
 d) x - 4y = 0
 e) -5x - 4y = 0
Figura 11: Representação da parábola (em vermelho) 5x – 4y = 0. A parábola possui o vértice V(0,0) e passa pelo
ponto P (em azul).

Observação
x = −  
1
2
y
2
2
2
2
2 2
2
2
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Translação de eixos
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k) arbitrário. Vamos introduzir um novo
sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma
direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy.
Assim, todo ponto P do plano tem duas representações: P(x,y) no sistema xOy e P(x’,y’) no
sistema x’O’y’.
Da figura 9, obtemos:
 Fórmulas de transição
Figura 12: Translação de eixos. Observe que o ponto P possui duas representações: uma no sistema xOy e outra no
sistema x’O’y’. Fonte: WINTERLE, 2014.
Outrasformas da equação de parábola
Seja uma parábola de vértice V(h,k) ≠ (0,0). Consideraremos somente os casos de o eixo da
parábola ser paralelo a um dos eixos coordenados.
1
O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y.
Com origem no ponto V, tracemos o sistema x’O’y’ (O’ = V). A parábola em relação a esse
sistema tem vértice na origem. Portanto, sua equação reduzida é:
x' =2py'
Utilizando as fórmulas de translação, temos:
(x - h) 2p(y - k)
{ ∴x' = x − h
y' = y − k
2
2
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Que é a forma padrão para este caso, e referida ao sistema xOy. Se p > 0, a parábola estará
voltada para cima; e, se p < 0, a parábola estará voltada para baixo.
Figura 13: Representação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo dos y. | Fonte: WINTERLE, 2014.
2
O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x.
De modo análogo ao caso anterior, temos:
(y - k) = 2p(x - h)

Exemplo 2
Determinar uma equação da parábola de vértice V(-3,2), eixo paralelo ao dos y e
parâmetro p = 2.
Resolução:
Onde a equação em negrito, solução do problema, é conhecida como equação geral da
parábola.
Assim, qualquer parábola cujo eixo coincide ou é paralelo a um dos eixos coordenados
sempre poderá ser representada pela equação geral que terá uma das formas:
 ou 
Se na solução do Exemplo 2, você isolar o valor de y, você terá:
2
(x  −  h   =  2p(y  −  k)  ∴  (x − (−3)   =  2(2)(y − 2)  ∴  (x + 3   =  4(y − 2) )
2
)
2
)
2
  +  6x  +  17  =  4y  ∴   +  6x − 4y + 17  =  0x2 x2
a   +  cx  +  dy  +  f  =  0   a ≠ 0 x2 b   +  cx  +  dy  +  f  =  0    b ≠ 0y2
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que é a chamada equação explícita da parábola. Então, sempre que explicitarmos y ou x
em uma equação teremos:
 ou 
Atividade
2. Seja a parábola de vértice (4,2) e foco (1,2). A equação geral será:
 a) y -12x + 4y - 44 = 0
 b) y +12x - 4y = 0
 c) y -4y - 44 = 0
 d) -y +12x + 4y - 44 = 0
 e) y + 12x - 4y - 44 = 0

Exemplo 3
Dada a parábola . Determine:
a) A equação reduzida.
b) O vértice.
c) O esboço do gráfico.
d) O foco e uma equação da diretriz.
e) Uma equação do eixo.
Resolução:
É necessário que você obtenha a equação reduzida:
A equação reduzida é da forma:
y =     +    x  +  x
2
4
3
2
17
4
y  =  a   +  bx  +  c    a ≠ 0x2 = a   +  by  +  c    a ≠ 0y2
2
2
2
2
2
y =     −  x  + 1 1
3
x2 4
3
y =     −  x + 1  ∴  3y  =   − 4x  +  3  ∴  3y − 3 = − 4x  ∴  3y − 3 = (x − 2 − 41
3
x2
4
3
x2 x2 )
2
3y − 3 + 4 = (x − 2   ∴  3y + 1 = (x − 2   ∴  3y + 1 = (x − 2   ∴  (x − 2 = 3  (y + ))2 )2 )2 )2 1
3
(x − h =2 p(y − k))2
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Assim:
 concavidade voltada para cima
Equação da diretriz:
Equação do eixo (reta que passa por F): x = 2
Figura 15: Representação da parábola . Observe o vértice (ponto azul), o foco (ponto
verde), a reta diretriz (em preto) e a equação do eixo (em laranja).
V =(2,− ) e  2 p = 3  ∴  p = ∴ =1
3
3
2
p
2
3
4
p > 0 ⇒
F = V + (0, ) = (2, − ) + (0, ) = (2, )p
2
1
3
3
4
5
12
y =   −   ∴  y = −
p
2
3
4
(x − 2   = 3 (y + ))2 1
3
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Atividade
3. Qual é o ponto P da parábola de equação y = 4x pelo qual passa uma reta tangente
à parábola e paralela à reta y = 8x – 8?
 a) P(−1,4)
 b) P(1,−4)
 c) P(1,4)
 d) P(0,4)
 e) P(1,0)
Equações paramétricas
Consideremos a equação reduzida da parábola, cujo eixo é o dos y:
x = 2py
Nessa equação, x pode assumir qualquer valor real. Se fizermos x = t (t é chamado de
parâmetro), teremos as equações paramétricas:
De igual maneira, se na equação y = 2px, fizermos y = p, teremos:
Constitui equações paramétricas da parábola com vértice V(0,0) e eixo Ox.
Com procedimento semelhante, obtém-se equações paramétricas no caso de o vértice da
parábola não ser a origem do sistema.

Exemplo 4
Obter as equações paramétricas da parábola de equação (y – 3)2 = 2(x + 2).
Solução:
2
2
{
x = t
y =    t ∈ R1
2p
t2
2
{  t ∈ R
x = 1
2p
t2
y = p
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Faça 
Elipse
Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das
distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
Consideremos no plano dois pontos distintos, F e F , tal que a distância d(F ,F ) = 2c, e um
número real positivo a com 2a > 2c. Chamando de 2a a constante da definição, um ponto P
pertence à elipse se, e somente se:
d(P,F ) + d(P,F ) = 2a
Figura 17: Representação da elipse. Observe o ponto P. P ∈ elipse 
Elementos da elipse
Focos: são os pontos F e F ;
Distância focal: é a distância 2c entre os focos;
Centro: é o ponto médio C do segmento ;
Eixo maior: é o segmento de comprimento 2a (este segmento contém os focos);
Eixo menor: é o segmento de comprimento 2b e perpendicular a no seu
ponto médio;
Vértices: são os pontos A , A , B e B .
y − 3 = t  ∴  y = t + 3
  = 2(x + 2)  ∴   = x + 2  ∴  x = − 2t2 t
2
2
t2
2
{x = − 2
t2
2
y = t + 3
1 2 1 2
1 2
⇔ + = 2aP F¯ ¯¯̄ ¯ 1 P F¯ ¯¯̄ ¯ 2
1 2
F1F2¯ ¯¯̄ ¯̄¯
A1A2
¯ ¯¯̄¯̄ ¯̄
B1B2¯ ¯¯̄¯̄ ¯̄ A1A2
¯ ¯¯̄¯̄ ¯̄
1 2 1 2
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Pela figura 18, é imediato:
a = b + c
A igualdade mostra que: b < a e c < a.
A excentricidade da elipse é o número real e tal que:
Figura 18: Representação dos elementos de uma elipse. | Fonte: WINTERLE, 2014.
A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com
excentricidade perto de zero são aproximadamente circulares,
enquanto elipses excentricidade próxima de 1 são “achatadas”.
Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo e = ½, todas as
infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem
apenas pelo tamanho).
Equações reduzidas
Seja a elipse de centro C(0,0). Consideraremos dois casos:
1
O eixo maior está sobre o eixo dos x.
Seja P(x,y) um ponto qualquer de uma elipse (Figura 13) de focos F (-c,0) e F (c,0). Pela
definição, temos:
d(P,F ) + d(P,F ) = 2a
2 2 2
e = , 0  < e < 1c
a
1 2
1 2
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Figura 19: Representação da elipse com eixo maior sobre o eixo dos x. | Fonte: WINTERLE, 2014.
A equação reduzida para esse caso será:
2
O eixo maior está sobre o eixo dos y.
A equação reduzida será:
Figura 20: Representação da elipse com eixo maior sobre o eixo dos y. | Fonte: WINTERLE, 2014.

Observação
Como em toda a elipse tem-se a > b (ou a > b ), para saber se a elipse tem seu eixo maior
sobre Ox ou Oy, basta observar onde está o maior denominador (a ) na sua equação reduzida.
+ = 1
x2
a2
y2
b2
+ = 1
x2
b2
y2
a2
2 2
2
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Se esse for o denominador de x , então, o eixo maior está sobre o eixo Ox. Caso contrário,
estará sobre Oy.

Exemplo 5
Para a elipse 9x + 25y = 225, determine:
A medida dos semieixos;
Um esboço do gráfico;
Os focos;
A excentricidade.
Resolução: A primeira medida a tomar é escrever a elipse na forma de sua equação
reduzida.
Logo, o eixo maior está sobre o eixo dos x.
Assim:
Logo, os focos serão:
 e .
Excentricidade:
2
2 2
9   +  25   =  225  ∴     +   =   ∴   + = 1x2 y2 9
225
x2 25
225
y2 225
225
x2
25
y2
9
  =  25,  a  =   ±  5;     =  9,  b  =   ± 3a2 b2
  =     +     ∴  25  =  9  +     ∴     =  16∴  c  =   ±  4a2 b2 c2 c2 c2
(4, 0)F1 (4, 0)F2
e =   ∴  e =c
a
4
5
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Figura 21: Representação da elipse 9x + 25y = 225. Os focos F e F são representados pelos pontos em
rosa e em roxo.
Atividade
4. A equação da elipse de centro na origem e que intercepta o eixo dos x nos pontos
A(10,0) e A’(-10,0), sendo um dos seus focos o ponto F(8,0), é:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Outras formas da equação da elipse
Seja uma elipse de centro C(h,k) ≠ (0,0). Consideraremos somente os casos de os eixos da
elipse serem paralelos aos eixos coordenados.
1
O eixo maior é paralelo ao dos x.
Esta é a forma padrão para esse caso.
2 2
1 2
+ = 1x
2
36
y2
100
+ = 1x
2
100
y2
36
− = 1x
2
100
y2
36
− = 1x
2
36
y2
100
+ = 1x
36
y
100
+ = 1
(x−h)
2
a2
(y−k)
2
b2
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Figura 23: Representação da elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos x. | Fonte: WINTERLE, 2014.
2
O eixo maior é paralelo ao dos y.
De modo análogo ao caso anterior:

Exemplo 6
Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4,-2), excentricidade e
= ½ e eixo menor de medida 6. Obter a equação da elipse.
Resolução:
Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos y, temos:
Centro 
O eixo menor tem medida 6:
Excentricidade: e = c / a
Logo:
+ = 1
(x−h)2
b2
(y−k)2
a2
+ = 1
(x−h)2
b2
(y−k)2
a2
c(4, −2)  ∴  h = 4,  k  = −2
2b = 6  ∴  b = 3  ∴   = 9b2
=   ∴  a  =  2c      +     =     ∴     +     =  (2c   ∴  c  =   ±1
2
c
a
b2 c2 a2 32 c2 )
2
3√
a  =   ±  2   ∴     = 123√ a2
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Se você eliminar os denominadores, desenvolver os quadrados e ordenar os termos, terá:
A equação acima é chamada equação geral da elipse. Assim, qualquer elipse cujos eixos
estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre poderá ser
representada por uma equação geral que terá a forma:
com a e b de mesmo sinal.
Em particular, quando a = b, esta equação poderá representar uma circunferência.

Exemplo 7
Dada a elipse 4x + 9y – 8x – 36y + 4 = 0. Determine:
A equação reduzida;
O centro;
O gráfico;
Os vértices, os focos e a excentricidade.
Resolução:
Consequentemente, a elipse tem o eixo paralelo ao eixo dos x: Centro C(1,2)
+ = 1
(x−4)2
9
(y+2)2
12
4 + 3 − 32x + 12y + 40 = 0x2 y2
a + b + cx + dy + f = 0x2 y2
2 2
4 − 8x + 9 − 36y = −4x2 y2
4( − 2x) + 9( − 4y)  =   − 4  ∴  4( − 2x + 1)  + 9( − 4y + 4)  =   − 4 + 4(1) + 9(4)x2 y2 x2 y2
4(x − 1 + 9(y − 2 = 36)2 )2
+ = 1
(x−1)
2
9
(y−2)
2
4
  =  9  ∴  a  =   ± 3   ∴  A(1 + a, 2)  ⇒   (2, 2)  e   (4, 2)a2 A1 A2
  =  4  ∴  b  =   ± 2   ∴  B(1, 2 + b)  ⇒   (1, 0)  e   (1, 4)b2 B1 B2
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Figura 24: Representação da elipse 4x + 9y – 8x – 36y + 4 = 0. Em destaque, você pode observar o ponto
C (em verde).
Focos:
Equações paramétricas
Considere a elipse de equação:
Tracemos a circunferência de centro O e raio igual ao semieixo maior a da elipse. Seja P(x,y)
um ponto qualquer da elipse.
A reta que passa por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta a circunferência em A, e o raio AO
determina com o eixo dos x um ângulo θ.
2 2
  +  c  =     ∴  4  +     =  9  ∴  5  ⇒  c  =   ±   ∴  e =   =  b2 a2 c2 5√ ca
5√
3
 (1 − , 2) e    =  (1 +   ,  2)F1 5√ F2 5√
+ = 1x
2
a2
y2
b2
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Figura 25: Representação de uma circunferência e de uma elipse com centro em O(0,0). Objetivo é a determinação
das equações paramétricas da elipse | Fonte: WINTERLE, 2014.
Do triângulo A’AO e da equação da elipse, deduzimos as equações paramétricas:
 onde o parâmetro θ:
No caso de a equação elipse ser:
Teremos:
, onde o parâmetro θ:
Quando o centro da elipse for C(h,k), pela translação de eixos, obteremos:
,
Onde o eixo maior é paralelo a Ox.
Ou
,
Onde o eixo maior é paralelo a Oy.

Exemplo 8
Obter as equações paramétricas para a elipse de focos F(0,5) e F(0,-5) e que passa pelo
ponto A(0,13).
Resolução:
Pela descrição do problema, a elipse tem centro em C(0,0) e eixo maior sobre o eixo dos
y.
{ ,x = a .   cos  θ
y = b .   sin  θ
0  ≤  θ  ≤  2π
+ = 1x
2
b2
y2
a2
{x = b .   co s θ
y = a .   sin  θ 
0  ≤  θ  ≤  2π
{x = h  +  a .   cos  θ
y = k  +  b .   sin  θ 
{x = h  +  b .   cos  θ
y = k  +  a .   sin  θ 
+ = 1x
2
b2
y2
a2
A(0, 13)  ∴   ⇒     =  169a2
F(0, c)  ∴     +  c  =     ⇒     +     =  169  ⇒     =  144  ∴  b  =   ± 12b2 a2 b2 52 b2
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, onde o parâmetro θ:
Atividade
5. A parábola apresenta como vértice o ponto V:
 a) V(0,0)
 b) V(4, ��⁄�)
 c) V(��⁄�,4)
 d) V(−4, ��⁄�)
 e) V(4,−��⁄�)
6. A equação da reta diretriz da parábola é:
 a) y = -1
 b) y = - ½
 c) y = - ¼
 d) y = - 
 e) y = 0
  +   = 1x
2
144
y2
169
{x  =  12  ⋅   cos  θ
y  =  13  ⋅   sin  θ
0  ≤  θ  ≤  2π
y = − 4x +x
2
2
1
2
y  =   x
2
2
1 8/
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7. A equação da parábola de foco F(4,0) e vértice V(2,0) é:
 a) x = y - 32
 b) y = x - 32
 c) x = y + 32
 d) y = 16x - 32
 e) y = 16x
8. A equação da elipse de focos F (-3,0) e F (0,3) e que passa pelo ponto A(5,0) é:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
9. Sabendo que o eixo maior está no eixo dos y, a equação da elipse que intercepta os
eixos nos pontos A( 3,0) e B(0, 5) é:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
2
2
2
2
2
1 2
+ = 1
x
2
25
y
2
16
+ = 1
x2
−5
y
2
−4
+ = 1x
2
16
y2
16
+ = 1x
2
9
y2
5
+ = 1
x2
16
y
2
25
± ±
+   = 1
x2
16
y
2
25
+   = 1x
2
25
y2
25
+   = 1x
2
9
y
2
25
+   = 1
x2
25
y
2
9
+   = 1
x2
9
y
2
9
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Referências
DIAS, G.; SOUZA, A. L.; LIMA, M. A. Álgebra linear. Rio de Janeiro: SESES, 2015. (Livro
proprietário).
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro: SESES,
2015.
MACHADO, A. S. Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 1997. cap. 5, p.
106-121.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2014. cap. 8, p. 167-202.
Próximos Passos
Circunferência;
Hipérbole.
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