teorico (10)

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Geometria 
Analítica II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lucia Nogueira Junqueira
Revisão Textual:
Prof. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Cônicas: a Elipse e a Parábola
• A Elipse;
• Equação canônica da elipse com centro na origem;
• Equação da elipse com centro fora da origem;
• Rotação de eixos;
• A Parábola;
• Equações canônicas da parábola com vértice na origem;
• Equação canônica de parábola com vértice transladado;
• Exercício resolvidos.
 · Apresentar seções cônicas;
 · Fixar nessa Unidade o estudo na elipse e na parábola; 
 · Apresentar as cônicas como lugar geométrico;
 · Definir as formas de equações da elipse: canônica e geral;
 · Apresentar os elementos da elipse: vértices, focos, eixos maior e menor;
 · Definir as formas de equações da parábola: canônica e geral;
 · Apresentar os elementos da parábola: vértice, foco, eixo de simetria e 
reta diretriz;
 · Fornecer condições de identificar o tipo de cônica pela equação e por 
seus elementos;
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Leia atentamente o conteúdo desta Unidade, que possibilitará reconhecer 
duas das cônicas mais importantes: a elipse e a parábola, identificar e 
escrever suas equações, nas diferentes formas, reconhecer seus elementos e 
resolver questões envolvendo e relacionado estes conceitos. 
Além disso, você, também, encontrará diversos exemplos e exercícios 
resolvidos relacionados com o tema estudado, bem como algumas aplicações 
importantes relativas a elipses e parábolas.
É extremante importante que você leia cuidadosamente todo o material 
disponibilizado, incluindo os materiais audiovisuais. Refaça os exemplos e 
exercícios resolvidos visando à melhor apreensão e fixação dos conceitos, 
preparando-se para a realização das atividades da Unidade.
ORIENTAÇÕES
Cônicas: a Elipse e a Parábola
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Contextualização
As curvas planas conhecidas como Cônicas são três curvas obtidas a partir de 
intersecções de um plano com um cone reto. 
Uma das origens do estudo de cônicas está no livro de Apolônio de Perga (261 
a. C.), intitulado Cônicas, no qual se estuda as figuras que podem ser obtidas ao se 
cortar um cone reto por diversos planos. 
Anteriormente a esse trabalho, existiam estudos elementares sobre determinadas 
interseções de planos perpendiculares às geratrizes de um cone, obtendo-se elipses, 
parábolas e hipérboles, conforme o ângulo do corte fosse agudo, reto ou obtuso, 
respectivamente. 
Confira na figura a seguir.
Elipse Parábola Hipérbole
Estudaremos as cônicas iniciando pela elipse e pela parábola. Então, vale lembrar 
suas aplicações.
As leis de Kepler sobre o movimento dos corpos celestes afirmam que os planetas 
descrevem órbitas elípticas ao redor do Sol e este ocupa um dos focos da elipse (1ª 
Lei de Kepler). 
Além disso, a linha imaginária que liga o centro do Sol ao centro de um 
Planeta percorre em tempos iguais áreas iguais (2ª Lei de Kepler). Observe as 
figuras a seguir:
6
7
• As órbitas elípticas dos planetas estão todas no mesmo plano, à exceção da 
órbita de Plutão:
Órbita de Plutão
• O raio imaginário que liga cada planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos 
iguais (2ª Lei de Kepler):
A
Sol
A
At
t
t
A elipse também está presente na área de Saúde Humana, na qual os espelhos 
refletores usados pelos dentistas têm formato elíptico assim como alguns aparelhos 
utilizados em tratamentos radioterápicos contra o câncer. Isso por causa da a seguir 
propriedade: uma onda sonora ou luminosa irradiada do foco de uma superfície 
elíptica reflete no outro foco. 
7
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Daí essa propriedade ser usada na construção de refletores odontológicos, de 
forma a ter maior concentração de luz sem ofuscar o paciente, ou em aparelhos de 
radioterapia para tratamentos cujo objetivo é destruir tecidos doentes sem afetar os 
tecidos sadios. Observe na figura a seguir o tipo de reflexão num espelho elíptico:
F1
F2
Superfície
Re�etora
Também existem certos formatos de construção de salas que dão condições 
acústicas especiais em auditórios, teatros catedrais, como na Catedral de São 
Paulo, em Londres, e no edifício do Capitólio, em Washington.
São projetadas no formato de parte de um elipsóide, de modo que existam dois 
pontos, nos quais duas pessoas, uma em cada ponto, possa se comunicar com a 
outra por sussurros, inaudível aos demais da sala. 
Em relação à parábola, também temos diversas aplicações práticas. A seção de 
um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é 
um paraboloide). 
A lâmpada situada no foco, quando acessa, emite raios luminosos que ao 
incidirem na superfície espelhada da parábola serão refletidos segundo retas 
paralelas ao eixo da parábola, conforme indica a figura a seguir:
Fonte: Venturi (2003, p. 46).
8
9
Aplica-se o mesmo princípio para a construção de espelhos para telescópicos, 
antenas parabólicas e antenas de radar. As ondas paralelas ao eixo da parábola 
se refletem na antena e confluem para o retransmissor, conforme indica a 
figura a seguir:
Fonte: Venturi (2003, p. 47).
Podemos citar, ainda, que o cabo principal de uma ponte pênsil pode ter o 
formato de uma parábola, mas nem todos, alguns cabos suspensos têm o formato 
da catenária, que embora possa parecer, não é uma parábola, mas uma curva em 
função do cosseno hiperbólico.
Apolônio (~287-212 a. C.) foi contemporâneo e rival de Arquimedes que, juntamente com 
Euclides, formam a tríade considerada como sendo dos grandes matemáticos gregos da 
antiguidade. 
Apolônio estudou com os discípulos de Euclides, em Alexandria, e foi astrônomo notável. A 
maior parte das obras de Apolônio desapareceu, infelizmente. 
O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (século IV a.C.). 
Sua obra prima é Seções Cônicas, composta por 8 volumes (aproximadamente 400 
proposições!).
Da obra original, sobreviveram 7 volumes, sendo 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o 
árabe por ThabitIbn Qurra (826 a 901), no século IX. Os três primeiros volumes são baseados 
em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. 
Em 1710, Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Secções Cônicas para 
o latim e todas as demais traduções para as línguas modernas foram feitas a partir da 
tradução de Halley.
Ex
pl
or
9
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Introdução
Vimos que as Cônicas tiveram seus primeiros estudos num período considerado a 
fase áurea da Antiguidade, que se inicia com a Escola Pitagórica, no século VI a. C., 
tem sequência com Euclides e Arquimedes e termina com Apolônio, no século II a.C.
Na verdade, é nesse período que se dá praticamente todo o desenvolvimento 
geométrico das cônicas, com destaque nos estudos de Apolônio. Porém, o enfoque 
analítico das cônicas só ocorreu bem mais tarde, com Fermat (1601-1665), pois 
os gregos da Antiguidade ainda não possuíam uma notação algébrica adequada. 
Segundo Venturi (2003), a Fermat é creditado:
• O estabelecimento do princípio fundamental de que uma equação de 1° 
grau no plano representa uma reta e uma equação de 2° grau no plano representa 
uma cônica;
• A determinação das equações mais simples da reta, da circunferência, da 
parábola, da elipse e da hipérbole;
• A aplicação da rotação de eixos para reduzir uma equação de 2° grau à sua 
forma mais simples. 
A Elipse
Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja 
soma das distâncias a dois pontos fixos, F1 e F2 (focos da elipse) é 
uma constante 2a; e essa constante é maior que a distância entre os 
focos, ou seja, 2 1 2a dist F F> ( ), .
Por facilidade, vamos denotar.
Observe na figura que d P F d P F a, ,1 2 2( ) + ( ) = e d Q F d Q F a, ,1 2 2( ) + ( ) = :
P
F1
2a
Q
F2
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11
Você pode construir uma elipse usando apenas lápis, papel e barbante:
F1 F2
1) Fixe o barbante em dois pontos, que serão os focos, deixando uma folga no barbante;
2) É essa folga que permite traçara elipse. Encoste o lápis no barbante como se ele fosse o 
ponto P da elipse e faça-o deslizar pelo barbante, mantendo o barbante esticado.Pronto!
Realizando esses passos você desenhou uma elipse, na qual a distância entre os focos foi 
escolhida ao fi xá-lo no papel. A distância do foco ao vértice é o pedaço do barbante que 
fi ca duplo ao esticá-lo na direção de um dos focos. 
Ex
pl
or
Veja como desenhar uma elipse como lugar geométrico no link: https://goo.gl/uCIoSC.
Ex
pl
or
Elementos Da Elipse
Observe a figura a seguir:
Fonte: Venturi (2003, p. 69).
Na figura, identificamos os seguintes elementos da elipse:
 ▪ F1 e F2 : focos. A distância entre os focos mede 2c, d F F c1 2 2,( ) = , e 
denomina-se distância focal; 
 ▪ O :� é o centro da elipse, ponto médio do segmento F F1 2 ;
 ▪ A A B B1 2 1 2, , , :�são os vértices da elipse;
11
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
 ▪ Eixo maior: é o segmento A A1 2 , cujo comprimento é 2ª; 
 ▪ Eixo menor: é o segmento B B1 2 , cujo comprimento é 2b.
Do triângulo retângulo hachurado B OF2 2 ,�obtemos a relação: a b c �
2 2 2= + (a, b, 
c são medidas, portanto, sempre não negativas).
Excentricidade
Uma característica importante da elipse é sua excentricidade definida por:
µ c
a
=
Como a e c são positivos e c < a, temos que 0 1< <ε na elipse. Quanto mais 
próximo de zero for o valor de ε , mais a elipse se aproxima de uma circunferência; 
por outro lado, quanto mais próximo de 1, mais “achatada” fica a elipse. 
Fixado um valor de a, há uma correspondência entre o valor de ε e a distância 
focal: quanto mais a elipse se aproxima de uma circunferência, mais próxima é a 
distância focal, no limite c=0, os focos coincidindo com o centro da circunferência, 
ou seja, C F F≡ ≡1 2 . 
Confira na figura a seguir:
Fonte: Venturi (2003, p. 70).
É fácil ver na figura acima quanto aos valores extremos do domínio de ε :
- Se ε = 0 temos uma circunferência de diâmetro 2a e os focos coincidentes 
com o centro da circunferência;
- Se ε =1, tem-se o segmento retilíneo F F1 2 , que são elipses degeneradas.
12
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Equação Canônica da Elipse com Centro 
na Origem
Caso 1
Eixo maior coincidente com eixo X
SejaP x y= ( ), um ponto genérico da elipse e F c1 0= −( ), e F c2 0= ( ), os focos:
F1 F20
P
y
x
Então, por definição, temos que d P F d P F a, ,1 2 2( ) + ( ) = . 
x c y x c y a+( ) + −( ) + −( ) + −( ) =2 2 2 20 0 2
x c y a x c y+( ) + = − −( ) +2 2 2 22
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação:
x c y a a x c y x c y+( ) + = − −( ) + + −( ) +2 2 2 2 2 2 24 4
x cx c y a a x c y x cx c y2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 2+ + + = − −( ) + + − + +
Simplificando e isolando o radical:
4 4 42 2 2a x c y a cx−( ) + = −
13
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Dividindo tudo por 4 e elevando ao quadrado:
a x cx c y a a cx c x2 2 2 2 4 2 2 22 2− + +( ) = − +
a x c y a c x2 2 2 2 4 2 2+ +( ) = +
a x a c a y a c x2 2 2 2 2 2 4 2 2+ + = +
a x c x a y a a c2 2 2 2 2 2 4 2 2− + = −
a c x a y a a c2 2 2 2 2 2 2 2−( ) + = −( )
Mas pela relação notável da elipse: 
a c b2 2 2− =
b x a y a b2 2 2 2 2 2+ =
Dividindo tudo por a b2 2 :
x
a
y
b
2
2
2
2 1+ =
Que é a equação canônica ou reduzida da elipse de centro na origem e focos 
no eixo X.
Caso 2
Eixo maior coincidente dom eixo Y
SejaP x y= ( ), um ponto genérico da elipse e F c2 0= −( ), e F c1 0= ( ), os focos. 
Por definição, temos que d P F d P F a, ,1 2 2( ) + ( ) = . 
F2
F1
0
P
y
x
Então, fazendo desenvolvimento análogo, obtemos a equação:
x
b
y
a
2
2
2
2 1+ =
14
15
Que é a equação canônica ou reduzida da elipse de centro na origem e focos 
no eixo Y.
Observação
Na equação canônica, convenciona-se que a é a medida do semieixo maior e a2 
representa o maior dos denominadores. Além disso, se a2 é denominador de x2 , 
os focos estão sobre o eixo X; se a2 � é denominador de y2 , os focos estão sobre o 
eixo Y. Em ambos os casos, o centro da elipse coincide com a origem.
Exemplo 1
A equação 
x y2 2
4 16
1+ = representa uma elipse de centro na origem com 
a a2 16 4= ⇒ = . Portanto, seu eixo maior está sobre o eixo Y e mede 2a = 8. 
Como b b2 4 2= ⇒ = e, portanto, c a b c2 2 2 12 2 3= − = ⇒ = . Logo, temos:
F1 0 2 3= ( ), e F2 0 2 3= −( ), são os focos. 
A1 0 4= ( ), , A2 0 4= −( ), , B1 2 0= ( ), e B2 2 0= −( ), são os vértices.
Confira na figura:
F2
F1
4
-4
0-2 2
y
x
Exemplo 2
Escreva e esboce o gráfico da elipse de focos F1 4 0= −( ), e F2 4 0= ( ), e eixo 
maior medindo 12.
Resolução
Temos que 2a=12, logo a=6 e c=4; portanto, b a c2 2 2 36 16 20= − = − = . Então, 
a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo X. Sua equação é, portanto:
x y2 2
36 20
1+ =
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UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
E seu esboço de gráfico é:
F1 F20 4
6
√20
y
x
Exemplo 3
Dada a equação 
x y2 2
9 49
1+ = , pede-se:
a) Os vértices e os focos da elipse;
b) O eixo maior;
c) A representação gráfica.
Resolução
Pela equação 
x y2 2
9 49
1+ = de uma elipse, temos que:
a a
b b
c a b c
2
2
2 2 249 7
9 3
40 2 10
= ⇒ =
= ⇒ =



⇒ = − = ⇒ =
Assim, a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo Y, com 2a=14. 
Os vértices são A1 0 7= ( ), , A2 0 7= −( ), , B1 3 0= ( ), , B2 3 0= −( ), e os focos são 
F1 0 2 10= ( ), e F2 0 2 10= −( ), . 
16
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Segue um esboço do gráfico dessa elipse:
F2A2
F1
A1
-3 3 B1B2
 Observação
Identifi cação da elipse
Uma equação do tipo Ax By F2 2+ = representa uma elipse com centro na origem 
e eixos paralelos aos eixos cartesianos se A e B concordam em sinal, A ≠ B. 
Além disso, a elipse é:
• Real, se A, B e F concordam em sinal. Ex: 3 2 62 2x y+ = ;
• imaginária (não há lugar geomético ou é um conjunto vazio), se F tem sinal 
contrário ao de A e B; Ex: 3 2 62 2x y+ = − ;
• puntiforme (a elipse se reduz a um ponto), se F=0. Ex: 3 2 02 2x y+ = .
Exemplo 4
Dada a equação 16 9 1442 2x y+ = , encontrar a equação canônica e explicitar os 
focos e a excentricidade.
Resolução
Da equação 16 9 1442 2x y+ = , podemos dividir ambos os membros por 144, 
obtendo a equação canônica 
x y2 2
9 16
1+ = . 
Logo:
a a
b b
c a b c
2
2
2 2 216 4
9 3
7 7
= ⇒ =
= ⇒ =



⇒ = − = ⇒ =
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UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Então, a elipse tem centro na origem, eixo maior sobre o eixo Y e focos 
F1 0 7= ( ), e F2 0 7= −( ), e a excenticidade é ε = = <ca
7
4
1 , como é de se 
esperar por ser uma elipse. 
Exemplo 5
Obter a equação da elipse com centro na origem do sistema cartesiano, com 
eixo coincidente com o eixo X, que tem excentricidade igual a 
1
2
 e passa pelo 
ponto P = ( )1 1, .�
Resolução
Temos que ε = = ⇒ =
1
2 2
c
a
c a . Sabemos também que:
b a c a a a2 2 2 2
2
2
4
3
4
= − = − =
Também temos que a equação canônica é da forma 
x
a
y
b
2
2
2
2 1+ =
Como b a2 23
4
= e P = ( )1 1, pertence à elipse temos, substuindo na equação:
1
2a
+
1
3
4
1 1 4
3
1 7
3
1 7
32 2 2 2
2
a a a a
a= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = . E b a2 23
4
3
4
7
3
7
4
= = =.
Então, a equação é: 
x y x y
2 2
2 2
7
3
7
4
1 3 4 7+ = ⇒ + = .
Equação da Elipse com Centro Fora da 
Origem
Caso 1
Eixo maior paralelo ao eixo X
Por meio de uma translação dos eixos, representamos o novo sistema x’O’y’ 
cuja origem ′ = ( )O x y0 0, coincide com o centro da elipse. 
18
19
Observe a figura a seguir:
Fonte: Venturi (2003, p. 82).
A equação da elipse no sistema x’O’y’ é 
x
a
y
b
I' '
2
2
2
2 1+ = ( ) 
No entanto, as fórmulas de translação são: 
′
′
= −
= −



( )
x x x
y y y
II0
0
� � �
Substituindo (II) em (I) temos:
x x
a
y y
b
−( )
+
−( )
=0
2
2
0
2
2 1
Que representa a equação canônica da elipse cujo centro é ′ = ( )O x y0 0, e seu 
eixo maior é paralelo ao eixo X, onde se encontram os focos. 
Caso 2
Eixo maior paralelo ao eixo Y
Observe a figura a seguir: 
Fonte: Venturi (2003, p. 82).
19
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Por raciocínio similar, temos a equação:
x x
b
y y
a
−( )
+
−( )
=0
2
2
0
2
2 1
Queé a equação de uma elipse cujo centro é ′ = ( )O x y0 0, e seu eixo maior é 
paralelo ao eixo Y, onde se encontram os focos. 
Observação
Nos casos 1 e 2, eliminando-se os denominadores, desenvolvendo os produtos 
notáveis e ordenando-se as variáveis, a equação da elipse assume a forma 
Ax Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + = , em que A e C têm o mesmo sinal e A ≠ C.
Exemplo 6
Determine a equação da elipse representada na figura a seguir:
Fonte: Venturi (2003, p. 83)
Resolução
Observe que o eixo X concide com eixo X’, que o centro da elipse é o ponto 
′ = ( )O 4 0, e que a=5 e b=1. Logo a elipse é representda pela equação do tipo 
x x
b
y y
a
−( )
+
−( )
=0
2
2
0
2
2 1 . 
20
21
Então, substituindo os valores acima, temos:
x y−( )
+
−( )
=
4
1
0
25
1
2 2
Exemplo 7
Determinar a equação canônica da elipse dada pela equação:
9 4 54 32 109 02 2x y x y+ − − + =
Encontrar as coordenadas dos focos e representar graficamente a elipse. 
Resolução
Por translação, devemos eliminar os termos em x e y do 1° grau, usando as 
fórmulas de translação 
x x x
y y y
= +
= +



0
0
'
'
 e, substituindo na equação dada, temos:
9 4 54 32 109 00
2
0
2
0 0x x y y x x y y+( ) + +( ) − +( ) − +( ) + =' ' ' ' (I)
9 18 9 4 8 4 54 54 32 32 109 00
2
0
2
0
2
0
2
0 0x x x x y y y y x x y y+ + + + + − − − − + =′ ′ ′ ′' '
9 4 18 54 8 32 9 4 54 32 109 02 2 0 0 0
2
0
2
0 0x y x x y y x y x y' '+ + −( ) + −( ) + + − − + =′ ′
Fazendo o coeficiente do termo em x’ igual a zero⇒ − = ⇒ =18 54 0 30 0x x
Fazendo o coeficiente do termo em y’ igual a zero⇒ − = ⇒ =8 32 0 40 0y y
Então, o centro da elipse é ′ = ( )O 3 4, . 
Daí a nova equação tem a forma: 
9 4 02 2x y F' '+ + =′ , onde
′ = + − − + = + − − + = −F x y x y9 4 54 32 109 9 9 4 16 54 3 32 4 109 360
2
0
2
0 0 . . . .
21
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Logo, a equação é 9 4 36 02 2x y' '+ − = que, dividindo tudo por 36, obtemos:
x y' '2 2
4 9
1+ =
Como ′ = − = −x x x x0 3 e ′ = − = −y y y y0 4 , temos a equação canônica da 
elipse:
x y−( )
+
−( )
=
3
4
4
9
1
2 2
Que é uma elipse de centro ′ = ( )O 3 4, e eixo maior paralelo ao eixo Y. Podemos 
achar os focos, pois c a b c2 2 2 9 4 5 5= − = − = ⇒ = . Daí, os focos são os pontos: 
F1 3 4 5= +( ), e F2 3 4 5= −( ), . 
E o gráfico dessa elipse é:
Fonte: Venturi (2003, p. 84)
22
23
Rotação de Eixos
Dado o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, mantendo fixa a 
origem em O, fazemos uma rotação nos eixos X e Y de um mesmo ângulo θ , no 
sentido anti-horário, obtendo um novo sistema x’Oy’ por uma rotação de xOy, 
como indica a figura a seguir:
x
x’
y’
0=0’
y
θ
θ
Fórmulas de rotação
Fonte: Venturi (2003, p.25)
Um ponto P x y= ( ), no sistema xOy terá coordenadas P x y= ( )′ ′, no sistema 
x’Oy’.
As fórmulas dessa rotação são: 
x x cos y sen
y x sen y cos
= −
= +



′
′
θ θ
θ θ
'
'
.
23
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Exemplo 8
A equação 5 6 5 8 02 2x xy y+ + − = representa uma elipse no sistema xOy. Obter 
a equação da mesma elipse após efeuada a rotação de eixos de amplitude θ = °45 . 
Resolução
Usando as fórmulas de rotação, temos:
x x cos y sen x y x y
y x sen y cos
= ° − ° = − = −( )
= ° + °
′ ′ ′ ′ ′
′ ′
45 45 2
2
2
2
2
2
45 45
'
== + = +( )





 ′ ′ ′
2
2
2
2
2
2
x y x y '
Substituindo x e y por seus valores na equação, temos:
5 2
2
6 2
2
2
2
5 2
2
2
′ ′ ′ ′−( )





 + −( )





 +( )





 + +x y x y x y x y' ' ' '(( )





 − =
2
8 0
5
2
2 3 5
2
2 8 02 2 2 2 2 2x x y y x y x x y y' ' ' ' ' '− +( ) + −( ) + + +( ) − =′ ′ ′ ′
5
2
5
2
3 5
2
5
2
3 8 02 2+ +




 + + −





 − =x y' '
8 2 82 2x y' '+ =
Dividindo tudo por 2, temos:
4 42 2x y' '+ = ,ou ainda, x y' '
2 2
1 4
1+ = .
Cujo gráfico é:
x’
x’
45º
y
y’
24
25
Então, a equação 5 6 5 8 02 2x xy y+ + − = foi transformada em 4 42 2x y' '+ = 
após a rotação de 45°. 
Observação
Equações de segundo grau no plano que envolvem termos na variável xy implicam 
uma rotação de eixos. 
Recordemos que as equações lineares em duas dimensões, da forma Ax By C+ = , 
têm como soluções típicas as retas. 
O segundo grau de complexidade em duas dimensões são equações quadráticas da 
forma Ax By Cxy Dx Ey F2 2+ + + + = , cujas soluções típicas são as 
cônicas. Por isso, é natural que cônicas apareçam em modelos que pretendem 
aproximar a realidade por algo pouco mais complicado do que retas. Nisso as cônicas 
são estudadas mostrando a equivalência de suas definições com cortes do cone, 
como lugares geométricos com propriedades especiais e como conjunto solução de 
equações quadráticas. 
Para saber mais acesse o link: http://goo.gl/mxWjKE
Ex
pl
or
A Parábola
Considere num plano um ponto Fe uma reta d que não contém F. Denomina-
se parábola de foco F e diretriz d ao lugar geométrico dos pontos do plano que 
equidistam de d e de F. 
A figura a seguir mostra alguns pontos pertencentes à parábola, que são 
equidistantes do ponto F e da reta d:
d
P1
P2
F
P3
P4
25
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Elementos Da Parábola
 ▪ F: foco da parábola;
 ▪ d: diretriz;
 ▪ V: vértice;
 ▪ p: parâmetro, que representa a distância do foco à diretriz (p↑ 0);
 ▪ eixo de simetria da parábola: reta que contém o segmento VF;
 ▪ Corda focal mínima: é a corda AA’, que passa pelo foco e é perpendicular 
ao eixo de simetria. Também chamda de latus rectum.
Confira na figura a seguir:
Fonte: Venturi, 2003, p. 42)
Equações Canônicas da Parábola com 
Vértice na Origem
Caso 1
Eixo de simetria coincidente com eixo X
Na figura a seguir, a parábola representada no plano cartesiano tem vértice na 
origem, V = ( )0 0, , com eixo de simetria sobre o eixo X e concavidade voltada para 
a direita. A reta diretriz tem equação d: x p= −
2
. Nesse caso, p > 0 :
26
27
Fonte: Venturi (2003, p. 42)
Além disso, temos os pontos a seguir:
- P x y= ( ), , um ponto genérico da parábola;
-F p= 




2
0, o foco;
- ′ = −




P
p y
2
, é o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a diretriz. 
Por definição:
d P F d P P x p y x p y y, ,( ) = ( )⇒ −




 + −( ) = +





 + −( )′ 2 0 2
2
2
2
2
Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis:
x px p y x px p2
2
2 2
2
4 4
− + + = + +
Assim, a equação y px2 2= representa a equação canônica (ou reduzida ou 
padrão) da parábola com vértice na origem e cujo eixo de simetria é o eixo X. 
Nessa mesma situação, no caso de p < 0 , a concavidade da parábola é voltada 
para a esquerda, como indica a figura:
d
F
y
x
27
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Caso 2
Eixo de simetria coincidente com eixo Y
Na figura a seguir, a parábola representada no plano cartesiano com eixo de 
simetria sobre o eixo Y tem concavidade voltada para cima. A reta diretriz tem 
equação d: x p= −
2
. Nesse caso, p > 0 :
Fonte: Venturi (2003, p. 43)
Além disso, temos os seguintes pontos:
- P x y= ( ), , um ponto genérico da parábola;
- F p= 




0 2
, o foco;
- ′ = −




P x
p,
2
 é o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a diretriz. 
Por definição:
d P F d P P x y p x x y p, ,( ) = ( )⇒ −( ) + −




 = −( ) + +




′ 0 2 2
2
2
2
2
Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis, 
de forma análoga à anterior, chegamos à equação x py2 2= , que representa a 
equação canônica da parábola com vértice na aorigem e eixo de simetria sobre o 
eixo Y. 
Nessas mesma condições, mas no caso de p < 0 , a única diferença é que a 
parábola tem concavidade voltada para baixo, conforme indica a figura a seguir:
28
29
 
d
F
V
y
x
Observação
Uma equação do tipo Ax By2 0+ = representa uma parábola de vértice na 
origem e eixo de simetria coincidente com o eixo Y; de forma análoga, uma equação 
da forma Ay Bx2 0+ = representa uma parábola com vértice na origem e eixo 
de simetria coincidente com o eixo X. 
Porexemplo: a equação y x2 3 0+ = (ou y x2 3= − ) é uma parábola com 
vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo X e concavidade voltada 
para a esquerda.
Equação Canônica de Parábola com Vértice 
Transladado
Caso 1
Eixo de simetria paralelo ao eixo X
Observe a figura a seguir. Nela, o vértice é o ponto V m n= ( ), , o eixo de simetria 
é horizontal, paralelo ao eixo X. O foco F m p n= +




2
, e a reta diretriz d x m p: = −
2
 
(d)
Q P
V F
m+m x
p
2
p
2
p
2
m-p
2
R
y
n
0
29
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Sendo P x y= ( ), um ponto genérico da parábola, Q m p y= −




2
, 
e F m p n= +




2
, , da definição d P Q d P F x m
p x m p y n, ,( ) = ( )⇒ −( ) +



= −( ) −



+ −( )
2 2
2 2
2
d P Q d P F x m p x m p y n, ,( ) = ( )⇒ −( ) +



= −( ) −



+ −( )
2 2
2 2
2
x m p x m p y n−( ) +



= −( ) −



+ −( )
2 2
2 2
2
x m x m p p x m x m p p y n−( ) + −( ) + = −( ) − −( ) + + −( )2
2
2
2
2
4 4
. .
Que simplificando resulta na equação y n p x m−( ) = −( )2 2 . , que é a equação 
reduzida de uma parábola com eixo de simetria horizontal.
Analogamente, podemos deduzir a equação reduzida de um parábola com eixo 
de simetria vertical.
Sintetizando, se o vértice é V m n= ( ), , temos:
a) Parábola com eixo horizontal:
y n x m
p p
−( ) = −( )
= ± = 










2 2
2 2
p
d x m F m n: ; ,
;
b) Parábola com eixo vertical: 
x m y n
p m n p
−( ) = −( )
= ± = 










2 2
2 2
p
d y n F: ; , 
.
Exemplo 9
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para uma 
parábola com eixo de simetria vertical, temos:
x m p y n x mx n py pn−( ) = −( )⇒ − + = −2 2 22 2 2 2
30
31
Dividindo tudo por 2 p , ficamos com:
1
2 2
1
2 2
2
2
2
2
p
x m
p
x n
p
y n y
p
x m
p
x n
p
n− + = − ⇒ = − + +
Fazendo a
p
=
1
2
, b m
p
= − e c n
p
n= +
2
2
, obtemos a equação geral bem conhecida 
como y f x= ( ), dada por: y ax bx c= + +2 . Sabemos, nesse caso, que o vértice é 
dado por V b
a a
= − −




2 4
, ∆ . 
Confira!
Analogamente, podemos obter a equação geral da parábola com 
eixo horizontal, dada como x f y= ( ) , ou seja, x ay by c= + +2 .
Exemplo 10
Encontrar a equação canônica (ou reduzida) da parábola de foco F = ( )1 1, , 
sendo x = 3 a equação da reta diretriz.
Resolução
Podemos representar graficamente a partir dos dados acima:
Fonte: Pacheco (2009, p. 79).
Dessa forma, geometricamente vemos que o vértice é V m n= ( )⇒ = =2 1 2 1, , . 
Também podemos deduzir que 
p
2
1= − ( p < 0, pois a concavidade está voltada 
para a esquerda). 
Então se P x y= ( ), , é um ponto genérico da parábola, da equação 
y n p x m−( ) = −( )2 2 , obtemos: y x x−( ) = − −( ) = −( )1 4 2 4 22 .
Logo, a equação reduzida é y x−( ) = −( )1 4 22 .
31
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Observe que podemos fazer pela definição que fica mais fácil e não depende 
de fórmula pré-deduzida, mas de raciocínio e manipulações algébricas conhecidas:
d P F d P d x y x, ,( ) = ( )⇒ −( ) + −( ) = −1 1 32 2
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
x y x y x x−( ) + −( ) = −( ) ⇒ −( ) = −( ) − −( )1 1 3 1 3 12 2 2 2 2 2
y x x x x x x−( ) = − + − + − = − + = −( )1 6 9 2 1 4 8 4 22 2 2
Logo a equação é y x−( ) = −( )1 4 22 .
Exemplo 11
Considere uma parábola com vértice na origem e reta focal (eixo de simetria) 
sobre o eixo X. Suponha que o ponto P = −( )3 6, pertença à parábola. Determine 
a equação da parábola, seu foco e sua reta diretriz. 
Resolução:
Vimos que a equação y px2 2= representa a equação canônica da parábola com 
vértice na origem e cujo eixo de simetria é o eixo X. 
Substituindo as coordenadas de P = −( )3 6, na equação, temos:
−( ) = ( )⇒ = ⇒ =6 2 3 36 6 62 p p p . 
Observe, ainda, que a primeira coordenada do ponto P é positiva; logo a 
concavidade da parábola está voltada para a direita; então, sua reta diretriz tem 
equação x p= − = −
2
3 . 
E, portanto, seu foco é F = ( )3 0, e sua equação é y x2 12=
Exemplo 12
Considere a equação quadrática f x x x( ) = − +2 6 8 . Escreva f na forma 
quadrática canônica e a partir de tal determine suas raízes. Determine também as 
coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz da parábola. 
32
33
Resolução
Completando quadrado da equação de f x x x( ) = − +2 6 8, temos:
f x x x x( ) = − +( ) − = −( ) −2 26 9 1 3 1 que é a foma canônica de f . Igualando a 
forma canônica de f a zero, chegamos a x −( ) =3 12 . 
Daí, x − = ±3 1. Logo, as raízes são x = 2 e x = 4 . Sabemos que o vértice ocorre 
no ponto mínimo, exatamente o ponto médio entre as raizes, ou seja, em 
x f= ( ) = −3 3 1, , logo, no ponto V = −( )3 1, .� O eixo de simetria, paralelo ao eixo Y. 
Suponhamos que o foco seja F k= − +( )3 1, e a diretriz tenha equação 
d x k: = − −1 , pois devemos notar que o vértice é equidistante do foco e da 
reta diretriz. 
Tomemos um ponto P da parábola, diferente do vértice, por exemplo, 
escolhendo x = 0 na equação de f , temos P = ( )0 8, . 
Daí, pela definição de parábola:
d P F d P d k k, ,( ) = ( )⇒ −( ) + − + −( ) = − − −3 0 1 8 1 82 2 . 
9 9 92+ −( ) = − −k k
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
9 9 9 9 18 81 18 812 2 2 2+ −( ) = − −( ) ⇒ + − + = + +k k k k k k
36 9 1
4
k k= ⇒ =
Assim, o foco é F = − +




 = −





3 1
1
4
3 3
4
, , e aeta diretriz é d x: = − 5
4
.
Exemplo 13
Obter as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação 
7 3 02y x+ = e fazer o gráfico da parábola.
Resolução
Vamos reescrever a equação da parábola da forma y px2 2= ; portanto, 
y x p p2 3
7
2 3
7
3
14
= − ⇒ = − ⇒ = − , o que indica que a parábola tem vértice na origem 
e diretriz sobre o eixo X, com concavidade voltada para a esquerda.
33
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Assim, a reta focal ou eixo de simetria (que é perpendicular à reta diretriz) está 
sobre o eixo Y e o foco F p= 




 = −





2
0 3
28
0, , . E a equação da reta diretriz é 
x p= − =
2
3
28
, ou ainda, 28 3 0x − = e a concavidade voltada para a esquerda.
Confira no gráfico:
 
Fonte: Venturi (2003, p. 49).
Exercício Resolvidos
Exercício 1
Dê a equação da elipse representada no gráfico a seguir, identificando seus 
elementos, vértices e focos:
y
x4-4
-5
5
34
35
Resolução
Analisando o gráfico da elipse, vemos que tem centro na origem e eixo maior 
sobre o eixo Y, com vértices A1 0 5= ( ), , A2 0 5= −( ), , B1 4 0= ( ), e B2 4 0= −( ), . 
Logo 2a=10 e 2b=8, como o que a=5 e b=4. Assim, a equação canônica da elipse 
é do tipo 
x
b
y
a
2
2
2
2 1+ = e, portanto, 
x y2 2
16 25
1+ = .
Para encontrarmos os focos temos de encontrar o valor de c. Sabemos que 
c a b c2 2 2 25 16 9 3= − = − = ⇒ = .
 
Logo, como os focos estão sobre o eixo maior, temos 
que F1 0 3= ( ), e F2 0 3= −( ), .
Exercício 2
A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos. Sabendo-se que o 
semieixo maior tem 153.493.000 km e que a excentricidade da elipse é ε = 0 0167, , 
calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol. 
Resolução
A Terra orbita nessa elipse que tem o Sol num dos focos; portanto, a Terra é um 
ponto P x y= ( ), da elipse. O semieixo maior é a =153 493 000. . km e como 
ε = = ⇒ = ( ) ≅c
a
c km0 0167 0 0167 153 493 000 2 563 333, , . . . . . .
Daí podemos considerar a elipse com centro na origem e eixo maior sobre o 
eixo X, sem perda de generalidade; portanto, os focos seriam F c1 0= ( ), e 
F c2 0= −( ), . E por definição de elipse, d P F d P F a, , .�1 2 2( ) + ( ) =
Suponhamos que o Sol ocupe o foco F c1 0= ( ), , assim, a menor distância da 
Terra ao Sol é quando P A a≡ = ( )1 0, e a maior distância da Terra ao Sol é quando 
P A a≡ = −( )2 0, .
35
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Daí, a menor distância é dada por
d A F a c km1 1 153 493 000 2 563 333 150 929 667, . . . . . . .( ) = − = ( ) − ( ) = 
Já a maior distânciaé
d A F a c a c km2 1 156 056 333, . . .( ) = − −( ) = + = 
Exercício 3
Dada a equação da elipse 
x y+( )
+
−( )
=
6
9
5
25
1
2 2
, encontrar as coordenadas do 
centro, dos focos e dos vértices, descrevendo a posição da elipse. 
Resolução
Pela equação, podemos concluir que o centro da elipse é O = −( )6 5, , o valor de 
a = 5 e b = 3 , com o que c a b c2 2 2 25 9 16 4= − = − = ⇒ = . A elipse, então, tem 
eixo maior paralelo ao eixo Y, na reta x = −6 com vértices do eixo maior nesta reta 
A2 6 0= −( ), e A2 6 10= −( ), . 
Os outros dois vértices ficam sobre a reta y = 5, que contém o eixo menor, e os 
vértices nestas retas são B b2 6 5 9 5= − −( ) = −( ), , e B b1 6 5 3 5= − +( ) = −( ), , . 
Os focos estão também sobre a reta x = −6 que contém o eixo maior e são 
F c2 6 5 6 1= − −( ) = −( ), , e F c1 6 5 6 9= − +( ) = −( ), , . 
Para conferir, observe o gráfico dessa elipse:
Fonte: Venturi (2003, p. 85).
Exercício 4
Determinar o comprimento da corda que a reta x y= −4 4 determina sobre a 
elipse x y2 24 16+ = .
36
37
Resolução
A equação x y2 24 16+ = pode ser reescrita x y
2 2
16 4
1+ = , o que nos informa que 
a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo X, sendo a = 4 e b = 2 . 
A reta pode ser reescrita na forma y x= +
4
1 que informa ter inclinação positiva, 
cortando o eixo X no ponto de ordenada y x= ⇒ = −0 4 . 
Para encontrar os pontos de interseção da reta com a elipse, basta resolver o 
sistema 
x y
x y
= −
+ =



4 4
4 162 2
, ou seja, substituindo a primeira equação na segunda temos: 
4 4 4 16 16 32 16 4 16 20 32 02 2 2 2 2y y y y y y y−( ) + = ⇒ − + + = ⇒ − =
4 5 8 0
0 4 4 0
8
5
12
5
12
5
8
5
y y
y x P
y x Q
−( ) = ⇒
= ⇒ = − ⇒ = −( )
= ⇒ = ⇒ = 










,
,
Podemos representar graficamente como segue:
y
r
x
Dessa forma, o comprimento da corda é dada por:
d P Q,( ) = +




 + −





 =





 +





 =
12
5
4 8
5
0 32
5
8
5
1
5
102
2 2 2 2
44 64 1
5
1088 8 17
5
+ = =
Exercício 5
Determinar a equação da parábola representada no gráfico a seguir, bem como 
a equação de sua reta diretriz:
37
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
 
 Fonte: Venturi (2003, p. 57).
Resolução
Pelo gráfico, vemos que a parábola tem vértice transladado para V = ( )1 1, , tem 
eixo simétrico paralelo ao eixo X, sobre a reta y=1. Portanto, o foco é o ponto 
F = ( )2 1, e, portanto, como o vértice é equidistante do foco e da reta diretriz, esta 
última tem equação x = 0 , ou seja, o próprio eixo Y. 
Como 
p d V F d V d p
2
1 2= ( ) = ( ) = ⇒ =, , . Além disso, a equação reduzida da 
parábola transladada é do tipo y p x y x−( ) = −( )⇒ −( ) = −( )1 2 1 1 4 12 2 .
Exercício 6
Determinar o vértice, o foco, uma equação para a reta diretriz e uma equação 
para o eixo de simetria da parábola de equação x x y2 4 8 12 0+ + + = .
Resolução
Vamos completar quadrado em x na equação da parábola:
[ ]x y x y+( ) − + + = ⇒ +( ) = − +( )2 4 8 12 0 2 8 12 2
Logo, a equação é do tipo x m p y n−( ) = −( )2 2 em que V m n= ( ), é o vértice 
da parábola. Portanto, V = − −( )2 1, . Além disso, 2 8 4p p= − ⇒ = − , a parábola tem 
eixo de simetria paralelo ao eixo Y, sobre a reta x = −2 e tem concavidade voltada 
para baixo, com foco no ponto F m n p= +




 = − − −( ) = − −( ), , ,2 2 1 2 2 3 .
Como F = − −( )2 3, a equação da reta diretriz é d y p: .�= − − = − + =1
2
1 2 1 
38
39
Vale conferir na representação gráfica da parábola a seguir:
Fonte: Pacheco (2009, p. 80).
Exercício 7
Determine a equação da parábola de foco F = ( )1 2, e a reta diretriz d y: = 4 . 
Descreva a parábola.
Resolução
Seja P x y= ( ), um ponto da parábola. Por definição d P F d P d, ,( ) = ( ) . 
Portanto, x y y−( ) + −( ) = −1 2 42 2 .
Elevando ambos os membros da equação acima ao quadrado, temos:
x y y−( ) + −( ) = −( )1 2 42 2 2
x y y y y−( ) + − + = − +1 4 4 8 162 2 2
x y y−( ) = − + = − −( )1 4 12 4 32
Então, a equação canônica da parábola é x y−( ) = − −( )1 4 32 .
Portanto, a parábola tem vértice V = ( )1 3, , seu eixo de simetria é paralelo ao 
eixo Y, na reta x =1 , e sua concavidade é voltada para baixo, com parâmetro 
p = −2 . 
39
UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Para finalizar a Unidade, segue um comentário acerca da expressão geral 
das cônicas. 
As cônicas e a circunferência (cônica degenerada) são curvas planas; portanto, 
suas representações são feitas no sistema cartesiano 2 . 
A expressão geral de uma cônica (exceto a circunferência) é uma equação de 2° 
grau da forma: Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + = .
O termo em “xy” da equação das cônicas é chamado de termo retângulo. 
Quando a equação apresenta o termo retângulo, dizemos que é uma equação 
degenerada. Quando a equação não apresenta o termo retângulo, simplesmente 
chamamos de equação geral. 
Geometricamente, a diferença entre a equação geral e a equação geral 
degenerada está na posição da cônica em relação aos eixos coordenados.
Quando a equação geral é degenerada, o eixo de simetria da cônica é inclinado 
em relação aos eixos coordenados (a cônica sofreu uma rotação em relação aos 
eixos coordenados). 
Quando a equação geral não é degenerada, o eixo de simetria da cônica é 
paralelo a um dos eixos coordenados. 
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Por exemplo:
Elipse de Equação Geral
Degenerada
Elipse de Equação Geral
não Degenerada
y Eixo de Simetria
x
Eixo de Simetria
y
x
Como a equação geral tem expressão semelhante para todas as cônicas, isto é, 
Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + = , para identificar a cônica pela equação geral, 
temos um critério de classificação:
Se B AC elipse
Se B AC parábola
Se B AC hipérbol
 
 
 
2
2
2
4 0
4 0
4 0
− < ⇒
− = ⇒
− > ⇒ ee





Assim, chegamos ao fim desta Unidade, lembrando que a hipérbole será estudada 
na próxima Unidade. 
Espero que tenha aproveitado e aprendido sobre a elipse e a parábola, bem 
como sua importância e aplicações.
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UNIDADE Cônicas: a Elipse e a Parábola
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Vídeos PROFMAT:
Elipse: 
http://goo.gl/hukX5a
Elipse transladada
Disponível em: 
http://goo.gl/hQudpl
Parábola:
Disponível em: 
http://goo.gl/shTNQG
Parábola e equação de 2° grau:
Disponível em: 
http://goo.gl/XMLdzi
Refletores parabólicos:
Disponível em: 
http://goo.gl/NNGGRp
 Leitura
La noción de cónica em Apolonio y Descartes: Um análisis comparativo.
Disponível em:
http://goo.gl/PTEyjb
 Sites
Parábola, elipse e hipérbole: seções cônicas.
Gilcimar Bermond Ruezzene
http://goo.gl/yr3RUw
Parábola, elipse e hipérbole: seções cônicas.
Gilcimar Bermond Ruezzene
http://goo.gl/yr3RUw
Seções Cônicas:
Disponível em:
http://goo.gl/ieVgvQ
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Referências
CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento 
vetorial. 3. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 543p. v.1
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Unicamp, 2004.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 
8.ed. São Paulo: Atual, 1997. 374p. v.7
FEITOSA, Miguel Oliva. Cálculo vetorial e geometria analítica: exercícios 
propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1996.
JULIANELLI, José Roberto. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
PACHECO, R. S. Geometria Analítica. Natal: EFRN, 2009. 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 
2009. (e-book)
VENTURI, J. Cônicas e Quádricas. 5.ed. 2003. Disponível em: <http://
geometriaa.dominiotemporario.com/livros/cq.pdf>. Acesso em: 15 mar. 2016. 
PACHECO, R. S. Geometria Analítica. Natal: EFRN, 2009.
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