1ı Prova 2014 2 Gabarito

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Universidade Federal do Espírito Santo 
1ª Prova de Cálculo I – MAT05114 – Prof. Antonio Luíz Rosa 
 
Aluno (a): _____________________________________________ Data: 26/09/2014. 
 
 
 
1. Verifique se os limites abaixo existem. Se existem, calcule-os. Caso não existam, 
justifique: 
a) (1pt) 
 
 
. 
b) (1pt) 
 
 
. 
c) (1pt) 
 
 
. 
 
Solução: 
a) Temos que: 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visto que 
 
 
 
 
 
, conclui-se que: 
 
 
 
 
 
 
b) Fazendo então temos que . Além disto vemos que 
 . Assim podemos reescrever o limite por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Temos: 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo no primeiro limite, temos que . 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (1pt) Determine o domínio e a imagem da função . 
 
Solução: Sabemos que a função só é definida em por 
definição. Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (1pt) Prove que 
 
 
 . 
 
Solução: Tomando a vizinhança 
 
 
 
 
 
 de vemos que então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (1pt) Seja . Determine: (a) o domínio de e (b) e seu 
domínio. 
 
Solução: Sabemos que a função só está definida para . 
Assim, 
3 
 
 
Mas, 
 
Portanto, 
 
b) Observamos que é bijetora. 
De fato: 
 é injetiva pois: 
 
 
 
 
 
 . 
 é sobrejetiva pois: 
 tome 
 pois 
 . Daí 
temos: 
 
 
 
 
Portanto, admite uma inversa. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 e seu domínio é . 
 
5. (1pt) Pede-se: 
a) Enuncie o “Teorema do Valor Intermediário”. 
b) Mostre que a equação possui uma solução no intervalo 
 . 
 
Solução: a) Teorema do Valor Intermediário(T.V.I.): Seja uma função contínua 
em um intervalo fechado . Tomando qualquer número entre os valores 
reais e , (isto é, ou ), então existe 
(pelo menos um) tal que . 
b) Considere a função . Temos que é contínua em seu domínio 
 pois é soma de funções contínuas neste intervalo. 
Considerando o intervalo , vemos que é contínua aí e: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto é, 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Assim, aplicando o T.V.I., podemos concluir que existe (pelo menos um) 
 tal que . 
Isto é, tal que . Portanto, a equação 
possui uma solução no intervalo . 
 
6. (4 pts) Seja 
 
 
 
 
 
 
a) Identifique os pontos de descontinuidade de , caso existam, justificando. 
b) Esboce o gráfico de . 
 
Solução: 
a) Sabemos que uma função é contínua em um ponto se, e somente se, 
 e tivermos que . 
Como as funções , e 
 são contínuas 
nos intervalos , e , respectivamente, resta-nos verificar a 
continuidade da função nos pontos e . 
No caso de , temos que não é contínua em , pois . De fato, 
 . 
No caso de : Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim vemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Consequentemente, não é contínua em , pois . 
Portanto, não é contínua em e em . 
 
b) Gráfico de : 
y 
 
 
 
 
 
 y = f(x) 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 0 3 x