LIMITES - TEORIA E EXERCÍCIOS

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EXERCÍCIO RESOLVIDO (DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE)
1) Seja f:ǮनǮ, definida por f(x)=2x-5. Mostre por definição que lim[न� (2x-5) = 3:
Resolução 
Queremos provar que, para qualquer ט�!�� dado, podemos encontrar İ positivo tal que se 0 
��_[��_���İ, então _I�[���_���ט.
a) Uma análise do problema: conjecturando um valor para İ
Para cada ט�!�� dado, devemos encontrar um İ�!�� tal que se ����_[�����_���İ temos _I�[���_���ט.
Partindo da condição a ser alcançada: _I�[���_���ט, substituímos f(x) e obtemos:
_��[�����_���ט�ɝ�_�[��_���ט�ɝ��_[��_���ט�ɝ�|x-4| < ט2
Percebemos, então, que podemos escolher İ� ט2 .
b) Prova: mostrando que a escolha de İ funciona
Dado ט�!��, escolhemos İ� � ט2 . Se ����_[��_���İ, temos que:
_I�[���_� �_��[�����_� �_�[��_� ��_[��_����İ� �ט�
Assim, temos que para qualquer ט!� dado, podemos encontrar um İ positivo tal que se 0 
��_[��_���İ, então _I�[���_���ט�
Ou, ainda, pela definição de limite, temos que:
lim[न� (2x-5) = 3
2) Demonstre utilizando a definição formal de limite que lim[न� x
2 = 1:
Resolução
Queremos provar que para qualquer ט�!�� dado, podemos encontrar İ positivo tal que se 0 
��_[��_���İ, então _I�[���_���ט.
a) Uma análise do problema: conjecturando um valor para İ
Para cada ט�!�� dado, devemos encontrar um İ�!�� tal que se ����_[��_���İ temos _I�[���_���ט.
Partindo da condição a ser alcançada: |f(x)-1| = |x2��_���ט, percebemos que:
_[���_���ט�ɝ��ט��[࢖����ט�ɝ���ט���[࢖ ����ט
Note que acabamos de usar uma propriedade da função de módulo:
|x| < a ɝ�-a < x < a
Como [࢖�–��, temos que ��ט�–��, ou seja, ט�•��, então segue que:
��•���ט���[࢖�����ט�ɝ���•�[࢖�•����� ���ɝ���•�[�•� 2
Somando 1 em cada termo nas desigualdades, temos:
�� �����•�[���•� 2+1 < 3 ɝ���•�[�������ɝ���•�_[��_����
Voltando à condição inicial, como |x+1|<3, temos que:
_[࢖��_� �_[��__[��_����_[��_���ט
Portanto, |x-1| < ט3 .
Por outro lado, como ��•�[�•� 2, temos que:
|x-1| < | 2-1| < 1
Assim, temos que |x-1| < ט3 e |x-1| < 1. 
Então, podemos escolher İ� �PLQ^�� ט3 `�
b) Prova: mostrando que a escolha de İ funciona
Dado ט�!��, escolhemos İ� �PLQ^�� ט3 `. Se ����_[��_���İ, temos que:
(i) İ� ���•� ט3
Então, 0 < |x-1| < 1 ɝ -1 < x-1 < 1 ɝ 0 < x < 2 ɝ 1 < x+1 < 3, de onde |x+1| < 3.
(ii) İ� � ט3 �•��
Então, 0 < |x-1| < ט3 .
Daí, segue que |x²-25| = |x-1||x+1| < ט3 �� �ט.
Assim, provamos pela definição de limite que: lim[न� x² = 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO (LIM. LATERAIS E CONTINUIDADE)
Seja f(x) = {[����VH�[�–��2x+4, se x < 2 , identifique a alternativa correta:
a) f é contínua à esquerda em 2.
b) f é contínua à direita em 2.
c) f é contínua em 2.
d) f é contínua em seu domínio.
e) f é descontínua em 3.
Resolução
Vamos analisar cada alternativa:
a) O limite à esquerda para x=2 é lim[न�ࢡ I�[�� ����I���. Então, f não é contínua à esquerda 
de 2.
b) Como I�[�� �[����VH�[�–��� então sabemos que f(2) = 5. Assim, o limite à direita para x =
2 é lim[न�ࢠ f(x) = 5 = f(2). Neste caso, temos que f é continua à direita de 2.
c) Como temos lim f(x) = 5 z lim f(x) = 8, temos que f não é contínua em 2, o que leva a [न�ࢠ [न�ࢡ
constatar que f não é contínua em seu domínio. 
d) Lembre que para f ser contínua em seu domínio, f deve ser contínua em todos os pontos
do domínio.
e) Podemos afirmar que f é contínua em 3, porque
lim[न�ࢡ f(x) = lim[न�ࢠ f(x) = lim[न� f(x) = f(3) = 6.
Logo, a única alternativa correta é a letra b.
Qual é o lim[न�
x-2
(x-2)²
 ?
a) �“
b) �“
c) 0
d) 1
e) Não há limite
Resolução
Devemos observar que os limites do quociente levam a uma indeterminação do tipo 0/0, pois:
(x-2) = 0(i) lim[न�
(ii) lim[न� (x-2)² = 0
Para eliminar tal indeterminação, vamos observar que, para qualquer vizinhança reduzida de 
2 em que [�, temos que:
x-2
(x-2)²
= x-2
(x-2)(x-2)
= 1
x-2
Lembre-se que “[न�” significa que x tende a 2, e não que x=2. Por isso, podemos 
considerar que o denominador não se anulará e fazer as simplificações.
Portanto:
lim[न�
x-2
(x-2)²
 = lim[न�
1
(x-2)
Devemos, novamente, observar que:
(i) lim[न� = 1
(ii) lim[न� (x-2) = 0 e existe V̍V(2) tal que x-2 > 0, ʋ�x ʓ�V
Assim, por 4�, temos que lim[न�
1
(x-2)
� ��“, o que implica que lim[न�
x-2
(x-2)²
� ��“�
Logo, a alternativa correta é a letra a.
EXERCÍCIO RESOLVIDO (PROP. DOS LIM. INFINITOS)
1) Determine o lim[न�“
�[࢜��[࢚��[��
x²+8x+5
:
Resolução
Percebemos claramente que estamos diante de uma indeterminação do tipo �“��“, pois:
lim[न�“�[࢜��[࢚��[��� ��“
lim[न�“
e
[࢖��[��� ��“
Assim, devemos efetuar uma transformação para evitar tal indeterminação, escrevendo 
o limite da seguinte forma:
lim[न�“
�[࢜��[࢚��[�� 
x²+8x+5
= lim[न�“
[࢜�������[࢖�����[࢛�²���[࢜� 
x²(1+8/x+5/x²)
= lim[न�“
[࢚�������[࢖�����[࢛�²���[࢜�
(1+8/x+5/x²)
Por 4�, temos que:
lim[न�“
3
x²
 = 0, lim[न�“
2
[࢛ = 0, e lim[न�“
1
[࢜ = 0
Então, lim[न�“(2 + 
3
x²
+ 2[࢛ +
1
[࢜ ) = 2. 
Por outro lado, sabemos que lim[न�“�[࢚� ��“.
De P2, temos que:
lim[न�“(2 + 
3
x²
+ 2[࢛ +
1
[࢜ ) = lim[न�“[࢚����������� � lim[न�“�[࢚� ��“
Da mesma forma, sabemos que:
lim[न�“(1+
8
x
+ 5
x²
) = 1
Assim, pela propriedade 4�, temos que o limite procurado é lim[न�“
�[࢜��[࢚��[��
x²+8x+5
� ��“.
EXERCÍCIO RESOLVIDO (PROP. DOS LIM. NO INFINITO)
2) O limite lim[न�“
6x²-5x
2x²-5
 é igual a:
a) -1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
Resolução
Ao observar o limite, podemos constatar que estamos diante de uma indeterminação do tipo 
�“��“, já que lim[न�“�[࢖��[� ��“ e que lim[न�“�[࢖��� ��“.
Assim, vamos realizar uma transformação. Perceba que:
lim[न�“ 2x²-5
6x²-5x = lim[न�“
x²(6-5/x)
x²(2-5/x²)
 = lim[न�“
(6-5/x)
(2-5/x²)
 = 
lim[न�“6 - lim[न�“5/x
lim[न�“2 - lim[न�“5/x²
 Sabemos pela propriedade 4� que lim[न�“5/x = 0 e também que lim[न�“5/x²=0.
Assim, temos que lim[न�“ 2x²-5
6x²-5x = 6
2
 = 3.
Logo, a alternativa correta é a letra c.
3) Determine o limite lim[न�“
�[࢛��[࢚��
�[࢛�� :
Resolução
Ao observar o limite, podemos constatar que estamos diante de uma indeterminação do tipo 
�“��“, já que lim[न�“�[࢛��[࢚��� ��“ e que lim[न�“�[࢛��� ��“.
Assim, vamos realizar uma transformação. Perceba que:
lim[न�“
�[࢛��[࢚��
�[࢛�� = lim[न�“
[࢛�����[���[࢛� [࢛�����[࢛� = lim[न�“
�����[���[࢛� �����[࢛� = 
lim[न�“3 + lim[न�“2/x + lim[न�“��[࢛
lim[न�“2 - lim[न�“��[࢛
Sabemos que lim[न�“2/x = 0, lim[न�“��[࢛� ���e também que lim[न�“��[࢛ � pela propriedade 4�.
Assim, temos que lim[न�“
�[࢛��[࢚��
�[࢛�� = 
3
2
.
Qual é o valor do limite lim [न�“
4x²+6x+3
x²-5
 ?
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
Resolução
Primeiramente, vamos calcular o limite do radicando, ou seja, lim[न�“
4x²+6x+3
x²-5
?.
Percebemos que estamos diante de uma indeterminação do tipo �“��“, pois temos que
lim[न�“�[࢖��[��� ��“� H� lim[न�“[࢖��� ��“�
Portanto, devemos realizar uma transformação para que seja possível realizar este cálculo. 
Observe que:
lim[न�“
4x²+6x+3
x²-5
 = lim[न�“
x²(4 + 6/x + 3/x²)
x²(1 - 5/x²)
= lim[न�“
(4 + 6/x + 3/x²)
(1 - 5/x²)
 = 
4
1
 = 4
Deste modo, pela propriedade R1 apresentada anteriormente, temos que:
lim[न�“ 
4x²+6x+3
x²-5
 = lim[न�“
4x²+6x+3
x²-5
 = 4 = 2
Logo, a alternativa correta é a letra e.
EXERCÍCIO RESOLVIDO (LIMITES ESPECIAIS)
Qual é o valor para lim[नN
sen x - sen k
x - k
 ?
Resolução
Para resolver este tipo de limite, precisamos fazer uso da transformação trigonométrica a 
seguir:
sen x - sen k = 2.sen ( x - k
2
).cos( x + k
2
)
Portanto, temos que:
lim[नN x - k
sen x - sen k = lim[नN
2.sen ( x - k
2
).cos( x + k
2
)
x - k
 = lim[नN
sen ( x - k
2
).cos( x + k
2
)
x - k
2
Sabemos que,pelo limite trigonométrico(4), lim[नN
sen ( x - k
2
)
x - k
2
 = 1. Então:
lim[नN
sen x - sen k
x - k
 = lim[नN
sen ( x - k
2
)
x - k
2
 . lim[नN cos(
x + k
2
) = 1. lim[नN cos(
x + k
2
) = cos k
Logo, o valor do limite procurado é cos k.
EXERCÍCIO RESOLVIDO (LIMITES TRIGONOMÉTRICOS)
Determine o valor do seguinte limite:
lim[न�“4
�[࢚��[
3x³ +1
Resolução
Para resolvermos este limite, vamos estudar primeiramente o seguinte limite do expoente da 
expressão:
lim[न�“
�[࢚��[
3x³+1
= lim[न�“
x³(5x+2/x²)
x³(3+1/x³)
 = lim[न�“
5x
3
 ��“
Pelas propriedades estudadas, temos que:
lim[न�“4
�[࢚��[
3x³ +1 = 4[न�“
lim �[࢚��[
3x³ +1 = 4�“ = ( 1
4
)�“�= 0
Portanto, o limite procurado tem valor igual a 0.
EXERCÍCIO RESOLVIDO (LIM. DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS)
Determine lim[नȷ�� log5 sen x:
Resolução
Vamos calcular primeiramente:
lim[नȷ��sen x = sen 
ȷ
2
 = 1
Observando a 8ª propriedade, temos que:
lim[नȷ�� log5 sen x = log5 ( lim[नȷ�� sen x) = log51 = 0
Portanto, lim[नȷ�� log5 sen x = 0.
EXERCÍCIO RESOLVIDO (LIM. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS)