Leis de Biot-Savart e Ampère - Fisica C Cap30 2016

Prévia do material em texto

Capítulo 30: Leis de BiotCapítulo 30: Leis de Biot--Savart & Ampère: Cálculo de campos magnéticos produzidos por correntes elétricasSavart & Ampère: Cálculo de campos magnéticos produzidos por correntes elétricas
Quem produz Campo Magnético: Correntes Elétricas , ou seja, 
GilmarGilmar Eugenio MarquesEugenio Marques
UniversidadeUniversidade Federal de São Carlos, Federal de São Carlos, DepartamentoDepartamento de de FísicaFísica, São Carlos, , São Carlos, BrasilBrasil
Lei de Biot-Savart para o Campo Magnético
dB


Quem produz Campo Magnético: Correntes Elétricas , ou seja, 
cargas em movimento.
Em outras palavras: Quem produz os campos elétrico e/ou magnético, são 
cargas, sejam estáticas, sejam em movimento.
p p g
d
 

d
Cargas Estáticas 
ou 
em movimento
Campo 
Elétrico E
 Campo Magnético
B

0
2( ) 4 | |
id rdB r
r



  
Corrente Elétrica Corrente Elétrica
7 T m ( )N lRelembrando: Lei de Coulomb: Campo Elétrico
2( ) | |
dqdE r k r  
70 10
4
T m
A


 [ ] ( )NB Tesla TA m 
( )B r
 
0
1
4
k 
2| |r
( , , )dq x y z dV Volumétrica
Tipos de Distribuições r
( , )dq x y dA Superficial
( )d q x d x Linear
Determinação do sentido de B, e linhas de campo, 
de um fio retilíneo infinito transportando c 
corrente elétrica:Regra da mão direita.
Jean-Baptiste Biot
Born: April 21, 1774 , Paris
Died: February 3, 1862 , Paris
André-Marie AmpèreFélix Savart André Marie Ampère
Born: January 20, 1775
Poleymieux, Lyon, France
Died: June 10, 1836 (aged 61)
Marseille, France
Félix Savart
Born: June,30, 1791
Died: March 16,1841
se e, ce
1804
Jean-Baptiste Biot
Born: April 21, 1774 , Paris
Died: February 3, 1862 , Paris
Fontes do Campo MagnéticoFontes do Campo Magnético
4. Solenóide4. Solenóide
Módulo
Direção e Sentido
Regra da Mão Direita
d 
Cálculo do campo de um fio infinito, transportado corrente i.
0 id s r  
Usando Lei de Biot-Savart    
( )sen sen sen     

ds0 3( ) 4 | |id s rdB r r  
0 ( ) i ds sendB R    0( ) i RdsdB R 
( )
2 2 cos
R
sen
R s
  
dB



2( ) 4
dB R
r  32 2 2( ) 4 ( )dB R R s 
2
0
33 2 2
sec ( ) ( ) 
4 (1 tan ( ))
iR R ddB R
R
  
  
0( ) cos 
4
idB R d
R
  
20
- 2
( ) cos 
4
iB R d
R


  
  0( )
2
iB R
R


i
0. inB d I 

  02 B r i   0( ) 2 iB r r
Lei de Ampére, onde é uma Amperiana: Uma linha fechada, que 
explora a simetria do problema. é a corrente total (líquida) que 
f h d

inI
cos R  2ds
atravessa este contorno fechado.
Sua forma generalizada é: 0. . 
S
Bd J n ds 

  
r

tan( )s R 
cos
r
 
ssen
r
 

2sec ( )ds d
R
 
1
22 2[ ]r R s 

r
B

Cálculo do campo de uma espira circular, transportado corrente i, num ponto do eixo.
0( ) ids rdB r   
   0
2
 cos( ) i dsdB z  
Ri
3( ) 4 | |
dB r
r  2( ) 4 r
3
2
0( ) iR ddB z    320 2 2( ) 4z
iRdB z
  
dds Rd
ds
3
22 2
( )
4 [ ]z
dB z
R z  322 20( ) 4 [ ]z R z 
3
2 20
2 2( ) 4z
iRB z d
  322 2 0( ) 4 [ ]z R z   
2
0 2i R  0 | |( )B  

12 2[ ]
3
2
0
2 2
 2( )
4 [ ]z
i RB z
R z
 
  32
0
2 2
| |( )
2 [ ]z
B z
R z
 
 
12 2 2
cos
[ ]
R
z R


1
22 2[ ]r R z 
2i R n   i
Comparação entre dipolos elétrico e magnético: Linhas de Campo 
Dipolo Elétrico Dipolo Magnético  Ímã
Uma espira
Múltiplas espiras: Solenóides
N
0 0B 

Sistema tem simetria perfeita: podemos usar Lei de Ampére:
Campo de um solenóide infinito, transportado corrente i.
Seja o número de linhas em uma unidade 
de comprimento, L . Logo, a densidade de linhas
(espiras) por unidade de comprimento é:
0N
0Nn  
iB

0 iI in h
0. inB d I 

  0 0 0cos(90) cos(270) iB h B B h B in h     
0 n L 
0 0iB n i
0in
Cálculo do campo no interior de um solenóide finito, : Perda de simetria  requer uso de integração.0z
Usar o campo de uma espira de raio R, espessura dz
e corrente elementar di, como elemento de integração:
22 R di  di i d
dz
R
0( )zdB z
z z

3
2
0
0 2 2
0
 2 ( ) ,
4 [ ( ) ]z
R didB z
R z z
 
  
22i R 
0=di in dz
0
3
2
0 0
0 2 2
2 ( )
z
z
R in dzB z   
z
z z dz0 L0z
0z z
0zCampo no centro da face 
21
3
2
0
2 2
2( )
4 [ ]z
i RB z
R z
 
 
3
20 2 2
00
( )
4 [ ( ) ]z R z z  
0
3
2
2
0 0
0 3 2
00
 ( )
2 {1 [( )/ ] }
z
z
R in dzB z
R z z R
  
0 0
0 1( ) 2z
n iB z sen 
0
1 2 2
0
sen
z R
  
0
2 2 2
0( )
L zsen
L z R
   

de um solenóide finito (z0)
00 { [( ) ] }
1
3
2
2 2
0 0
0 3 2
0
sec ( )
2 {1 tan }z
R in R dB z
R
  
 
0( )
0 0
0 1 2( ) [ ]2tot
n iB z sen sen   
Campo total, no interior do solenóide finito
Bd J n dS   
Cálculo do campo no interior de um Toróide Circular, transportando corrente i.
Sistema tem simetria perfeita: usar Lei de Ampère
0. . 
S
Bd J n dS 


Nas Amperianas interna e externa, as correntes 
atravessando os planos respectivos, são nulas logo,atravessando os planos respectivos, são nulas logo, 
nestas regiões, o campo magnético é zero. Na região 
interior ao toróide, teremos um campo que dependerá 
do raio, r:
( )2 2B d B r r n i a     
a
0 0. ( )2 2B d B r r n i a   


0 0( )
aB r n i
r

r
Campo no interior de um Cilíndro condutor
  r 
( )( ) r aB r j  
0( )J r j r

.B d 

  0 0( )2 2
a
B r r j rdr
r
    0 0( )B r j r a r b 
0 ( )2 0 
b
i j j r rdr  r b r b0 0
( )( ) b aB r j
r
  
a

0
( )2 0 
a
i j r rdr  r a 2 rd r dS
r b r
( ) 0B r 
r a
Outros exemplos como problemas:
ds
Fração de um anel ou espira.
Composição de espiras com a orientação de dipolos distintos:
Forças entre fios paralelos, transportado correntes paralelas (mesmo sentido).
B d I   
0
2
a
a
iB
d


Usar Lei de Ampère, para os fios infinitos
Fio a

0. inB d I 

  02 bb iB d
ba b aF i L B  
  
0 a
b b
iF i L  
Fio b


bB
bi
ai
baF

abF
 d
ba b a 2ba b
F i L
d
ab a bF i L B  
  
0
2
b
ab a
iF i L
d



ab baF F 
 
Ação e Reação

aB

Correntes 
abF

d
ai
anti-paralelas
B
bB

ai
baF
ab d
aB
aiAplicação como injector ou acelerador de um projetil

Lei de Ampere Generalizada: Modificação de Maxwell: Considere um capacitor abaixo 
Quando um capacitor está sendo carregado por uma ddp, , com carga q(t) , o 
Campo Elétrico, E(t) , entre as placas varia proporcional à mudança da carga, como 
V(t)
ds
 0εt t t  Aq( )=C V( )= E( )dd V(t)
0ε ε=
IC (t)IC (t)
E(t)0 0ε ε ( )t t t  Eq( )= E( )A=
Assim, a corrente e o campo mudam o fluxo 
0
+ -
-q(t)+q(t)
elétrico entre as placas, como 
   ε ε E Edq d d= =dt dt dt   dt dt dt Note que esse termo tem unidade de corrente
Então, Maxwell definiu Corrente de Deslocamento, ID(t), como: 
( )
ε .Ed tt
dt

DI ( )=
E a Lei de Amperegeneralizada pode ser escrita como:E a Lei de Ampere generalizada pode ser escrita como:
 μ μ μ ε      E0 C D 0 encl 0encl dB ds= I I = I dt
OBS: Campos Magnéticos são produzidos por ambos tipos de corrente: Corrente de
Condução ( Ic ) e Corrente de Deslocamento (ID), associada com variações temporais de
Campos ou Fluxos Elétricos.
Magnetismo Terrestre
Inclinação do 
eixo magntico
O Campo Magnético 
T t é dPólo magnético 
norte
(2001)
81° 18′ N 110° 48′ W
(2004)
82° 18′ N 113° 24′ W
Terrestre é usado nos 
processos de telecomuni-
cações, e sendo fundamen-
tal na determinação de
Pólo magnético 
sul
(1998)
64° 36′ S 138° 30′ E
(2004)
63° 30′ S 138° 0′ E
rotas de navegação de 
alguns animais (tartaru-
gas, albatrozes, bactérias,
e etc.) 
Cinturão de James Van Allen é uma região onde ocorrem vários fenômenos atmosféricos 
devido a concentrações de partículas no campo magnético terrestre, descobertas em 1958.
1958 por James Van Allen. 
Consiste de prótons altamente energéticos, que se originam pelo decaimento de nêutrons 
produzidos quando raios cósmicos vindos do espaço exterior colidem com átomos e moléculasproduzidos quando raios cósmicos vindos do espaço exterior colidem com átomos e moléculas 
da atmosfera terrestre. Parte dos nêutrons é ejetada para fora da atmosfera e se desintegra em 
prótons e elétrons ao atravessar esta região do cinturão. Essas partículas se movem em trajetórias 
espiraladas ao longo de linhas de força do campo magnético terrestre. Elétrons  Auroras Boreais
Auroras polaresAuroras polares
Fenômenos Magnéticos originários do vento solar ocorrem em 
diversos planetas do nosso sistema