1098528 02 Transferência de Calor Condução

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Transferência de Calor e Massa
CONDUÇÃO
Equação da Difusão de Calor
Condução
Lei de Fourier
Unidimensional em x
Porém, o fluxo de calor é uma grandeza vetorial. Em coordenadas retangulares
que também pode ser apresentada por 
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘𝛻𝑇 = −𝑘 𝑖
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑞" = 𝑖𝑞"𝑥 + 𝑗𝑞"𝑦 + 𝑘𝑞"𝑧 𝑞"𝑥 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞"𝑦 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑞"𝑧 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
Condução
Em coordenadas cilíndricas
E em coordenadas esféricas
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
𝑖 +
1
𝑟
𝜕𝑇
𝜕∅
𝑗 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑘
𝑞" = 𝑞"𝑟𝑖 + 𝑞"∅𝑗 + 𝑞"𝑧𝑘
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
𝑖 +
1
𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝜃
𝑗 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑇
𝜕∅
𝑘
𝑞" = 𝑞"𝑟𝑖 + 𝑞"𝜃𝑗 + 𝑞"∅𝑘
Condução
Propriedades Térmicas
• Condutividade Térmica k [ 𝑊 𝑚.𝐾] representa a capacidade de 
um corpo em transferir calor.
• 𝜌. 𝑐𝑝 (densidade x calor específico), conhecida por capacidade 
calorifica (volumétrica), representa a capacidade de um corpo 
em armazenar energia térmica.
 
𝐽
𝑘𝑔. 𝐾 × 
𝑘𝑔
𝑚3 =
 𝐽
𝑚3. 𝐾
• 𝛼 é a Difusividade térmica, que representa a razão entre a 
conditividade calorífica, é dada por:
𝛼 = 𝑘 𝜌. 𝑐𝑝
Condução
Equação da difusão de calor
Ee Energia que entra
Es Energia que sai
Eg Energia gerada
Ea Energia absorvida pelo corpo
 𝐸𝑒 − 𝐸𝑠 + 𝐸𝑔 = 𝐸𝑎
Como:
𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 − 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑞𝑦+𝑑𝑦 + 𝑞𝑧+𝑑𝑧 + 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
Condução
Temos:
Sabendo que:
O que resulta em:
𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 − 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 + 𝑞𝑦 +
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 + 𝑞𝑧 +
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧
+ 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑞𝑥 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
+ 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Condução
Ou:
Analogamente em Coordenadas Cilíndricas:
E em Coordenadas Esféricas:
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
 𝑞
𝑘
=
𝜌𝑐𝑝
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑡
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑘𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕∅
𝑘
𝜕𝑇
𝜕∅
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑘𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝜕
𝜕∅
𝑘
𝜕𝑇
𝜕∅
+
1
𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑇
𝜕𝜃
+ 𝑞
= 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡