1134349 07 Transferência de Calor Condução 2D Permanente

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Transferência de Calor e Massa
CONDUÇÃO
2D em Regime Permanente
Condução 2D
Condução 1D
• Simplificação
• Funciona para muitos casos
Multidimensional
• Simplificação 1D não é representativa
• 2D
• 3D
Soluções
• Analíticas
– Condições de Contorno
– Grande dificuldade
• Resultados previamente elaborados
– Fator de Forma – Resistência Térmica
• Numérico
– Elementos Finitos e Diferenças finitas
Condução 2D
Solução Analítica
• Condução 2D:
• Sem geração:
• Regime permanente:
Ɵ = Proporção do excesso de temperatura
𝜃 =
𝑇−𝑇1
𝑇2−𝑇1
𝜃 = 𝜃 𝑥, 𝑦
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
ሶ𝑞
𝑘
=
𝜌𝑐𝑝
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
= 0
𝜕2𝜃
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝜃
𝜕𝑦2
= 0
Condução 2D
Condições de Contorno
𝑇 0, 𝑦 = 𝑇1 𝜃 0, 𝑦 = 0
𝑇 𝑥, 0 = 𝑇1 𝜃 𝑥, 0 = 0
𝑇 L, 𝑦 = 𝑇1 𝜃 L, 𝑦 = 0
𝑇 𝑥,𝑊 = 𝑇2 𝜃 𝑥,𝑊 = 0
Método de Separação de Variáveis
𝜃 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 ⋅ 𝑌 𝑦
−
1
𝑋
𝜕2𝑋
𝜕𝑥2
=
1
𝑌
𝜕2𝑌
𝜕𝑦2
𝜕2𝑋
𝜕𝑥2
+ 𝜆2𝑋 = 0
𝜕2𝑌
𝜕𝑦2
− 𝜆2𝑌 = 0
𝜆2 > 0
𝜆2 ≠ 0
Condução 2D
Solução
A solução para as duas equações diferenciais é:
𝑋 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥
𝑌 = 𝐶3𝑒
−𝜆𝑦 + 𝐶4𝑒
𝜆𝑦
Como
𝜃 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 ⋅ 𝑌 𝑦 = (𝐶1𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥)(𝐶3𝑒
−𝜆𝑦 + 𝐶4𝑒
𝜆𝑦)
Aplicando as condições de Contorno:
𝜃 𝑥, 𝑦 =
2
𝜋
ා
𝑛=1
∞
(−1)𝑛+1+1
𝑛
∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
∙
𝑠𝑒𝑛ℎ(
𝑛𝜋𝑦
𝐿 )
cosh(
𝑛𝜋𝑊
𝐿 )
Condução 2D
Método do Fator de Forma - S
𝑞 = 𝑆𝑘∆𝑇1→2  𝑅𝑡 =
1
𝑆𝑘
Condução 2D
Diferenças Finitas
• Discretização
• Malha e Cálculo por Nó
ቚ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑚−
1
2
,𝑛
=
𝑇𝑚,𝑛−𝑇𝑚−1,𝑛
∆𝑥
ቚ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑚+
1
2
,𝑛
=
𝑇𝑚+1,𝑛−𝑇𝑚,𝑛
∆𝑥
ቚ
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 𝑚+
1
2
,𝑛
=
ቚ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑚+
1
2,𝑛
− ቚ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑚−
1
2,𝑛
∆𝑥
=
𝑇𝑚+1,𝑛−𝑇𝑚,𝑛
∆𝑥
−
𝑇𝑚,𝑛−𝑇𝑚−1,𝑛
∆𝑥
∆𝑥
ቚ
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 𝑚+
1
2
,𝑛
=
𝑇𝑚+1,𝑛+𝑇𝑚−1,𝑛−2𝑇𝑚,𝑛
∆𝑥2
da mesma forma  ቚ
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2 𝑚,𝑛+
1
2
=
𝑇𝑚,𝑛+1+𝑇𝑚,𝑛−1−2𝑇𝑚,𝑛
∆𝑦2
Condução 2D
Diferenças Finitas
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
=
𝑇𝑚+1,𝑛+𝑇𝑚−1,𝑛−2𝑇𝑚,𝑛
∆𝑥2
+
𝑇𝑚,𝑛+1+𝑇𝑚,𝑛−1−2𝑇𝑚,𝑛
∆𝑦2
= 0
Resultando em:
𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 4𝑇𝑚,𝑛 = 0
Condução 2D
Balanço de energia ሶ𝐸𝑖𝑛 + ሶ𝐸𝑜𝑢𝑡 + ሶ𝐸𝑔 = 0
𝑞 𝑚−1,𝑛 →(𝑚,𝑛) = −𝑘(∆𝑦 ∙ 1)
𝑇𝑚,𝑛−𝑇𝑚−1,𝑛
∆𝑥
𝑞 𝑚+1,𝑛 →(𝑚,𝑛) = −𝑘(∆𝑦 ∙ 1)
𝑇𝑚,𝑛−𝑇𝑚+1,𝑛
∆𝑥
𝑞 𝑚,𝑛−1 →(𝑚,𝑛) = −𝑘(∆𝑥 ∙ 1)
𝑇𝑚,𝑛−𝑇𝑚,𝑛−1
∆𝑦
𝑞 𝑚,𝑛+1 →(𝑚,𝑛) = −𝑘(∆𝑥 ∙ 1)
𝑇𝑚,𝑛−𝑇𝑚,𝑛+1
∆𝑦
𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 4𝑇𝑚,𝑛 = 0
Condução 2D
Equações Finitas para pontos nodais
Condução 2D
Equações Finitas para pontos nodais