2 Lista GAAL 2º2014

Prévia do material em texto

UFVJM - Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICA - Instituto de Cieˆncias Agra´rias
Bacharelado em Cieˆncias Agra´rias
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
2
a
LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Se poss´ıvel, encontre os valores de x, y e z tais que:

 1 2 32 5 3
1 0 8



 −40 16 x13 −5 y
5 −2 z

 =

 1 0 00 1 0
0 0 1


2. Considere as seguintes matrizes
A =
[
2 0
6 7
]
, B =
[
0 4
2 −8
]
, C =
[
−6 9 −7
7 −3 −2
]
, D =

 −6 4 01 1 4
−6 0 6

 , E =

 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1


Se poss´ıvel calcule:
(a) AB −BA
(b) 2C −D
(c) (2Dt − 3Et)t
(d) D2 −DE
3. Encontre todas as soluc¸o˜es para os sistemas lineares abaixo:
(a)
{
x+ 2y = 1
x+ 3y = 0
(b)
{
2x+ 3y = 1
4x+ 6y = 2
(c)
{
4x+ 5y = 1
12x+ 15y = 0
(d)


x+ y = 1
3x− y = 2
x− y = 0
(e)


2a+ 2b+ 3c = 1
a+ 2b+ c = 0
a− b+ c = 0
(f)


x+ 2y + 3z = 1
4x+ 7y + 7z = 3
2x+ 3y + z = 0
(g)


x+ 2y + z = 0
4x+ 10y + 10z = 0
x+ 3y + 4z = 0
(h)
{
2x+ 3y + z = 0
x+ y + z = 0
(i)
{
2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + x4 = 3
(j)


2x+ 2y + 2z + 3w = 3
x+ y + z + w = 1
3x+ 3y + 3z + 3w = 2
1
(k)


x+ z + 2w = 0
2x+ 3z + 3w = 0
y + 2w = 2
x+ 2z + w = 0
(l)


x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
x1 − x2 + x3 + x4 = 2
(m)


x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
(n)


3x+ 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x+ 3y − 5z = 0
−x+ y + z = 1
4. Encontre todos os valores de a para os quais o sistema linear resultante tenha (a) nenhuma soluc¸a˜o, (b)
uma u´nica soluc¸a˜o e (c) infinitas soluc¸o˜es.
(a)


x+ y − z = 2
x+ 2y + z = 3
x+ y + (a2 − 5)z = a
(b)


x+ y + z = 2
2x+ 3y + 2z = 5
2x+ 3y + (a2 − 1)z = a+ 1′
5. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares


x+ y + 3z = b1
2x+ 2y − z = b2
4x+ 4y + 5z = b3
e calcule os valores de b1, b2 e b3 para os quais o sistema e´ poss´ıvel e determinado.
6. Foram estudados treˆs tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se que:
• O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
• O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B, e C.
• O alimento III tem 3 unidade de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e na˜o conte´m vitamina C.
Se sa˜o necessa´rias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C,
(a) Encontre todas as poss´ıveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de
vitaminas desejada.
2
(b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 centavos, existe uma soluc¸a˜o
custando exatamente R$1, 00?
7. O me´todo de Gauss para resoluc¸a˜o de sistemas e´ um dos mais adotados quando se faz o uso do computador,
devido ao menor nu´mero de operac¸o˜es que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema
por linha-equivaleˆncia a uma matriz que so´ difere da matriz linha reduzida a forma escada na condic¸a˜o b)
que passa a ser b′) Cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha, tem todos os
elementos abaixo desta linha iguais a zero. As outras condic¸o˜es a), c) e d) sa˜o ideˆnticas.Uma vez reduzida
a matriz ampliada a esta forma, a soluc¸a˜o final do sistema e´ obtida por substituic¸a˜o.
Exemplo: {
2x1 + x2 = 5
x1 − 3x2 = 6
[
2 1 5
1 −3 6
]
→

0
1
2
5
2
0 −
7
2
7
2

→

1 12 52
0 1 −1


a u´ltima matriz corresponde ao sistema: {
x1 +
1
2
x2 =
5
2
x2 = −1
Por substituic¸a˜o, x1 −
1
2
=
5
2
, ou seja, x1 = 2.
Resolva pelo me´todo de Gauss os exerc´ıcios l), m) e n) da questa˜o 3 e compare as respostas.
8. Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e n inco´gnitas aquele sistema cujos termos independentes,
bi sa˜o todos nulos.
(a) Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o. Qual e´ ela?
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneo

2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial (x = y = z = 0).
9. Uma industria produz treˆs produtos X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura
de cada Kg de X sa˜o utilizados 2 gramas de insumo A e uma grama de insumo B; para cada Kg de Y , 1
grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada Kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O
prec¸o da venda do Kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$3, 00, R$2, 00 e R$4, 00, respectivamente.
Com a venda de toda produc¸a˜o de X, Y e Z, manufaturada com 1,9 Kg de A e 2,4 Kg de B, essa industria
arrecadou R$2900, 00. Determine quantos Kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
3
10. Um modelo simples para a estimativa da distribuic¸a˜o de temperatura em uma chapa quadrada e´ obtido a
partir de um sistema linear de equac¸o˜es. Para construir o sistema linear apropriado, usamos as seguintes
informac¸o˜es: A chapa quadrada esta´ perfeitamente isolada em ambas as faces, sendo que o u´nico fluxo de
calor percorre a pro´pria placa e as quatro laterais sa˜o mantidas a va´rias temperaturas. Para estimar a
temperatura no ponto central da placa, usamos a regra de que ela e´ igual a` me´dia das temperaturas de
seus quatro pontos vizinhos nas direc¸o˜es da bu´ssola, ou seja, oeste, norte, leste e sul.
Estime as temperaturas Ti, i = 1, 2, 3 e 4 em quatro pontos interiores equidistantes da chapa mostrada na
figura abaixo.
60◦ 40◦
100◦
0◦
11. (Interpolac¸a˜o Polinomial) Suponha que sejam dados n pontos distintos (x1, y1), (x2, y2),. . . , (xn, yn). Po-
demos encontrar um polinoˆmio de grau n − 1 ou menor que “interpole” estes dados, ou seja, passe pelos
pontos? Dessa maneira, o polinoˆmio que procuramos tem a seguinte forma
y = an−1x
n−1 + an−2x
n−2 + · · ·+ a1x+ a0.
Os n pontos podem ser utilizados para se obter um sistema linear n×ncujas inco´gnitas sa˜o a0, a1, . . . , an−1.
Pode ser mostrado que este sistema linear tem uma u´nica soluc¸a˜o. Assim, ha´ um u´nico polinoˆmio interpo-
lado.
Consideremos em detalhes o caso em que n = 3. Fornecemos os pontos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), e procu-
ramos o polinoˆmio
y = a2x
2 + a1x+ a0.
Substituindo os pontos dados na equac¸a˜o acima, obtemos o sistema linear

a2x
2
1
+ a1x1 + a0 = y1
a2x
2
2
+ a1x2 + a0 = y2
a2x
2
3
+ a1x3 + a0 = y3.
Encontre o polinoˆmio quadra´tico que interpola os pontos (1, 3), (2, 4) e (3, 7).
12. Considere o sistema {
x+ 6y − 8z = 1
2x+ 5y − 4z = 0.
Note que podemos escreve-lo na forma matricial
(∗)
[
1 6 −8
2 6 −4
] xy
z

 = [ 0
1
]
4
(a) Verifique que a matriz X1 =

 xy
z

 =

 −11
3
0

 e´ uma soluc¸a˜o para o sistema.
(b) Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-soluc¸a˜o” e´ da forma .
X =

 xy
z

 = λ

 −42
1

+

 −11
3
0


onde λ ∈ R.
(c) Verifique
λ

 −42
1

 = λ

 −4λ2λ
λ


e´ a soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado ao sistema (∗),
(∗∗)
[
1 6 −8
2 6 −4
] xy
z

 = [ 0
0
]
.
(d) Conclua, dos itens a), b), e c), que o conjunto-soluc¸a˜o do sistema (∗) e´ o conjunto-soluc¸a˜o do sistema
(∗∗), somando-se a uma soluc¸a˜o particular do sistema (∗).
13. O ac¸o e´ uma liga de metal, um metal criado atrave´s do derretimento de va´rios materiais juntos. Atualmente
ha´ mais de 2.500 tipos de ac¸o no mundo todo. Todos eles consistem principalmente de ferro-gusa, que por
sua vez consiste de elemento de ferro e mais de treˆs por cento de carbono. O ferro-gusa e´ extra´ıdo de
mine´rio de ferro em exploso˜es nas fornalhas. Eleenta˜o e´ processado em uma sideru´rgica para criar ac¸o
com um conteu´do de carbono de menos de dois por cento. Esta proporc¸a˜o baixa faz o material ser mais
macio permitindo o fa´cil processamento.
O desenvolvimento de explosa˜o na fornalha no se´culo XIV tornou isso poss´ıvel: o ferro podia ser esquentado
ate´ permanecer em forma l´ıquida. Mas a tecnologia amadureceu gradualmente: enquanto oito toneladas de
carva˜o ainda eram necessa´rias para se obter duas toneladas de ferro-gusa no se´culo XVII, no´s agora so´
precisamos de cerca de metade de uma tonelada de coque para produzir 10.000 toneladas de ferro-gusa por
dia.
Enquanto buscava um material robusto para fazer armas, Henry Bessemer desenvolveu um novo processo
no meio do se´culo XIX que continuaria sendo utilizado por um longo per´ıodo ainda por vir. O processo
Bessemer facilita a produc¸a˜o de ac¸o empregando a oxidac¸a˜o. Ate´ enta˜o, trabalhadores tinham que mexer
o ac¸o derretido para separar a sobra de materiais, um processo que envolvia um grande gasto de energia.
Agora isso poderia ser feito por uma ma´quina. O processo Siemens-Martin de 1864, que tornou poss´ıvel
derreter metal escovado em ac¸o, foi mais um marco na produc¸a˜o de ac¸o. E a indu´stria de ac¸o continuou se
desenvolvendo: processos ainda melhores significavam que uma maior quantidade de ac¸o de alta qualidade
poderia ser produzida com menos trabalho manual. Em 1850, cada sideru´rgica estava produzindo oito
toneladas de ferro pig por ano. Vinte anos mais tarde elas estavam produzindo dez vezes mais do que isso.
Em 1912, cientistas da sideru´rgica de Krupp na Alemanha, acidentalmente descobriram como fabricar ac¸o
a` prova de ferrugem. O chamado V2A ou ac¸o inoxida´vel e´ composto de ferro, cromo e n´ıquel e e´ usado
em tecnologia me´dica, por exemplo. Hoje o ac¸o representa um material de alta tecnologia. Por exemplo,
o ac¸o de alta poteˆncia e ductilidade (HDS em ingleˆs) e´ capaz de fazer zonas de amasso inteligente: a
ide´ia e´ que o material, que deforma facilmente, se torne mais duro depois de uma colisa˜o por meios de
5
transformac¸o˜es estruturais, oferecendo mais protec¸a˜o. Carrocerias de ve´ıculos feitas com este tipo de ac¸o
deformado na˜o so´ aumentam a seguranc¸a como tambe´m contribuem com a reduc¸a˜o do consumo de energia
por serem especialmente mais claras.
Dispon´ıvel em:
http://discoverybrasil.uol.com.br/guiatecnologia/materiaisbasicos/aco/index.shtm
O Ac¸o fino e´ uma liga de ferro, cromo e n´ıquel. Um exemplo e´ o ac¸o V2A, que conte´m 74% de ferro, 18%
de cromo e 8% de n´ıquel. Na tabela abaixo, teˆm-se ligas I, II, III, IV, as quais devemos misturar para
obter uma tonelada de ac¸o V2A. Quantos quilos de cada uma dessas ligas devemos tomar?
I II III IV[ ]Ferro 70% 72% 80% 85%
Cromo 22% 20% 10% 12%
Nı´quel 8% 8% 10% 3%
.
14. Sabe-se que a alimentac¸a˜o dia´ria equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A,
180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de
vitamina E.
Com o objetivo de descobrie como devera´ ser uma refeic¸a˜o equilibrada, foram estudados cinco alimentos.
Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que:
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2
unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
ii) O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 0 unidades de vitamina C, 1
unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E.
iii) O alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidades de vitamina C,
1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
iv) O alimento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2
unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina E.
v O alimento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 9
unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I,II,III,IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa
alimentac¸a˜o seja equilibrada?
15. Encontre o determinante das seguintes matrizes usando qualquer me´todo.
(a)
∣∣∣∣∣∣
−5 1 4
3 0 2
1 −2 2
∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 −2 −3 −4
4 3 2 1
1 2 3 4
−4 −3 −2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
6
(c)
∣∣∣∣ 5 b− 3b− 2 −3
∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣
3 −4 a
a2 1 2
2 a− 1 4
∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 0 0 −3
0 0 0 −4 0
0 0 −1 0 0
0 2 0 0 0
5 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
16. Encontre a inversa de A =
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
2 5 3
1 0 8
∣∣∣∣∣∣
17. Resolva usando a regra de Cramer o seguinte sistema:


4x+ y + z + w = 6
3x+ 7y − z + w = 1
7x+ 3y − 5z + 8w = −3
x+ y + z + 2w = 3
7