Biblioteca 1230014

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1. Função polinomial do 1º grau
A remuneração de um vendedor de uma loja de camisas é feita em duas parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas na semana.
Notamos que a remuneração semanal, R(x), do vendedor é calculada em função do total de vendas (x) na semana e pode ser escrita do seguinte modo:
R(x) = 500 + 0,12x
Chamamos função polinomial do 1º grau a função f:que associa a cada número real x, o número real ax + b, com a ≠ 0.
	
Função polinomial do 1º grau f:, sendo f(x) = ax + b com a, b e a ≠ 0.
Exemplos:
f(x) = 2x + 6, onde a = 2 e b = 6
f(x) = – 3x + onde a = –3 e b = 
f(x) = 2x, onde a = 2 e b = 0
Função crescente
	Se para quaisquer elementos x1 e x2 de um subconjunto M do domínio de uma função , com x1 x2, tivermos f(x1) f(x2), então diremos que é uma função crescente em M.
	No gráfico:
Função decrescente
Se para quaisquer elementos x1 e x2 de um subconjunto M do domínio de uma função , com x1 x2, tivermos f(x1) f(x2), então diremos que é uma função decrescente em M.
	No gráfico:
2. Características importantes da função do 1º grau
Conjunto domínio: o domínio da função do 1º grau é o conjunto dos números reais: D(f) = . 
Conjunto imagem: o conjunto imagem da função: do 1º grau é o conjunto dos números reais: Im(f) = .
Coeficiente angular: o coeficiente é denominado coeficiente angular,
Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado coeficiente linear,
A função do primeiro grau é crescente em quando a 0 e decrescente em quando a 0
Exemplos:
a) Para a função f(x) = 2x + 4:
– o coeficiente angular a é o número 2 
– o coeficiente linear b é o número 4 
Como a 0, a função é crescente em .
b) Para a função f(x) = – x +
– o coeficiente angular é o número – 
– o coeficiente linear é o número
Como a , a função é crescente em .
Casos particulares
Função linear: a função polinomial do 1º grau em que o termo b é nulo (b = 0) passa a ser chamada de função linear e tem a forma: f(x) = ax.
Exemplos:
y = 3x		• y =– x		• y = x	 • y = 		
Função identidade: a função polinomial do 1º grau em que o termo b é nulo (b = 0) e a = 1 passa a ser chamada de função identidade e tem a forma f(x) = x.
Caso o termo a seja nulo (a = 0) na expressão f(x) = ax + b e b , a função não é função do 1º grau, passa a ser chamada função constante e tem a forma f(x) = b.Exemplos:
f(x) = 5	• f(x) = 		• y = 0	 • y = 		
EXERCÍCIOS
Resolvidos 
Considerando a função f(x) = 3x + 1, determinar: 
os coeficientes angular e linear
se a função é crescente ou decrescente
c) f(2) e f(–3)
f(x) = ax + b
f(x) =3x +1
coeficiente angular = 3 
f(x) = ax + b
f(x) = 3x + 1
b) A função f(x) = 3x + 1 é crescente porque a 0.
c) f(x) = 3x + 1
	f(2) = 3 . 2 +1 f(2) = 7
f(–3) = 3 . (–3) + 1 f(–3) = –8
Conhecendo a função f(x) = x, determinar: 
coeficientes angular e linear
se a função é crescente ou decrescente 
f(–1) e f(2) 
x para que se tenha f(x) = 20
	f(x) = ax + b
 f(x) = x
	f(x) = ax + b
f(x) = x + 0
a função f(x) = x é decrescente porque a 0. 
f(x) = x
f(–1) = . (–1) f(–1) =
f(2) = . 2 f(2) =–5 
f(x) = x e f(x) = 20
 x = 20 = –8
Determinar a lei da função que é do tipo f(x) = ax + b e calcular f(2), sabendo que f(1) = 2 e f(3) = 8.
Para determinar a função vamos considerar que
Se f(1) = 2 e f(x) = ax + b, então x = 1 e ax + b = 2 
Logo: a + b = 2	I
Se f(3) = 8 e f(x:) = ax + b, então: x = 3 e ax + b = 8 
Logo 3a + b = 8	II 
Resolvendo o sistema, temos:
I 	 a + b = 2
II 	 3a + b = 8
Da equação temos l ,temos: b = 2 – a
Substituindo na equação II : 3a + 2 – a = 8 2a = 6 a = 3 
Substituindo a = 3 na equação b = 2 – a 
Portanto, a função é dada por f(x) = 3x –1 
Para determinar f(2), fazemos
F(x) = 3x –1 
f(2) = 3 . 2 –1 f(2) = 5
Uma função é do 1º grau. As imagens de (–2) e de zero são 11 e 3, respectivamente. Qual é a lei de ?
	Determinando a função f(x) = ax + b:
Se f(–2) = 11, então x = –2 e –2ª + b = 11
Se f(0) = 3, então x = 0 e b = 3 0
	Resolvendo o sistema:
b = 3
–2a + b = 11
Temos a = –4
Logo f(x) = –4x + 3 
Propostos
Determine os coeficientes angular e linear, classifique a função em crescente ou decrescente e calcule f(2), f((–4) e f(0) das seguintes funções:
f(x) = x + 3
f(x) = 2 + 4x
f(x) =x	
Determine a lei f(x) = ax + b, da função nos seguintes casos:
f(3) = 5 e f(–1) = –7 	f(x) = 3x – 4
f(0) = 5 e f(–4) = –3 	f(x) = 2x + 5
Sabendo que a lei da função é f(x) = ax + b, determine f(2) nos seguintes casos:
f(1) = –1 e f(–2) = –4 	f(2) = 0
f(–2) = 11 e f(4) = –13 	f(2) = –5
(Mack-SP) A função é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(–1) = 3 e f(1) = 1. Qual o valor de f(3)? 	f(3) = –1
(Fuvest-SP) As funções f e g são dadas por':
f(x) = x –1 e g(x) = x + a.
Sabe-se que f(0) – g(0) = .
Determine f(3) –3 g.4
Raiz ou zero da função polinomial do 1 Q grau
Raiz ou zero de uma função é um valor do seu domínio cuja imagem é zero. 
Sendo y = f(x) = ax + b, com a ≠ 0, temos:
real x, o número real ax + b, com a ≠ 0.
	
x é zero ou raiz de f(x) = 0
Assim, ax + b = 0, que apresenta uma única solução, nos leva a x = =para a ≠ 0. Então a função do 1 Q grau tem uma só raiz.
Exemplo: 
Seja a função y = 2x –4.
Para obtermos sua raiz ou zero, faremos y = 0.
2x –4 = 0 2x = 4 x =2
3. Gráfico de uma função do 1º grau
Representação gráfica de uma função do 1º grau
A representação gráfica de uma função do 1º grau, y = ax + b (a ≠ 0), é uma reta não-paralela aos eixos Ox ou Oy, sendo raiz ou zero da função a abscissa do ponto onde a reta intercepta o eixo Ox.
Construção
A construção do gráfico de uma função do 1º grau, y = ax + b, pode ser feita:	
Atribuindo-se alguns valores reais a x e obtendo-se valores de y, correspondentes, organizando-os em uma tabela.
Localizando no plano cartesiano os pontos (x, y) e traçando a reta que passa por eles. 
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função f: definida por y = 2x – 4.
1º passo:
	x = – 2 y = 2 . (– 2) – 4 = – 4 – 4 = – 8
x = – 1 y = 2 . (– 21) – 4 = –2 – 4 = – 6
x = 0 y = 2 . (0) – 4 = 0 – 4 = – 4
x = 1 y = 2 . (1) – 4 = 2 – 4 = – 2
x = 2 y = 2 . (2) – 4 = 4 – 4 = 0
x = 3 y = 2 . (3) – 4 = 6 – 4 = 2
	
	Pares ordenados
(– 2, –8)
(–1, – 6)
(0, – 4)
(1, – 2)
(2, 0)
(3,2)
2º passo:
Como o gráfico da função do 1º grau é uma reta, observamos que sua construção pode ser feita com base em apenas dois pontos.
Note que o ponto em que a reta intercepta o eixo x tem o valor de x igual a 2, que é a raiz da função ou zero da função.	
Casos particulares
	Função Identidade
f(x) = x
	Oposta da Função Identidade 
f(x) = – x
O gráfico de uma função constante também é uma reta, mas uma reta horizontal, isto é, uma reta paralela ao eixo Ox.
EXERCÍCIOS
Resolvidos 
Sendo f: , esboçar o gráfico das funções do 1º grau, determinar suas raízes e classificar a função em crescente/decrescente.
f(x) = – 3x + 1
f(x) = 2x 
f(x) = – 3x + 1
Atribuímos dois valores para x: 
	x = 0 y = –3. (0) + 1 = 0 + 1 = 1 
x = 1 y = –3. (1) + 1 = –3 + 1 = –2
raiz x = 
	
	Pares ordenados
(0, 1)
(1, –2)
f(x) = 2x
Atribuímos dois valores para x: 
	x = 0 y = 2 (0) = 0 
x = 1 y = 2 (1) = 2 
raiz x = = 0
	
	Pares ordenados
(0, 0)
(1, 2)
Determinar a lei que define a função representada no gráfico abaixo:
Sabendo que essa função é do 1º grau e sua forma é y = ax + b, consideramos os pontos assinalados no gráfico e montamos um sistema de equações. 
Para o ponto (0,3), temos a . 0 + b = 3, isto é, b = 3.
Para o ponto (4, O), temos 4a + b = 0.
b = 3 
4a + b = 0
Substituindo b = 3 em 4a + b = 0, vem:
4ª + 3 = 0 4a = – 3 a = 		Logo, y = x + 3
(Fuvest-SP) Esboçar o gráfico da curva y = (x + 3)2 – (x – 2)2,
y = (x + 3)2 – (x – 2)2,
y = x2 + 6x + 9 – (x2 – 4x + 4) 
y = 10x + 5
	para 
	x = 0 = 5
y = 0 =Propostos 
Determine a raiz ou zero das seguintes funções do 1º grau:
y = – 3x – 6 – 2
y= – 5x +15 3
y = 7x 	 0
y = – x – 1 – 1
y = x + 1 
y = x + 
Sendo f: , esboce o gráfico das seguintes funções do 1º grau:
y = 2x + 2
y = – 3x + 6 
y = 3x
y = – 4x
y = x + 
y = – x + 
y = – x
y = 0,1x – 1
Determine a lei que define a função representada em cada um dos seguintes gráficos:
y =x + 2 y =x –1 
y = 3x + 3 y =x –1 
Esboce o gráfico das funções: 
y = (x + 1)2 – (x – 2)2
y = (x – 1)2 – (x + 1)2
4. Estudo dos sinais da função do 1º grau
O estudo dos sinais da função do 1º grau, y = ax + b (a ≠ 0), consiste em saber para valores de x:	
y 0 (positivo)
y = 0 (nulo) 
y 0 (negativo)
	1º caso 
	Função crescente
Exemplo:
Vamos estudar os sinais da função y = 2x – 4
Para x = 0: y = 2 . 0 – 4.
Para y = 0: 2x – 4 = 0 x = 2. 
No gráfico: 
Esquematizando: 
Notamos que:
Para x 2, temos y 0 
Para x = 2, temos y = 0 
Para x 2, temos y 0
	a 0 
	Função crescente
A função crescente assume:
valores positivos para todo x – 
valor zero para x = – 
valores negativos para todo x – 
	2º caso 
	Função decrescente
Exemplo:
Vamos estudar os sinais da função y = –3x + 9
Para x = 0: y = 3 . 0 + 9 = 9.
Para y = 0: –3x + 9 = 0 x = 3. 
No gráfico: 
Esquematizando: 
Portanto:
Para x 3 temos y 0 
Para x = 3, temos y = 0 
Para x 3, temos y 0
	a 0 
	Função decrescente
A função decrescente assume:
valores positivos para todo x – 
valor zero para x = – 
valores negativos para todo x – 
EXERCÍCIOS
Propostos 
Faça o estudo dos sinais das seguintes funções:
y = 2x – 8	
y= – 4x + 12
y = x + 1
y = – x + 3
Faça o estudo dos sinais das seguintes funções: 
y = 4 – 4x
y = x + 1 
y = – x – 4
Faça o estudo dos sinais das seguintes funções: 
	y = x		
y = – x 
	y 0 para x 0 
y = 0 para x = 0
y 0 para x 0
	y 0 para x0 
y = 0 para x = 0
y 0 para x 0
	
	
Determine a área do triângulo limitado pela reta
y = 4x + 1 e pelos eixos Ox e Oy.
A = = 0,125 (unidades)2
Função polinomial do 1º grau
Ficha-resumo
Definição
	
f:, sendo f(x) = ax + b com a, b e a ≠ 0.
a é o coeficiente angular,
b é o coeficiente linear.
Zero da função
f(x) = ax + b se anula para x = 
Sinal da função
EXERCÍCIOS
Complementares 
1. Determine a raiz das seguintes funções do 1º grau:
a) y = 4x – 8 			x = 2
b) y = – 7x + 21 		x = 3
d) y = – x 		x = 0
2. Sendo f:, esboce o gráfico das seguintes funções:
a) y = 3x – 9
b) y = – 5x + 10
c) y = – 2x
3. Dada a função f(x) = 2x – k, determine o valor de k, de modo que f(1) = 4. 	k = – 2
4. Sendo a função f(x) = ax + b com a, b a ≠ 0, determine os valores de a e b de modo que f(3) = 4 e f(–1) = 2. 		
5. Determine a lei que define a função representada em cada um dos seguintes gráficos:
6. (UFPA) O gráfico de uma função é a reta que corta os eixos coordenados em x = 2 e y = – 3. O valor de f[f-1 (0)] é:
7. (MED-Itajubá) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões?
a) y = 2x – 3	
b) y = –2x + 3
c) y = 1,5x + 3
d) y = –1,5x + 3
e) 3y = –2x
8. (FCC) A figura representa a função y = ax + b. O valor da função no ponto do gráfico de abscissa 
a) 2,8 
b) 2,6 
c) 2,5
d) 1,8 
e) 1,7