CORRELAÇÃO DE UM MODELO CONSTITUTIVO ELASTO-VISCOPLÁSTICO PARA POLÍMEROS COM AMOLECIMENTO NO REGIME PLÁSTICO

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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
CORRELAÇÃO DE UM MODELO CONSTITUTIVO ELASTO-VISCOPLÁSTICO 
PARA POLÍMEROS COM AMOLECIMENTO NO REGIME PLÁSTICO 
 
Alysson L. Vieira(1) (avieira32@yahoo.com.br),
 
Márcio E. Silveira(2) (msilveira@ufsj.edu.br), Janes 
Landre Jr. (1) (janes@pucminas.br), Thiago R. Azevedo (rochatra@gmail.com) (2) 
 
(1) PUC-MG; Departamento de Engenharia Mecânica 
(2) UFSJ; Departamento de Engenharia Mecânica 
 
RESUMO: Os polímeros vêm aumentando sua participação no mercado a cada ano, pois são 
materiais mais leves e de menor custo que os metais e podem adquirir formas complexas. Com o 
avanço da engenharia de materiais, propriedades mecânicas tais como resistência a ruptura, fadiga e 
rigidez vêem sendo melhoradas, possibilitando a sua utilização em componentes estruturais, 
principalmente na indústria automotiva. O uso de simulações numéricas via método de elementos 
finitos é uma importante ferramenta neste setor em fases iniciais de projeto, reduzindo custos, 
diminuindo o tempo de projeto e aumentando a confiabilidade do produto final. O uso de modelos 
constitutivos que representem adequadamente o comportamento dos polímeros é essencial para uma 
boa correlação. Esse trabalho tem por objetivo, correlacionar um modelo constitutivo elasto-
viscoplástico, para simular polímeros termoplásticos considerando o amolecimento após o 
escoamento. Os resultados alcançados com o modelo numérico foram comparados com resultados de 
ensaios de tração em diferentes taxas, obtendo uma correlação bastante satisfatória. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Polímeros, Modelo constitutivo, ensaios tração, método dos elementos 
finitos. 
 
CORRELATION OF AN ELASTO-VISCOPLASTIC CONTITUTIVE MODEL FOR 
POLYMERS WITH SOFTENING AT PLASTIC STAGE 
 
ABSTRACT: The polymers have increased their market share every year because they are lighter 
materials and less expensive than metal, and can acquire complex shapes. With the advancement of 
engineering materials, mechanical properties such as resistance to fracture, fatigue and stiffness see 
being improved, allowing its use in structural components, mainly in the automotive industry. The use 
of numerical simulations via finite element method is an important tool in this sector in the early 
stages of design, reducing costs and time and increasing the reliability of the final product. The use of 
more adequately constitutive models to represent the behavior of the polymers is essential for a good 
correlation. This work aims to correlate an elasto-viscoplastic constitutive model to simulate 
thermoplastic polymers considering softening after the yield. The results obtained with the numerical 
model were compared with results of tensile tests at different rates, obtaining a very satisfactory 
correlation. 
 
KEYWORDS: Polymers, Constitutive Models, Tensile Test, Finite Elements Methods 
 
 
 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Polímeros são macromoléculas, formadas a partir dos monômeros, que são unidades 
moleculares menores. Os polímeros podem ser divididos em naturais (derivados de plantas e 
animais, como a madeira, a borracha, a lã, o couro e a seda) e os sintéticos (fabricados a partir 
do petróleo, gás natural e do carvão mineral). Com o advento da tecnologia, da oferta de 
matéria prima (petróleo) e do baixo custo, os polímeros sintéticos dominam o mercado 
mundial, atuando nas mais variadas aplicações, desde indústrias alimentícia e de brinquedos 
até setores de alta tecnologia, tais como a automotiva e a aeroespacial. Sua fabricação 
consome 5% do petróleo produzido comercialmente no mundo (PIVA et al, 2004). 
A resposta à aplicação de forças mecânicas de um polímero em temperaturas elevadas está 
relacionada com a sua estrutura molecular dominante. Dessa forma, os polímeros podem ser 
classificados em 2 categorias (CALLISTER Jr., 2008): 
Termoplásticos: Materiais que amolecem quando são aquecidos e endurecem quando 
resfriados. Com esse processo totalmente reversível e repetitivo, tem fácil reciclagem, o que 
facilita a sua aplicação. Exemplos: polietileno (PE), polipropileno (PP), politereftalato de 
etileno (PET), policarbonato (PC), poliestireno (PS), policloreto de vinila (PVC), 
polimetilmetacrilato (PMMA). 
Termofixos: Mais duros e mais resistentes que os termoplásticos, são permanentemente 
duros em sua formação e não amolecem com o aquecimento. Uma vez prontos, não mais se 
fundem. O aquecimento do polímero acabado promove decomposição do material antes de 
sua fusão, tornando sua reciclagem complicada. Exemplos: baquelite, poliéster, epoxi. 
Ainda existem os elastômeros, que não são fusíveis, o que torna sua reciclagem 
complicada, são de alta elasticidade. Exemplo: borracha natural, neopreno. 
Na indústria automobilística, os polímeros de engenharia (conhecidos apenas como 
plásticos) vêm aumentando a sua participação em relação aos metais, pois são materiais mais 
leves, o que ajuda no reduzir o consumo de combustível e conseqüentemente, menor emissão 
de poluentes. Além disso, Podem ser obtidos em formas mais complexas que os metais, tem 
menor custo e é imune à corrosão. 
A introdução do plástico na indústria automobilística alavancou na década de 70, devido à 
crise do petróleo, aonde se viu a necessidade de se construir carros mais leves, para a 
diminuição do consumo. Apesar de um grande número de materiais poliméricos, há um seleto 
grupo conhecido como polímeros de engenharia, que cerca de 70% do consumo total. Hoje os 
plásticos representam cerca de 10% do peso total do veículo. Em volume, no entanto, a 
presença dos plásticos nos veículos atuais é bastante significativa, sendo a indústria 
automotiva o quarto maior consumidor de plásticos (DORNELES FILHO et al, 2006). 
 
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Além da indústria automobilística, os polímeros têm sido aplicados em diversas outras 
indústrias, como a aviação, eletroeletrônica, informática, saúde, construção civil e alimentícia. 
A tendência da indústria automobilística, como vem demonstrando nas últimas décadas, é a 
diminuição do uso de aços, com conseqüente aumento dos plásticos e materiais não-ferrosos 
(alumínio, cobre, zinco e manganês), conforme pode-se observar na Tabela 1. 
 
TABELA 1. Participação dos materiais em veículos (FONTANA, 2005) 
Material Veículo ano 1978 Veículo ano 2001 
Metais Ferrosos (aço e Ferro) 73.8% 69.6% 
Metais Não-Ferrosos 5.5% 11% 
Plásticos 5.0% 7.6% 
 
A Tabela 2 apresenta a utilização dos materiais poliméricos dentro de um veículo 
automotivo médio e os componentes em que estão sendo utilizados (FONTANA, 2005). 
Pode-se observar que o polipropileno (PP) é o polímero mais utilizado em um automóvel, 
representando cerca de um terço do total. 
 
TABELA 2. Aplicação dos polímeros na indústria automobilística (FONTANA, 2005) 
Material % Aplicação 
PP e compostos 35.0 Pára-choque, painel de instrumento, apóia-braço, carcaçade 
farol, revestimentos internos, filtro de ar, caixa de ar, caixa de 
bateria 
Fibras 16.0 Tecidos, tapetes, cinto de segurança 
PVC 13.5 Revestimentos internos laminados, chicotes e cabos elétricos, 
frisos, espumas de bancos, volantes espumados, apóia-cabeça 
PUR 12.5 
ABS 6.5 Grade, console, componentes do painel, corpo das lanternas 
PA 5.5 Calota, cinzeiro, presilhas, caixa de fusíveis, tubo de 
combustível, radiador 
PE 2.0 Reservatório de água e partida a frio, conectores 
ACRÍLICO 1.5 Lanternas, quadro de instrumentos 
PBT, ABS+PC, 
Noryl 
1.5 Grade do radiador 
POM 1.0 Indicador do nível de combustível, maçanetas, presilhas, 
pequenas peças mecânicas 
Diversos 5.0 - 
 
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Atualmente o uso de ferramentas computacionais, baseadas no Método dos Elementos 
Finitos, tem um importante papel na redução de tempo de projeto e principalmente na redução 
de custos de protótipos físicos e ensaios experimentais. Para uma melhor utilização dessa 
ferramenta, se faz necessário a correta entrada de dados, como carregamentos, restrições e 
propriedades geométricas e de materiais. Geralmente, na simulação de componentes 
mecânicos feitos em polímeros, a simulação é feita utilizando modelos constitutivos 
desenvolvidos para metais, onde as propriedades elásticas são introduzidas através de 
constantes lineares, e a propriedades plásticas e viscosas através de curvas (modelo Piecewise 
Linear) ou constantes de encruamento e de taxas de deformação (modelo de Johnson-Cook e 
Zerilli-Armstrong) (HUH et al, 2003). Estes modelos possuem formulação adequada para 
tratar com eventos sujeitos a grandes deformações, plasticidade, variações de temperatura e 
taxa de deformação, (LEE et al, 2006), (DAIYAN et al, 2009). Assim, o objetivo deste 
trabalho foi correlacionar um modelo constitutivo elasto-viscoplástico que represente melhor 
o comportamento físico dos polímeros, em especial, do polipropileno, um termoplásticos que 
possui "amolecimento" após o escoamento. 
 
2. METODOLOGIA 
 
2.1 Material 
 
Para este trabalho, o material utilizado para a calibração e correlação do modelo 
constitutivo foi um PP (polipropileno). Foram retirados corpos de provas de um pára-choque 
automotivo feito com este material, as quais já haviam sido pintadas industrialmente, uma vez 
que o processo de pintura pode influenciar expressivamente no comportamento do polímero 
(AZEVEDO et al, 2011). 
 
 
FIGURA 1. Retalhos de um pára-choque feitos em PP, matéria prima dos corpos de 
provas. 
 
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2.2 Modelos Constitutivos de Materiais 
O estado cristalino pode existir nos materiais poliméricos. Entretanto, como ele envolve 
moléculas em vez de apenas átomos ou íons como nos metais e cerâmicas, os arranjos 
atômicos são mais complexos para os polímeros (CALLISTER, 2008), tornando o processo 
de deformação, tanto elástica como plástica, bem peculiar. Os gráficos das Figuras 2 e 3 
mostram o comportamento de um metal e de um polímero termoplástico submetidos a um 
ensaio de tração. Como se pode observar, o metal tende a encruar após iniciar o escoamento, 
devido à dificuldade de deslocamentos dos planos cristalinos impostas pelos contornos de 
grãos. Já o termoplástico (os semicristalinos em geral) tende a "amolecer" após alcançar a 
tensão de escoamento, devido ao rearranjo das cadeias moleculares. Desta forma, a tensão 
máxima pode ocorrer no final da fase elástica. 
 
FIGURA 2. Curva tensão deformação de um metal. 
 
FIGURA 3. Curva tensão deformação típica de um termoplástico. 
 
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Modelos elasto-plásticos têm sido desenvolvidos historicamente para a simulação de 
materiais metálicos, baseados na teoria da plasticidade de estruturas cristalinas. O modelo 
mais usado nos softwares comerciais de simulação é conhecido como "Piece-wise", que é 
baseado no critério de escoamento de VonMises (KOLLING et al, 2005). Em alguns 
polímeros, esta formulação pode ser usada com resultados satisfatórios para eventos quasi-
estáticos. Porém, é importante salientar algumas diferenças importantes que existem entre os 
metais e a maioria dos termoplásticos. Em geral, os termoplásticos não têm um módulo de 
elasticidade constante e apresenta comportamento distinto em tração e em compressão. Além 
disso, as deformações plásticas não acontecem em um volume constante, ou seja, muitos 
termoplásticos não apresentam comportamento incompressível durante o fluxo plástico. Desta 
forma, nestes polímeros, a influência da pressão hidrostática tem uma sensível importância, 
diferentemente dos metais. Isto se deve ao fato que elevadas pressões diminuem o volume 
livre intermolecular e crescem as interações entre as moléculas (VASSOLER, 2007). Este 
comportamento (compressibilidade) não é considerado nos modelos constitutivos clássicos 
para metais, tais como os baseados no critério de VonMises. A necessidade de um modelo 
constitutivo que tenha em sua formulação a dependência da pressão hidrostática é 
fundamental para a boa correlação dos resultados (DEAN et al, 2004), (LOBO et al, 2006). 
Diante deste cenário, o modelo de Drucker-Prager torna-se uma boa opção para ser usado na 
simulação destes polímeros. 
O critério de Drucker-Prager, formulado em 1952, é uma simples modificação do critério 
de VonMises, onde a influência da componente da tensão hidrostática é introduzida na função 
de falha (CHEN et al, 1988). Em plasticidade, o limite elástico de um material poder ser 
representado por uma superfície em função do estado de tensão. Assim, a função que 
representa a superfície de escoamento para o critério de VonMises é dada como: 
 
  2 0ijf J k    (1) 
 
onde ij

 é o tensor de tensão de Cauchy, J2 é o segundo invariante do tensor Desviatório e k é 
a tensão de escoamento em cisalhamento puro. Este critério estabelece que a energia de 
distorção seja a magnitude determinante no fenômeno de plastificação. Já no critério de 
Drucker-Prager, a função que representa a superfície de escoamento é postulada como sendo: 
 
  1 2 0ijf I J k     (2) 
 
 
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onde é uma constante material e I1 é o primeiro invariante do tensor de tensão de Cauchy, 
que representa a dependência da pressão hidrostática. Quando é igual a zero, a equação 
acima reduz ao critério de VonMises, Eq. (1), voltando a ser independente da pressão 
hidrostática. 
Neste trabalho, foi utilizado o modelo constitutivo de Drucker-Pragerpara correlacionar 
um ensaio de tração de um polipropileno. Neste modelo é possível também prever o 
comportamento viscoso do polímero, quando sujeitos à variação da taxa de deformação e da 
temperatura. 
 
2.3 Modelo Numérico 
 
Baseado nas normas da ASTM D638 (2003) para ensaios de tração de polímeros, um corpo 
de prova Tipo V foi discretizado em elementos de placa (Figura 2) e elementos sólidos 
(Figura 3). A base inferior, onde a garra é fixa, foi atribuída restrições de deslocamento. Na 
base superior, onde é presa garra móvel, foi imposta a velocidade em que o ensaio 
experimental foi realizado. Para este trabalho, foram feitos análises em duas velocidades: 
5mm/min e 500min/min. As simulações do ensaio de tração foram feitas utilizando o 
software Abaqus, com formulação (dinâmica implícita) adequada para tratar com grandes não 
linearidades geométrica e material. O modelo constitutivo de Drucker-Prager foi calibrado a 
partir de ensaios experimentais, utilizando uma ferramenta numérica de calibração. 
 
 
 
FIGURA 4. Modelo em elementos finitos 2D com as condições de contorno. 
 
 
 
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FIGURA 5. Modelo em elementos finitos 3D. 
 
3. RESULTADOS 
 
A Figura 6a mostra o resultado da simulação numérica (tensão principal I) utilizando 
elementos de placa e a Figura 6b uma foto do ensaio experimental do polipropileno, segundo 
a norma ASTM D638, ambos para a velocidade de 5mm/min, 
 
 
FIGURA 6. (a) Resultado da simulação numérica com elemento plano e (b) ensaio de 
tração do corpo de prova tipo V da norma ASTM D638. 
 
O ensaio experimental fornece como resultado a curva força (medida por uma célula de 
carga) versus deslocamento. Tendo a área da seção transversal inicial e comprimento inicial 
da região homogênea da amostra, pode-se chegar à curva tensão versus deformação 
convencional, conforme mostra o gráfico da Figura 7. Neste mesmo gráfico, foram traçadas 
(a) (b) 
 
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os resultados de tensão versus deformação convencional da simulação numérica, tanto com 
elementos planos quanto sólidos. Pode-se observar que ambos os resultados da simulação 
numérica obtiveram uma boa correlação com os resultados experimentais, evidenciando o 
"amolecimento" do material após o início da deformação plástica. 
 
0
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4
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8
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14
16
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Deformação 
T
en
sã
o 
(M
Pa
)
Curva Experimental 5 mm/min
Curva Virtual Elementos Shell
Curva Virtual Elementos Sólidos
Curva Tensão x Deformação - 5mm/min
 
FIGURA 7. Resultados da simulação numérica e ensaio experimental para a velocidade de 
5mm/min. 
 
O polipropileno, devido às suas características viscoplásticas, apresenta uma grande 
sensibilidade à taxa de deformação. Assim, nas simulações de componentes feitos com este 
polímero é importante considerar a velocidade de aplicação do carregamento bem como a 
correta calibração do modelo constitutivo com relação à variação da taxa de deformação. A 
fim de avaliar a correlação do modelo de Drucker-Prager com relação à taxa, foram realizados 
ensaios de tração em duas velocidades diferentes (5mm/min e 500mm/min) e os resultados 
comparados com os obtidos pela simulação numérica com elementos planos. A Figura 8 
mostra os resultados da simulação numérica e ensaios experimentais para as duas velocidades. 
Pode-se observar que, para a velocidade maior, o material torna-se mais resistente, porém 
menos dúctil, comportamento obtido em ambos os resultados (numérico e experimental). Para 
a velocidade de 500mm/min nota-se uma pequena defasagem na região de tensão máxima, 
 
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comportamento que não foi observado na taxa de 5mm/min. As velocidades de 5mm/min e 
500mm/min representam uma taxa de deformação de 0,0014s
-1
 e 0,15s
-1
 respectivamente. 
Ambas são taxas relativamente baixas, podendo ser consideradas, para um metal, um evento 
quasi-estático. Porém, para um polímero, esta pequena variação na taxa, provocou mudanças 
significativas na curva tensão versus deformação, conforme observado nestes resultados. 
 
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20
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Deformação
Te
ns
ão
 (M
Pa
)
Curva Experimental 5 mm/min
Material Drucker-Pragger Calibrado 5 mm/min
 Curva Experimental 500 mm/min
Material Drucker-Pragger Calibrado 500 mm/min
Curvas Tensão x Deformação de Engenharia - 5 mm/min e 500 mm/min
 
FIGURA 8. Resultado numérico e experimental para diferentes velocidades de 
carregamento. 
 
A Figura 9 mostra os resultados da tensão verdadeira retirada do ensaio experimental 
juntamente com o resultado da tensão principal I retirada de um elemento no centro da região 
de deformação homogênea do modelo plano. Pode-se observar que a correlação alcançado 
com o modelo de Drucker-Prager utilizado é bastante satisfatória para a correlação tanto da 
tensão quanto da deformação. Nota-se em ambos os resultados que o amolecimento após a 
tensão máxima não é tão pronunciado quanto no resultado da tensão versus deformação 
nominal, retomando inclusive o processo de encruamento após uma determinada deformação. 
Isso acontece devido ao fato de que, durante a propagação da estricção, ocorre uma 
reorientação das cadeias poliméricas, aumentando a resistência à deformação plástica do 
material após este rearranjo ao longo de toda a estricção. Obviamente, o fato da tensão 
verdadeira considerar a área instantânea na estricção, contribui para o aumento da tensão ao 
longo deformação. 
 
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Curva Tensão x Deformação verdadeira - 5mm / min
0
2
4
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8
10
12
14
16
18
20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Deformação
Te
ns
ão
 (M
pa
)
Ensaio Virtual 
Ensaio Físico 
 
FIGURA 9. Resultados de tensão versus deformação plástica verdadeiros da simulação 
numérica e ensaio experimental. 
 
4. CONCLUSÕES 
 
Este trabalho teve como objetivo principal correlacionar uma simulação numérica de um 
ensaio de tração utilizando um modelo constitutivo mais apropriado para lidar com as 
peculiaridades dos termoplásticos, em especial, o polipropileno. As amostras para o ensaio de 
tração foram retiradas de um pára-choque automotivo feito em polipropileno e as simulações 
feitas no Abaqus utilizando formulação dinâmica implícita. O modelo constitutivo usado na 
simulação foi o Drucker-Pragerlinear, pois considera os efeitos da pressão hidrostática 
presentes neste material, durante a deformação plástica. Este modelo mostrou-se apropriado 
para simular materiais com "amolecimento" após o escoamento, além de ser possível incluir o 
efeito da velocidade do carregamento na simulação, uma vez que o polipropileno mostrou 
uma elevada sensibilidade às pequenas variações na taxa de deformação. 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D638 – Standard Test Method 
for Tensile Properties of Plastics. ASTM, USA, 2003. 
 
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Congresso de Engenharias da UFSJ - COEN, São João del Rei, 2011. 
CALLISTER Jr.,W.D., Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução – LTC. – Sétima 
Edição, 2008 
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