aula 4

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Transferência de Calor e Massa
Revisão
 A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica)
 Condições de Contorno e Inicial
4
 Ementa
Transferência de Calor e Massa
A Equação da 
Difusão de Calor
(Difusão Térmica)
5
Transferência de Calor e Massa
Um dos objetivos principais da análise da condução 
de calor é determinar o campo de temperaturas 
(distribuição de temperaturas) num meio resultante 
das condições impostas em suas fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de 
calor por condução em qualquer ponto do meio ou na 
sua superfície pode ser determinado através da Lei de 
Fourier.
6
Transferência de Calor e Massa
Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para 
condições de contorno especificadas, forneça a 
distribuição de temperaturas no meio.
Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou 
seja, define-se um volume de controle diferencial, 
identificam-se os processos de transferência de 
energia relevantes e substituem-se as equações das 
taxas de transferência de calor apropriadas.
7
Transferência de Calor e Massa
acusaigent EEEE  
Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas. 
8
Transferência de Calor e Massa
 Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)
Coordenadas cartesianas
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p 























 
Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência
de energia por condução no interior de um volume unitário
somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve
ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no
interior deste volume.
9
Transferência de Calor e Massa
Com frequência, é possível trabalhar com versões 
simplificadas da Equação do Calor.
Exemplo: condução 1D com propriedades constantes e 
sem geração de energia.
t
T
x
T





1
2
2
10
Transferência de Calor e Massa
11
Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components
(2.22)
         
  
T T Tq k i k j k k
r r z
rq q zq
• Coordenadas Cilíndricas:  , ,T r z
sin
         
  
T T Tq k i k j k k
r r r   (2.25)
rq q q
•Coordenadas Esféricas  , ,T r  
• Coordenadas Cartesianas:  , ,T x y z
         
  
T T Tq k i k j k k
x y z
xq yq zq
(2.3)
Transferência de Calor e Massa
12
Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components (cont.)
• In angular coordinates , the temperature gradient is still
based on temperature change over a length scale and hence has
units of C/m and not C/deg.
  or ,  
• Heat rate for one-dimensional, radial conduction in a cylinder or sphere:
– Cylinder
2  r r r rq A q rLq
or,
2    r r r rq A q rq
– Sphere
24  r r r rq A q r q
Transferência de Calor e Massa
 Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas
t
Tcq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr p 























 

2
11
radial, r 
circunferencial, Φ
axial, z
13
Transferência de Calor e Massa
 Equação do Calor: Coordenadas Esféricas
radial, r 
polar, θ
azimutal, Φ
t
TcqTsenk
senr
Tk
senrr
Tkr
rr p 























 



222
2
2
111
14
Transferência de Calor e Massa
Condições de 
Contorno e Inicial
15
Transferência de Calor e Massa
Para determinação da distribuição de temperaturas num 
meio, é necessário resolver a forma apropriada da Equação 
do Calor. 
Tal solução depende das condições físicas existentes nas 
fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo 
(processo transiente), a solução também depende das 
condições existentes no meio em algum instante inicial. 
16
Transferência de Calor e Massa
Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira 
ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser 
especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]
Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias 
possibilidades comuns que são expressas de maneira simples 
em forma matemática. Como a Equação do Calor é de segunda 
ordem em relação às coordenadas espaciais, duas condições de 
contorno devem ser fornecidas para cada coordenada espacial 
necessária para descrever o problema.
17
Transferência de Calor e Massa
Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).
Condição de 
Dirichlet
Condição de 
Neumann
Condição de 
Robin
18
Transferência de Calor e Massa
Homework
Chapter 2 (Incropera et al, 2008): 
 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.35, 2.36, 
2.39, 2.50
19
Transferência de Calor e Massa
Exemple 2.3
20
Transferência de Calor e Massa
Exemple 2.3
21
Transferência de Calor e Massa
Sumário da aula
 A Parede Plana
▫ Distribuição de Temperaturas
▫ Resistência Térmica
▫ A Parede Composta
▫ Resistência de Contato
 Uma Análise Alternativa da Condução
 Sistemas Radiais
▫ O Cilindro
▫ A Esfera
 Resumo dos Resultados da Condução 1D
22
 Ementa
Transferência de Calor e Massa
A Parede Plana
23
Transferência de Calor e Massa
Transferência de calor através de uma placa plana (distribuição de temperaturas).
24
Transferência de Calor e Massa
Distribuição de Temperaturas
Em regime permanente, sem a presença de fontes ou 
sumidouros de energia no interior da parede, a forma 
apropriada da Equação do Calor é:
0




dx
dTk
dx
d
Para condução 1D em RP numa parede plana sem geração 
de calor, o fluxo térmico é uma constante, independente de x. 
25
Transferência de Calor e Massa
se k = cte, a equação pode ser integrada duas vezes, 
obtendo-se a solução geral,
As condições de contorno para este problema são:
com isso, tem-se que
  21 cxcxT 
  10 ,sTT    2,sTLT 
L
TT
c ,s,s 121

 12 ,sTc 
26
Transferência de Calor e Massa
Substituindo na solução geral, a distribuição de 
temperaturas é
    112 ,s,s,s TL
xTTxT 
Para a condução 1D em RP numa parede plana sem 
geração de calor e condutividade térmica constante, a 
temperatura varia linearmente com x. 
27
Transferência de Calor e Massa
Utilizando a distribuição de temperaturas e a Lei de 
Fourier, tem-se que
 21 ,s,sx TTL
kA
dx
dTkAq 
 21 ,s,sxx TTL
k
A
qq 
A taxa de transferência de calor por condução qx e o fluxo 
térmico q"x são constantes, independentes de x.
28
Transferência de Calor e Massa
 Procedimento Padrão para solução de problemas 
de condução.
1) Solução geral para a distribuição de temperaturas é obtida 
através da resolução da forma apropriada da Equação do 
Calor.
2) As condições de contorno são utilizadas para obtenção da 
solução particular
3) Lei de Fourier é utilizada para determinação da taxa de 
transferência de calor. 
29
Transferência de Calor e Massa
Resistência Térmica
Caso especial da transferência de calor 1D sem geração 
interna de energia e com propriedades constantes. 
Analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica. 
Da mesma forma que uma resistência elétrica está 
associada à condução de eletricidade, uma resistência 
térmica está associada à condução de calor.
Definição: razão entre um potencial motriz e a 
correspondente taxa de transferência.
30
Transferência de Calor e Massa
 Resistência térmica para condução
 Resistência térmica paraconvecção
kA
L
q
TT
R
x
,s,s
cond,t 

 21
hAq
TTR sconv,t
1 
Representações na forma de circuitos fornecem uma 
ferramenta útil tanto para a conceituação quanto para a 
quantificação de problemas da transferência de calor.
31
Transferência de Calor e Massa
 Circuito térmico equivalente para a parede plana com 
condições de convecção nas superfícies.
qx pode ser determinada pela consideração em separado de 
cada elemento da rede (qx é constante ao longo da rede)


















 
Ah
TT
kA
L
TT
Ah
TT
q ,,s,s,s,s,x
2
2221
1
11
11
32
Transferência de Calor e Massa
Em termos da diferença de temperatura global e da 
resistência térmica total, a taxa de transferência de 
calor pode ser representada por
sendo que
tot
,,
x R
TT
q 21 


AhkA
L
Ah
R tot
21
11 
33
Transferência de Calor e Massa
A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode, 
também, ser importante se h for pequeno.
 Resistência térmica para radiação
Ahq
TTR
rrad
vizs
rad,t
1
Nota: as resistências convectiva e radiante em uma superfície 
atuam em paralelo, e se T∞ = Tviz, elas podem ser combinadas 
para se obter uma resistência na superfície única e efetiva.
34
Transferência de Calor e Massa
Parede Composta
Circuito térmicos equivalentes podem ser utilizados em 
sistemas mais complexos, como, por exemplo, paredes 
compostas.
Tais paredes possuem uma quantidade qualquer de 
resistências térmicas em série e em paralelo, devido à 
presença de camadas diferentes de materiais.
35
Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.
36
Transferência de Calor e Massa
A taxa de transferência de calor 1D para esse sistema 
pode ser representada por
sendo que

 
t
,,
x R
TT
q 41
 





















AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
R
C
C
B
B
A
A
t
41
11
37
Transferência de Calor e Massa
Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode 
ser relacionada à diferença de temperaturas e à 
resistência térmica associadas a cada elemento. Por 
exemplo,

















 
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
TT
q
B
B
A
A
,s,s,
x
3221
1
11
1
38
Transferência de Calor e Massa
39
Transferência de Calor e Massa
40
Transferência de Calor e Massa
41
Transferência de Calor e Massa
42
Transferência de Calor e Massa
Em sistemas compostos, é conveniente definir um 
coeficiente global de transferência de calor, U, por 
uma expressão análoga à Lei de Resfriamento de 
Newton.
ou ainda,
  UAq
TRR ttot
1
TUAq x 
43
Transferência de Calor e Massa
As paredes compostas também podem ser caracterizadas 
por configurações série-paralelo. Embora nesse sistema 
o escoamento de calor seja multidimensional, é 
razoável a hipótese de condições 1D.
Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos 
diferentes podem ser usados.
44
Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as 
superfícies normais à direção x sejam isotérmicas.
45
Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as 
superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas.
46
Transferência de Calor e Massa
Resistência de Contato
x
BA
c,t q
TTR


47
Transferência de Calor e Massa
A existência de uma resistência de contato não-nula se 
deve principalmente aos efeitos da rugosidade da 
superfície.
A transferência de calor é devida à condução através da 
área de contato real e à condução e/ou radiação 
através dos interstícios.
Os resultados mais confiáveis para predizer R"t,c são 
aqueles que foram obtidos experimentalmente.
48
Transferência de Calor e Massa
49
Transferência de Calor e Massa
Em muitas aplicações ocorre a transferência de calor 
em um meio saturado, i.e. meio poroso, que é uma 
combinação estacionária de fluido e um sólido.
No capítulo 7 é estudado sobre leito fluidizado, onde 
um sólido estacionário é percolado por um fluido
50
Transferência de Calor e Massa
Meio poroso
51
Transferência de Calor e Massa
52
A parede da fornalha de uma caldeira é construída 
de tijolos refratários com 0,20m de espessura e 
condutividade térmica de 1,3W/(m.K). A 
temperatura da parede interna é de 1127oC e a 
temperatura da parede externa é de 827oC. 
Determinar a taxa de calor perdido através de uma 
parede com 1,8m por 2,0 m. 
Transferência de Calor e Massa
53
Uma parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo 
refratário (k = 1,2 kcal/(h.m.°C)) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 
kcal/(h.m.°C)). A temperatura da superfície interna do refratário é 1675°C 
e a temperatura da superfície externa do isolante é 145°C. Desprezando a 
resistência térmica das juntas de argamassa, calcule: a) o calor perdido por 
unidade de tempo e por m2 de parede; b) a temperatura da interface 
refratário/isolante.
Transferência de Calor e Massa
Meio poroso
54
Transferência de Calor e Massa
Meio poroso
55
Transferência de Calor e Massa
Meio poroso
56
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 Tanto keff,min e keff,max dão boas estimativas para meios 
onde efeitos de micro- e nanoescala são desprezíveis. 
Do contrário, a equação de Maxwell para é preferível 
para melhores valores:
 No entanto, ela é aplicável para meios com no 
máximo 0,25 de porosidade
57
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
58
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
59
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
60
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
61
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
62
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
63
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
64
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
65
Transferência de Calor e Massa
Problema 3.1
66
Transferência de Calor e Massa
Uma Análise 
Alternativa da 
Condução
67
Transferência de Calor e Massa
Para condições de RP, sem geração de calor e sem 
perda de calor pelas superfícies laterais, a taxa de 
transferência de calor qx é necessariamente uma 
constante independente de x, ou seja, para qualquer 
elemento diferencial dx, qx = qx+dx .
Essa condição é, obviamente, uma consequência da 
exigência da conservação da energia e deve ser válida 
mesmo que A(x) e k(T).
68
Transferência de Calor e Massa
Um procedimento alternativo pode ser utilizado para as 
condições de interesse no momento.
69
Transferência de Calor e Massa
Além disso, mesmo que a distribuição de temperaturas 
possa ser 2D, variando em função de x e y, com 
frequência é razoável desprezar a variação na direção 
y e supor uma distribuição 1D na direção x.
Com isso, é possível trabalhar exclusivamente com a 
Lei de Fourier ao efetuar uma análise de condução.
   
dx
dTxATkq x 
70
Transferência de Calor e Massa
Em particular, uma vez que a taxa condutiva é uma 
constante, a equação da taxa pode ser integrada, 
mesmo sem o prévio conhecimento de qx e de T(x).
    
x
x
T
T
x dTTkxA
dxq
0 0
71
Transferência de Calor e Massa
Sistemas Radiais
72
Transferência de Calor e MassaCom frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há 
gradientes de temperatura somente na direção radial, 
o que possibilita analisá-los como sistemas 1D.
Além disso, em RP sem geração de calor, tais sistemas 
podem ser analisados pelo método padrão, que 
começa com a forma apropriada da Equação do 
Calor, ou pelo método alternativo, que começa com 
a forma apropriada da Lei de Fourier.
73
Transferência de Calor e Massa
O Cilindro
Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies.
74
Transferência de Calor e Massa
 Distribuição de temperaturas
       221
2
21 ,s,s,s Trrln
rrlnTTrT 
A distribuição de temperaturas associadas à condução radial 
através de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear. (Na 
parede plana sob as mesmas condições ela é linear).
75
Transferência de Calor e Massa
 Taxa de transferência de calor
 Resistência térmica (condução radial)
 
 12
212
rrln
TTLk
q ,s,sr



 
Lk
rrlnR cond,t 2
12
76
Transferência de Calor e Massa
Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta.
77
Transferência de Calor e Massa
     























 
44
342312
11
41
2
1
2222
1
LhrLk
rrln
Lk
rrln
Lk
rrln
Lhr
TT
q
CBA
,,
r

 4141 ,,
tot
,,
r TTUAR
TT
q 
 


  144332211  tRAUAUAUAU
 Taxa de transferência de calor
 Coeficiente global de transferência de calor
78
Transferência de Calor e Massa
A Esfera
Condução numa casca esférica.
79
Transferência de Calor e Massa
 Distribuição de temperaturas
 Taxa de transferência de calor
 Resistência térmica (condução casca esférica)
       121
1
12 1
1
,s,s,s Trr
rrTTrT 







 
   21
21
11
4
rr
TTk
q ,s,sr 






 
21
11
4
1
rrk
R cond,t 
80
Transferência de Calor e Massa
Esferas compostas podem ser tratadas da mesma forma 
que as paredes e os cilindros compostos, onde formas 
apropriadas da resistência total e do coeficiente 
global de transferência de calor podem ser 
determinadas.
81
Transferência de Calor e Massa
Raio crítico de isolamento
82
Transferência de Calor e Massa
Raio crítico de isolamento
83
Transferência de Calor e Massa
Resumo dos 
Resultados da 
Condução 1D
84
Transferência de Calor e Massa
21 ,s,s TTT 
85
Transferência de Calor e Massa
2ª Lista de Exercícios
Capítulo 3 (Incropera et al, 2008): 
 3.5, 3.9, 3.41, 3.46, 3.72, 3.79, 3.100, 3.101, 3.121, 
3.132
86