Ex. RESOLV.Proc.BasicodeContagem Lista IV

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Lista IV PROCESSOS BÁSICOS DE CONTAGEM
01. Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores 
diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha?
N°. de modelos: 3
N°. de cores: 6 Pelo princípio multiplicativo são P = 3 x 6 = 18 opções.
02. Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser 
formados?
oo oo oo 
 P = 5 x 5 x 5 =125 números
03. Em relação à questão anterior, responda:
a) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
oo oo oo 
 P = 5 x 4 x 3 = 60
b) Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um 
deles se repete?
P = 
repetiçãohánãoTotal
3.4.5 5.5.5  P = 125 - 60 = 65
04. Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um 
aluno “chuta” cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito?
Existem 2 possibilidades para cada questão. Como são 10 questões, temos:
P = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210 = 1 024 maneiras diferentes.
05 Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de possíveis 
resultados? P = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 possibilidades
06 Num restaurante há 4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa. 
Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
Pelo princípio multiplicativo P = 4 x 5 x 2 = 40 possibilidades
07 Usando somente os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? P = 7 x 7 x 7 = 343
b) Quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar? P = 7 x 7 x 4 = 196
c) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? P = 7 x 6 x 5 = 210
d) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar? 4 algarismos ímpares
Logo, como os algarismos são distintos, temos: P = 6 x 5 x 4 = 120
e) Quantos números com 3 algarismos ímpares podemos formar? Os 3 algarismos devem ser 
ímpares. Como dispomos apenas de 4 algarismos ímpares, temos: P = 4 x 4 x 4 = 64
f) Quantos números com 3 algarismos ímpares e distintos podemos formar? Agora basta 
considerar que os algarismos devem ser ímpares e diferentes, ou seja: P = 4 x 3 x 2 = 24
08 Dado o conjunto A={a; b; c} obtenha:
a) O número de subconjuntos que ele admite;
Existem, em relação a qualquer subconjunto que iremos formar, 2 possibilidades para cada 
elemento: pertencer ou não pertencer. P = 2 x 2 x 2 = 8 subconjuntos
b) Todos os subconjuntos. { }; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}{b; c} e {a; b; c}
Um conjunto A que possui n elementos admite 2n subconjuntos.
09 A partir da decomposição em fatores primos de um número natural, é possível obter o número de 
seus divisores naturais.
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Atenção: Há um dispositivo que permite a decomposição de um número natural em fatores 
primos. O número 60, utilizando esse dispositivo fica assim decomposto.
60 2
30 2 Fatores primos = { 22 , 3 , 5}
15 3
 5 5
 1 
Descubra como é possível obter os divisores de 60 a partir desse dispositivo. 
a) Quantos divisores naturais admite o número 60?
Decompondo o número 60 em fatores primos, temos: 60 = 22 . 31 . 51
Os divisores do número 60 são do tipo 2x . 3y . 5z, onde x{0; 1; 2} y{0; 1} z{0; 1}. 
Desta forma, o total de divisores de 60 é igual ao número de ternas ordenadas (x; y; z) que 
podem ser formadas.
 (x; y; z)
 
 3 . 2 . 2 = 12 Logo, são 12 divisores de 60
b) Quais são os divisores naturais do número 60?
Para obter os divisores de 60, basta formar a árvore das possibilidades:
5° 1 . 1 . 1 
3° 51 1 . 1 . 5 
2° 5° 1 . 3 . 1 
31 51 1 . 3 . 5 
5° 2 . 1 . 1 
3° 51 2 . 1 . 5 
21 5° 2 . 3 . 1 
31 51 2 . 3 . 5 
5° 4 . 1 . 1 
3° 51 4 . 1 . 5 
22 5° 4 . 3 . 1 
31 51 4 . 3 . 5 
Portanto, os divisores de 60 são 1, 5, 3, 15, 2, 10, 6, 30, 4, 20, 12 e 60
10. Explique o significado, em cada frase, do conectivo “OU”:
a) José ou João vai passar no vestibular. Apenas um dos dois passará no vestibular.
b) José ou João vão passar no vestibular. Os dois passarão no vestibular
11. Quantos números naturais de quatro ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os 
algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9?
4 algarismos
oo oo oo oo 
P(A)= 6 x 5 x 4 x 3 P(A) = 360
5 algarismos
oo oo oo oo oo 
P(B)= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 P(B) = 720
A questão pede números com 4 ou 5 algarismos, então:
P = P(A) + P(B) P = 360 + 720 = 1080 P= P (AB), onde P(AB)=0
12. Para a diretoria de uma empresa, concorrem 4 candidatos à presidência e 6 à vice-presidência. 
Quantas maneiras distintas podem ocorrer na ocupação desses dois cargos?
P = 4 x 6 = 24 maneiras diferentes.
13. Para ir de uma cidade A a outra cidade B dispomos de cinco empresas de ônibus, três de aviões e 
uma de navio. De quantos modos podemos viajar de A até B?
Podemos ir de ônibus ou avião ou navio.
Devemos adicionar as possibilidades P = 5 + 3 +1 = 9 maneiras.
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14. Você deverá pintar cada quadrinho de amarelo, ou de verde ou de azul.
De quantas maneiras diferentes isso é possível?
Cada quadrinho terá três possibilidades: amarelo, verde ou azul.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem: P = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36 = 729
15. Um baralho tem 52 cartas. Se retirarmos duas cartas, uma de cada vez sem reposição, quantas 
possibilidades existem?
1ª
carta
2ª
carta
P = 52 x 51 = 2652
16. Quantos números de 5 algarismos distintos há em nosso sistema de numeração?
Não pode começar com zero
oo oo oo oo oo 
 P = 9 x 9 x 8 x 7 x 6 = 27 216
17. Um anfiteatro possui 5 portas.
De quantos modos ele pode estar aberto?
Para cada porta há apenas duas possibilidades: estar aberta ou estar fechada.
Assim, o total de possibilidades para as portas é: P = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 32
Para que o anfiteatro esteja aberto, é necessário que haja pelo menos uma porta aberta. 
Logo são P = 32 – 1 = 31 possibilidade
 
Possibilidade de todas estarem fechadas
18. Num estádio de futebol há 12 portões de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa:
a) entrar por um portão e depois sair? P = 12 x 12 = 144
b) entrar por um portão e depois sair por outro diferente? P = 12 x 11 = 132
19. (PUC-SP) O total de números naturais de três algarismos distintos que existem no nosso sistema de 
numeração é:
a) 650 b) 615 c) 640 d) 949 e) 648
oo oo oo
P = 9 x 9 x 8 = 648 números Obs.: Não pode começar com zero
20. (UFC-CE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30 000 e 65 000 que podemos 
formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, 
é:
a) 48 b) 66 c) 96 d) 120
Maiores que 30 000 e menores que 65 000
3 ___ ___ ___ ___ 
 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números começados por 3 
4 ___ ___ ___ ___ 
 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números começados por 4 
62 ___ ___ ___ 
 3 x 2 x 1 = 6 números começados por 62 
63 ___ ___ ___ 
 3 x 2 x 1 = 6 números começados por 63 
64 ___ ___ ___ 
 3 x 2 x 1 = 6 números começados por 64 Total de números: 24 + 24 + 6 + 6 + 6 = 66
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21. (UFU-MG) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila 
com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?
a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48
m1, f1 m2, f2 m3, f3
 ___ ___ ___ 
P = 3 x 2 x 1 = 6 Mãe e filho podem mudar deposição, então P = 6 x 23 = 48 
22. (PUC-SP) Como os elementos do conjunto A ={1, 2, 3, 4, 5, 6} são formados números de três 
algarismos distintos. A quantidade de números formados, cuja a soma dos algarismos é um numero 
par, é: a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72
 P P P ou I P P 
 3 . 2 . 1 = 6 3 . 3 . 2 = 18
 I P I I I P 
 3 . 3 . 2 = 18 3 . 2 . 3 = 18  Total P = 3 x (18) + 6 = 60
23. (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. 
Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar 
uma foto? a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720
241. 1.2 .3. 4 .1
 
M F F F F H

 ou
241. 1.2 .3. 4 .1
 
H F F F F M

 Total: P = 2 x 24 = 48
24. (MACK-SP) Os conjuntos M e N são finitos. 
Sabe-se que n(MN) =38, n(MN) = 12 e n(M) = 35 estão n(N) vale:
a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50
P (MN) = P (M) + P (N) - P (MN) 38 =35 + P(N) – 12 P(N) = 15
25. (CESGRANRIO-RJ) A figura abaixo representa uma área de duas ruas de mão única. Em cada 
esquina que há duas opções de direção (vide figura) o tráfego se divide igualmente entre elas. Se 512 
entram na área por P, os números dos que vão sair por Y é:
a) 128 b) 192 c) 256 d) 320 e) 384
Se em P entram 512 carros, na 1ª esquina (a partir de P) 256 carros irão para a direita e 256 
carros seguem reto. Na 2ª esquina 128 carros irão para a direita, enquanto 128 carros saem 
por x. os carros que não saem por x devem sair por y: logo o número de carros que saem por 
y é igual a 512 – 128 = 384 carros
26. (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de prato de carnes, 5 
variedades de bebidas e 3 sobremesa diferentes. Uma pessoa deseja uma salada um prato de carne, 
uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12
salada Prato de
carne
bebida sobremesa
P = 2 x 4 x 5 x 3 = 120
27. (UCSal-BA) Um código de leitura óptica e constituído por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum 
código tem barras de uma só cor. Veja dois exemplos desses códigos:
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 Quantos desses códigos distintos entre si, podem ser formados:
a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16
Cada barra pode ser branca ou preta; Então:
oo oo oo oo oo oo 
 P = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 = 64
Como nenhum código tem barras de uma só cor, então diminuímos os códigos com todas as 
barras só brancas e só pretas; assim 64 – 2 = 62
28. (UFR-PE) Qual o numero de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo 
apenas três letras) fazendo uso das letras A, B, C, D?
a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102
oo oo oo
P = 4 x 4 x 4 = 64
29. (PUC-RS) O numero de múltiplos de 11, inteiros e positivos, formados por tres algarismos é:
a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100
Múltiplos de 11 com 3 algarismos
oo oo oo
 P = 9 x 9 x 1 = 81
Alguns múltiplos de 11 estão descritos abaixo:
110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 308, 319, 
330, 341, 352, 363, 374, 385, 396, 407, 418,... 
Note que o algarismo das centenas pode ser de 1 até 9, então 9 possibilidades. O algarismo das 
dezenas, para cada algarismo diferente da centena, tem 9 possibilidades. Assim, quando fixados 
os algarismos da centena e dezena, o algarismo da unidade será único.
Uma outra sugestão é que qualquer número de 3 algarismos é múltiplo de 11, quando a soma dos 
algarismos da centena e da unidade menos o algarismo das dezenas resulta em um número que é 
divisível por 11. 
30. (UFRN) A quantidade de números pares de 5 algarismos, sem repetição, que podemos formar com 
os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:
a) 720 b) 1440 c) 2160 d) 2880 e) 3600
___ ___ ___ ___ ___ ou ___ ___ ___ ___ ___
 6 . 5 . 4 . 3 = 360 6 . 5 . 4 . 3 = 360
___ ___ ___ ___ _6_ ___ ___ ___ ___ _8_
         
P = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 P = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 Total: P = 4x 360 = 1440
31. (CESESP-PE) Num acidente automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, conclui-se que 
o motorista culpado do acidente dirigia o veiculo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e 
quatro algarismos diferentes, e algarismo das unidades era o digito 2. 
Assinale, então, a única alternativa correspondente ao numero de veículos suspeitos:
a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480
___ ___ - ___ ___ ___ _2_
     
 P = 5 x 4 x 9 x 8 x 7 = 10 080
32. (UM-SP) Um trem de passageiros é constituídos de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um 
deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser 
colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferente de montar a composição é:
2 4
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a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720
Locomotiva - ___ ___ ___ ___ ___ ___
 P = 5 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 600 Logo após a locomotiva seriam 6 possibilidades, 
mas como o vagão-restaurante não pode estar nesta posição, então há 5 possibilidades. 
33. (UFBA) Uma firma deseja imprimir calendários de diversos modelos variando a quantidade de 
meses em cada folha do calendário, desde que o número de meses incluídos em cada folha de 
determinado modelo seja constante. O número de modelos que podem ser feitos é:
a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345
As possibilidades de calendários são:
Números de folhas Números de meses por folha
1 12
2 6
3 4
4 3
6 2
12 1
Dois números inteiros positivos cujo produto é 12 fornecem 6 possibilidades.
34. (PUC-RS) Com os algarismos significativos formam-se todos os números de 4 algarismos 
distintos, sendo que “X” deles possuem um algarismo ímpar na ordem das centenas.
O valor de “X” é: a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403
Algarismos significativos: {1, 2, ... 9}
___ ímpar ___ ___
 P = 8 x 5 x 7 x 6 = 1 680
35. (CESGRANRIO-RJ) Um mágico se apresente em público vestindo calça e paletó de cores 
diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o numero mínimo 
de peças (numero de paletós mais numero de calças) de que ele precisa é:
a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8
Paletós Calças
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4
8 3
12 2
24 1
O produto do número de paletós pelo número de calças é 24. As possibilidades que fornecem o 
número mínimo de peças é 4 peças de um tipo e 6 peças do outro tipo, resultando 10 peças.
36. Se 5 moedas distinguíveis forem lançadas simultaneamente, o numero de maneiras possíveis de 
elas caírem e dado por: a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240
Moedas
    
P = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25=32 possibilidades
37. (MACK-SP) – O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50 000 e 
menores de 90 000 e que são divisíveis por 5, é:
a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032
Maiores que 50 000 e menores que 90 000 que são divisíveis por 5.
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5 ___ ___ ___ ___ ou 6 ___ ___ ___ ___ 
 8 x 7 x 6 x 1 = 336 8 x 7 x 6 x 2 = 672
7 ___ ___ ___ ___ ou 8 ___ ___ ___ ___ 
 8 x 7 x 6 x 2 = 672 8 x 7 x 6 x 2 = 672
O algarismo das unidades pode ser 0 ou 5. Total de possibilidades: P = 3 x (672) + 336 = 2 352
38. (PUC-SP) – Chamam-se “palíndromos” números inteiros que não se alteram quando é invertida a 
ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O numero total de palíndromos de cinco 
algarismos é: a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000
___ ______ ___ ___
 P = 9 x 10 x 10 x 1 x 1 = 900
39. (USP-SP) – Quantos números impares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com 
Dígitos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 ? a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90
___ ___ ___ ___ 
P = 5 x 4 x 3 x 3 = 180
ANÁLISE COMBINATÓRIA:
ARRANJO SIMPLES.
01. Calcule: a) 37A = 7x 6 x 5 = 210 b)
2
5A = 5 x 4 = 20 c)
5
10A = 10 x 9x 8 x 7 x 6 = 30 240
02. Quantos números naturais de dois algarismos distintos podemos formar com os algarismos de1 até 
9? 29A = 9 x 8 =72
03. De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 4 lugares?
4
7A = 7 x 6 x 5 x 4 = 840
04. Se A é um conjunto com 5 elementos e B é um conjunto com 8 elementos, quantas funções.
f: A→B, são Injetoras?
É o número de maneiras de posicionarmos 5 elementos dos 8 elementos de B, ou seja:
5
8A = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6 720
EFETUANDO PERMUTAÇÕES
05. (UFRGS) A expressão 
n!1)!(n
n!-1)!(n


com n inteiro estritamente positivo vale
a) 
n 1
n n 2


b) 
n 1
n n 2


c) 
n 1
n 

d)
2
1-nn 2 
e) 
2n
n 

2n
n
1]1)[(nn!
1]-1)[(nn!
n!1)n!(n
n!-1)n!(n
n!1)!(n
n!-1)!(n








06. (FUVEST – SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começa e termina por vogal é:
a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144
U __ __ __ __ E ou E __ __ __ __ U P = 2 x (P4 )= 48
07. (FEI – SP) Obter o número de anagramas da palavra REPÚBLICA nos quais as vogais se mantêm 
nas respectivas posições. __ E __ U __ __ I __ A = P5 = 120
0
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08. (FGV – SP) Numa sala de reunião há 10 cadeiras e 8 participantes. De quantas maneiras distintas 
podemos sentar os participantes. (Duas pessoas ficarão de pé?)
a) 181 440 b) 3 628 800 c) 1 814 400 d) 40 320 e) 403 200 810A = 1 814 400
09. (FCC – BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as 
vogais juntas?
a) 36 b) 72 c) 120 d) 144 e) 180
P = P4 x P3 = 144
10. (PUC – SP) O número de anagramas da palavra A L U N O que tem as vogais em ordem 
alfabéticas é:
a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100 6P0 3 
(Das 6 permutações apenas 1 está em ordem alfabética). 1 = 6
x P5 x = 120/6 x = 20
11. (UFOP – MG) Podemos ordenar as pessoas que estão numa certa fila de 24 maneiras diferentes. 
Então, nessa fila estão:
a) 4 pessoas b) 5 pessoas c) 6 pessoas d) 12 pessoas e) 24 pessoas
Pn = 24 n! = 24 n! = 4! n = 4
12. (TAUBATÉ – SP) Numa estante existem três livros de matemática, três livros de história e um de 
geografia. Se deseja sempre um livro de história em cada extremidade, então o número de maneiras de 
se arrumar esses sete livros é:
a) 720 b) 36 c) 81 d) 126 e) nda H1 __ __ __ __ __ H2 P = 3 x 2 x P5 = 720
13. (ENEM) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada 
eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes:
ORDENAÇÃO Nº DE VOTANTES
A B C 10
A C B 04
B A C 02
B C A 07
C A B 03
C B A 07
Total de votantes 33
A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, 
C em 3º lugar e assim por diante.
Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 
1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato 
que acumular mais pontos é eleito. Neste caso:
a) A é eleito com 66 pontos;
b) A é eleito com 68 pontos;
c) B é eleito com 68 pontos;
d) B é eleito com 70 pontos;
e) C é eleito com 68 pontos;
OEA
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A = 14x3+5x2+14x1 = 66 pontos B = 9x3+17x2+7x1 = 68 pontos C = 10x3+11x2+12x1 = 64 pontos
14. (UFRN) – Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6 000 000, podem ser formados com os 
algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?
a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160
6 __ __ __ __ __ __ P6
7 __ __ __ __ __ __ P6
 9 __ __ __ __ __ __ P6 3 x P6 = 2.160
15. (UFBA) Para abrir um cofre eletrônico deve-se digitar uma seqüência formada por quatro algarismos 
distintos, sendo que o primeiro é o triplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa seqüência 
pretende abrir o cofre. O maior número possível de seqüências que ela deve digitar é:
a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168
3 1 __ __ 28A =56
6 2 __ __ 28A =56
 9 3 __ __ 28A =56 Total: 3.
2
8A =168
16. Descubra o numero de permutações circulares de:
a) 4 objetos 3! b) 5 objetos 4! c) n objetos (n-1)!
17. (SANTA CECÍLIA – SP) O número de maneiras em que podemos dispor vinte pessoas em torno de 
uma mesa redonda é: a) 20! b) 
2
20!
c) 19! d) 
2
19!
e) nda
A cada permutação circular de n objetos corresponde n permutações simples desses mesmos 
objetos. Portanto (PC)n corresponderá a Pn, isto é )1(PC)(
!(PC)
1
n
n
 n
n
n
(PC)20 = 19!
18. (PUC SP) Dois meninos e três meninas formarão um roda dando-se as mãos. De quantos modos 
diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
a) 15 b) 18 c) 24 d) 16 e) 12
(PC)5 – 2(PC)4 = 4! – 2 x 3! = 12
19. Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um amplo saguão no qual existem 5 
elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas 
maneiras diferentes poderá fazê-lo? P = P1 x P2 P = 3 x 5 = 15
20. Se A = (1, 2, 3, 4, 5) , a quantidade de números formados por dois algarismos não repetidos e tomadas 
de A é? 
)!25(
!52
5 
A = 20
21. No sistema de emplacamento de veículos que foi implantado em 1984, as placas deveriam ser 
iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Com o sistema implantado, o número máximo possível de 
prefixos, usando-se somente vogais, seria? P = 5.5.5 = 125
22. Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismos num mesmo número, podemos 
formar com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. P = 4.5.6.7 = 840 nos impares
23. Numa reunião de jovens, há 10 rapazes e 5 garotas. O número de grupos de 5 jovens que podem ser 
formados, tendo cada grupo no máximo 1 rapaz, é? 
Pgarotas = GxGxGxGxG, um grupo P = 45
1
10 xCC + 1 = 50 + 1 = 51
24. Seja uma sala de 8 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por 
uma porta diferente é? P = 8x7 = 56
reinaldo@unicentro.br 10
25. Com os algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5) podemos formar números de três algarismos distintos, num total 
de? P = 
4
.
5
.
5
= 100 ou P = 5 x 25A = 100 números
26. Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operários saibam 
quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordem de seus visitas. Estas visitas poderão ser feitas de 
quantas maneiras? P = 6! = 720 diferentes ordens
COMBINAÇÃO SIMPLES E PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
27. Resolva a equação 2nC = 10: 10)!2(!2
! n
n
n . (n-1) = 20 n = 5
28. Cinco pontos A, B, C, D e E foram marcados na circunferência ao lado:
a) Quantos segmentos, com extremidades em 2 desses pontos, podem ser formados?
10
12
452
5  x
x
C segmentos.
b) Quantos triângulos ficam determinados com vértices em 3 desses pontos?
10
123
3453
5  xx
xx
C triângulos
c) Quantos polígonos ficam determinados com vértices nesses pontos?
1615101
1234
2345
123
3455
5
4
5
3
5  xxx
xxx
xx
xx
CCC polígonos.
29. Considerando todos os alunos de sua turma, responda:
Sendo n o número de alunos da correspondente turma, teremos:
a) Quantas duplas distintas podem ser formadas? 2nC
b) Quantas equipes com 5 elementos podem ser formadas? 5nC
30. Um polígono convexo com n vértices (n lados também) possui d diagonais, onde 
2
)3(.  nnd
Utilizando análise combinatória, prove tal relação.
2
)3(
2
3
2
2
2
)1( 222 nnnnnnnnnndnCd n
31. Calcule x, tal que x . 
3
10C = 
3
10A 6!3!7
!10
!7.!3
!10
.  xxx
32. Considere o conjunto A, onde A = {2; 3; 4; 5; 6}
a) Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 1 elemento? 15C =5
b) Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 3 elementos? 10
123
3453
5  xx
xx
C
c) Quantos subconjuntos admitem (ao lado) o conjunto A? 322555
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5  CCCCCC
33. Uma comissão de cinco membros será escolhida dentre oito pessoas. Calcule o número de comissões 
diferentes que podem ser formadas. 56
123
6785
8  xx
xx
C comissões
34. Considere os 10 pontos marcados nas retas r e s abaixo.
reinaldo@unicentro.br 11
Qual o número total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos?
1º modo 34
3
6
3
10 CCC  2º modo 2624 .4.6 CC 
35. Considere o grupo formado por uma menina e cinco rapazes.
Uma comissão com 3 pessoas será formada. Então:
a) Qual o total de comissões distintas que podem ser formadas? 36C
b) Em quantas dessas comissões a menina figura? 25C
c) Em quantas dessas comissões a menina não figura? C35
d) É verdadeiro que ?35
2
5
3
6 CCC  Sim
36. (FGV – SP) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos 718 844?
a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180 1802.26 P considerar somente IN
37. (UFU – MG) O número de anagramas da palavra ERNESTO, começando e terminando por consoante 
é:
a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040
 __ __ __ __ __ __ __ 720.12 2.5 P
 4 3
38. (UFPA) Uma cobaia percorre um labirinto tendo sete pontos em que pode virar à direita, à esquerda 
ou seguir em frente. De quantas maneias esta cobaia percorre o labirinto, se segue um caminho diferente a 
cada vez?
a) 37A b) 
3
7C c) 7 d) 3
7 e) 
!3
!7
A cada ponto existem 3 possibilidades de caminhos diferentes; então o total de caminhos diferentes é 73
39. (USP) Uma comissão de cinco alunos deve ser formada para discutir e planejar o desenvolvimento da 
parte esportiva de sua escola. Sabendo-se que estes cinco alunos devem ser escolhidos de um grupo de 
dez alunos, então o número possível de escolhas é:
a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210 252510 C
40. (UFV – MG) Resolvendo a equação 212 xC , encontramos:
a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7
)(6704221
)!2(!2
)2)(1(
21
)!2(!2
!
21 22 convémnâoxouxxx
x
xxx
x
x
Cx 

41. (UFRGS) A solução da equação 54 !4.2  xxx CA é:
a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6
14
5
1
4
2
!4.5)!5(
!
!4
)!5)(4(
!
.2
)]!5([)!5(
!
!4
)!4(
!
.2  xxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
42. (CESGRANRIO – RJ) Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que 
contém exatamente 18 elementos é:
a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18 1901820 C
43. Um experimento consiste em lançar uma moeda 6 vezes. Considera-se como resultado desse 
experimento a seqüência das faces obtidas no 1º, 2º, 3º, 4º, 5º e 6º lançamento, respectivamente. Por 
exemplo, indicando por c a face “cara” e por k a face “coroa”, um resultado possível desse experimento é 
a seqüência (c, c, k, c, k, c).
O número de resultados possíveis desse experimento apresentado quatro caras e duas coroas são:
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a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15 152.46 P
44. (ENEM) Vinte anos depois da formatura, cinco colegas de turma decidem organizar uma 
confraternização, precisa comunicar-se por telefone. Cada um conhece o telefone de alguns colegas e 
desconhece o de outros. No quadro abaixo, o número 1 indica que o colega da linha correspondente 
conhece o telefone do colega da coluna correspondente; o número 0 indica que o colega da linha não 
conhece o telefone do colega da coluna. Exemplo: Beto sabe o telefone do Dino que não conhece o 
telefone de Aldo.
O número mínimo de telefonemas que Aldo deve fazer para se comunicar com Carlos é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Aldo – Beto – Dino – Ênio – Carlos (4 telefonemas)
Aldo – Dino – Ênio – Carlos (3 telefonemas)
45. (FGV – SP) sobre uma mesa são colocados em linha 6 moedas. O número total de modos possíveis 
pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltadas para cima é:
a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15 152.46 P
46. (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos 
sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas. 3537 C
47. (PUC – MG) O número de maneiras pelas quais 6 pessoas podem ser distribuídas em 3 grupos, cada 
um formado por 2 pessoas, é:
a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90 9022
2
4
2
6 xCxCC
48.UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco será selecionado para uma viagem. De 
quantas maneiras distintas esse grupo será formado, sabendo que, entre os doze alunos, dois são irmãos e 
só poderão viajar se estiverem juntos?
a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372
Grupo sem os dois irmãos: 252510 C Grupo com dois irmãos: 120310 C Total: 372
49. (UFMG) Numa Câmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do parido 
B e 4 vereadores do partido C. O número de comissões de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo 
cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A, 2 vereadores do partido B e 2 vereadores do 
partido C, é igual a:
a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800 120024
2
5
3
6 xCxCC
50. (UFSE) Considere todos os produtos de três fatores distintos que podem ser obtidos com elementos 
do conjunto A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}. Quantos deles são pares?
a) 10 b) 18 c) 10 d) 36 e) 60 Para que o produto seja 
par, é necessário que o fator 2 esteja entre os 3 fatores escolhidos 2 __ __ 1025 C
51. (FUVEST – SP) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra 
todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Sugestão: Indique por n o número de jogadores.
reinaldo@unicentro.br 13
)(1213015678
)!2(!2
)2)(1(
78
)!2(!2
!
78 22 convémnãonounnn
n
nnn
n
n
Cn 

52. (UFPA) O elevador de um prédio de 12 andares parte lotado do 1º andar. Sabe-se que as pessoas 
descerão em 3 andares diferentes na saída. De quantas maneiras isso pode ocorrer, se ninguém descer no 
2º andar?
a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320 120310 C
53. (UFRN) Com sete pontos sobre uma circunferência, quantos triângulos, com vértices nesses pontos, 
podem ser formados?
a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54 3537 C
54. (UFF – RJ) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras, usando 18 consoantes e 5 vogais. 
Se cada senha deve começar com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir letras, o número 
de senhas possíveis é:
a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 73440
________
2
21

A
18 5 Total de senhas: 37800
55. (PUC – RS) Dispondo-se de 6 números positivos e 6 negativos, o número de modos diferentes de 
escolher 4 números cujo produto seja positivo é:
a) 720 b) 625 c0 480 d) 300 e) 255
Para o produto ser positivo, devemos ter:
(+) . (+) . (+) . (+) = + 46C
(+) . (+) . (-) . (-) = + 26
2
6 .CC
(-) . (-) . (-) . (-) = + 46C Números de modos diferentes: 255
56. (FEI – SP) Sejam duas retas paralelas (r e s). Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 em s. A razão 
entre o número total de quadriláteros convexos e o número total de triângulos que podem ser formados 
com vértices nesses pontos é: 
a) 
2
1
b) 
4
3
c) 
3
2
d) 
7
6
e) 
5
4
Quadriláteros convexos: 6025
2
4 xCC Triângulos: 7054 2425 CxC Razão: 7
6
70
60 