TrabalhoA- Cálculo de várias variáveis - UNISINOS

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Orientações 
 O desenvolvimento das questões deve ser realizado em folhas A4 (sem linhas). 
 Anexar (GRAMPEAR) as folhas a este instrumento. 
 Identificar o autor. 
- A NÃO realização destas orientações acarretará em penalidades (-30% por item). 
 
 Indicar o desenvolvimento das questões. 
- A NÃO realização desta orientação implicará na ANULAÇÃO da questão. 
 
 O trabalho deve ser realizado individualmente. 
 A entrega desta atividade coincide com a data da prova do grau A (a entrega deve ser realizada em sala de aula antes do início da prova). 
- A NÃO realização destas orientações implicará na ANULAÇÃO da atividade. 
 
1 – Tradicionalmente, a superfície da Terra tem sido modelada por uma esfera, mas o World Geodesic System de 1984 
(WGS-1984) usa um elipsoide como um modelo mais preciso. Ele coloca o centro da Terra na origem e o polo norte no 
eixo positivo. A distância do centro ao polo é 6356,523 km e a distância a um ponto do equador é 6378,137 km. 
a) Represente no espaço a Terra (indique o Equador, o Polo Norte e um Meridiano). 
b) Encontre uma equação para a superfície da Terra como a usada pelo WGS-84. 
c) Curvas de latitude constantes são cortes nos planos ( é uma constante). Qual a forma destas curvas? 
Justifique. 
d) Meridianos (curvas com longitudes constantes) são cortes nos planos da forma ( é uma constante). Qual 
é a forma destes meridianos? Justifique. 
 
 
2 - Em engenharia elétrica, a equação diferencial parcial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 descreve a tensão na posição no instante em um cabo no qual o vazamento e a indutância são desprezíveis 
(veja figura), onde é a resistência por unidade de comprimento e é a capacitância em relação à terra por unidade de 
comprimento do cabo 
 
a) Demonstre que 
 
 (
 
 ) 
 
satisfaz a equação diferencial parcial, onde é uma constante. 
 
b) Mostre que se a equação anterior satisfaz as condições de contorno , então 
 
 
 . 
 
 
Cálculo de Várias Variáveis 
Trabalho A (1.0) 
Prof. Alexsandro M. Carvalho 
Profa. Thaísa Tamusiunas 
c) Em relação à expressão 
 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
qual é a amplitude e o período das oscilações? 
d) Represente graficamente a tensão em função da posição para um instante arbitrário de tempo 
e) Mostre que 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 No contexto do problema, qual o significado dos limites acima? 
3 – As ondas sonoras do Concorde curvam-se à medida que a temperatura muda acima e abaixo da altitude de vôo do 
avião. A região de sobrepressão é a região no solo que recebe as ondas de choque diretamente do avião, não refletidas 
pela atmosfera nem difratadas ao longo do solo. A região é determinada pelos raios que atingem o solo e que partem 
do ponto diretamente sob o avião (veja figura). 
 
A largura da região na qual pessoas no solo ouvem o estrondo sônico causado pelo Concorde diretamente, e não 
refletido por uma camada na atmosfera, é uma função da temperatura do ar ao nível do solo (em Kelvin), altitude do 
Concorde (em quilômetros) e o gradiente vertical de temperatura (queda de temperatura em Kelvin por 
quilômetro). A expressão para é 
 (
 
 
)
 
 
 
No que segue, suponha que o avião voe a uma altitude constante de 10 
a) O Concorde com destino a Washington aproxima-se dos Estados Unidos vindo da Europa em um curso que o leva ao 
sul da Ilha de Nantucket. Se a temperatura da superfície for 290 K e o gradiente de temperatura vertical for 5 K/km, 
a quantos quilômetros ao sul de Nantucket o avião deverá voar para manter o ruído longe da ilha? 
b) Calcule o gradiente de (por simplicidade associe as coordenadas retangulares e , respectivamente). 
c) Represente a curva de nível – plano -- para , E sobre a mesma represente o vetor 
gradiente para as temperaturas 
d) No contexto do problema, o que indica o gradiente de 
e) Entre as grandezas temperatura ao nível do solo e gradiente vertical de temperatura, qual tem maior influência 
sobre o gradiente de ? Justifique. 
 
4 – Uma fábrica produz rolamentos (de forma cilíndrica) que são vendidos como tendo 4 cm de diâmetro e 6 cm de 
comprimento. Na verdade, as dimensões do rolamento (diâmetro e comprimento) são variáveis aleatórias – típico 
do processo de produção. Sendo assim, suponha que o diâmetro tem distribuição exponencial com média 4 cm, 
enquanto o comprimento tem uma distribuição exponencial com média 6 cm. 
a) Sabendo que a distribuição exponencial é dada por 
 {
 
 
 
 
 
onde é a sua média, escreva a distribuição para cada uma das variáveis aleatórias e . 
b) Se e são variáveis independentes, a distribuição de probabilidade conjunta é onde 
 e referem-se, respectivamente, as distribuições de probabilidades associadas a e . Sendo 
assim, escreva . 
c) Represente graficamente na região e . 
d) Mostre que 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
No contexto do problema, qual o significado deste resultado? 
e) A probabilidade de que esteja entre e e de que esteja entre e é 
 ∫∫ 
 
 
 
 
 
Assim, determine a probabilidade de um rolamento escolhido aleatoriamente da linha de produção ter 
comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais que 0.02 cm. 
 
 
5 – A quantidade física chamada momento de inércia, de grande relevância em diversas engenharias, está para os 
corpos em movimento de rotação, assim como a massa dos mesmos está para o movimento de translação. Em 
outras palavras, a tendência de um sólido para resistir a uma mudança no movimento rotatório em torno de um 
eixo é medida por seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se um sólido ocupada uma região num 
sistema de coordenada retangular e se sua função densidade for contínua em , então os momentos de inércia 
em torno dos eixos são denotados, respectivamente, por e são definidos por 
 ∭ 
 
 ∭ 
 
 ∭ 
 
No que segue, consideramos um cilindro sólido definido na região ( são constantes 
positivas ). 
a) Represente o sólido no espaço. 
b) Considerando que a densidade é constante, mostre que o momento de inércia ao longo do eixo , em 
coordenadas cilíndricas, está associado a expressão 
 ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Resolva a integral do item anterior e mostre que 
 
 
 
 
d) Em relação ao item anterior, qual dimensão do cilindro (raio ou comprimento) possui maior influência sobre o 
momento de inércia ao longo do eixo ? Justifique.