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VARIÁVEL ALEATÓRIA
	Uma função X definida sobre o espaço amostral discreto S e assumindo valores num conjunto enumerável de pontos de IR, é chamada de variável aleatória discreta.
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Exemplo 1: Considere o lançamento de uma
 moeda equilibrada duas vezes. 
Temos o espaço amostral S e a Variável Aleatória X que associa a cada ponto de S o nº de coroas do ponto:
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Exemplo 2: 
Considere o lançamento de uma moeda honesta 3 vazes seguidas. Se c representa cara e k representa coroa, temos o seguinte espaço amostral: 
S = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}. 
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	Considere, agora, a variável aleatória X, que associa a cada ponto amostral do espaço S = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}, o número de caras do ponto. 
	X assume os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, isto é, X(kkk) = 0, X(kkc) = 1, e assim por diante. 
Nesse caso a variável aleatória é representada por X = {0, 1, 2, 3} e a cada valor assumido por X está associada uma probabilidade p(x): 
p(0) = 1/8, p(1) = 3/8, p(2) = 3/8 e p(3) = 1/8.
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	p(x) é chamada de função de probabilidade da variável aleatória X.
	A variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidade
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	No lançamento de uma moeda equilibrada três vezes, a esperança de X é dada por:
Esperança Matemática de uma variável aleatória
	
	Dado uma variável aleatória discreta X, assumindo os valores x1, x2, x3, ... xn, chama-se valor médio, esperança matemática ou valor esperado de X, o valor E(x) = xipi	 	
 E(x) = 
0
x
 1/8
+
 1/8
 3/8
1
x
+
2
x
 3/8
+
3
x
 = 12/8
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Exemplo: 	No Hospital H, a média de dias de internação por paciente é: criança 4 dias, adulto 6 dias e idoso 10 dias, enquanto que, a probabilidade de uma internação ser de criança, adulto ou idoso é, respectivamente, 1/8, 3/8 e 4/8. 
a) Qual o fenômeno considerado na questão?
b) O fenômeno é aleatório? Justifique.
c) Qual o espaço amostral do fenômeno? 
d) Qual o número de dias esperado para uma
 internação no hospital H?
e) Qual a variável aleatória usada no item d)?
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Distribuição de Bernoulli 
3. 	Um dado é lançado: ocorre face 4 (sucesso) ou não (fracasso)
2. 	Uma criança examinada ao nascer é: portadora de doença grave (sucesso) ou não (fracasso)
1. 	Uma criança nasce: o recém nascido é mulher (sucesso) ou não (fracasso);
Consideremos um experimento no qual só existem duas possibilidades de ocorrências: fracasso (F) ou sucesso (S). Tomemos como exemplos as seguintes situações:
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	Um experimento desse tipo é chamado de ensaio de Bernoulli
	Para qualquer ensaio de Bernoulli podemos determinar um espaço amostral E = {S, F}, com probabilidade de sucesso p e probabilidade de fracasso q, e definir uma variável aleatória X que associa a cada ponto de E o n° de sucessos do ponto.
	É fácil perceber que p + q = 1. Daí q = 1 – p. 
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	A distribuição de probabilidade da variável aleatória X que assume apenas os valores 0 e 1, e tem a distribuição de probabilidade abaixo, é chamada distribuição de Bernoulli.
A esperança matemática de uma variável aleatória de Bernoulli é E(X) = p e a variância é s2(X) = p(1-p).
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Exemplo: Vamos considerar o lançamento de um dado honesto. Nesse caso pode ocorrer face 4 ou não, sendo então, sucesso a ocorrência da face 4 e fracasso a ocorrência de qualquer outra face. A variável aleatória X que associa a fracasso o zero e a sucesso o 1, tem a seguinte distribuição de probabilidade:
X é uma variável aleatória de Bernoulli e, nesse caso, E(X) = 1/6 e s2(X) = 1/6.5/6 = 5/36
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Considere agora, n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório, onde cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso (F), com probabilidade q, e sucesso (S), com probabilidade p, de modo que p+q=1. 
Distribuição Binomial
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Considere, ainda, que em cada tentativa as probabilidades de sucesso e fracasso permanecem as mesmas. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto amostral o número de sucessos em n tentativas. Para um resultado particular com k sucessos e n-k fracassos,
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Existem 		(combinações de n elementos k a k) pontos amostrais com k sucessos, logo p(X=k) = pkqn-k 
Diz-se que uma variável aleatória X desse tipo tem Distribuição Binomial de probabilidade, com parâmetros n e p. Notação: X:B(n, p) (Lê-se: variável aleatória X, de distribuição binomial, com n tentativas e probabilidade de sucesso p), onde n = número de repetições (tentativas) e p = probabilidade de sucesso. 
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Exemplo: Ao nascer, uma criança tem a probabilidade p = ½ de ser do sexo feminino e q = ½ de ser do sexo masculino. Em três nas-cimentos, chamando de sucesso (S) o nasci-mento de uma menina e de fracasso (F) o nas-cimento de um menino, temos o espaço amos-tral S = {SSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF} e a seguinte distribuição de probabilidade:
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	Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto amostral o número de meninas do ponto (sucessos). X = {0, 1, 2, 3} e tem a seguinte distribuição de probabilidade:
	A distribuição de probabilidade da variável aleatória X, acima, é a distribuição binomial de probabilidade com 3 tentativas e probabilidade de sucesso p = ½ ou X:B(3, ½). 
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Numa Distribuição Binomial de parâmetros n e p, X: B(n, p), a esperança matemática ou média é  = np e a variância 2 = npq.
Exemplo: Qual a média de meninas em 800 nascimentos? 
Qual a variância?
 = np
800
∙
½ 
= 
400
2 =
800
½ 
∙
∙
½ 
= 
200
= 
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Cálculo da P(X=k) numa Distribuição Binomial de parâmetros n e p, X: B(n, p):
 
Exemplo: 
 Seja X:B(5, ¾), P(X=2) = (¾)2(1/4)3 = 
 = (0,75)2(0,25)3=10x0,5625x0,0156 = 
 = 10x0,0088 = 0,088
 
(n-k)!k! 
n! 
5! 
(5-2)!2! 
5.4.3! 
 3!2! 
P(X= k) 
pkq(n-k) 
= 
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Uma variável aleatória X é contínua quando assume os valores de um intervalo real. Nesse caso, calcula-se a probabilidade de X assumir valores num determinado intervalo, e não num ponto, pois a probabilidade em qualquer ponto será sempre zero. 
 Variável aleatória contínua
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 A probabilidade dos valores de X encontra-rem-se num determinado intervalo (a, b) é igual à medida da área compreendida entre o eixo dos x, as retas verticais que interceptam o eixo dos x em a e b e o gráfico da fdp (função densidade de probabilidade de X). 
P( a < X < b). 
P( a < X < b). 
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	Algumas variáveis aleatórias contínuas são modelos que se adaptam muito bem a vários situações práticas e, por isso, aparecem freqüentemente. Um estudo desses modelos facilita a obtenção das funções de probabili-dade associadas às variáveis aleatórias das situações que se adaptam a eles.
Distribuição Normal
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= E(x) = média 
 = desvio padrão 
x
y
0
	Um desses modelos é a distribuição normal – X:N(, 2) – variável aleatória X, de distribuição normal, com média  e variância 2, que tem a seguinte representação gráfica para os parâmetros  e 2:
 64%
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	Quando  = 0 e 2 = 1, a distribuição é normal padrão – Z:N(0, 1). Se X:N(, 2), então a variável aleatória z = (X -  ) /  é uma distribuição normal padrão. Utiliza-se a distribuição normal padrão para calcular a probabilidade de uma variável aleatória X encontrar-se no intervalo (a, b).
Exemplo: Seja X:N(5, 16). Calcular p(6<X<8)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
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1. Transformar X em Z usando a fórmula
 z = (X -  ) / , no caso, n = (X - 5)/4.
 Para X = 6, z = (6-5)/4 = ¼ = 0,25
 Para X = 8, z = (8-5)/4 = ¾ = 0,75 daí,
 P(6 < X < 8) = P(0,25 < z < 0,75)
2. Olhar na tabela
 
P(0,25 < z < 0,75) = P(z < 0,75) – P(z < 0,25) =
 0,7734 - 0,5987 = 0,1747
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
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Sempre que numa distribuição binomial, np > 5 e nq > 5, ela se aproxima de uma distribuição normal. Nesses casos, usa-se a distribuição normal para determinar probabilidadesda distribuição binomial. Como a distribuição binomial é discreta e a distribuição normal é contínua, para determinar probabilidade da primeira utilizando a segunda, é necessário considerar a correção de continuidade (0,5), visto que, para X = k da distribuição binomial corresponde o intervalo de k-0,5 até k+0,5 da distribuição normal.
Aproximação Normal da Distribuição Binomial de Probabilidade
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Exemplo: considere a distribuição de probabilidade do número de meninos em 16 nascituros. A distribuição é binomial, a probabilidade de sucesso p(S) = p = ½ e a probabilidade de fracasso p(F) = q = ½. 
np = 16.½ = 8 > 5
nq = 16.½ = 8 > 5
Dessa forma, a distribuição de probabilidade se aproxima da distribuição normal. 
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Para usar a distribuição normal, devemos calcular a média aritmética e o desvio padrão da distribuição binomial. Temos:
 = np = 16. ½ = 8
 =  16.½.½ = 2
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Para calcular a probabilidade de mais de 10, entre os 16 nascituros, serem do sexo masculino, usa-se X = 10,5 ao invés de 11. O valor 0,5, somado a 10, é a correção de continuidade. Assim,
p(X > 10,5) = p(z> 1,25) = 0,5 – 0,3944 = 0,1056