1125293 Parte2 Transferencia de calor

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Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 128 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios diferentes, 
haverá, necessariamente, transferência de calor. A transferência de calor é o trânsito de 
energia provocado por uma diferença de temperatura, no sentido da temperatura mais alta 
para a mais baixa. O ramo da ciência que trata da relação entre calor e outras formas de 
energia é a termodinâmica. Seus princípios são baseados em observações e foram 
generalizados em leis julgadas verdadeiras para todos os processos que ocorrem na natureza: 
1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas 
transformada de uma forma para outra. 
2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja a 
transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta. 
Todos os processos de transferência de calor envolvem a transferência e a conversão de 
energia. Dessa forma, eles devem obedecer à primeira e à segunda leis da termodinâmica. A 
literatura reconhece três modos distintos de transferência de calor: condução, convecção e 
radiação. 
 
Condução 
Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um 
fluido. 
A condução pode ser vista como a transferência de energia de partículas mais energéticas para 
partículas de menor energia, devido às interações que ocorrem entre elas. Temperaturas mais 
altas estão associadas a energias moleculares mais altas. Quando moléculas vizinhas colidem 
entre si, há transferência de energia das moléculas de maior energia para as moléculas de 
menor energia. Na presença de um gradiente de temperatura, a transferência de energia por 
condução ocorre, portanto, no sentido da diminuição de temperatura. Em sólidos, as 
moléculas apresentam menor espaçamento. As interações moleculares são, portanto, mais 
fortes e mais freqüentes que nos fluidos. A transferência de calor por condução é, portanto, 
maior em materiais sólidos do que em materiais fluidos, em condições semelhantes. 
Convecção 
Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, quando 
estiverem em temperaturas diferentes. 
A convecção abrange dois mecanismos distintos. Além da transferência de energia devido ao 
movimento molecular aleatório (condução), a energia também é transferida através do 
movimento global ou macroscópico do fluido (advecção). Este movimento, na presença de 
um gradiente de temperatura, contribui para a transferência de calor. 
A transferência de calor por convecção pode ser classificada de acordo com a natureza do 
escoamento do fluido. Ela é dita convecção forçada (Fig. 1a) quando o escoamento é causado 
por meios externos (como um ventilador ou uma bomba) ou quando o escoamento é de ventos 
atmosféricos. Na convecção natural ou livre (Fig. 1b), o escoamento dos fluidos é induzido 
por forças de empuxo, originadas a partir de variações de densidade causadas por diferenças 
de temperatura no fluido. Na prática, podem ocorrer situações nas quais ambas as formas de 
convecção ocorrem simultaneamente. Diz-se, neste caso, que há convecção mista. 
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Figura 1 – Transferência de calor por convecção. (a) Convecção forçada. (b) Convecção natural 
 
Radiação 
Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura 
não nula. 
A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida pelos 
corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e 
retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia 
na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos 
estados eletrônico, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é 
usualmente distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os 
comprimentos de onda representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 2. 
O processo de transferência de calor por radiação ocorre de um corpo a alta temperatura para 
um corpo a baixa temperatura, quando estes corpos estão separados no espaço, ainda que 
exista vácuo entre eles. 
 
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Figura 2 – Espectro de Radiação Eletromagnética 
 
Exemplo 1 – Modos de Transferência de Calor 
Uma garrafa térmica tem o objetivo de manter a temperatura de seu conteúdo constante ao 
longo do tempo, independendo das condições ambientes externas. Identifique os processos de 
transferência de calor que contribuem para o resfriamento de café quente colocado em seu 
interior e discuta sobre as características que minimizam as trocas de calor com o ambiente 
externo. 
As garrafas térmicas são constituídas basicamente de um vaso de vidro com paredes duplas, 
distanciadas entre si de 1 cm, como mostrado na figura a seguir. 
Considerando-se que o fluido no interior da garrafa térmica seja café quente, as trocas de calor entre o 
café e o ambiente são: convecção natural do café para a primeira parede; condução através da primeira 
parede; convecção natural da primeira parede para o ar no interior da garrafa; convecção natural do ar 
para a segunda parede (invólucro plástico); troca líquida por radiação entre as paredes; condução 
através do invólucro plástico; convecção natural do invólucro plástico para o ambiente externo; troca 
líquida por radiação entre a superfície externa do invólucro plástico e a vizinhança. 
 
No processo de fabricação, grande parte do ar é retirado do espaço entre as paredes através de um 
orifício, que a seguir é selado. Com este vácuo parcial, as trocas de calor por condução e convecção 
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são minimizadas. As superfícies das paredes são revestidas por materiais aluminizados (baixa 
emissividade), fazendo com que elas se tornem espelhadas, provocando a reflexão da radiação para o 
interior do recipiente, evitando a transmissão de calor para o exterior. A tampa que fecha a garrafa 
geralmente é oca e feita de borracha ou plástico (materiais isolantes), minimizando a perda de calor 
para o exterior. 
 
EQUAÇÕES DE TAXA 
Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da equação de 
taxa apropriada. A equação de taxa pode ser usada para se calcular a quantidade de energia 
transferida por unidade de tempo. 
A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de W (Watt) no SI. Outra maneira de se 
quantificar a transferência de energia é através do fluxo de calor, 
"q
, que é a taxa de energia 
por unidade de área (perpendicular à direção da troca de calor). No SI, a unidade do fluxo é 
W/m2. 
Condução 
Lei de Fourier 
dx
dT
kq"cond 
 
onde 
"
cond
q
: Fluxo de calor por condução na direção x (W/m2) 
 k: Condutividade térmica do material da parede (W/mK) 
 
calor de fluxo do direção na ra temperatude Gradiente :
dx
dT
 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área perpendicular à 
direção da transferência de calor, 
dx
dT
kAqcond 
 
O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da temperatura 
decrescente. A Lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria (sólidos, líquidos e 
gases), desde que estejam em repouso. 
Convecção 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
Figura 3 – Transferência Convectiva de Calor 
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  TThq S
"
conv
, se TS > T 
 S
"
conv TThq  
, se T > TS 
onde q”conv: Fluxo de calor por convecção (W/m2) 
h: Coeficiente convectivo de calor (W/m2K) 
TS: Temperatura da superfície 
T: Temperatura do fluido 
Assumindo-se um fluxo de calor por convecção constante, a taxa de transferência de calor por 
convecção é dada por 
Aqq "convconv 
 ou 
  TThAq sconv
, se TS > T 
 sconv TThAq  
, se T > TS 
 
A Tabela 1 apresenta valores típicos do coeficiente convectivo h 
Tabela 1 – Valores de h (W/m2.K) 
 Gás Líquido 
Convecção Natural 5-25 50-1.000 
Convecção Forçada 25-250 50-20.000 
Ebulição ou Condensação 2.500-100.000 
Radiação 
Lei de Stefan-Boltzmann 
A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2m a 1000m é chamada 
radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua temperatura. A 
máxima energia térmica emitida por uma superfície é 
4
smax T"q 
 
onde q”max: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2) 
 : Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8 W/m2K4) 
Ts: Temperatura absoluta da superfície (K) 
Se a energia emitida for uniforme ao longo da superfície, a taxa máxima de calor emitida pode 
ser dada por: 
ATq 4smax 
 
onde A: área da superfície 
Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal ou 
um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito absorvedor de 
radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro (independentemente do 
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comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora um corpo negro não exista na 
natureza, alguns materiais se aproximam de um. Por exemplo, uma camada fina de carbono 
preto pode absorver aproximadamente 99% da radiação térmica incidente. 
O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo 
negro à mesma temperatura e é dado por 
4
sreal T"q 
 
onde  é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão da 
superfície em relação a um corpo negro 
 10 
. A Tabela A.5 apresenta a emissividade de 
algumas superfícies selecionadas, a 300K. 
Se o fluxo de calor for uniforme ao longo da superfície, a taxa total de calor emitida pode ser 
dada por: 
ATq 4sreal 
 
onde A: área da superfície 
Análises experimentais mostram que os metais, em geral, apresentam baixa emissividade. No 
entanto, a sua oxidação provoca um aumento nesta propriedade. Ao contrário dos metais, os 
materiais não condutores apresentam alta emissividade. 
Quando uma energia radiante atinge a superfície de um material, parte da radiação é refletida, 
parte é absorvida e parte é transmitida, como mostrado na Fig. 4. A refletividade  é a 
propriedade radiativa que representa a fração refletida, ou seja, a razão entre a parcela 
refletida pela superfície e a radiação incidente sobre ela. Da mesma forma, a absortividade  é 
a fração absorvida e a transmissividade  é a fração transmitida através da superfície. Como a 
soma das parcelas absorvida, refletida e transmitida pela superfície deve ser igual à radiação 
incidente sobre ela, pode-se perceber que a soma das propriedades radiativas deve ser igual à 
unidade, ou seja, 
1
 
 
Figura 4 – Radiação Incidente sobre uma Superfície 
O cálculo da taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante 
complexo e depende das propriedades radiativas das superfícies, de seu formato e de seu 
posicionamento geométrico. Por exemplo, a troca de calor por radiação entre duas placas 
negras paralelas de 1 m x 1 m, distanciadas de 1m, é de 1,13 kW. Se estas mesmas placas 
estivessem distanciadas de 2 m, a troca de calor por radiação seria de 0,39 kW. Um caso 
especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena 
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superfície a uma temperatura TS e uma superfície isotérmica bem maior que a primeira, que a 
envolve completamente (Fig. 5). 
 
Figura 5 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies 
Considerando-se a superfície menor cinzenta 
  
, o fluxo líquido de transferência de 
calor por radiação a partir da superfície é dado por 
 44s"rad TTq 
 
A taxa líquida de troca de calor é 
 44srad TTAq 
 
onde A: área da superfície menor 
 TS: Temperatura da superfície menor 
 T∞: Temperatura da superfície maior 
Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como 
   2viz2sssrad TTTTTTAq  
 
Definindo-se 
  22ssr TTTTh  
 
a equação da taxa de calor por radiação pode ser escrita como 
  TTAhq srrad
 
Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já que 
nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta para ela. 
As superfícies mostradas na Fig. 3 podem também, simultaneamente, trocar calor por 
convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada, portanto, 
pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção, 
convrad qqq 
 
A Tabela 2 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de transferência 
de calor. 
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Tabela 2 – Equações de Taxa 
 Taxa Fluxo 
Condução 
dx
dT
kAqcond 
 
dx
dT
kq"cond 
 
Convecção 
  TThAq sconv
 
  TThq S
"
conv
 
Radiação 
 44srad TTAq 
 
 44s"rad TTq 
 
 
Exemplo 2 – Taxas de calor: radiação e convecção natural 
Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala onde o ar e as 
paredes se encontram a 25oC. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a temperatura de sua 
superfície é de 200oC e sua emissividade é de 0,8. O coeficiente associado com a transferência 
de calor por convecção natural da superfície para o ar é de 15 W/m2.K. Determine a taxa de 
calor perdida pela superfície do tubo, por unidade de comprimento. 
A perda de calor da tubulação para o ar da sala se dá por convecção e, para as paredes, por radiação. A 
taxa total de calor perdida é, portanto, a soma da taxa perdida por convecção com a taxa perdida por 
radiação. 
radconv qqq 
 
A taxa de calor perdida por convecção é calculada pela lei de resfriamento de Newton, 
  TThAq sconv
 
onde A é a área de troca de calor, ou seja, a área superficial do tubo, 
dLA 
 
  TTdLhq sconv
 
A taxa de calor perdida por radiação para as paredes pode ser calculada, considerando-se a superfície 
do tubo cinzenta, pela lei de Stefan-Boltzmann, 
 44srad TTAq 
 
onde 
dLA 
 
 44srad TTdLq 
 
A taxa total de troca de calor é dada, portanto, por 
   44ss TTdLTTdLhq  
 
A taxa de calor por unidade de comprimento pode ser obtida dividindo-se a equação anterior por L, 
   44ss TTdTTdh
L
q
 
 
      44
42
8o
2
K15,298K15,473.m07,0.
K.m
W
10x67,5.8,0C25200
K.m
W
15.m07,0.
L
q
 
 
Deve ser observado que a temperatura pode ser escrita em oC quando se avaliam diferenças de 
temperatura em processos de transferência de calor por condução ou por convecção (diferença linear 
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Transferência de Calor 
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de temperatura). No entanto, a temperatura deve ser escrita em K emprocessos de transferência de 
calor por radiação (temperaturas elevadas à quarta potência). 
m/W421m/W577
L
q

 
m/W998
L
q

 ◄ 
Na situação deste exemplo, as taxas de transferência de calor por radiação e convecção possuem 
magnitudes comparáveis, pois o valor da temperatura superficial é grande quando comparado ao valor 
da temperatura das vizinhanças e o coeficiente associado à convecção natural é pequeno. 
 
Exemplo 3 – Taxas de calor: radiação e convecção forçada 
Um cilindro oco de madeira, de 2 cm de diâmetro e 1 m de comprimento, é aquecido pela 
passagem de uma resistência elétrica. A temperatura superficial externa do cilindro é mantida 
constante em 40oC. Ele é exposto a uma corrente de ar a temperatura de 15oC, sendo o 
coeficiente convectivo associado de 100 W/m2.K. Determine e compare as taxas de calor 
trocadas entre o cilindro e o ambiente 
a) por convecção 
b) por radiação. 
a) A taxa de calor perdida por convecção é dada por 
  TThAq sconv
 
como 
dLA 
 
  TTdLhq sconv
 
  C1540
Km
W
100.m1.m02,0.q
o
2

 
W08,157q 
 ◄ 
b) A taxa de calor perdida por radiação é dada por 
 4viz4srad TTAq 
 
ou 
 44srad TTdLq 
 
Da Tabela A.5, a emissividade da madeira a 300K varia entre 0,82 e 0,92. Assumindo-se um valor 
médio, 
86,0
 
    44
42
8 K15,288K15,313.m1.m02,0.
K.m
W
10x67,5.86,0q  
 
W34,8q 
 ◄ 
Percebe-se que a taxa de calor perdida por radiação representa apenas 5% da taxa total de calor, 
podendo ser desprezada em cálculos de engenharia. Isto pode ser explicado pelo alto valor do 
coeficiente convectivo e pelos valores próximos de temperatura ambiente e da superfície do cilindro. 
 
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INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO 
A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos 
observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais. 
Para a condução unidimensional, 
dx
dT
kq" x,cond 
 
O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por 
Tk"q 
 
onde  é o operador gradiente. A Tabela 3 apresenta, para os três sistemas de coordenadas, a 
lei de Fourier. 
Tabela 3 – Lei de Fourier 
Sistema de 
coordenadas 
Lei de Fourier Forma compacta 
Cartesianas 














 k
z
T
j
y
T
i
x
T
kq ˆˆˆ"
 
kqjqiqq zyx
ˆ""ˆ"" 
 
Cilíndricas 














 k
z
T
j
T
r
i
r
T
kq ˆˆ
1ˆ" 
 
kqjqiqq zr
ˆ"ˆ"ˆ""  
 
Esféricas 














 k
T
r
j
T
r
i
r
T
kq ˆ
sen
1ˆ1ˆ" 
 
kqjqiqq r
ˆ"ˆ"ˆ""  
 
 
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA 
A condutividade térmica (k) representa a capacidade de um corpo transferir calor. Ela 
depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Para uma taxa de calor 
fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma redução do gradiente de 
temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Para uma diferença fixa de 
temperatura, um aumento na condutividade térmica representa um aumento da taxa de calor 
transferida. Em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de um líquido que, 
por sua vez, é maior que a de um gás. Esta tendência se deve, em grande parte, às diferenças 
de espaçamento intermolecular nos estados da matéria, mas também se deve às diferenças 
entre as estruturas moleculares dos materiais. As moléculas de um metal são compactadas e 
bem ordenadas, permitindo uma melhor transferência de calor do que em um material não 
metálico, que possui as moléculas mais esparsas. Os elétrons livres, presentes nos materiais 
metálicos, são em parte responsáveis pela elevada condutividade térmica destes materiais. 
Assim, bons condutores elétricos geralmente possuem altas condutividades térmicas. Os 
sólidos inorgânicos com estrutura cristalina menos ordenada que os metais apresentam 
menores condutividades térmicas. Materiais orgânicos e fibrosos como a madeira têm 
condutividades ainda menores. No Sistema Internacional, a unidade de k é W/(m.K). A 
Tabela A.6 apresenta valores da condutividade térmica para alguns materiais, a 300 K. 
O produto cp (densidade * calor específico), comumente chamado de capacidade calorífica, 
mede a capacidade de um material de armazenar energia térmica. No Sistema Internacional, a 
unidade da capacidade calorífica é kg.K/(m3.s2). 
A difusividade térmica  é definida como sendo a razão entre a condutividade térmica e a 
capacidade calorífica 
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pc
k


 
Esta propriedade mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à 
sua capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de  responderão 
rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais com 
valores reduzidos de  responderão mais lentamente, levando mais tempo para atingir uma 
nova condição de equilíbrio. Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades 
térmicas, enquanto os sólidos não metálicos apresentam menores valores desta propriedade. 
No SI, a unidade de  é m2/s. 
 
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR 
Coordenadas Cartesianas 
Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de 
temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim, 
pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua 
superfície utilizando-se a lei de Fourier. Seja o volume de controle infinitesimal de dimensões 
dx, dy e dz mostrado na Fig. 6. 
gE

representa a geração interna de calor que pode existir no 
volume de controle, ou seja, a conversão de outras formas de energia em energia térmica. Esta 
conversão pode ser através de uma reação química exotérmica ou o aquecimento do volume 
de controle por uma resistência elétrica. 
aE

 é o acúmulo de energia que pode existir no 
volume de controle ao longo do tempo. 
zyx q e q ,q
são as taxas de calor por condução nas três 
direções. 
Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle 
 
agse EEEE
 
 
    dxdydz
t
T
cdxdydzqqqqqqq pdzzdyydxxzyx


  
 
 
Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas) 
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q
: Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m3) 
t
T
cp



: Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m3) 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções, 
dz
z
q
qqdy
y
q
qqdx
x
q
qq zzdzz
y
ydyy
x
xdxx








 
 
Assim, 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
qqqq p
z
z
y
y
x
xzyx


















 
 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
p
zyx











 
 
      dxdydz
t
T
cdxdydzqdzq
z
dyq
y
dxq
x
pzyx











 
 
As taxas 
zyx q e q ,q
podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier 
dxdy
z
T
kqdxdz
y
T
kqdydz
x
T
kq zyx









 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdzdxdyz
T
k
z
dydxdz
y
T
k
y
dxdydz
x
T
k
x
p



































 
 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdxdydz
z
T
k
z
dxdydz
y
T
k
y
dxdydz
x
T
k
x
p

































 
Dividindo-se todos os termos pelo volume infinitesimal dxdydz, 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































 
Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação, 
adotando-se algumas hipóteses: 
 Condutividade térmica constante (k constante): 
t
T
k
c
k
q
z
T
y
T
x
T p
2
2
2
2
2
2










  
Sabendo que a difusividade térmica é 
pc
k


 
A equação anterior pode ser reescrita como: 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 140 
t
T1
k
q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2











  
 Regime Permanente 
 0


t
T
: 
0q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x































 
 Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração interna de calor 
0
dx
dT
k
dx
d






 
  0"q
dx
d
X 
 
ou seja 
constante"q X 
 
Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem geração 
interna de energia, o fluxo de calor é constante. 
 
Exemplo 4 – Distribuição de temperaturas em uma parede plana – k variável 
Uma parede plana tem a superfície interna (x = 0) mantida a 300 K, enquanto a superfície 
externa (x = 0,5 m) é mantida a 550 K. Dada a grande diferença de temperatura entre as 
extremidades, a condutividade térmica do material da parede não pode ser considerada 
constante, sendo dada pela expressão 
06711.0x246.0x2965.1
1
k
2 

. Determine a 
distribuição de temperaturas no interior da parede e o fluxo de calor na posição x = 0,3 m, 
considerando a condução unidimensional em regime permanente, sem geração de calor. 
A equação da difusão de calor, em coordenadas cartesianas, é dada por 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































 
Considerando-se a condução unidimensional, em regime permanente, sem geração interna de calor, 
esta equação se reduz a 
0
dx
dT
k
dx
d






 
Como a condutividade térmica do material da parede não é constante, variando com a posição x, ela 
deve ser incluída na equação antes que a integração da equação seja feita. Assumindo-se 
cbxax
1
06711.0x246.0x2965.1
1
k
22 



 
0
dx
dT
cbxax
1
dx
d
dx
dT
k
dx
d
2



















 
Integrando-se uma vez a equação, obtém-se 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 141 
12
C
dx
dT
cbxax
1







 (1) 
ou 
 cbxaxC
dx
dT 2
1 
 
Integrando-se a equação uma segunda vez, 
2
23
1 Ccx
2
bx
3
ax
CT 









 (2) 
ou 
2
23
1 Cx06711,0
2
x246,0
3
x2965,1
CT 









 
Para a determinação das constantes de integração, é necessário aplicar as condições de contorno. 
  K3000xT 
 (3) 
  K550m5,0xT 
 (4) 
Substituindo-se a condição de contorno (3) na equação (2), 
   
2
23
1 0.06711,0
2
0246,0
3
02965,1
300 CC 









 
KC 3002 
 
Substituindo-se a condição de contorno (3) na equação (2), 
   
3005,0.06711,0
2
5,0246,0
3
5,02965,1
550
23
1 







 C
 
2
1 m/W4399C 
 
Substituindo-se os valores encontrados para as constantes, 
300x295x541x1901T 23 
 ◄ 
O fluxo de calor pode ser obtido através da lei de Fourier, 
dx
dT
k"q 
 
Como 
1C
dx
dT
k 
 (Equação 1) 
1C"q 
 
2m/W4399"q 
 ◄ 
 
Coordenadas Cilíndricas 
Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se escrever a 
equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 142 
 
Figura 7 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas) 
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
p2 
































 
Coordenadas Esféricas 
 
Figura 8 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas) 
t
T
cq
T
ksen
senr
1T
k
senr
1
r
T
kr
rr
1
p222
2
2 



































 
Condições de Contorno e Condição Inicial 
A solução das equações que governam um problema depende ainda das condições físicas que 
existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for dependente 
do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial (condição inicial). 
Como a equação da condução de calor é uma equação de segunda ordem nas coordenadas 
espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada coordenada espacial que 
descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no tempo, basta apenas uma 
condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de condições de contorno 
comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a situação para um sistema 
unidimensional, especificando a condição de contorno na superfície em x = 0, com a 
transferência de calor ocorrendo no sentido positivo do eixo x. 
1) Temperatura da Superfície Prescrita 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 143 
sTtT ),0(
 
 
2) Fluxo de Calor Prescrito na Superfície 
)0("
0
x
x
q
x
T
k 




 
a) Fluxo de Calor Diferente de Zero 
"
0
S
x
q
x
T
k 




 
 
 
b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática) 
0
0



xx
T
 
 
3) Condição Convectiva na Superfície 
  tTTh
x
T
k
x
,0
0



 

 
 
 
Exemplo 5 – Fluxo e taxa de calor em uma casca esférica 
Uma casca esférica, com os raios interno e externo ri e ro, respectivamente, contém 
componentes que dissipam calor. Se a distribuição de temperatura na casca é da forma 
2
1 C
r
C
)r(T 
, determine as expressões para o fluxo térmico e a taxa de calor em função do 
raio r. 
O fluxo e a taxa de calor podem ser calculados através da lei de Fourier, 
dr
dT
k"q 
 
Derivando-se a temperatura em função do raio da casca esférica,2
1
r
C
dr
dT

 







2
1
r
C
k"q
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 144 
2
1
r
C
k"q 
 ◄ 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área superficial da esfera, 
2r4A 
 
2
12
2
1
r
C
r4.k
r
C
kAA"qq 
 
1kC4q 
 ◄ 
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 
Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Fig. 9). Considere 
a condução unidimensional de calor através da parede, em regime permanente, sem geração 
interna. A temperatura é função somente de uma coordenada espacial (no caso x) e o calor é 
transferido unicamente nesta direção. A transferência de calor ocorre por convecção do fluido 
quente a T1 para a superfície da parede a TS1 em x = 0, por condução através da parede e por 
convecção da superfície da parede em x = L a TS2 para o fluido frio a T2. 
 
Figura 9 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana 
A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da 
solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































 
Hipóteses: 
 Condução unidimensional 





 



 0
z
T
y
T
 
 Sem geração interna 
 0q 
 
 Regime permanente
 0
t
T 


 
A equação se reduz, então, a 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 145 
0
dx
dT
k
dx
d






 
Considerando-se a condutividade térmica do material constante, 
0
dx
Td
k
2
2

 ou 
0
dx
Td
2
2

 
Integrando-se 2 vezes em x, 
1C
dx
dT

 
21 CxCT 
 
Para se determinar as constantes de integração C1 e C2, aplicam-se as condições de contorno: 
  1,ST0T 
 
  2,STLT 
 
Assim, 
L
TT
C
1,S2,S
1


 
1,S2 TC 
 
  1,S
1,S2,S
Tx
L
TT
xT 




 

 
Na condução unidimensional em regime permanente numa parede plana sem geração de 
calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x. 
A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier 
dx
dT
kAq x 
 
Derivando-se a equação encontrada para o perfil de temperaturas na direção x, 
 2,S1,Sx TT
L
kA
q 
 
O fluxo de calor é dado por 
 2,S1,Sx"x TT
L
k
A
q
q 
 
Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes. 
Resistência Térmica 
Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um 
circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência 
como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência, a 
resistência térmica assume a forma 
q
T
R t


 
Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 146 
kA
L
R cond,t 
 
Para a convecção 
hA
1
R conv,t 
 
Para a radiação 
Ah
1
R
r
rad,t 
 onde 
  22SSr TTTTh  
 
Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a mesma 
forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão utilizada para a 
área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões para os diferentes 
sistemas de coordenadas. 
No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a superfície é 
conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa de calor é 
constante. 
2convcond1convx qqqq 
 
ou 
     2,2,S22,S1,S1,S1,1x TTAhTT
L
kA
TTAhq  
 
Reescrevendo-se a equação anterior, 
     
Ah
1
TT
kA
L
TT
Ah
1
TT
q
2
2,2,S2,S1,S
1
1,S1,
x
 





 
Utilizando-se o conceito de resistência térmica, 
     
2conv
2,2,S
cond
2,S1,S
1conv
1,S1,
x
R
TT
R
TT
R
TT
q
 





 
Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 147 
 
Figura 10 – Circuito Térmico 
Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da diferença 
global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot. 
tot
2,1,
x
R
TT
q
 

 
Como as resistências térmicas condutiva e convectivas estão em série, 
2convcond1convtot RRRR 
 
Ah
1
kA
L
Ah
1
R
21
tot 
 
 
Parede Composta 
Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede 
composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes (Fig. 
11). 
 
Figura 11 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana 
A taxa de transferência de calor qx é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 148 
tot
4,1,
4
4,4,S
C
C
4,S3,S
B
B
3,S2,S
A
A
2,S1,S
1
1,S1,
x
R
TT
Ah
1
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
1
TT
q
 











 
onde 
Ah
1
Ak
L
Ak
L
Ak
L
Ah
1
RR
2C
C
B
B
A
A
1
ttot  
 
No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies da 
parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, a taxa total de calor entre a superfície e o 
fluido seria dada como a soma das taxas de calor por convecção e radiação. A resistência 
térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à resistência à 
convecção, já que o potencial (T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo. O circuito 
térmico, se forem consideradas as trocas de calor por radiação, é dado por 
 
Figura 12 – Circuito Térmico Equivalente 
 
Exemplo 6 – Circuito térmico: parede plana 
A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividades 
térmicas conhecidas, kA = 25 W/m.K e kC = 50 W/m.K. A espessuras dos 3 materiais são LA = 
0,30 m e LB = LC = 0,15 m e a área da superfície é de 1 m
2. Em condições de regime 
permanente, medições efetuadas revelam uma temperatura na superfície externa do forno TS4 
= 20oC, uma temperatura na superfície interna TS1 = 600 K e uma temperatura no interior do 
forno T = 800 K. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do 
forno é 15 W/m2.K e a emissividade do material A vale 0,7, desenhe o circuito térmico 
equivalente e calcule o valor da condutividade térmica do material B. 
 
O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 149 
Deve ser observado que, uma vez que não foram fornecidos dados a respeito de quaisquer fluidos que 
possam estar em contato com a superfície C, o circuito termina na superfície externa do material C. 
Como a temperatura da superfície interna TS1 é alta, os efeitos de radiação são importantes e devem ser 
considerados nos cálculos. 
Sabe-se que a taxa de transferênciade calor é constante através da parede. 
2eq
4S1S
1eq
1S
eq
4S
R
TT
R
TT
R
TT
q





 
 (1) 
onde 
2eq1eqeq RRR 
 
radconv1eq R
1
R
1
R
1

 
3cond2cond1cond2eq RRRR 
 
As resistências térmicas são dadas por 
W/K0667,0
m1.K.m/W15
1
hA
1
R
22conv

 
Ah
1
R
r
rad 
 
onde 
     
Km
W
566,55K800600K800K600
Km
W
10x67,5.7,0TTTTh
2
222
42
82
1S
2
1Sr 


 
W/K018,0
m1.K.m/W566,55
1
R
22rad

 
Assim, 
W/K01417,0Req 
 
W/K012,0
m1.K.m/W25
m30,0
Ak
L
R
2
A
A
1cond 
 
B
2
BB
B
2cond
k
15,0
m1.k
m15,0
Ak
L
R 
 
W/K003,0
m1.K.m/W50
m15,0
Ak
L
R
2
A
A
3cond 
 
W/K003,0
k
15,0
W/K012,0R
B
2eq 
 
Substituindo-se os valores e expressões das resistências térmicas na equação (1), tem-se 
B2eq
4S1S
1eq
1S
k/15,0W/K015,0
K15,293K600
W/K01417,0
K600K800
R
TT
R
TT








 
K.m/W25,22kB 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 150 
 
Resistência de Contato 
Em sistemas compostos, a queda de temperatura nas interfaces pode ser considerável. Esta 
mudança de temperatura é atribuída a uma resistência térmica de contato. A existência de uma 
resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície (Figura 
13). Assim, existem regiões vazias na interface que são, na maioria dos casos, preenchidas 
com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à condução de calor através da área de 
contato real e à condução e/ou radiação através das falhas. 
 
Figura 13 – Resistência Térmica de Contato 
 
A resistência de contato normalmente é adicionada ao circuito térmico como uma resistência 
em série com as resistências à condução através dos materiais. Para uma área de interface 
unitária, a resistência térmica de contato é definida pela expressão: 
x
BA
tc
q
TT
R
"
"


 
Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente nas falhas, a 
resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento da área dos pontos de contato. Este 
aumento pode ser obtido por um acréscimo na pressão de contato ou junção e/ou pela redução 
da rugosidade das superfícies em contato. A resistência de contato pode ser reduzida pela 
seleção de um fluido com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Duas 
classes de materiais que são adequadas para este propósito são os metais macios e as graxas 
térmicas. Os metais podem ser inseridos na forma de finas folhas ou películas, ou aplicados 
como um fino revestimento em um dos materiais em contato. As graxas térmicas à base de 
silicone (silício) são alternativas interessantes, pois preenchem completamente os interstícios 
entre os materiais. 
 
Tabela 4 – Resistência Térmica de Contato Sólido/Sólido 
Interface R”tc x104 (m2.K/W) 
Chip de silício/alumínio esmerilhado com ar (27 – 500 kN/m2) 0,3 – 0,6 
Alumínio/alumínio com folha de índio (~ 100 kN/m2) ~ 0,7 
Aço inoxidável/aço inoxidável com folha de índio (~ 100 kN/m2) ~ 0,04 
Alumínio/alumínio com revestimento metálico (Pb) 0,01 – 0,1 
Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 100 kN/m2) ~ 0,07 
Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 3500 kN/m2) ~ 0,04 
Chip de silício/alumínio, com 0,02 mm de epóxi 0,2 – 0,9 
Latão/latão com 15m de solda à base de estanho 0,025 – 0,14 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 151 
 
Embora várias técnicas tenham sido desenvolvidas para estimar a resistência de contato, os 
valores mais confiáveis são aqueles obtidos experimentalmente. A Tabela 4 apresenta valores 
para a resistência de contato entre sólidos diferentes, com vários materiais intersticiais. A 
Tabela 5 apresenta valores para a resistência de contato em uma interface de alumínio, para 
diferentes fluidos interfaciais. 
 
Tabela 5 – Resistência Térmica de Contato em uma Interface de Alumínio 
Fluido Interfacial R”tc x104 (m2.K/W) 
Ar 2,75 
Hélio 1,05 
Hidrogênio 0,720 
Óleo de silicone 0,525 
Glicerina 0,265 
 
Configurações do tipo Série-Paralelo 
Seja a parede composta apresentada na Fig. 14. Embora neste sistema a transferência de calor 
seja bidimensional, é razoável a adoção da hipótese de condições unidimensionais. Com base 
nestas hipóteses, podem ser usados dois circuitos térmicos diferentes, mostrados na Fig. 15. 
No caso (a), supõe-se que as superfícies perpendiculares à direção x são isotérmicas e, no caso 
(b), que as superfícies paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada 
caso, representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor. As 
diferenças entre os resultados relativos dos dois circuitos aumentam com o aumento da 
diferença de condutividade térmica entre os materiais B e C, já que os efeitos bidimensionais 
se tornam mais importantes. 
 
 
Figura 14 – Parede Composta Figura 15 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa 
Parede Composta 
 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 152 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE – SISTEMAS RADIAIS – 
CILINDRO 
Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a 
superfície externa, a um fluido frio (Fig. 16). 
 
Figura 16 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco 
A equação que governa a transferência de calor no interior do cilindro é 
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
p2 
































 
Se forem adotadas as hipóteses de 
 Condução unidimensional 




 



 0
z
TT
 
 Sem geração interna 
 0q 
 
 Regime permanente 
 0
t
T 


 
a equação pode ser reduzida a 
0
dr
dT
kr
dr
d
r
1






 
0
dr
dT
kr
dr
d






 
0
L2
q
dr
d r 







 
  0q
dr
d
r 
 
ou 
constanteqr 
 
A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro. 
Considerando-se a condutividade térmica k constante, 
0
dr
dT
r
dr
d
r
k






 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 153 
0
dr
dT
r
dr
d






 
Integrando-se uma vez em r, 
1C
dr
dT
r 
 ou 
r
C
dr
dT 1
 
Integrando-se outra vez em r, 
  21 CrlnCrT 
 
Aplicando-se as condições de contorno 
  1s1 TrrT 
 
  2s2 TrrT 
, 
podem-se obter as constantes de integração C1 e C2 
 21
2s1s
1
r/rln
TT
C


 
  221
2s1s
2s2 rln
r/rln
TT
TC


 
Assim, 
  2s221
2s1s T
r
r
ln
r/rln
TT
T 






 
A taxa de transferência de calor é dada por 
dr
dT
rL2k
dr
dT
kAqr 
 
Deve ser ressaltado que a área a ser usada é aquela perpendicular à direção da transferência de 
calor, ou seja, a área lateral do cilindro. 
Como 
 21
2s1s
r/rln
TT
r
1
dr
dT 

 
 12
2s1s
r
r/rln
TT
Lk2q


 
O fluxo de calor é dado por 
dr
dT
k"q r 
 
 12
2s1s
r
r/rln
TT
r
k
"q


 
A taxa decalor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio r), o 
que não acontece com o fluxo de calor, que é função da coordenada radial r. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 154 
A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por 
r
2s1s
cond
q
TT
R


 
 
Lk2
r/rln
R 12cond


 
Parede Cilíndrica Composta 
Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração interna, 
através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Fig. 17. 
 
Figura 17 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta 
A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim, desprezando-se os efeitos radiativos, 
2conv
14s
3cond
4s3s
2cond
3s2s
1cond
2s1s
1conv
1s1
tot
41
r
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
q 












 
onde 
     
44C
34
B
23
A
12
11
ttot
Lhr2
1
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lhr2
1
RR










 
 
Exemplo 7 – Circuito térmico: cilindro 
Um fluido quente escoa no interior de um tubo cilíndrico de aço AISI 304, de raio interno 
igual a 10 cm e raio externo igual a 12 cm e 2 m de comprimento. O coeficiente total de 
transferência de calor (convecção + radiação) entre o fluido quente e a superfície interna do 
tubo é 25 W/m2.K. Para diminuir as perdas térmicas para o ambiente a 15oC, o tubo foi 
revestido por uma manta de fibra de vidro (emissividade 0,85), de 2,5 mm de espessura O 
coeficiente convectivo externo é igual a 20 W/m2.K. Se a superfície externa do revestimento 
se encontra a 80oC, determine: 
a) A taxa total de calor trocada entre o fluido quente e o ambiente externo; 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 155 
b) A temperatura do fluido quente. 
a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir 
 
A taxa de transferência de calor é dada por 
2eq
23S
R
TT
q 


 (1) 
onde 
2rad2conv2eq R
1
R
1
R
1

 
As resistências térmicas são dadas por 
W/K0325,0
m2.m1225,0.2.K.m/W20
1
Lr2.h
1
Ah
1
R
2
32c22c
2conv 




 
É importante ressaltar que a convecção externa deve ser calculada baseando-se na área superficial 
externa do cilindro, 
Lr2A 32 
, onde r3 é o raio externo do cilindro de aço, somado à espessura do 
isolamento de fibra de vidro, 
m1225,0m0025,0m12,0trr 23 
 
Lr2.h
1
Ah
1
R
32r22r
2rad 

 
onde 
      222
42
82
1S
2
1S2r K15,28815,353K15,288K15,353
Km
W
10x67,5.85,0TTTTh  
 
Km
W
42,6h
22r

 
W/K1012,0
m2.m1225,0.2.K.m/W42,6
1
R
22rad



 
Assim, 
W/K246,0R 2eq 
 
A taxa de transferência de calor é dada pela equação (1), 
 
W/K0246,0
K1580
q


 
W2644q 
 ◄ 
Para se calcular a temperatura do fluido quente, T1, é necessário calcular as resistências térmicas Req1, 
Rcond1
 e Rcond2. 
A primeira resistência é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 156 
W/K03183,0
m2.m1,0.2.K.m/W25
1
Lr2.h
1
Ah
1
R
2
1111
1eq 




 
As resistências térmicas à condução são dadas por 
 
1
12
1cond
Lk2
r/rln
R


 
Da Tabela A.6, k1 = 14,9 W/m.K 
 
W/K00974,0
K.m/W9,14.m2.2
m10,0/m12,0ln
R 1cond 


 
 
2
33
2cond
Lk2
r/rln
R


 
Da Tabela A.6, k2 = 0,038 W/m.K 
 
W/K04318,0
K.m/W038,0.m2.2
m12,0/m1225,0ln
R 1cond 


 
Sabendo que 
2cond1condeq
3S1
RRR
TT
q


 
 
04318,0000974,003183,0
C80T
2644
o
1


 
 
K1,554C9,200T o1 
 ◄ 
 
Espessura Crítica de Isolamento 
Suponha que se deseje resfriar um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido 
quente e a superfície externa, a um fluido frio (Fig. 18). Para se aumentar ou diminuir a taxa 
de calor retirada do cilindro sem alterar as condições do escoamento externo, pode-se colocar 
uma camada de um segundo material sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente 
do material do cilindro. 
 
Figura 18 – Parede Cilíndrica Composta 
A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da 
espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro, r2. Como a 
resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 157 
comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência térmica 
equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 19). 
 
Figura 19 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2 
 
A taxa de calor é dada por 
eq
1S
r
R
)TT(
q 


 
onde 
hLr2
1
kL2
)r/rln(
R
2
12
eq




 
Assim, 
hr
1
k
)r/rln(
)TT(L2
q
2
12
1S
r


 
 
O máximo valor de qr é obtido fazendo-se 
0
dr
dq
2
r 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 158 
0
hr
1
k
)r/rln(
hr
1
kr
1
)TT(L2
dr
dq
2
2
12
2
22
1S
2
r 


















 
Esta condição é satisfeita quando 
h
k
rr c2 
 
rc = Raio crítico 
Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo em r = 
rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 19. 
 
Exemplo 8 – Raio crítico 
No Laboratório de Transferência de Calor da PUC Minas é feita uma experiência para 
determinar o coeficiente convectivo associado ao escoamento de ar sobre um cilindro exposto 
ao ar ambiente. O cilindro é feito de um material metálico e possui diâmetro externo de 2 in e 
comprimento de 0,78 m. Ele é revestido externamente por lã de vidro (k = 0,06 W/m.K) com 
1 in de espessura. A superfície interna do cilindro é aquecida pela passagem de uma corrente 
elétrica (V = 30 V e i = 2,4 A). São medidas as temperaturas ambiente e da superfície interna 
do revestimento. 
a) Para uma temperatura ambiente de 20oC e uma temperatura interna do revestimento de 
480oC, calcule o coeficiente convectivo externo; 
b) Calcule o raio crítico de isolamento. A espessura do revestimento é superior ou inferior à 
espessura crítica de isolamento? Determine, qualitativamente, o que aconteceria com a 
temperatura interna do revestimento se a espessura do isolamento fosse tal que o raio externo 
do revestimento fosse igual ao raio crítico de isolamento. 
a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir, desprezando-se os efeitos 
de radiação 
 
A energia gerada por efeito Joule é transferida por condução através do cilindro e do isolante e perdida 
para o ambiente. Assim, pode-se dizer que 
W72A4,2.V30ViRiq 2 
 
A taxa de transferência de calor é dada por 
conv2cond
2S
RR
TT
q


 
 
onde a resistência à condução no isolante é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 159 
 
2
33
2cond
Lk2
r/rln
R


 
onde r2 e r3 representam, respectivamente, o raio interno e o raio externo do isolante térmico. O raio 
externopode ser obtido somando-se o raio interno à espessura do isolamento 
m0508,0m0254,0m
2
0508,0
t
2
d
trr 223 
 
É importante ressaltar que as unidades foram convertidas do sistema britânico (in) para unidades do 
Sistema Internacional (m). Assim, 
 
m/W357,2
K.m/W06,0.m78,0.2
m0254,0/m0508,0ln
R 2cond 


 
O objetivo é determinar o coeficiente convectivo h. Para isso, deve-se determinar a resistência à 
convecção externa. 
Como 
conv2cond
2S
RR
TT
q


 
, 
q
TT
RR 2Sconv2cond

 
ou 
conv
2S
2cond R
q
TT
R 

 
 
W/K032,4W/K357,2
W72
C20C480
R 2cond 


 
Mas 
Lr2.h
1
hA
1
R
3
conv


 
Assim, 
m78,0.m0508,0.2.h
1
W/K032,4


 
K.m/W996,0h 2
 ◄ 
b) O raio crítico é dado por 
h
k
rc 
 
K.m/W996,0
K.m/W06,0
r
2c

 
m060,0rc 
 ◄ 
Para a espessura de isolante utilizada, o raio externo é menor que o raio crítico. Como a taxa de calor 
perdida para o ambiente aumenta até ser atingido o raio crítico, se o raio externo fosse igual ao raio 
crítico, a temperatura do isolamento seria menor. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 160 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE – SISTEMAS RADIAIS – 
ESFERA 
Seja uma esfera oca cujas superfícies interna e externa se encontram, respectivamente, a 
temperaturas Ts1 e Ts2 (Fig. 20), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração interna nas paredes da esfera. 
 
Figura 20 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica 
Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o perfil 
de temperaturas no interior da esfera, como feito para coordenadas cartesianas e cilíndricas. 
Com o perfil de temperaturas, pode-se determinar a taxa de calor conduzida através da esfera, 
dada por 
 









21
2s1s
r
r
1
r
1
TTk4
q
 
Assim, sabendo-se que 
 
r
2s1s
cond
q
TT
R


 
a resistência condutiva é dada por 









21
cond
r
1
r
1
k4
1
R
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES EXPANDIDAS – ALETAS 
O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante para 
um fluido externo (Fig. 21) pode ser feito através do aumento do coeficiente de convecção h 
ou através da redução da temperatura do fluido T. 
 
Figura 21 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 161 
Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a área de 
troca de calor, através da utilização de aletas (Fig. 22), que são elementos sólidos que 
transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) 
entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de 
calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente. Exemplos práticos de aplicações de aletas 
podem ser vistos nos sistemas para resfriamento dos cilindros dos pistões de motocicletas e 
nos tubos aletados utilizados para promover a troca de calor entre o ar e o fluido de operação 
em um aparelho de ar condicionado. 
 
Figura 22 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor 
Tipos de Aletas 
A Figura 23 ilustra diferentes configurações de aletas. 
 
 
Plana, de seção reta uniforme 
 
Plana, de seção transversal não uniforme 
 
Anular 
 
Piniforme (pino) 
Figura 23 – Configurações de Aletas 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 162 
Balanço de Energia para uma Aleta 
Hipóteses: 
 Condução unidimensional de calor 
 Regime permanente 
 Condutividade térmica da aleta constante 
 Radiação térmica desprezível 
 Sem geração interna de calor 
 Coeficiente de convecção uniforme 
Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação que governa a condução de calor 
através da aleta. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta 
variável (Fig. 24), pode-se afirmar que a taxa de energia que entra no volume de controle, 
menos a taxa de energia que sai do volume de controle, mais a taxa de energia que é gerada, 
deve ser igual à taxa de variação da energia no interior do volume de controle. 
 
Figura 24 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida 
Como a geração interna de calor foi desprezada e a transferência de calor ocorre em regime 
permanente, 
convdxxx dqqq  
 
onde 









 fluido o para convecçãopor perdida Energia dq
malinfinitesi volumedo conduçãopor da transferiEnergiaq
malinfinitesi volumeo para conduçãopor da transferiEnergiaq
conv
dxx
x
 
A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela lei de Fourier: 
dx
dT
kAq cx 
 
onde Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada. 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por 
condução na posição x + dx 
dx
x
q
qq xdxx



 
dx
dx
dT
kA
dx
d
dx
dT
kAq ccdxx 






 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 163 
dx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kAq ccdxx 






 
A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é dada por 
  TThdAdq sconv
 
onde dAs é a área superficial infinitesimal do elemento. 
Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia, 
 





 TThdAdx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kA
dx
dT
kA sccc
 
  0TTdA
k
h
dx
dx
dT
A
dx
d
sc 






 
Como a área da seção reta Ac pode variar com x, 
  0TT
dx
dA
k
h
dx
Td
A
dx
dA
dx
dT s
2
2
c
c  
 
  0TT
dx
dA
k
h
A
1
dx
dT
dx
dA
A
1
dx
Td s
c
c
c
2
2












 
 
Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma aleta. 
Aletas com área da seção transversal constante 
Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 25), a equação anterior pode ser 
simplificada. 
 
Figura 25 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante 
P
dx
dA
PxA
0
dx
dA
 constanteA
s
s
c
c


 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 164 
  0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
 
 
Definindo-se a variável  (Excesso de Temperatura) como a diferença entre a temperatura da 
superfície em uma posição x e a temperatura do fluido de resfriamento, 
 T)x(T)x(
 
dx
dT
dx
d


 
2
2
2
2
dx
Td
dx
d


 
0
kA
hP
dx
d
c
2
2


 
Definindo-se 
c
2
kA
hP
m 
 
0m
dx
d 2
2
2

 
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes, 
cuja solução geral tem a forma 
mx
2
mx
1 eCeC)x(

 
Para resolver esta equação, é necessário ainda definir as condições de contorno apropriadas. 
Uma condição pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0) 
  bT0xT 
 ou 
  bb TT0x  
 
A segundacondição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser 
especificadas quatro condições, cada uma correspondendo a uma situação física e levando a 
uma solução diferente. 
A. Transferência convectiva de calor na ponta da aleta 
A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por convecção 
)T)L(T(hA
dx
dT
kA c
Lx
c 


 
)L(h
dx
d
k
Lx




 
Aplicando-se estas condições de contorno, chega-se a 
   
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(
b 




 
A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier 
0x
c
0x
cf
dx
d
kA
dx
dT
kAq



 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 165 
Derivando-se a expressão encontrada para  (x), 
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
hPkA.q cbf



 
Para simplificar a solução, define-se 
cb hPkAM 
, 
Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por 









)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
Mqf
 
B. Ponta da aleta adiabática 
0
dx
dT
Lx


 
ou 
0
dx
d
Lx



 
Neste caso, 
 
)mLcosh(
)xL(mcosh)x(
b




 
)mL(tghMq .f 
 
C. Temperatura da ponta da aleta fixa e igual a TL 
  LTLxT 
 
ou 
  LLx 
 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b




 





 

)mL(senh
)/()mLcosh(
Mq bLf
 
D. Aleta muito longa 
Neste caso, quando 
0ouTT ,L LL  
 
mx
b
e
)x( 


 
Mqf 
 
A figura 26 apresenta a distribuição de temperatura em uma aleta retangular, utilizando-se a 
condição de contorno de aleta muito longa. Observa-se que, a partir de uma dada posição, a 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 166 
temperatura da aleta não se altera. Isto acontece porque a aleta já alcançou a temperatura 
ambiente. A partir deste ponto, como não há diferença entre as temperaturas da aleta e 
ambiente, não há mais troca de calor por convecção. Percebe-se, portanto, que não haveria 
necessidade de se utilizar um comprimento maior que Lmax. 
 
Figura 26 – Distribuição de temperaturas em uma aleta muito longa 
 
A Tabela 6 apresenta as equações de uma forma resumida. 
 
Tabela 6 – Taxa de Calor e Distribuição de Temperatura 
Condição de 
contorno na ponta 
Distribuição adimensional de 
temperatura 
Taxa de calor 
Troca de calor 
por convecção 
   
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(
b 




 









)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
Mqf
 
Ponta adiabática  
)mLcosh(
)xL(mcosh)x(
b




 
)mL(tghMq .f 
 
Temperatura fixa 
T = TL 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b




 





 

)mL(senh
)/()mLcosh(
Mq bLf
 
Aleta muito longa 
mx
b
e
)x( 


 
Mqf 
 
cb
c
LLbb
hPkAM
kA
hP
m
,TTTTT)x(T)x(

 
 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 167 
Exemplo 9 – Aletas 
Uma aleta retangular de alumínio, com 4 mm de espessura, 10 mm de largura e 12 cm de 
comprimento, está acoplada a uma chapa plana cuja temperatura superficial é 85oC. O sistema 
é exposto ao ar ambiente a 15oC. O coeficiente convectivo associado é 17W/m2.K. Determine 
a taxa de calor dissipada pela aleta se a sua ponta for mantida a uma temperatura fixa de 20oC 
e a temperatura na posição x = 5 cm. 
O primeiro passo é calcular algumas grandezas que serão necessárias futuramente. 
    m028,0m004,0m010,02tw2P 
 
25
c m10x4m004,0.m010,0wtA

 
Da Tabela A.6, k = 237 W/m.K 
1
25
2
c
m09,7
m10x4.K.m/W237
m028,0.K.m/W17
kA
hP
m 


 
K70C70C15C85TT ooobb  
 
K5C5C15C20TT oooLL  
 
W70,4m10x4.
K.m
W
237.m028,0.
K.m
W
17K70hPkAM 25
2cb
 
 
A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por 
   
 m12,0.m09,7senh
K70/K5m12,0.m09,7cosh
.W70,4
)mL(senh
)/()mLcosh(
Mq
1
1
bL
f 
 



 
W45,6qf 
 ◄ 
A temperatura adimensional em uma posição x da aleta é dada por 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b




 
ou 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/(
TT
T)x(T bL
b






 
Na posição x = 5 cm, 
 
)m12,0.m09,7(senh
)m05,0m12,0(m09,7senh)m05,0.m09,7(senh)K70/K5(
1585
15T
1
11

 



 
C7,54T 
 ◄ 
 
Desempenho da Aleta 
As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície 
devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na 
superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da aleta. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 168 
A Efetividade de uma aleta é definida como sendo a razão entre a taxa de transferência de 
calor pela aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a sua presença. A 
utilização de aletas somente se justifica se f  2. 
bc
f
f
hA
q
ε


 
onde Ac é a área da seção reta da aleta. 
A Eficiência de uma aleta é definida como a razão entre a taxa de transferência de calor pela 
aleta e a taxa máxima de transferência de calor que existiria pela aleta. Esta taxa máxima é 
obtida quando toda a aleta se encontra à temperatura da base. 
bs
f
max
f
f
hA
q
q
q
η


 
onde As = área superficial da aleta 
Nas expressões anteriores, a taxa de calor qf é calculada de acordo com a condição de 
contorno utilizada para a ponta da aleta. 
 
Exemplo 10 – Eficiência de uma aleta 
Uma barra cilíndrica de 5 cm de diâmetro e condutividade térmica 280 W/m.K é utilizada 
para aumentar a taxa de calor retirada de uma superfície mantida a 120oC, exposta a um 
ambiente a 15oC, com coeficiente convectivo igual a 25 W/(m2.K). Se a aleta tem 80% de 
eficiência, calcule o seu comprimento, considerando a aleta muito longa. 
m157,0m05,0dP 
 
  23
22
c m10x963,1
4
m05,0
4
d
A 




 
L.m157,0PLAS 
 
1
23
2
c
m673,2
m10x963,1.K.m/W280
m157,0.K.m/W25
kA
hP
m 


 
K105C105C15C120TTbb  

 
W3,154m10x963,1.
K.m
W
280.m157,0.
K.m
W
25.K105hPkAM 23
2cb
 
 
A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por 
W3,154Mqf 
 
A eficiência da aleta pode ser calculada por 
bs
f
max
f
f
hA
q
q
q
η


 
K105.L.157,0.K.m/W25
3,154
80,0
2

 
m467,0L 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 169 
Em geral, não são encontrados sistemas com uma única aleta. São colocadas diversas aletas 
em uma superfície, com o objetivo de se retirar uma quantidade maior de calor. A taxa total 
de calor perdida pelo conjunto superfície + aletas é dada pela soma das taxas de calor 
individuais. Considerando-se que todas as aletas do conjunto são iguais e que a presença de 
uma aleta não interfere na taxa de calor dissipada por outra aleta, a taxa total de calor é dada 
por 
bbft hANqq 
 
onde 
N = número total de aletas 
qf = taxa de calor perdida por uma aletaAb = área da superfície exposta – área da base das aletas 
A eficiência da aleta f caracteriza o desempenho de uma única aleta. A eficiência global da 
superfície o caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfície da base sobre 
a qual este conjunto está montado. Ela é definida como a razão entre a taxa de calor perdida 
pelo conjunto e a taxa máxima de calor que poderia ser perdida pelo conjunto, 
bt
t
max
t
o
hA
q
q
q
η


 
onde 
At = área total exposta 
sbt NAAA 
 
A eficiência do conjunto pode ser dada também em função da eficiência de uma única aleta. 
Se f é a eficiência de uma aleta, a taxa total de calor pode ser dada por 
 
bbbsft hAhAN q 
 
ou 
    bf
t
s
tbstsft 1
A
NA
1hA)NAA(ANh q 






 
Assim, 
)1(
A
NA
1 f
t
s
o 
 
 
Exemplo 11 – Conjunto de aletas 
Considere uma superfície quadrada, de lado l = 25 cm, em contato com dois fluidos 
diferentes, como mostrado na figura. O lado interno é aquecido pela passagem do fluido 1, 
com coeficiente convectivo h1 = 50W/m2.K, que mantém a superfície da placa a uma 
temperatura constante de 100oC. Pelo lado externo, aletado, passa um fluido frio (fluido 2), a 
uma temperatura de 20oC, proporcionando um coeficiente convectivo igual a 10W/m2.K. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 170 
Foram dispostas 16 aletas circulares, de 2 cm de diâmetro e 17 cm de comprimento cada, 
igualmente distribuídas pela placa. As aletas, de cobre, foram isoladas na ponta. Considerando 
que a temperatura externa da placa é igual à temperatura de sua superfície interna, determine: 
a) A taxa de calor dissipada por uma aleta; 
b) A taxa de calor dissipada pelo conjunto superfície + aletas; 
c) A temperatura do fluido quente, considerando que todo o calor fornecido pelo fluido quente 
seja dissipado para o fluido frio. 
 
a) Para o cálculo da taxa dissipada por uma aleta, devem ser calculados os parâmetros 
m0628,0m02,0dP 
 
  24
22
c m10x142,3
4
m02,0
4
d
A 




 
Da Tabela A.6, k = 401 W/m.K 
1
24
2
c
2 m233,2
m10x142,3.K.m/W401
m0628,0.K.m/W10
kA
Ph
m 


 
K80C80C20C100TT 2bb  

 
W50,22m10x142,3.
K.m
W
401.m0628,0.
K.m
W
10.K80PkAhM 24
2c2b
 
 
A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por 
)m17,0.m233,2(tgh.W50,22)mL(tgh.Mq 1f

 
W157,8qf 
 ◄ 
b) A taxa total de calor dissipada é dada pela soma da taxa de calor dissipada pelas aletas e pela taxa 
de calor dissipada pela base, 
 2bb2fbft TTAhq.16qq.16q 
 
onde 
  2242c
2
b m0575,0m10x142,3.16m25,0NAlA 

 
Assim, 
 C20C100m0575,0
K.m
W
10W157,8.16q 2
2t
 
 
W5,176q t 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 171 
c) Considerando que toda a taxa de calor fornecida pelo fluido quente é dissipada pelo conjunto 
superfície + aletas, pode-se dizer que 
 b1t1t TTAhq  
 
 b1
2
1t TTlhq  
 
   C100Tm25,050W5,176 12  
 
C5,156T 1

 ◄ 
 
FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO 
Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade u e temperatura T sobre uma 
superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 27. 
 
Figura 27 – Transferência Convectiva de Calor 
 
A Camada Limite Fluidodinâmica 
Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter 
velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no retardamento do 
movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no 
retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente, até 
uma distância 
y
, onde o efeito de retardamento se torna desprezível (Fig. 28). A 
velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u. A grandeza  é conhecida como 
espessura da camada limite e é, usualmente, definida como o valor de y para o qual 
 u99,0u
. 
Como pode ser visto na figura, a espessura da camada limite depende da posição x. 
 
Figura 28 – A Camada Limite Fluidodinâmica 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 172 
A Camada Limite Térmica 
Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no escoamento de 
um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se desenvolver se houver 
uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e na superfície. Considere o 
escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na Fig. 29. 
 
Figura 29 – A Camada Limite Térmica (TS > T) 
No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com 
T)y(T
. No 
entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio 
térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, 
ST)0,x(T 
. Por sua vez, estas partículas 
trocam energia com as partículas da camada de fluido adjacente, causando o desenvolvimento 
de gradientes de temperatura no fluido. A região do fluido onde existem estes gradientes é 
conhecida como camada limite térmica, e a sua espessura é definida como sendo o valor de y 
no qual 
99,0
TT
TT
s
s 



 
Com o aumento da distância x, os efeitos da transferência de calor penetram cada vez mais na 
corrente livre e a camada limite térmica aumenta. 
A Camada Limite de Concentração 
A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em uma 
parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma superfície e a 
concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na corrente livre, uma 
camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido onde existem 
gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual 
99,0
CC
CC
,AS,A
AS,A




 
O perfil de concentração na camada limite (Fig. 30) é similar ao perfil de temperatura na 
camada limite térmica. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 173 
 
Figura 30 – A Camada Limite de Concentração (CA,S > C A,) 
Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração entre 
ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não se 
desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura 
 ct  
. 
O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que governam o 
escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica, 
x
v
,
y
v
,
x
u
y
u
vu










 
No interior da camada limite térmica, 
x
T
y
T





 
Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna mais 
fácil. 
Determinação da taxa de calor 
Considere novamente o escoamento de um fluido sobre uma superfície de forma arbitrária e 
área superficial A, como mostrado na Fig. 27. Se a temperatura da superfície for superior à 
temperatura do fluido, haverá uma transferência de calor por convecção da superfície para o 
fluido. O fluxo térmico local é dado pela lei de resfriamento de Newton 
  TTh"q S
 
onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção. 
Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da superfície. A 
taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se