Aula 19 Funcoes de rede

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José Francisco Castelo Branco Filho 
 
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9.5 - FUNÇÕES DE REDE 
 
9.5.1 - DEFINIÇÃO 
Uma generalização da impedância e da admitância é chamada função de rede, que 
no caso de uma única excitação e resposta, é definida como a relação entre o fasor 
resposta e o fasor excitação. Por exemplo, se E(s) e I(s) são as tensões e correntes 
fasoriais associadas a uma rede de dois terminais, então a Impedância de entrada 
�� =	�(�)	(�) 	
		→ 	���
����
			→ ������çã� 
é a função de rede se 	� é a excitação e �� a resposta. Por outro lado, se �� é a 
entrada e 	� a saída, então a admitância de entrada é 
�� =	 	
(�)
�(�) 
é a função de rede. 
Se a entrada e a saída são medidas em terminais diferentes, então a função de rede 
é também chamada “função de transferência” 
 
Exemplo 
Se no circuito da Figura 9.6, 	� é o fasor de saída, e ��(�) o de entrada, então a 
função de rede é a admitância de saída dada por: 
i 5( )ΩΩΩΩ
2(H)
+
−
25 2te e cos( t)V−=
 
Figura 9.6 - Circuito excitado por uma senóide amortecida 
�� =	 	���(�) =
1
2� + 5 
 Capítulo 9 - Funções de rede 
 
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Exercícios 
1 - Dada a função de rede 
�(�) = 	 4(� + 5)�� + 4� + 5 
e a entrada 
��(�) = 2� !° 
Calcule a resposta forçada #!(�) se , 
 � = 	−2	; 		&)	�	 = 	−4 + '1	; 		�)	�	 = 	−2 + '3			
Resps. 
(a) - )*(�) = 24�+�, V ; (b) - )*(�) = −2�+-, sen(�) 		) ; 
 (c) - )*(�) = −3√2�+�, cos(3� + 45º) ) 
 
 
 
9.5.2 - POLOS E ZEROS 
Em geral, a função de rede é um quociente de polinômios em ‘s’ com coeficientes 
reais que são independentes da excitação. 
E(s), contudo, é função de uma frequência generalizada, denominada s. 
 
Equação representativa do sistema 
No caso geral, se a entrada e a saída de um circuito são ei(t) e e0(t), respectiva-
mente, então a equação representativa do sistema é: 
56�7 	8
7�!
8�7 9 + �!�!7
	= 	56&: 	8
:��
8�: 9 + &!��:
 
�7 8
7�!
8�7 +	�7+;
87+;�!
8�7+; +	− − −		+	�;
8�!
8� +	�!�! =	 
&: 8
:��
8�: +	&:+;
8:+;��
8�:+; +	− − −		+	&;
8��
8� +	&!�� 
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Onde os a’s e b’s são constantes reais e independentes de ei . 
Como anteriormente, se �� =	�<�	��,, então a saída deve ter a forma �! =	�<!	��, 
onde �<�(�) e �<!(�) são representações fasoriais de ei e e0 . Como os valores de ei e 
e0 são expressões genéricas senoidais representadas por exponenciais em s, onde 
87
8�7 �
�, = �7��, 
Substituindo esses valores em s, temos: 
(�7�7 +	�7+;�7+; +	− − −		+	�;�+	�!)�<!	��, = 
(&:�: +	&:+;�:+; +	− − −		+	&;�+	&!)	�<�	��, = 
Desta equação obtemos a função de rede 
�!(�)
��(�) = �(�) =
&:�: +	&:+;�:+; +	− − −		+	&;�+	&!
�7�7 +	�7+;�7+; +	− − −		+	�;�+	�! 
que é um coeficiente de polinômios em s. 
Na forma fatorada, obtemos: 
&:	(� − =;)(� − =�)(� − =>) − − − (� − =:)
�7	(� − 
;)(� − 
�)(� − 
>) − − − (� − 
7) 
 
onde z1, z2, --- zm são os zeros da função e p1, p2, --- pn são seus polos. 
z1, z2, --- zm são chamados zeros, porque eles são valores de s para os quais a 
função torna-se zero. 
 
Os números p1, p2, --- pn são valores de s para os quais a função torna-se infinita. 
Os valores dos polos e zeros, em conjunto com os fatores an e bm determinam 
perfeitamente a função de rede. 
 
 Exemplo 
�(�) = 	 6(� + 1)(�
� + 2� + 2)
�(� + 2)(�� + 4� + 13) 
 Capítulo 9 - Funções de rede 
 
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Zeros 
onde as raízes de (�� + 2� + 2) são os zeros da função onde: =; =	−1 
=� = −2 + √4 − 82 = −1 + '1 
=> = −2 − √4 − 82 = −1 − '1 
 
Polos 
As raízes de (�� + 4� + 13) são os polos da função onde : 
; =	−2 
� = −4 + √16 − 522 = −2 + '3 
> = −4 − √16 − 522 = −2 − '3 
Portanto, a função de rede resultante, torna-se: 
�(�) = 	6(� + 1)(� + 1 − '1)(� + 1 + '1)�(� + 2)(� + 2 − '3)(� + 2 + '3) 
 
Como os valores dos a’s e b’s são reais, polos ou zeros complexos sempre 
existem em pares conjugados. 
Visto que a função de rede do exemplo anterior é o quociente entre um polinômio 
de 3º grau e um de 4º grau, ela tende a zero quando s tende a infinito. Desta forma 
teremos um zero em s=∞ . Se o numerador fosse maior que o denominador, s=∞ 
seria um polo. 
Os polos e zeros de uma função de rede podem ser esboçados em um diagrama de 
polos e zeros, que é simplesmente o plano s consistindo do eixo B e jω. Os polos 
são marcados em forma de uma pequena cruz, e os zeros como pequenos círculos. 
 
 
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Exemplo 
1
2
3
0
1−
2−
3−
2− 1−3−
⊗
⊗
⊗ σ
jω
2 j3− +
1 j1− +
1 j1− −
2 j3− −
 
Figura 9.7 - Diagrama de polos e zeros 
 
Exercícios 
1) - Se os zeros de H(s) são: �	 = −1,−1 + '1, e H(0)=4 , Calcule H(s). 
2) Desenhe o diagrama de polos e zeros da função de rede do exemplo 
anterior. 
 
 
9.5.3 - RESPOSTA NATURAL 
Como sabemos, a saída de um circuito consiste na soma das respostas natural e 
forçada. Nos itens anteriores estivemos envolvidos com cálculo da resposta 
forçada, e vimos que a técnica de fasores nos possibilita fazer isso de uma maneira 
muito fácil e muito direta nos casos de excitações senoidais amortecidas e 
exponenciais. Em estudos de sistemas de potência, a resposta forçada é, 
evidentemente, uma resposta de regime permanente ca e está sempre presente. 
Portanto, a resposta forçada é normalmente de maior interesse que a resposta 
natural, que é transitória e desparece após um breve período de tempo. 
 
Com excitações senoidais amortecidas, por outro lado, tanto a resposta forçada 
como a natural, são transitórias. (Num circuito real a resposta natural deve ser um 
 Capítulo 9 - Funções de rede 
 
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transitório, pois de outra forma teríamos: ou uma resposta permanente, ou 
crescente, sem uma excitação externa. Desta forma, a resposta natural assume 
maior importância em relação à resposta forçada, do que no caso de regime 
permanente ca. 
A solução através de equações diferenciais representativas se tornam mais difíceis 
a medida que a ordem do circuito aumenta. Contudo, como veremos nesta seção, a 
resposta natural pode ser obtida de forma relativamente fácil a partir da repre-
sentação fasorial. 
Os resultados anteriores ilustraram que podemos obter a função de rede facilmente 
a partir de suas equações representativas. Por exemplo, se a equação geral 
56�7 	8
7�!
8�7 9 + �!�!7
	= 	56&: 	8
:��
8�: 9 + &!��:
 
é a equação representativa, então a função de rede é 
�(�) = �!(�)��(�) =
D(�)
E(�) 
sendo o numerador, 
D(�) = &:�: +	&:+;�:+; +	− − −		+	&;�+	&! 
 e o denominador: 
E(�) = �7�7 +	�7+;�7+; +	− − −		+	�;�+	�! 
 
As frequências naturais são calculadas tornando 
E(�) = 0 
Substituindo as potências de s pelas derivadas correspondentes de v0 , resulta na 
equação homogênea do sistema , onde 
�7 G
HIJ
G,H +	�7+;
GHKLIJ
G,HKL +	− − −		+	�;
GIJ
G, +	�!�! = 0 
Por conseguinte, a equação que iguala a zero o denominador, é a equação 
representativa e suas raízes são as frequências naturais do circuito. Visto que essas 
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raízes são também os polos da função de rede, vemos que a resposta natural do 
circuito é 
�7 = M;�NL, +	M��NO, +	− − −	+	M7�NH, 
onde as frequências naturais p1, p2, ... pn são os polos da função de rede, e A1, A2, 
... An, são constantes arbitrárias. Modificações, é claro, devem ser feitas, se as 
frequências naturais não são distintas. 
 
Temos nesteponto um método extremante simples, baseado em fasores, para 
calcular a resposta completa do circuito. Tudo que necessitamos é achar a função 
de rede a partir da qual, pela equação representativa de sua função, podemos obter 
o fasor de saída. A resposta forçada é encontrada da resposta fasorial na forma 
usual, e a resposta natural é dada pela equação anterior onde as frequências 
naturais são polos da função de rede. 
O fasor de entrada é da forma: 
��(�) = 	�:� P 
onde Em e Q são constantes. Então teremos 
�!(�) = 	�:� P	�(�) 
Portanto, visto que Ei(s) não tem polos, os polos de �! (s) são os polos de H(s). E 
assim, a resposta completa e0(t) pode ser obtida de sua representação fasorial 
E0(s). A resposta forçada é obtida como antes e as frequências naturais são os 
polos de E0(s) a partir dos quais a resposta natural pode ser calculada. 
 
 
 
REFERÊNCIA 
1- JOHNSON, DAVID E. , HILBORN - Fundamentos de Análise de 
Circuitos Elétricos, LTC, 2000, Rio de Janeiro.