Aula 4 Circuitos de capacitancia pura

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CAPÍTULO 2 
 
 
CAPACITORES, INDUTORES E FASORES 
 
 
2.1 Introdução 
Até então limitamo-nos a estudar circuitos resistivos. Neste capítulo será introduzido dois novos 
importantes elementos de circuitos lineares passivos: os capacitores e os indutores. Diferentemente dos 
resistores, que dissipam energia, os capacitores e indutores não dissipam, mas sim armazenam energia 
que pode ser posteriormente recuperada. Por essa razão, os capacitores e indutores são chamados de 
elementos de armazenamento. 
Como a introdução de capacitores e indutores neste capitulo, estaremos aptos a analisar circuitos mais 
importantes e práticos. As técnicas de análise de circuitos apresentados nos capítulos anteriores são 
igualmente aplicáveis nos circuitos contendo capacitores e indutores. 
Primeiro será feito uma breve descrição do funcionamento do elemento e em seguida, sua relação Tensão 
– Corrente em regime permanente senoidal, em um circuito de indutância e capacitância pura, onde serão 
abordadas sua representação no domínio do tempo e na forma fasorial. Também é incluído o efeito da 
impedância e suas associações série e paralelo, bem como suas respectivas respostas de freqüência para 
efeito de uma análise mais completa em circuitos elétricos. 
 
 
 
 Capítulo 2 - Capacitores, Indutores e Fasores 
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2.2 Circuitos de capacitância pura 
 
2222.2.1.2.1.2.1.2.1 ---- O CapacitorO CapacitorO CapacitorO Capacitor 
O funcionamento básico do capacitor pode ser melhor compreendido, considerando sua representação 
estrutural formada por placas planas paralelas espaçadas por um dielétrico conforme a Figura 2.1. 
 
Figura 2.1 – Capacitor de placas planas paralelas 
Simbologia 
 
Figura 2.2 – Representação de um capacitor: (a) ideal; (b) real 
 
2222.2.2 .2.2 .2.2 .2.2 ---- Relação tensãoRelação tensãoRelação tensãoRelação tensão----corrente no ccorrente no ccorrente no ccorrente no capacitorapacitorapacitorapacitor 
Como pode ser visto na Figura 2.1, o deslocamento de cargas para a placa superior aumenta a diferença 
de potencial entre as placas. 
 
Reciprocamente, uma mudança de ∆v, na tensão entre as placas, provoca uma alteração correspondente 
na carga da placa superior de uma quantidade dq. 
 Capítulo 2 - Capacitores, Indutores e Fasores 
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A carga nesta placa é diretamente proporcional à tensão entre as placas e sua capacidade de 
armazenamento. Sendo a capacitância definida como a capacidade de armazenamento de cargas em 
relação à ddp entre as placas, concluí-se que: 
� = �� 
Derivando ambos os lados da expressão acima em relação ao tempo, obtém-se: 
���� = � ���� 
onde a variação de cargas no tempo é justamente a corrente no capacitor sendo calculada por: 
�� = � ���� 
que é atribuída como a razão de variação das cargas no circuito em função da capacitância e da tensão. 
 
2222.2.3.2.3.2.3.2.3 ---- Representação no domínio do temRepresentação no domínio do temRepresentação no domínio do temRepresentação no domínio do tempopopopo 
)( tsenEe m ω=
+
−
CV
 
Figura 2.3 – Circuito CA puramente capacitivo 
Tensão Fazendo uma análise no domínio do tempo, uma vez que a fonte ca enxerga como carga um único elemento (um capacitor ideal), a queda de tensão Vc no capacitor terá o mesmo valor da tensão fornecida pela fonte conforme a equação: 34 = 5 = 67 89:(;<) Considerando o capacitor descarregado e a tensão aplicada no capacitor no instante t = 0 . 
 
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Corrente 
A corrente é obtida da derivada da tensão partindo da variação instantânea na carga onde : 
�� = ���� = � ����� = � ��� (�> sen ?�) 
Resolvendo a equação obtemos : 
�� = ?��> cos( ?�) 
onde a corrente no capacitor é assim obtida partindo da referência, de forma a apresentar uma defasagem 
de 90° adiantada em relação à tensão resultando nas formas de onda mostradas na Figura 2.4. 
 
Figura 2.4 – Tensão e corrente alternada no capacitor 
Assim, consideraconsideraconsideraconsiderando ndo ndo ndo a a a a tensãtensãtensãtensãoooo comcomcomcomo a grandeza de referência, a o a grandeza de referência, a o a grandeza de referência, a o a grandeza de referência, a correntecorrentecorrentecorrente estará adiantada estará adiantada estará adiantada estará adiantada de 90°. de 90°. de 90°. de 90°. Tal ângulo revela o surgimento do fasorfasorfasorfasor devido ao ângulo da reatância. . . . 2222.2.4.2.4.2.4.2.4 ---- Representação Fasorial Representação Fasorial Representação Fasorial Representação Fasorial 
A representação fasorial de uma grandeza física é dada através de seu módulo (ou valor eficaz) e de seu ângulo. Para um capacitor ideal representado no plano complexo, teremos: 
6IJ = 69 KLº NIJ = N9 KOLº 
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j+
+
CI
CV
 
Figura 2.5 – Diagrama fasorial de tensão e corrente num capacitor ideal. 
 
Exemplo 
Dado: � = 1(PQ) e �(�) = 6 cos 200� (�). Calcular a corrente no capacitor. 
Solução: �� = � STSU = 10VW(−1200 sen(200�) 
 = −1,2 × 10VZ sen(200�) ([) 
 �� = −1,2 sen(200)� (\[) 
Na forma polar : ]� = 0,848 e_`aº (\[) 
 
 
 
2222.2.5.2.5.2.5.2.5 ---- ImpedânciaImpedânciaImpedânciaImpedância 
A oposição que o capacitor exerce sobre a corrente pode ser compreendida em termos da lei geral aplicada a sistemas elétricos onde o efeito de oposição é calculado por : 
efghiçãg = 4jkhjlm5i<g 
onde a causa é a tensão Vc e o efeito, a corrente Ic. 
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Considerando valores eficazes de tensão e corrente, a oposição do capacitor pode ser calculada usando os 
fasores � n ]JJ onde: 
opqrsçãq = � ntaºu��ntvaºJ 
Esta oposição é chamada reatância capacitiva, Xc, que resulta em um número complexo onde : 
w�J = 1?� nVxvaº 
Cujo módulo é 1/?C , e na forma polar é representado por : {4J = {I 5V|OLº Na forma retangular fica : 
{IJ = −|{I 
O diagrama de impedância para um circuito de capacitância pura é representado na Figura 2.6. 
 
Figura 2.6 – Diagrama de impedância 
2222.2.6.2.6.2.6.2.6 ---- Resposta de FrequênciaResposta de FrequênciaResposta de FrequênciaResposta de Frequência 
Para abordagem completa de um circuito, além da representação no domínio do tempo é necessário analisar sua resposta no domínio da freqüência, onde seus limites de tensão e corrente serão afetados em função da variação de sua impedância com a frequência. Assim, as grandezas de tensão, corrente e impedância podem ser calculadas em função da freqüência, onde tais curvas revelam características marcantes e inerentes ao circuito, mostrando seus limites e fornecendo parâmetros para projetos. 
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A resposta de frequência da impedância num capacitor ideal é dada pelo módulo da reatância 
capacitiva em função da freqüência. Aplicando a 1ª lei de Ohm no circuito da Figura 2.3 , obtemos : 
|w�(€)| = 1?� = 12€� ∴ w� ∝ 1€ 
 
 
Figura 2.7 – Curva característica da reatância capacitiva em função da freqüência 
 
A resposta de frequência da tensão no capacitor ideal é dada pelo módulo da tensão no capacitor em 
função da freqüência. É obtido aplicando a 1ª lei de Ohm no circuito da Figura 2.3 :|��(€)| = ]�w�(€) = ]�2€� ∴ �� ∝ 1€ 
 
Figura 2.8 – Curva característica da tensão sobre um capacitor em função da freqüência 
A rrrresposta de frequênciaesposta de frequênciaesposta de frequênciaesposta de frequência dadadada correntecorrentecorrentecorrente no capacitor ideal é dada pelo módulo da corrente no capacitor em função da freqüência. Também é obtida aplicando-se a 1ª lei de Ohm no circuito da Figura 2.3 . 
|]�(€)| = ��w�(€) = 2€��� ∴ ]� ∝ € 
 
Figura 2.9 – Curva característica da corrente em um capacitor em função da freqüência 
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Como se pode perceber nas Figuras 2.7 e 2.8 e 2.9, a reatância capacitiva e a tensão variam de forma 
inversamente proporcional à freqüência, enquanto a corrente mantém uma variação puramente linear. 
 2222.2.7.2.7.2.7.2.7 ---- Associação de CapacitoresAssociação de CapacitoresAssociação de CapacitoresAssociação de Capacitores 
A tensão medida em um capacitor normalmente leva em consideração sua carga inicial. Pode ser facilmente calculada a partir da expressão dada anteriormente para a corrente resultando numa expressão mais completa dada por : 
��(�) = 1C ‡ ����UUˆ + ��(�a) Onde a vc (t0) é a constante de integração e representa a carga inicial no capacitor . Tal qual nos resistores, as associações série e paralelo são feitas da mesma forma na junção de seus terminais. Os resultados destas associações podem ser obtidos para um circuito equivalente conforme mostrado a seguir nas figuras 2.10 e 2.11 . Associação Série 
 
Figura 2.10 – Circuito CA para associação série de capacitores 
 
�(�) = 1�_ ‡ ����
U
Uˆ + �_(�a) +
1�Œ ‡ ����
U
Uˆ + �Œ(�a) + ⋯ +
1�Ž ‡ ����
U
Uˆ + �Ž(�a) 
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�(�) =   1�> ‡ ����
U
Uˆ + �>(�a)‘
Ž
>’_ 
1�“” =  1�>
Ž
>’_ 
•45– = •4• + •4— + ⋯ + •4˜ 
Associação Paralela 
 
Figura 2.11 – Circuito CA para associação paralela de capacitores 
i(<) = 4• ™3™< + 4— ™3™< + ⋯ + 4˜ ™3™< 
i(<) =  47 ™3™<
˜
7’• 
45– =  47˜7’• 
45– = 4• + 4— + ⋯ + 4˜ 
Podemos assim notar que as associações série de capacitores se assemelham às associações paralelas de resistores e vice-versa. As associações série são utilizadas em circuitos eletrônicos. As associações paralelas encontram bastante aplicação em bancos de capacitores na correção de fator de potência de redes de energia. 
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2222.2.8.2.8.2.8.2.8 ---- ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
1) Qual é a carga que se acumula nas placas de um capacitor de 0,05PQ quando são aplicados 45� entre 
seus terminais ? 
Resposta: � = 2,25P� 2) A expressão para a tensão em um capacitor de 1PQ é fornecida a seguir. Qual é a expressão senoidal 
para a corrente? 
 Faça um esboço das curvas � e �, dado: � = 30 sen 400� e w = _ž. 
 Resposta: � = 12 sen(400� + 90°) (mA) 
 3) A expressão para a corrente em um capacitor de 100PQ é: � = 40 sen(500� + 60°) 
 Determine a expressão senoidal para a tensão no capacitor. 
 Respostas: Ÿ w� = 20Ω�¡ = 800� � = 800 sen(500� − 30°) (�)¢ 
 
4) Calcule os valores máximos e mínimos de capacitância que pode ser obtida associando-se 10 
capacitores de 1PQ. 
Respostas: 10PQ e 0.1PQ 
 
5) Calcule a capacitância equivalente do circuito: 
 
Figura 2.12 – Exercício 2.2.8-5 
Resposta : 8.67 £¤