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Movimento Periódico 
 
O  movimento  é  um  dos  fenômenos  mais  fundamentais  na  natureza,  cuja  classificação  é 
extremamente ampla, abrangendo todos os  limites: do mundo microscópico, macroscópico e 
planetário. A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial. Quando 
dizemos  que  certo  objeto  está  se movendo  é  porque  sua  posição  varia  com  relação  a  um 
ponto fixo. 
 Quando  analisamos  um  movimento  cuja  posição  varia  apenas  nas  proximidades  de  uma 
região  tomada  como  ponto  inicial  (referencial),  estamos  tratando  de  uma  oscilação.  Um 
pêndulo,  um  corpo  preso  a  uma  mola,  a  corda  de  um  violão,  são  exemplos  simples  de 
oscilações no nosso cotidiano. 
Para  iniciarmos  nossa  análise,  consideremos  o  caso  mais  simples:  um  sistema  que  possui 
apenas  1  (um)  grau  de  liberdade  (descrito  apenas  por  uma  coordenada),  que  é  o  sistema 
massa mola: 
 
Sendo x0 =0, a posição de equilíbrio do sistema. Quando a massa m é deslocada da sua origem 
(estendendo  a mola)  até  a posição  x  = A, uma  força  restauradora  tende  a  levar  à massa  a 
posição original, sendo esta força uma função somente da deformação causada na mola. 
Universidade Federal Rural do Semi‐Árido – UFERSA 
Pro‐Reitoria de Graduação – PROGRAD 
Disciplina: Física II 
Professora: Subênia Medeiros 
ܨԦ ൌ ܨԦሺݔሻ 
Assumindo que ܨԦሺݔሻ possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi‐las em 
uma série de Taylor: 
ܨሺݔሻ ൌ ܨ଴ ൅ ݔ ൬
݀ܨ
݀ݔ
൰
଴
൅
1
2!
ݔଶ ቆ
݀ଶܨ
݀ݔଶ
ቇ
଴
൅
1
3!
ݔଷ ቆ
݀ଷܨ
݀ݔଷ
ቇ
଴
൅ ڮ 
Onde ܨ଴ é o valor de F(x) na origem  (x = 0), então F0 = 0. Se  considerarmos deslocamentos 
muito pequenos, podemos negligenciar  todos os  termos de potências mais  elevadas que  x. 
Então: 
ܨሺݔሻ ൌ ݔ ൬
݀ܨ
݀ݔ
൰
଴
 
Sendo: 
ௗி
ௗ௫
ൌ െ݇,  a  constante  elástica,  e  o  sinal  negativo  é  devido  a  força  ser  do  tipo 
restauradora, teremos: 
ܨሺݔሻ ൌ െ݇ݔ 
A força restauradora é uma força linear. Os sistemas descritos pela equação acima obedecem 
a Lei de Hooke. 
O sistema massa‐mola é um modelo de aplicação do oscilador harmônico simples, pois o seu 
movimento  em  torno  da  posição  de  equilíbrio  executa  um  movimento  harmônico  simples 
(isso,  desprezando  o  atrito).  A  equação  de  movimento  desse  sistema,  segundo  as  Leis  de 
Newton é: 
െ݇ݔ ൌ ݉
݀ଶݔ
݀ݐଶ
 
Ou seja: 
݀ଶݔ
݀ݐଶ
൅
݇
݉
ݔ ൌ 0 
 
݀ଶݔ
݀ݐଶ
൅ ߱ଶݔ ൌ 0 
Sendo ߱ଶ ൌ ݇ ݉⁄ . A  equação  acima  é uma  equação diferencial  (toda  equação que  envolve 
funções e suas derivadas), ordinária (as funções dependem de uma variável independente) de 
2ª ordem (mais alta ordem), linear e homogênea, onde se define ߱ como a frequência angular, 
que é função da massa e da constante elástica.  
߱ ൌ 2ߨ݂ 
Qualquer equação diferencial como esta possui as seguintes propriedades: 
a) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então: x1(t) + x2(t) também será solução; 
b) Se x(t) é solução, então: ax(t), onde a é uma constante, também será solução. 
Combinando tais propriedades, podemos dizer que: 
ݔሺݐሻ ൌ ܽݔଵሺݐሻ ൅ ܾݔଶሺݐሻ 
é solução, onde a e b são constantes. 
Como x é  função do tempo, devemos encontrar uma  função que, sua derivada segunda seja 
proporcional à própria função. Uma função exponencial é uma deste tipo: ݁ఒ௧. Substituindo na 
equação diferencial: 
݀ଶ
݀ݐ
݁ఒ௧ ൅ ߱ଶ݁ఒ௧ ൌ 0 
 
ሺߣଶ ൅ ߱ଶሻ݁ఒ௧ ൌ 0 
 
ߣଶ ൌ െ߱ଶ 
 
ߣ ൌ േ݅߱ 
Logo, a solução geral da equação diferencial será: 
ݔሺݐሻ ൌ  ܥଵ݁௜ఠ௧ ൅ ܥଶ݁ି௜ఠ௧ 
Lembrando que: ݁േ௜ఠ௧ ൌ cos߱ݐ േ ݅ sen߱ݐ, teremos: 
ݔሺݐሻ ൌ ܥଵ݅ sen߱ݐ ൅ ܥଵ cos߱ݐ ൅ ܥଶ cos߱ݐ െ ܥଶ݅ sen߱ݐ 
ݔሺݐሻ ൌ ሺܥଵ ൅ ܥଶሻ cos߱ݐ ൅ ሺܥଵ െ ܥଶሻ݅ sen߱ݐ 
Fazendo:   
ܥଵ ൅ ܥଶ ൌ ܣ senߙ 
ܥଵ െ ܥଶ ൌ ܣ cos ߙ  
Teremos: 
ݔሺݐሻ ൌ ܣ senߙ cos߱ݐ ൅ ݅ܣ cos α sen߱ݐ 
As soluções possíveis para o sistema massa‐mola e consequentemente do oscilador harmônico 
simples são: 
ݔሺݐሻ ൌ ܣ senሺ߱ݐ ൅ ߙሻ 
ݔሺݐሻ ൌ ܣ cosሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
Onde A  é  a  amplitude  de  oscilação  e ߙ, ߮  são  constantes  de  fase  ou  ângulos  de  fase  que 
diferem o movimento em ߨ 2⁄ ,  indicam em que ponto do ciclo o movimento  se encontrava 
para t = 0. A grandeza ሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ varia com o tempo e é chamada de fase do movimento. 
Para t = 0 e x = x0, obtemos: 
ݔሺ0ሻ ൌ ݔ଴ ൌ ܣ cos߮ 
Para  ߮ ൌ 0,  então  ݔ଴ ൌ ܣ cos 0 ൌ ܣ,  e  a  partícula  começa  no  seu  deslocamento  positivo 
máximo. Para ߮ ൌ ߨ, então ݔ଴ ൌ ܣ cos ߨ ൌ െܣ, e a partícula  começa no  seu deslocamento 
negativo máximo. Para ߮ ൌ ߨ/2, então ݔ଴ ൌ ܣ cos ߨ/2 ൌ 0, e a partícula está inicialmente na 
origem.      
 
Todos os tipos de movimentos periódicos possuem os seguintes termos para definirmos suas 
equações de movimento: 
  Amplitude – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de 
equilíbrio, isto é, o valor máximo de |ݔ|. 
  Ciclo – é uma oscilação completa. 
  Período (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade 
no SI é o segundo (s). 
߱ݐ ൌ 2ߨ 
ܶ ൌ
2ߨ
߱
ൌ 2ߨට
݉
݇
 
   Frequência – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela é sempre positiva e sua 
unidade no SI é o hertz: 
1 hertz = 1 Hz = 1 ciclos/s = 1s‐1. 
݂ ൌ
1
ܶ
 
݂ ൌ
1
ܶ
ൌ
߱
2ߨ
 
݂ é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema.  
Das  soluções  possíveis,  podemos  encontrar  a  velocidade  e  aceleração  do  movimento 
harmônico simples (MHS): 
ݒ ൌ
݀ݔ
݀ݐ
ൌ
݀
݀ݐ
ሾܣ cos ሺ߱ݐ ൅ ߮ሻሿ ൌ െܣ߱ senሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
ܽ ൌ
݀ଶݔ
݀ݐଶ
ൌ
݀ଶ
݀ݐଶ
ሾܣ cos ሺ߱ݐ ൅ ߮ሻሿ ൌ െܣ߱ଶ cos ሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
A velocidade ݒ oscila entre os valores ݒ௠á௫ ൌ ൅߱ܣ e െݒ௠á௫ ൌ െ߱ܣ. A aceleração ܽ oscila 
entre os  valores   ܽ௠á௫ ൌ ൅߱ଶܣ  e െܽ௠á௫ ൌ േܣ. Analisando o  resultado para  a  aceleração, 
obtemos: 
ܽ ൌ െ߱ଶݔ ൌ െ
݇
݉
ݔ 
Quando estendemos a mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move 
para a posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva. Ao passar no ponto x0 a aceleração se 
anula, mas o bloco possui  energia  cinética. A partir daí  ele  começa  a desacelerar,  já que  a 
aceleração  é  agora  negativa.  O  bloco  pára  quando  a  mola  estiver  comprimida,  e  então  é 
acelerado novamente movendo‐se em sentido contrário ao anterior.  
 
A  figura  acima  representa o MHS.  (a) Curva do deslocamento  versus  tempo,  (b)  velocidade 
versus tempo e (c) aceleração versus tempo. Note que para qualquer tempo, a velocidade tem 
uma diferença de fase de 90° com o deslocamento e a aceleração possui uma diferença de fase 
de 180°. 
Substituindo na 2ª Lei de Newton: 
หܨԦห ൌ ݉ܽ ൌ ݉ሺെ߱ଶݔሻ ൌ െ݇ݔ 
Que é a Lei de Hooke para ݇ ൌ ݉߱ଶ. 
Para encontrarmos a energia cinética no MHS, temos: 
ܧ௖ ൌ
1
2
݉ݒଶ ൌ
1
2
݉ ൬
݀ݔ
݀ݐ
൰
ଶ
 
Aplicando: ݒ ൌ ௗ௫
ௗ௧
ൌ ௗ
ௗ௧
ሾܣ cosሺ߱ݐ ൅ ߮ሻሿ ൌ െܣ߱ senሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ, teremos: 
ܧ௖ ൌ
1
2
݉ܣଶ߱ଶ senଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
ܧ௖ ൌ
1
2
݉ܣଶ
݇
݉
senଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
ܧ௖ ൌ
1
2
݇ܣଶ senଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
A energia potencial é definida como: 
ܧ௣ ൌ െනܨ݀ݔ ൌ െනሺെ݇ݔሻ݀ݔ ൌ ݇නݔ݀ݔ 
ܧ௣ ൌ
1
2
݇ݔଶ 
Substituindo o valor de x, teremos: 
ܧ௣ ൌ
1
2
݇ܣଶcosଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
 
A energia total do oscilador harmônico é: 
ܧ் ൌ ܧ௖ ൅ ܧ௣ 
ܧ் ൌ
1
2
݇ܣଶ senଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ ൅
1
2
݇ܣଶcosଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ 
ܧ் ൌ
1
2
݇ܣଶሾcosଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻ ൅ senଶሺ߱ݐ ൅ ߮ሻሿ 
ܧ் ൌ
1
2
݇ܣଶ ൌ
1
2
݉߱ଶܣଶ ൌ ܿ݋݊ݏݐ. 
A energia total é proporcional ao quadrado da amplitude, este resultado é geral para sistemas 
lineares.  Como  ܧ்  não  depende  do  tempo,  ela  se  conserva,  logo  o  OHS  é  um  sistema 
conservativo. 
 
A figura (a) mostra as energias cinética e potencial versus o tempo para um OHS com ߙ ൌ 0. 
(b) caracteriza a curva das energias cinética o potencial versus o deslocamento para um OHS. 
Nos dois casos, podemos notar que ܧ௖ ൅ ܧ௣ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁. 
Outro exemplo unidimensional de MHS é descrito por um  corpo de massam, preso a uma 
mola de constante elástica k, suspensa através de um suporte na direção vertical.  
 
A posição de equilíbrio x0 = 0 é orientada de tal forma que o sentido positivo do eixo 0x é dado 
de baixo para cima. Nesta posição, a mola está estendida em um valor Δ݈ suficiente para que a 
força vertical da mola sobre o corpo ݇Δ݈ equilibre o peso do corpo ݉݃ 
kΔ݈ ൌ ݉݃ 
Quando deslocamos o corpo de massa m para uma posição x acima da posição de equilíbrio 
(comprimindo a mola) A força total que atuará sobre o corpo será: 
ܨ் ൌ ݇ሺΔ݈ െ ݔሻ ൅ ሺെ݉݃ሻ ൌ െ݇ݔ 
Este movimento possui as mesmas considerações para o caso horizontal. 
A  maioria  dos  sistemas  que  possuem  uma  posição  de  equilíbrio  executam  um  movimento 
harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos). No entanto, para 
grandes acelerações, os sistemas se tornam osciladores não‐harmônicos, ou seja, as forças de 
retorno  não  mais  são  proporcionais  ao  deslocamento.  Neste  caso,  o  período  depende  da 
amplitude. Um exemplo familiar é o pêndulo simples.  
 
 
 
Para pequenos deslocamentos, ele é um exemplo de OHS, com: L o comprimento do fio e x o 
deslocamento máximo da bola; 
ܨ
݉݃
ൎ
ݔ
ܮ
 
Então: 
ܨ ൌ െ
݉݃
ܮ
ݔ 
Esta é a  Lei de Hooke,  com ݇ ൌ ݉݃ ܮ⁄  ou ݇ ݉⁄ ൌ ݃ ܮ⁄ . O período de oscilação do pêndulo 
simples é: 
ܶ ൌ
2ߨ
ඥ݃ ܮ⁄
 
Um tipo de MHS que nos permite uma melhor idéia dos parâmetros envolvidos é o dado pelo 
movimento circular de uma bola: 
 
 
 
 
O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade 
angular ߱଴. O movimento linear na parti interior da figura, descreve um movimento periódico 
com amplitude A e frenquência angular ߱଴. 
No  início do movimento, em  t = 0, a  fase  inicial ߙ ൌ 0. Com o movimento no  sentido anti‐
horário, o ângulo será: 
x0 
ݒԦ
θ 
F 
x 
ߠ ൌ ߱଴ݐ ൅ ߙ 
Então: 
cos ߠ ൌ
ݔሺݐሻ
ܣ
 ׵ ݔሺݐሻ ൌ ܣ cosሺ߱଴ݐ ൅ ߙሻ 
Conhecendo x(t), temos: 
  ݒሺݐሻ ൌ ௗ௫
ௗ௧
ൌ െܣ߱଴ senሺ߱଴ݐ ൅ ߙሻ     Oscila com േܣ߱଴  
  ܽሺݐሻ ൌ ௗ
మ௫
ௗ௧మ
ൌ െܣ߱଴ଶ  cosሺ߱଴ݐ ൅ ߙሻ     Oscila com േܣ߱଴ଶ 
  ܽሺݐሻ ൌ െ߱଴ଶݔሺݐሻ 
 
 
Nesse movimento harmônico angular, o movimento de rotação de um ângulo θ  introduz um 
torque restaurador dado por: 
߬ ൌ െߢߠ 
Em um exemplo como um disco suspenso por um  fio, ߢ  (letra grega capa) é uma constante 
chamada de constante de torção, que depende do comprimento, do diâmetro e do material do 
fio de suspensão: 
 
߬ ൌ െߢߠ ൌ ܫ
݀ଶߠ
݀ݐଶ
 
݀ଶߠ
݀ݐଶ
ൌ െ െ
ߢ
ܫ
ߠ 
Esta é a equação de movimento com ߱ ൌ ඥߢ/ܫ. O período é então: 
ܶ ൌ 2ߨඨ
ܫ
ߢ
 
 
Um pêndulo  real  frequentemente  chamado de pêndulo  físico pode  ter uma distribuição de 
massa extremamente complicada, muito diferente daquela de um pêndulo simples. 
 
Quando o pêndulo físico é deslocado para um de seus lados, a força da gravidade atua no seu 
centro  de massa  CM,  a  uma  distância  d  do  ponto  de  pivô O.  Esta  produz  um  torque  com 
respeito ao eixo através de O, cuja magnitude é ݉݃݀ sen ߠ. Obtemos então: 
െ݉݃݀ sen ߠ ൌ ܫ
݀ଶߠ
݀ݐଶ
 
݀ଶߠ
݀ݐଶ
ൌ െ െ
݉݃݀
ܫ
sen ߠ ൌ െ߱ଶߠ 
Para pequenas oscilações: sen ߠ ൎ ߠ, então: 
߱ ൌ ඨ
݉݃݀
ܫ
 
E o período:  
ܶ ൌ 2ߨඨ
ܫ
݉݃݀

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