Prova de Cálculo Diferencial e Integral I

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UEM/CCE/DMA - 1a Prova de Ca´lculo Diferencial e Integral I - 199/01 - Eng. Qu´ımica 17/04/2009
Profa. Dra: Luciene Parron Gimenes Arantes
Questa˜o 1 (Valor 2,0) Em cada dos ı´tens abaixo verifique se a func¸a˜o e´ mono´tona, limitada (ili-
mitada), par (´ımpar) ou perio´dica (e´ preciso justificar a resposta).
(a) f(x) =
x
x2 + 1
(b) f(x) =
x2 + 2x + 1
x2 + 1
Questa˜o 2 (Valor 2,0) Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o invert´ıveis. Em caso afirmativo, encontre
uma expressa˜o para a inversa de f.
(a) g(x) =
x3 − 2x2
x− 2
(b) h : [1,+∞)→ [−1,+∞), definida por h(x) = x2 − 2x.
(c) g(x) =
1 +
√
x
1−√x
Questa˜o 3 (Valor 2,0) Considere a func¸a˜o f : R→ (0, 3] dada por
f(x) =

3− x2, se x ≤ 1
2
|x | , se x > 1.
(1)
Esboce o gra´fico de f e verifique que f na˜o e´ bijetora. Determine o maior intervalo I de R de modo
que f : I → Imf seja invert´ıvel e 1 ∈ I, onde Imf = {f(x); x ∈ I}.
Questa˜o 4 Seja f : R→ R uma func¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o f(3x) = 3f(x), x ∈ R e f(9) = 45,
calcule f(1).
Questa˜o 5 Se f(x) =
x− 1
x + 1
, x ∈ R \ {−1, 1}, encontre f ◦ f . A func¸a˜o encontrada e´ injetora?
Questa˜o 6 Se u = arcsen(
√
3/2) e v = arcsen(1/2), calcule cos (u− v), cos (u + v) e tg 2u.
Questa˜o 7 Se u = arcsen(1/4) e v = arctg(−2), calcule sen (u + v), cos (u + v) e cos 2u.
Questa˜o 8 Encontre o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) g(x) =
arccos x
1 + x
(b) h(x) =
sen x
arcsen x
(c) g(x) =
1 +
√
x
1−√x
Questa˜o 9 (Valor 2,0) Seja f(x) = |x− 3|+ |x + 2|.
(a) Esboce o gra´fico de f .
(b) Resolva |x− 3|+ |x + 2| < 11.
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