2ª lista

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1a Lista de Exerćıcios - Cálculo Diferencial e Integral I - Profa Mônica.
1. Quais das seguintes afirmações sobre a função y = f(x) ilustrada abaixo são verdadeiras
e quais são falsas?
(a) limx→0 f(x) existe.
(b) limx→0 f(x) = 0
(c) limx→0 f(x) = 1
(d) limx→1 f(x) = 1
(e) limx→1 f(x) = 0
(f) limx→x0 f(x) existe em todo ponto x0 em (−1, 1).
2. Quais das seguintes afirmações sobre a função y = f(x) ilustrada abaixo são verdadeiras
e quais são falsas?
(a) limx→2 f(x) não existe.
(b) limx→2 f(x) = 2
(c) limx→1 f(x) não existe.
(d) limx→x0 f(x) existe em todo ponto x0 em (−1, 1).
(e) limx→x0 f(x) existe em todo ponto x0 em (1, 3).
1
3. Suponha que uma função f(x) seja definida para todos os valores reais de x com exceção
de x = x0. Pode-se afirmar alguma coisa sobre a existência do limx→x0 f(x)? Justifique
sua resposta.
4. Se limx→1 f(x) = 5, f deve ser definida em x = 1? Em caso afirmativo, f(1) deve ser
igual a 5? Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de f em x = 1? Explique.
5. Seja f(x) = x
2−9
x+3
.
(a) Faça uma tabela com os valores de f nos pontos x = −3, 1;−3, 01;−3, 001 e assim
por diante, até onde sua calculadora permitir. Em seguida, estime limx→−3 f(x).
A que estimativa você chegaria se calculasse f em x = −2, 9;−2, 99;−2, 999?
(b) Fundamente as conclusões do item (a) esboçando o gráfico de f próximo de x0 =
−3 e calcule os valores de y no gráfico em x→ −3.
(c) Encontre limx→−3 f(x) algebricamente.
6. Seja g(x) = x+6
x2+4x−12 .
(a) Faça uma tabela com os valores de g nos pontos x = −6, 1;−6, 01;−6, 001 e assim
por diante, até onde sua calculadora permitir. Em seguida, estime limx→−6 g(x).
A que estimativa você chegaria se calculasse g em x = −5, 9;−5, 99;−5, 999?
(b) Fundamente as conclusões do item (a) esboçando o gráfico de g e calcule os valores
de y no gráfico quando x→ −6.
(c) Encontre limx→−6 g(x) algebricamente.
7. Calcule os limites por substituição.
(a) limx→ 1
3
3x− 1
(b) limx→1
−1
3x−1
2
(c) limx→−1
3x2
2x−1
(d) limx→ 1
2
4x2−1
2x−1
(e) limx→2
4√x− 4
√
2
x−2
(f) limx→1
√
x−1
x−1
(g) limx→2 (−x2 + 5x− 2)
(h) limx→−4 (x+ 3)
1984
(i) limh→0
5√
5h+4+2
8. Calcule os limites:
(a) limx→5
x−5
x2−25
(b) limx→−5
x2+3x−10
x+5
(c) limx→1
√
x+ 3− 2
(d) limx→2
√
x2+12−4
x−2
(e) limy→2
y3−8
y4−16
9. Suponha que limx→0 f(x) = 1 e limx→0 g(x) = −5. Especifique as regras do teorema 1
que são usadas para efetuar os passos (a), (b) e (c) no cálculo seguinte.
lim
x→0
2f(x)− g(x)
(f(x) + 7)
2
3
=
limx→0 (2f(x)− g(x))
limx→0 (f(x) + 7)
2
3
(a)
=
limx→0 2f(x)− limx→0 g(x)
(limx→0 (f(x) + 7))
2
3
(b)
=
2 limx→0 f(x)− limx→0 g(x)
(limx→0 f(x) + limx→0 7)
2
3
(c)
=
(2)(1)− (−5)
(1 + 7)
2
3
=
7
4
10. Suponha limx→c f(x) = 5 e limx→c g(x) = −2. Determine:
(a) limx→c f(x)g(x)
(b) limx→c 2f(x)g(x)
(c) limx→c (f(x) + 3g(x))
(d) limx→c
g(x)
f(x)−1
11. Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤
√
5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine limx→0 f(x).
3
12. Para cada item abaixo, esboce o intervalo (a, b) no eixo x com o ponto x0 dentro. Em
seguida, determine um valor de δ > 0 tal que, para todos os valores de x,
0 < |x− x0| < δ ⇒ a < x < b
(a) a = 1; b = 7;x0 = 5
(b) a = 1; b = 7;x0 = 2
(c) a = −7
2
; b = −1
2
;x0 = −3
13. Em cada gráfico abaixo, determine um valor de δ > 0 tal que, para todos os valores de
x,
0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < �
4
(a)
(b)
14. Em cada caso abaixo, encontre um intervalo aberto em torno de x0 no qual a desi-
gualdade |f(x)− L| < � valha. Dê então um valor para δ > 0 tal que para todo x
satisfazendo 0 < |x− x0| < δ a desigualdade |f(x)− L| < � seja verdadeira.
(a) f(x) = x+ 1, L = 5, x0 = 4, � = 0, 01
(b) f(x) =
√
x+ 1, L = 1, x0 = 0, � = 0, 1
(c) f(x) = 1
x
, L = 1
4
, x0 = 4, � = 0, 05
(d) f(x) = x2 − 5, L = 11, x0 = 4, � = 1
15. Prove as afirmações sobre limites feitas nos itens abaixo:
(a) limx→4 (9− x) = 5
(b) limx→9
√
x− 5 = 2
(c) limx→1
1
x
= 1
5