LISTA DE EXERCÍCIOS Álgebra Linear

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
MATRIZES E DETERMINANTES
1-Calcule os valores de x, y, z e t tal que
.
2- Sendo A=
 e B=
, calcular as matrizes X e Y no sistema 
.
3-Determine, se possível:
x e y de modo que as matrizes A=
 e B=
 comutem.
Todas as matrizes que comutem com 
.
4-Sejam A e B matrizes de ordem n(n>1) que comutam(AB=BA). Mostrar usando propriedade de matrizes que:
a) 
b) 
5- Dadas as matrizes A=(aij)mxn, B=(bjk)nxp, C=(ckl)pxs e D=(djk)nxp. Mostre que:
a) 
b) 
c) 
6-Dada a matriz A=
, Calcule A+A
 e A.A
.
7-Sejam A e B matrizes de ordem n(n>1) mostrar que:
Se A e B são simétricas, AB é simétrica se, somente se AB=BA.
Se A e B anti-simétricas, então A+B e A-B são anti-simétrica. 
8- Dada uma matriz A de ordem n>1.
 a) Defina a matriz inversa de A.
 b) Mostre que se A e B são matrizes inveríveis de ordem n, então 
 
9- Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e M a matriz obtida de A multiplicando uma de suas linhas por uma constate c, mostre que o 
10- Calcule o determinante das seguintes matrizes: 
a) A=
 b) B=
 c) C=
 d)D=
 
11- Usando a regra de Sarrus, calcule o determinante das seguintes matrizes:
a) 
 b) B=
12- Usando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz A=
.
13- Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis, caso afirmativo, calcule as inversas.
a)
 b)
 
14- Dada uma matriz A inversível, de ordem n, mostre que o determinante da matriz inversa de A é igual ao inverso do determinante de A.
15- Use a regra de Cramer para resolver o sistema 
.
MATRIZ LRFE, MATRIZES ELEMENTARES, SISTEMAS LINEARES E 
 DEFINIÇÕES DE ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS.
Sejam A, B e C matrizes invertíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X, nos itens abaixo:
a) ABt X = C b) AB + CX = I c) (CB)-1 AX = I d) (AB)t XC = I
Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com 
.
Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A2 = A
Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes.
Mostre que 
 é idempotente.
Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
A = 
; B = 
; C = 
; D = 
; F = 
Descreva todas as possíveis matrizes 2 
2 que estão na forma LRFE.
Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:
 A = 
; B = 
; C = 
; D = 
; E = 
.
Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.
 OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. 
B2
3 , p(B) = 2 ; b) C3
2 , p(C) = 3 ; c) D2
4 , p(D) = 3;
 d) F2
3 , N(F) = 2; e) G4
3 , N(G) = 0 ; f) H3, N(H) = 0; g) J3, p(J) = 2.
Resolva os seguintes sistemas:
 a)
 b) 
 c) 
 d) 
.
Determine a solução do sistema 
, considerando o corpo dos números 
 complexos.
Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? 
	
	Bactéria I
	Bactéria II
	Bactéria III
	Alimento A
	2
	2
	4
	Alimento B
	1
	2
	0
	Alimento C
	1
	3
	1
Discuta em função de k os seguintes sistemas:
 a) 
 b)
 c)
 d)
.
Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado
 
.
Considere as seguintes matrizes invertíveis
.
 a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C.
 b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a.
Dada a matriz 
, determine uma matriz N, linha reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B e uma matriz invertível M, de ordem 3, tal que N = MB.
15) Verifique se as matrizes a seguir são invertíveis e, em caso afirmativo, determine a inversa, usando escalonamento:
 a) 
 b) 
 c) 
.
16) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam invertíveis
 a) 
 b) 
 .
17) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas. 
 a) 
 e . : 
 
 
 a.(x,y )= (ax,ay) 
 b) 
 e . : R x 
 
 a . 
 c) 
 e . : 
 x+y = x.y a . x = xa 
18) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
 I. 
 a)
 b)
 c)
 d)
 ,Q o conjunto dos racionais. 
 e)
 f)
 II. V = Mn(R), n
2.
 a) W ={A
V ; A é simétrica} b) W ={A
V ; A é invertível}
 c) W ={A
V ; A é não invertível} d) W ={A
V ; 
 = A}
 III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : R
R.
 a) W = {f
V; f(3) = 0} b) W = {f
V; f(7) = f(1)}
 IV. 
 W = {A
V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, 
}.
 V. 
 W = {A
V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, 
}.
 VI. V = C2 sobre R.
 W = {(a + bi, c + di) 
 C2; a – 2c = 0 e b + d = 0} .
19) Verifique se Wi é subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir: 
 a)
 b)
 c)
 d)
 e)
 f)
RESPOSTAS ( II PARTE )
1) a) X = ( Bt )-1 A-1C ; b) X = C-1( I – AB ) ; c) X = A-1CB ; d) X = [(ABt]-1 C-1
2) 
, a, b 
 R.
4) 
 ; 
 ; 
 ; 
; 
5) 
; 
6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0;
 p ( D ) = 2 e N( D ) = 0, p( E ) = 3 e N( E ) = 0
7) a) B = 
 ; b) impossível; c) impossível; d) F= 
;
 e) G = 
; f) H = 
; g) J = 
 	
8) a) S = { ( 2, (1, 3 ) }; b) 
; 
 c)S = { ( x, y, z ) ( R3; x = y + 3 e z = ( 1 } ; d) Impossível.
9) 
10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido.
11)
Se k = (6, então o sistema é possível determinado e S = { ((8, (10)}. Se k ( (6, o sistema é impossível.
Se k ( 1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível.
Se k ( 2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, (2 ) }. Se k = 2, o sistema é indeterminado.
Se k (1 e k ( (4 então o sistema é possível e determinado. Se k = (4, o sistema é impossível .
 Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) (R3; x = (z(2 e
 y = (3z(3 ) }.
12) a = 2 e b = 4.
13) a) X = A-1B-1C; b) 
14) a)
; b) 
.
15) a) 
; b) Não é invertível; c) 
16) a) a ( 1; b ) 
 e 
.
17) I.
 não é espaço vetorial (a propriedade associativa da + não é válida).
 II.
 não é espaço vetorial 
. 
 III.
 é espaço vetorial. O elemento neutro é 1 e o oposto de x é 
 
 
. 
18) . I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) 
W.
 b) " . " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) 
 W.
 c)Sim.
 d)Não. Contra-exemplo: 
.(1,2,3) 
��EMBED Equation.3.e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) 
W.
 f) " . " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) 
W.
 II. a) Sim.
 b) Não. Contra-exemplo: 
. 
 c) Não. Contra-exemplo: 
 . 
 d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B 
 pertencerá a W, visto que: 
 .
 III. a) Sim
 b) Sim.
 IV) Não. Contra-exemplo: ( x+ iy) . A 
 W, para x e y 
R, com y 
0.
 V) Sim.
 VI) Sim.
19) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam
 formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços, 
 porque as equações que os caracterizam formam sistemas lineares não homogêneos.
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