slide 1- METODOS MATEMATICOS

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Métodos 
Matemáticos
Introdução à Álgebra Linear
Mariana Silva Ribeiro de Oliveira
• Unidade de Ensino: 1 
• Competência da Unidade: Conhecer os elementos básicos de matrizes, 
sistemas de equações lineares e espaço vetorial.
• Resumo: Entender o conceito de matrizes e determinantes por meio de
exemplos práticos e das definições dadas pela matemática em si.
• Palavras-chave: Matriz, sistemas e espaço vetorial.
• Título da Teleaula: Introdução à Álgebra Linear
• Teleaula nº: 1
Contextualização
• Uso do GPS (Sistema de Posicionamento Global)
• Construção de malhas computacionais 
Matriz
Elementos de uma matriz
O par de números e é chamado de tamanho, tipo ou 
ordem da matriz.
Exemplo de representação de uma matriz
Matriz 𝐴 = (𝑎 ) , em que 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗.
𝑎 = 2 1 + 1 = 3
𝑎 = 2 1 + 2 = 4
𝑎 = 2 1 + 3 = 5
𝑎 = 2 2 + 1 = 5
𝑎 = 2 2 + 2 = 6
𝑎 = 2 2 + 3 = 7
Matriz do tipo 2 x 3 
Tipos de matrizes
• Matriz linha
• Matriz coluna
• Matriz nula: todos os elementos são nulos
Tipos de matrizes
• Matriz Diagonal: os elementos localizados acima e abaixo
da diagonal principal são iguais a zero
• Matriz triangular: os elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Situação-Problema 1
• Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar
uma verificação do último relatório bimestral de uma
empresa de construção civil no ano de 2020 em relação
às vendas de cimento e cal.
Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? 
Qual a maior diferença de vendas entre os produtos nos 
meses correspondentes?
Resolvendo
O menor número de sacos vendidos, basta olhar qual é a 
menor entrada da matriz. 
Resolvendo
Foram vendidos 135 sacos de cimento a mais que sacos de cal.
Operações com matrizes
Adição e Subtração de Matrizes
Dadas as matrizes abaixo, determine a matriz tal que:
 .
Multiplicação de matrizes
Considere as matrizes:
𝑚 × 𝑝 𝑖𝑗 𝑝 × 𝑛 𝑖𝑗
coluna linha
Exemplo
Determinantes
Determinante ordem 2
Determinante ordem 3
Onde podemos utilizar 
as matrizes no nosso dia 
a dia?
Sistema de equações 
lineares
Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares com m equações e n 
incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
 
Solução
x = 3 e y = -1
 
Solução de um sistema
(SPD) – Sistema possível e determinado: O sistema
possui uma única solução.
(SPI) – Sistema possível e indeterminado: O sistema
possui infinitas soluções.
(SI) – Sistema impossível: O sistema não tem solução.
Geometricamente
SPD SPI
SI
Resolução de um 
sistema
Método da adição
Multiplica por (-3)
Soma as duas equações
Método da adição
Substituir x = 2 em alguma das 
duas equações
Sistema Possível e Determinado 
Sistema escalonado
• Existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação;
• O número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente 
não nulo, aumenta de equação para equação.
• Por exemplo:
Situação-Problema 2
Situação-problema
O sistema a seguir é usado para determinar as
coordenadas do receptor em função do tempo.
Qual valor dessas coordenadas?
Resolvendo
Espaço Vetorial
Espaço vetorial
Seja um conjunto não vazio e um corpo. Defina a operação
, chamada adição, tal que, dados as seguintes
propriedades sejam válidas:
 Associatividade:
 Comutativa:
 Elemento neutro: Existe 𝑣 tal que 𝑣
 Elemento oposto: Para cada em , existe um vetor em
denotado por tal que
Espaço vetorial
Defina a operação , chamada multiplicação por escalar, tal
que, dados e as seguintes propriedades sejam válidas:
 Associatividade:
 Elemento neutro: Existe 𝑣 tal que 𝑣 para todo .
 Distributiva:
 Distributiva:
Transformação linear
Se for uma função de um espaço vetorial 
num espaço vetorial , então é denominada 
transformação linear de em se as duas propriedades 
seguintes forem válidas com quaisquer vetores e em 
e qualquer escalar .
• Homogeneidade: 
• Aditividade: 
No caso especial em que , a transformação linear é 
denominada operador linear do espaço vetorial .
Exemplo
Considere a transformação linear T: R³ em R³ tal que T(x, y,
z) = ( 2x, -3y, -x+ 2z) e os vetores u = (– 1, 2, 2) e v = (-1,
1, -3) do espaço tridimensional a imagem de u + v,
corresponde a:
u = (– 1, 2, 2) e v = (-1, 1, -3)
u + v = (-2, 3, -1) 
T(x, y, z) = ( 2x, -3y, -x+ 2z)
T(-2, 3, -1) = ( -4, -9, 0)
Atividade
Dada a transformação T : R² em R² tal que T(x, y)= ( 2x, -
3y), os vetores u = (– 1, 2) e v = (1, -3) a imagem de u +
v, correspondem respectivamente a:
Resolvendo
Dada a transformação T : R² em R² tal que T(x, y)= ( 2x, -
3y), os vetores u = (– 1, 2) e v = (1, -3) a imagem de u +
v, correspondem respectivamente a:
u = (– 1, 2) e v = (-1, -3)
u + v = (0, -1) 
T(x, y) = (2x, -3y)
T(0, -1) = (0, 3)
Recapitulando
 Matrizes
 Operações com matrizes
 Sistemas de equações
 Métodos de resolução de sistemas
 Espaço Vetorial
 Combinação Linear
Fonte: Google Imagens. Disponível em encurtador.com.br/psGNX
Acesso em: 01 fev. 2021.