Resumo de Gaal

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Prova 2
April 19, 2018
Vetores
Vetor e´ um seguemento de reta orientado que representa um deslocamento, dado
um vetor ~AB, B e´ chamado extremidade do vetor e A e´ a origem do vetor. Um
vetor na˜o possui posic¸a˜o fixa no espac¸o, desse modo posso pegar qualquer segue-
mento de reta com mesmo mo´dulo , direc¸a˜o e sentido para representar o mesmo
vetor. Com base nisso posso deslocar um vetor para a origem do plano carte-
siano, e para fazer isso, fac¸o a seguinte operac¸a˜o
~AB = (XB −XA, YB − YA, ZB − ZA)
As coordenadas da extremidade menos as coordenadas da origem, ou seja, os
valores do final do vetor, menos os valores de onde ele comec¸a.
Operac¸o˜es com vetores
Para somar dois vetores basta somar as coordenadas dele.
Exemplo: Dasos A = (1, 2, 4) e B = (3, 6, 7) qual vetor (−A) + 5B ?
(−A) e´ chamado vetor oposto a A, as coordenadas de (−A) sa˜o as coordenadas
de A.(−1). De um modo geral, vou somar o vetor oposto de A com 5 vetores
B, enta˜o posso simplesmente multiplicar as coordenadas por 5.
−A = (−1,−2,−4) + 5B = (5.3, 5.6, 5.7)
−A+ 5B = (−1 + 5.3,−2 + 5.6,−4 + 5.7)
−A+ 5B = (14, 28, 31)
1
Norma
A norma de um vetor e´ o tamanho dele, ou seja o modulo do vetor.
Dado um vetor A = (x, y, z) a norma de e´ dada por
||A|| =
√
x2 + y2 + z2
As barras duplas e´ a notac¸a˜o de norma
Projec¸a˜o ortogonal e produto escalar
Produto escalar
O produto escalar entre V e W e´ o resultado do produto da projec¸a˜o ortogonal
de V em W vezes a norma de B.
E´ um pouco confuso mesmo, mas de forma resumida, o produto escalar entre
V e W denotado por V.W e´ um numero que associa os dois vetores, so´ isso que
tem que lembrar, o produto escalar resulta em um nu´mero:
V.W = ||V ||.||W ||. cos θ
V.W = v1.w1 + v2.w2 + v3.w3
Se esse cara for igual a 0, significa que os vetores sa˜o ortogonais, pois cos 90 = 0
e substituindo na primeira fo´rmula 0 vezes qualquer coisa e´ 0. Enta˜o lembre, se
o produto esclar entre dois vetores e´ 0 eles sa˜o ortogonais
Projec¸a˜o ortogonal
A projec¸a˜o ortogonal de um vetor V em W e´ um vetor A colinear(mesma-linha)
a W dado por
projWV = (V.W/||W ||2).W (o comando de frac¸a˜o na˜o tava funcionando, des-
culpa)
Produto Vetorial e a A´rea do parapelogramo
Produto vetorial
O produto vetorial entre os vetores V e W denotado por V xW resulta em um
terceiro vetor ortogonal a V e a W , e esse vetor satisfaz a regra da ma˜o di-
reita. Vamos considerar treˆs vetores unitarios E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0) e
2
E3 = (0, 0, 1) (vetor unitario e´ um vetor com norma igual a 1). O produto
vetorial entre V e W e´ dado por:
V ×W = det
 E1 E2 E3V1 V2 V3
W1 W2 W3

A´rea do paralegramo
Dados dois vetores v e W eles determinam um paralelogramo entre eles, e a a´rea
desse paralelogramo e´ dado pela normal do produto vetorial entre eles:
||V xW || = A´rea do paralelogramo
Se essa a´rea e´ 0, ginifica que eles na˜o formam um paralelogramo, ou seja um
ta´ em cima do outro, ou seja , na mesma linha, ou seja, colineares. Enta˜o se a
normal do produto vetorial e´ 0, os vetores sa˜o colineares. Agora um migue para
descobrir se sa˜o colineares, essa conta e´ muito grande pra fazer toda hora, se
dois vetores V e W sa˜o colineares eles podem ser escritos como V = αW , onde
α e´ um numero real.
Produto misto e o volume do paralelepipedo
Produto misto
o produto misto entre 3 vetores resulta em um numero que associa esses 3 ve-
tores, o produto misto entre V , W e U e´ dado por:
(V ×W ).U = det
 V1 V2 V3W1 W2 W3
U1 U2 U3

Atente-se ao fato de que o produto misto devolve um numero e ele pode ser
negativo ou positivo.
Volume do Paralelepipido
o volume do paralelepipedo e´ o modulo do produto misto, so´ isso.
Se esse modulo for zero, significa que na˜o forma um paralelepipedo, ou seja,
os vetores esta˜o no mesmo plano, logo eles sa˜o coplanares.
3
Retas
No espac¸o na˜o existe equac¸a˜o geral da reta, so´ a parametrica.
O que a reta tem?
um ponto que pertence a reta e um vetor diretor , isso so´.
r : (X,Y, Z) = (x0 + a.t, y0 + b.t, z0 + c.t)
o carinha que fica junto com o parametro t e´ o vetor diretor da reta, logo
V = (a, b, c) e o ponto (x0, y0, z0) e´ o ponto qua pertece a reta, ou seja, para
um reta , a gente precisa do vetor diretor e de um ponto na reta.
Exemplinho:
Determine a reta que passa pelos pontos A = (5, 4, 3) e B = (3, 4, 5).
trac¸amos o vetor ~AB
coordenadas de B memos coordenadas de A
~AB = (3− 5, 4− 4, 5− 3)
~AB = (−2, 0, 2)
esse cara e´ o vetor diretor da reta, e a gente tem um ponto ja´ que pode ser A
ou B, usei A nesse caso:
r : (x, y, z) = (5− 2t, 4 + 0t, 3 + 2t)
r : (x, y, z) = (5− 2t, 4, 3 + 2t)
Planos
Equac¸a˜o Geral do plano
A equac¸a˜o geral do plano e´ dada por
aX + bY + cZ + d = 0
dai a gente tira a normal do plano N = (a, b, c) o d e´ a parte ”independente”
d = −(a.x0 + b.y0 + c.z0)
Se o problema pedir pra achar a equac¸a˜o do plano, o que a gente faz, criar
um vetor com um ponto no plano e as coordenadas (x, y, z) e faz o produto
escalar desse vetor com a normal e iguala a 0.
Por exemplo , P0 = (x0, y0, z0) pertence ao plano, pego um ponto P = (x, y, z)
e crio o vetor ~P0P = (x− x0, y− y0, z− z0) e esse vetor eu fac¸o produto escalar
com a normal N = (a, b, c)
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N. ~P0P = a.(x− x0) + b.(y − y0) + c.(z − z0) = 0
ax− ax0 + by − by0 + cz − cz0 = 0
ax+ by + cz − (a.x0 + b.y0 + c.z0) = ⇒ d = −(a.x0 + b.y0 + c.z0)
ax+ by + cz + d = 0
Equac¸a˜o parametrica do plano
Qual que e´ esquema, eu quero achar a equac¸a˜o do plano Π, enta˜o eu pego dois
vetores paralelos ao plano(fala paralelo porque na˜o pode falar que o vetor ta´ no
plano, pq vetor nao representa uma posic¸a˜o no espac¸o e sim um deslocamento
saca, lembra que existem infinitos vetores iguais, so porisso que fala paralelo,
mas se for mais facil para pensar , pensa que ele ta no plano).
Voltando , pego dois vetores paralelos ao plano V e W e um ponto P0 pertecente
ao plano Π. Com esse ponto eu crio um vetor com outra cordenada qualquer do
plano , assim o ponto e´ P0 = (X0, Y0, Z0) e o ponto qualquer e´ P = (X,Y, Y ),
e crio o vetor ~P0P ,
~P0P = (X −X0, Y − Y0, Z − Z0)
Ai que vem a manha, quando 3 vetores sa˜o paraelelos eu posso escrever um
como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
~P0P = s~V + t ~W deixando em coordenadas
(X −X0, Y − Y0, Z − Z0) = s(V1, V2, V3) + t(W1,W2,W3)
X −X0 = sV1 + tW1
Y − Y0 = sV2 + tW2
Z − Z0 = sV3 + tW3
Passando o X0 ,Y0 e Z0 para o outro lado, fica desse naipe aqui
X = X0 + sV1 + tW1
Y = Y0 + sV2 + tW2
Z = Z0 + sV3 + tW3
E essa e´ a equac¸a˜o parametrica da reta
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Aˆngulos e distancias
—=
Angulos
lembra da formula do produto escalar
V.W = ||V ||.||W ||. cos θ
isola o cosseno
cos θ = (V.W )/(||V ||.||W ||)
tira o arccos , na˜o precisa achar um valor certinho so deixar arccos(23) por
exemplo
θ = arccos((V.W )/(||V ||.||W ||)
tem a formula com o sen tb , que e´ essa
||V ×W || = ||V ||.||W ||. sin θ
isola θ e tira arcsen
θ = arcsen(||V.W ||/(||V ||.||W ||)
Distancias entre pontoss
E` aquela formula da distaˆncia que a gente conhece
d(A,B) =
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2
Distancia entre ponto e reta
a gente pega a equac¸a˜o parametrica da reta r em questa˜o, zeramos o parametro
e achamos um ponto P , com esse ponto que a gente achou a gente trac¸a um
vetor com o ponto Q da questa˜o, essa parte agora e´ a mais chata, a gente tem
que imaginar que esse vetor que a gente acabou de formar e´ a soma do vetor
perpendicular com a progec¸a˜o ortogonal dele na reta, a gente quer descobrir o
tamanho do vetor perpendicular. Pra isso a gente usa teorema de pitagoras, o
vetor que a gente criou e´ a hipotenusa, e a projec¸a˜o ortogonal e a distancia que
a gente quer sa˜o os catetos. (me cobra o desenho disso porque na˜o sei desenhar
nesse programa)6
|| ~PQ||2 = ||projr ~PQ||2 + (d(Q, r))2
e´ isso.
Distancia entre ponto e plano
A gente pega um ponto P no plano Π e trac¸amos um vetor com o ponto Q da
questa˜o, a distancia e´ a norma da projec¸a˜o ortogonal desse vetor na normal, me
cobra o desenho dessa tambe´m
d(Q,Π) = ||projN ~PQ||
Distancia entre duas retas
A parte mais chatinha
Concorrentes e concidentes
Se as retas tiver 1 ponto em comum, ou seja concorrentes, ou todos os pontos
em comum, ou seja , coincidentes, a distancia entre as retas e´ 0. pra descubrir
iguala as equac¸o˜es parametricas e se descobrir um ponto em comum no minimo
a distancia ja´ e´ 0.
Paralelas e reversas
Mas se na˜o acontecer, que e´ o caso das retas reversas e das retas paralelas.
Paralelas
pego um ponto qualquer Q na primeira reta r e um outro ponto qualquer P na
segunda reta s, trac¸o o vetor ~PQ, a distancia vai ser o tamanho da projec¸a˜o
ortogonal desse vetor sobre um vetor paralelo a as retas, me cobre o desenho
tambe´m. Esse vetor vetor ~PQ pode ser decomposto como a projec¸a˜o ortogonal
dele sobre o vetor diretor de uma das retas menos o o vetor A da distancia que
gente quer.
d(r, s) = ||A|| = || ~PQ− projvPQ||
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Reversas
pego um ponto qualquer Q na primeira reta r e um outro ponto qualquer P na
segunda reta s, trac¸o o vetor ~PQ, pego um vetor A ortogonal as duas retas, faz
o produto vetorial pra isso, a distancia entre as retas e´ a projec¸a˜o ortogonal do
vetor ~PQ em A
d(r, s) = ||projAPQ = |PQ.A|/||A||
Distancia plano e reta
a gente olha se tem ponto comum da reta com o plano, se tiver a distancia e´ 0,
ou seja se o angulo e´ diferente de 90, a distancia e´ 0.
pegue um ponto qualquer da reta e calcule a distancia do ponto ao plano, que
ja´ tem o jeito de fazer isso ali em cima.
distancia entre planos
pega os vetores normais dos dois planos e acha o angulo entre eles se esse angulo
for diferente de 0, a distancia e´ 0.
se for 0, os planos sa˜o paralelos. pegue um ponto qualquer em um dos planos e
calcule a distancia desse ponto ao outro plano, que ja tem o jeito de fazer isso
ali em cima.
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