REDE PERT

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ADMINISTRAÇÃO DE PROJETOS
1. INTRODUÇÃO
Vimos anteriormente que existem três sistemas de produção diferentes: sistemas de produção contínua, intermitente e sistemas de produção por projetos. Para primeiros sistemas, os conceitos fundamentais sobre a programação da produção foram vistos anteriormente. O presente estudo tratará da programação e do controle de projetos.
Como se recorda, projetos são constituídos de conjuntos únicos de operações projetadas para atingir certos objetivos, dentro de um dado limite de tempo. Para muitos projetos, esse envolvido é longo e os custos associados são significativamente altos; existem por vezes centenas e até milhares de atividades que devem ser planejadas e coordenadas para que o projeto esteja terminado dentro do prazo, do custo e dos padrões de qualidade especificados.
Duas das mais conhecidas técnicas para planejar e coordenar projetos em grande escala são o PERT (Program Evaluation and Review Technique) e o CPM (Critical Path Method) técnicas especialmente úteis em situações onde os gerentes têm responsabilidade pelo planto, programação e controle de grandes projetos contendo muitas atividades levadas a diferentes pessoas, de diferentes habilidades.
O PERT foi desenvolvido em 1958, graças aos esforços conjuntos da marinha norte americana Lockheed Aircraft e da firma de consultoria Booz, Allen and Hamilton. O problema que se punha à época era o desenvolvimento do submarino atômico Polaris, cujo projeto e milhares de operações a cargo de mais de 3.000 empreiteiros e subempreiteiros. Hoje o PERT é usado tipicamente em projetos cujas estimativas de tempo não podem ser previstas com certeza, obrigando ao uso de conceitos estatísticos.
O CPM foi desenvolvido em 1957, quando consultores da Remington Rand Univac, divisão da Sperry Rand Corporation) receberam, por parte da Du Pont Corporation, a tarefa de criar uma técnica de programação para a construção, manutenção e desativação de fábricas de produtos químicos. O CPM é usado para projetos cujos tempos de operações podem ser considerados determinísticos, ou seja, conhecidos com certeza. Com o tempo, entretanto, as diferenças PERT e o CPM foram se atenuando e pode-se dizer, atualmente, que essas duas técnicas muito em comum. Os conceitos que iremos desenvolver, como regra geral, valem tanto para o PERT como para o CPM.
2. Representação dos Projetos pelo Diagrama de Rede
Como já comentado, um projeto pode ser visualizado como um conjunto de operações
conduzidas numa certa seqüência para atingir dados objetivos. As operações que participam em um projeto, consumindo tempo e recursos, são chamadas de atividades. Para representar essas atividades e a ordem em que são efetuadas, usa-se o chamado Diagrama de Rede, que guarda algumas semelhanças e algumas diferenças com o Diagrama de Procedências para representar as operações de uma linha a ser balanceada.
No Diagrama de Rede, cada atividade possui um início e um fim, que são pontos no tempo. Esses pontos no tempo são conhecidos como eventos. As atividades são representadas por setas e os eventos — ponto inicial e final — por círculos (chamados também de nós). A seta aponta para o círculo que representa o evento final, para dar a idéia de progressão no tempo. As atividades são representadas por números ou letras e os círculos são numerados, em ordem crescente, da esquerda para a direita.
Para dar um exemplo muito simples de um Diagrama de Rede, imaginemos que alguém esteja pensando em oferecer um jantar. A decisão de oferecer o jantar pode ser considerada a primeira atividade no projeto "oferecer um jantar". O ofertante, tendo decidido positivamente pelo jantar, irá agora comprar os ingredientes e fazer uma lista cuidadosa dos convidados. Essas duas atividades podem ocorrer ao mesmo tempo, embora ambas só possam ter início após a decisão de oferecer o jantar. Uma vez elaborada a lista de convidados, é possível enviar os convites. Por outro lado, uma vez comprados os ingredientes, é possível preparar o jantar. Uma vez preparado o jantar, pode-se deixar a casa em ordem para a recepção. Segue-se a recepção aos convidados, que deve obrigatoriamente ocorrer após a emissão dos convites e após se deixar a casa em ordem. Finalmente, recepcionados os convidados, pode-se servir o jantar, e dar por encerrado o "projeto". O Quadro 1 resume as informações acima:
Quadro 1 — Atividades Envolvidas no projeto "Oferecer um Jantar�
ATIVIDADES			DESIGNAÇÃO	ATIVIDADES
								PRECEDENTES IMEDIATAS
Decidir oferecer o jantar	 	A			Nenhuma
Comprar ingredientes			B				A
Fazer lista de convidados		C				A
Fazer o jantar				D				B
Expedir os convites			E				C
Colocar casa em ordem			F				D
Recepcionar convidados		G			 E,F
Servir o jantar				H				G
Figura 1 — Diagrama de Rede para o Projeto "Oferecer um Jantar"
Num Diagrama de Rede, denomina-se caminho a qualquer seqüência de atividades, que leve dono inicial ao nó final. Na Figura 14.1, por exemplo, distinguimos dois caminhos, contendo as seguintes atividades:
Caminho 1: A B D F G H 
Caminho 2: A C E G H
Chama-se de duração de um caminho à soma das durações de todas as atividades que o compõem. Em um Diagrama de Rede, o caminho com a maior duração é chamado de caminho crítico e governa o tempo de término do projeto: o tempo de término de um projeto é igual à duração de seu caminho crítico. Qualquer atraso neste caminho, automaticamente determinará um atraso no projeto. As atividades do caminho crítico são chamadas de atividades críticas. Nenhuma dessas atividades pode se atrasar, sem que o projeto também se atrase. Numa linguagem típica, dizemos que essas atividades não têm folga ou, equivalentemente, que sua folga é zero. Em outros caminhos que não o caminho crítico, as atividades podem sofrer algum atraso sem que isso implique em atraso do projeto. 
Exemplo 1
 Dado o Diagrama de Rede abaixo, determinar:
a) os caminhos possíveis e a duração de cada um;
b) o caminho crítico e a duração esperada do projeto;
c) a folga de cada caminho, ou seja, o tempo total que as atividades do caminho podem se atrasar sem interferir na duração do projeto.
�
Solução
a) Caminhos e sua duração
Notaremos que existem apenas quatro caminhos, cujas durações são dadas pela soma das durações das atividades que os constituem:
	Caminho						Duração
A – C – H							24 semanas
A – D – G							22 semanas
B – E – G							20 semanas
B – F – I							21 semanas
b) Caminho, crítico e duração esperada do projeto O caminho crítico é o de maior duração, portanto:
A —— C ——— H com 24 semanas, que é a duração esperada do projeto.
c) Folga de cada caminho
A folga de cada caminho é a diferença entre a duração do caminho crítico e a do próprio caminho;
		Caminho				Folga
A – C – H						24 – 24 = 0
A – D – G						24 – 22 = 2 semanas
B – E – G						24 – 20 = 4 semanas
B – F – I						24 – 21 = 3 semanas
3. Convenções para a Construção de Diagramas de Rede
O processo de construção do Diagrama de Rede para um projeto (quer se fale em PERT ou CPM) envolve, preliminarmente, a especificação de todas as atividades que compõem o projeto. Esta é uma etapa chave, que dá base à construção do Diagrama propriamente dito.
Na construção do Diagrama de Rede, cada atividade será representada por uma seta, que se inicia e termina cm um nó. Existem diversas regras básicas para se indicar as relações entre as atividades. Para que o Diagrama se preste a cálculos, é também necessário que sejam especificadas as durações das atividades. Conforme vimos, no caso do CPM a duração é determinística, e no caso do PERT ela é probabilística. Vejamos agora as convenções fundamentais para a construção de um Diagrama de Rede:
1a) Cada atividade é representada por uma única seta, cujo comprimento não precisa guardar relação com a duração da atividade.
2a) A direção da seta indica as progressõesno tempo, como se vê na figura abaixo:
�
Assim, a atividade X começa no nó 5 e termina no nó 6 (lembrar que os nós representam pontos no tempo).
3a) Se uma atividade começa num evento (nó), ela só pode se iniciar depois que todas as atividades terminando naquele evento tenham sido completadas.
�
M
�
A figura acima mostra que a atividade M só pode se iniciar depois que se completem as atividades J, K e L.
Num caso como o representado abaixo:
�
�
as atividades K, L e M não podem se iniciar (nenhuma delas) antes que a atividade J se complete.
Finalmente, numa outra configuração como a mostrada abaixo:
tanto a atividade M como a atividade N não podem se iniciar antes que estejam concluídas J, K , L, i
4a) As atividades são identificadas, principalmente por programas de computador, por seus nós inicial e final, devidamente numerados da esquerda para a direita. Desta forma, é impróprio que duas atividades tenham os mesmos nós inicial e final. 
A representação abaixo, que está incorreta para efeitos práticos, mostra que a atividade C só pode começar depois que tanto A quanto B tenham sido concluídas. A representação é inconveniente, pois A e B têm os mesmos nós inicial e final.
�
Corrige-se tal situação criando uma atividade fantasma, com duração zero e sem influência real no Diagrama de Rede. A atividade fantasma serve apenas para auxiliar na individualização das atividades. Veja-se abaixo como a criação da atividade fantasma. C' resolve o problema:
�
C
�
Note-se que C depende diretamente de A e de C', que por sua vez não pode se iniciar antes que B esteja concluída. Logo, indiretamente, fica estabelecida a relação de dependência entre C e B.
Há outras situações em que uma atividade fantasma pode ser usada, como se exemplifica abaixo:
�
Na representação, embora M dependa de K e de L, a atividade A' depende apenas de L.
4, Estimativas de Tempo no PERT e no CPM
Construído o Diagrama de Rede para um projeto, precisamos obter a duração de cada atividade, para determinar o caminho crítico, calcular a duração do projeto e a folga de cada atividade em particular. Saberemos assim quais atividades devem ser objeto de atenção especial para que não atrasem (aquelas que pertencem ao caminho crítico). No caso do CPM, como a utilização típica é em projetos onde se pode ter estimativas bem acuradas de tempo, cada atividade tem uma só medida (determinística) de tempo. Quanto ao PERT, empregado em projetos cujas atividades têm uma certa imprecisão na duração, convencionalmente são feitas três estimativas de tempo para cada atividade: 
Estimativa OTIMISTA (a): é uma estimativa do tempo mínimo que uma atividade pode tomar. E obtida supondo-se condições totalmente favoráveis na execução da atividade.
Estimativa MAIS PROVÁVEL (m): é uma estimativa do tempo normal que uma atividade deve tomar. E o resultado que ocorreria mais freqüentemente se a atividade fosse feita um grande número de vezes.
Estimativa PESSIMISTA (b): é uma estimativa do tempo máximo que uma atividade pode durar. Só ocorre em condições totalmente adversas. A possibilidade de eventos drásticos e catastróficos não é considerada, a menos que eles sejam um risco claramente associado ao projeto.
Uma hipótese que se faz é a de que os tempos de atividades são distribuídos segundo uma distribuição beta, onde a estimativa MAIS PROVÁVEL m é a moda. A distribuição pode ser inclinada para a direita, para a esquerda, ou centrada, dependendo da relação entre a, m e b, como se mostra na Figura abaixo,
Assumida a distribuição beta, a duração esperada de uma atividade qualquer pode ser calculada aproximadamente por:
�
 Ti = 1 (a + 4m + b) (equação 1.1)
 6
Uma hipótese adicional que se faz é a de que o desvio padrão da duração de uma atividade qualquer i é igual a 1/6 da faixa de tempo entre as durações extremas:
�
 i = b-a (Equação 14.2)
A explicação para essa suposição reside no fato de que, para muitas distribuições de probabilidades, os valores extremos da variável estão distantes cerca de 3 desvios padrão da média.
Exemplo 1
Dadas as atividades que compõem certo projeto, suas durações e relações de precedência, mostradas abaixo, construir o Diagrama de Rede correspondente e calcular, para cada atividade, a duração esperada e o desvio padrão.
	ATIVIDADE
	PREDECESSORES
IMEDIATOS
	DURAÇÃO
OTIMISTA
	DURAÇÃO
MAIS PROVÁVEL
	DURAÇÃO
PESSIMISTA
	J
	—
	4 dias
	6 dias
	10 dias
	K
	—
	8
	12
	14
	L
	J
	3
	4
	5
	M
	K
	5
	5
	5
	N
	L,M
	2
	7
	9
Solução
O Diagrama de Rede é bastante simples, dado o pequeno número de atividades; o leitor pode conferir abaixo as relações dadas:
�
N
�
As durações esperadas e os desvios padrão podem ser calculados com as Equações 1.1 1.2 respectivamente, onde a é a duração otimista, m a mais provável e b a pessimista:
�
Ti = 1 (a + 4m + b) i = b - a 
6
Para a atividade J, por exemplo, temos:
�
ti = 1 (4 + 4 x 6 + 10) = 6,3 dias
i = 10 – 4 = 1 dia
 6
Os resultados para todas as atividades estão na tabela seguinte:
�
	ATIVIDADE
	DURAÇÃO
ESPERADA
	DESVIO
PADRÃO
	J
	6,3 dias
	1dia
	K
	11,7
	1 dia
	L
	4
	0,3 dias
	M
	5
	0 (zero)
	N
	6,5
	1,2 dias
�
5. Determinação do Caminho Crítico
No Exemplo 14.1 determinamos o caminho crítico de um projeto de forma bastante simples. Listamos todos os caminhos e identificamos o caminho crítico por ter folga total zero. Na prática, os projetos podem possuir centenas ou milhares de atividades e determinar manualmente o caminho crítico é inviável. Existem pacotes de computador, que exigem então uma forma mecânica de fazer os cálculos. Essa forma mecânica envolve quatro regras fundamentais, referentes ao cálculo das seguintes quantidades definidas para cada uma das atividades constituintes de um projeto:
DATA MAIS CEDO DE INÍCIO (DCI): é a data mais próxima em que uma atividade pode começar, assumindo que todas as atividades predecessoras começam tão cedo quanto possível.
DATA MAIS CEDO DE TÉRMINO: (DCT): é a data mais próxima em que uma atividade pode terminar.
DATA MAIS TARDE DE INÍCIO (D77): é a data mais atrasada em que uma atividade pode começar, sem que atrase o projeto.
DATA MAIS TARDE DE TÉRMINO (DTT): é a última data em que a atividade pode terminar, sem que atrase o projeto.
Conhecidas essas quantidades para todas as atividades, a determinação do caminho crítico e de várias grandezas importantes será imediata. Vejamos inicialmente como calcular as datas mais cedo de início e de término (DC1 e DCT) e, posteriormente, como calcular as folgas de cada atividade e o caminho crítico.
5.1. Cômputo de DCI e DCT
DCI e DCT são calculadas com o auxílio das duas regras seguintes:
I) A Data Mais Cedo de Término de uma atividade pode ser calculada como: 
DCT = DCI + t (t= duração da atividade)
10 ADMINISTRAÇÃO DA PRODUÇÃO E OPERAÇÔES
II) Regra de cálculo de DCI A Data Mais cedo de Início de uma atividade que deixa um determinado nó é igual à mais Datas Mais Cedo de Término dentre todas as atividades que chegam ao nó.
Exemplo 1.3
São dados o Diagrama de Rede de um projeto e o quadro das durações estimadas de cada atividade;
DURAÇÃO (EM SEMANAS)
ATIVIDADE 		OTIMISTA		MAIS PROVÁVEL 		PESSIMISTA
	A	17	24	25
B	6	8	12
C	4	5	10
D	1	4	5
E	3	8	10
F	5	5	5
G	5	6	8
H	15	20	24
I	10	15	18
J	10	10	10
Determinar:
a) a duração esperada de cada atividade e os desvios padrão dessas durações;
b) as datas mais cedo de início e detérmino de cada atividade.
Solução
a) durações esperadas das atividades e seus desvios padrão
A aplicação das Equações 14.1 e 14.2 permite obter a duração esperada e o desvio padrão respectivamente. Exemplificando com a atividade A:
Ta = 1 = (17 + 4 x 24 + 25) = 23
 6
a = 25 – 17 = 1,3
 6
A tabela abaixo fornece todos os resultados da aplicação das Equações 1.1 e 1.2 (tanto a duração esperada quanto o desvio padrão são dados em semanas).
 DURAÇÃO DESVIO
ATIVIDADE 	 ESPERADA PADRÃO
A				23 			1,3
B				8,3			 1	
C				5,7			 1
D				3,7			 0,7
E				7,5			 1,2
F				5			 0
G				6,2			 0,5
H				19,8			 1,5
I				14,7			 1,3
J				10			 0
b) datas mais cedo de início e de término
Vamos assumir que as datas mais cedo de atividades sem predecessores é zero. Assim, as atividades A, B e C têm DCI igual a zero; suas datas mais Cedo de término serão:
DCIa = O + 23 = 23
DCTb = O + 8,3 = 8,3
DCTc = O + 5,7 = 5,7
Como A é a última atividade que chega ao nó 2 (início da atividade D), a Data Mais Cedo de Término de A torna-se a Data Mais Cedo de Início de D:
DCId = DCTa = 2.3; portanto,
DCTd = 23 + 3,7 = 26,7
De forma semelhante, obtemos:
DCIe = 8,3 DCTe = 8,3 + 7,5 = 15,8
DCIf = 5,7 DCTf = 5,7 + 5 = 10,7
A Data Mais cedo de Início da atividade G é a data Mais Cedo de Término da atividade D:
DCIg = DCTd = 26,7 e, portanto, DCTg = 26,7 + 6,2 = 32,9
Para a atividade H:
DCIh = 15,8 DCTh = 15,8 + 19,8 = 35,6
No caso da atividade /, chegam ao nó 7 as atividades G, H e F, das quais a maior Data Mais Cedo de Término é a da atividade H (35,6), e assim se torna a Data Mais Cedo de Início da atividade I:
DCIi = DCTH = 35,6 e, portanto, DCTi = 35,6 + 14,7 = 50,3
Para a atividade J, finalmente, temos:
DClj = 50,3 DCTj = 50,3 + 10 = 60,3
A tabela abaixo resume os cálculos.
ATIVIDADE DCI DCT
	A
	0
	23
	B
	0
	8,3
	C
	0
	5,7
	D
	23
	26,7
	E
	8,3
	15,8
	F
	5,7
	10,7
	G
	26,7
	32,9
	H
	15,8
	35,6
	l
	35,6
	50,3
	J
	50,3
	60,3
Deve-se notar que a maior Data Mais Cedo de Término entre todas as atividades corresponde à duração esperada do projeto. Em nosso caso, essa duração esperada é de 60,3 semanas.
5.2. Cômputo de DTI e DTT
Valem as regras seguintes:
III) A Data Mais Tarde de Início de uma atividade pode ser calculada como: 
DTI = DTT - t (t = duração da atividade)
 IV) Regra de cálculo de DTT
A Data Mais Tarde de Término de uma atividade que entra em um nó é igual à menor das DTI das atividades que deixam o nó.
No Exemplo 1.3 vimos que, para calcular as DCI e DCT tínhamos que caminhar para frente na rede, começando pela esquerda. Para o cálculo de DTI e DTT faremos exatamente o contrário, caminhando da frente para trás, a partir da última atividade. Assumimos que para a última atividade, a sua DTT é igual à sua DCT. Obtemos em seguida a sua DTI subtraindo da DTT a duração esperada.
Exemplo 1.3
Determinar a Data Mais Tarde de Início e a Data Mais Tarde de Término para cada uma das atividades do Diagrama de Rede do Exemplo 1.3
Solução
Começamos por fixar DTTj = DCT j já que J é a última atividade:
DTTj = DCTj = 60,3 semanas. Logo, DTIj = 60,3 - 10 = 50,3
Para que a atividade J possa começar no máximo em 50,3 semanas, a atividade imediatamente anterior (/) não pode terminar além daquela data; logo, DTTi = 50,3 e também 
DTIi = 50,3 - 14,7 = 35,6
Para que a atividade / possa começar no máximo em 35,6 semanas, é preciso que para as três atividades que a precedem imediatamente (F, G, H) nenhuma termine depois daquela data. Logo:
DTTf = DTTg = DTTh = 35,6
Subtraindo as durações dessas atividades, chegamos a:
DTIh = 35,6 – 51 = 30,6 
DTI=35,6-6,2=29,4
DTIh=35,6-19,8=15,8
Tendo a atividade F que começar no máximo em 30,6 semanas e sendo C sua atividade precedente:
DTTc = 30,6 DTlc = 30,6 - 5,7 = 24,9
A atividade G é precedida imediatamente pela atividade D. Logo:
DTTd = DTIg = 29,4 DTId = 29,4 - 3,7 = 25,7
A atividade H é precedida imediatamente pela atividade E. Logo:
DTTe = DTTh = 15,8 DTIe = 15,8 - 7,5 = 8,3
Por sua vez, a atividade D é precedida pela atividade A. Logo:
DTTa = DTId = 25,7 DTIa = 25,7 - 23 = 2,7
Finalmente, a atividade E é precedida pela atividade B. Logo:
DTTb = DTIe = 8,3 DTIb = 8,3 - 8,3 = O
A tabela abaixo resume os resultados.
ATIVIDADE	DTI DTT
	A
	2,7
	25,7
	B
	0
	8,3
	C
	24,9
	30,6
	D
	25,7
	29,4
	E
	8,3
	15,8
	F
	30,6
	35,6
	G
	29,4
	35,4
	H
	15,8
	35,6
	I
	35,6
	50,3
	J
	50,3
	60,3
5.3. Cômputo das Folgas das Atividades
A folga de uma atividade é o tempo que ela pode se atrasar sem com isso Atrasar a data de término de um projeto. Há duas formas de se calcular a folga de uma atividade:
Folga - DTI – DCI Folga = DTT - DCT
Uma vez determinadas as folgas, o caminho crítico é imediato e corresponde à sequência de atividades com folga zero.
Exemplo 1.5
Para a mesma rede dos dois exemplos anteriores, calcular as folgas e indicar o caminho crítico.
Solução
Já calculamos anteriormente, para cada atividade, os valores de DCI, DCT, DTI e DTT; eles estão agrupados na tabela abaixo, de forma conveniente para o cálculo das folgas segundo as duas formulações, apenas para conferência.
	ATIVIDADE
	DURAÇÃO
	DTI
	DCI
	FOLGA
	DTT
	DCT
	FOLGA
	A
	23
	2,7
	0
	2,7
	25,7
	23
	2,7
	B
	8,3
	0
	0
	0
	8,3
	8,3
	0
	C
	5,7
	24,9
	0
	24,9
	30,6
	5,7
	24,9
	D
	3,7
	25,7
	23
	2,7
	29,4
	26,7
	2,7
	E
	7,5
	8,3
	8,3
	0
	15,8
	15,8
	0
	F
	5
	30,6
	5,7
	24,9
	35,6
	10,7
	24,9
	G
	6,2
	29,4
	26,7
	2,7
	35,6
	32,9
	2,7
	H
	19,8
	15,8
	15,8
	0
	35,6
	35,6
	0
	l
	14,7
	35,6
	35,6
	0
	50,3
	50,3
	0
	J
	10
	50,3
	50,3
	0
	60,3
	60,3
	0
O caminho crítico será então formado pela seqüência de atividades: B — E H — I —S. A duração esperada do projeto é dada pela soma das durações esperadas das atividades que compõem o caminho crítico: 8,3 + 7,5 + 19,8 + 14,7 + 10 = 60,3 semanas (ou seja, o valor da DCT da última atividade, que é 7).
EXERCÍCIO:
Baseado na tabela abaixo:
monte o diagrama de rede;
determine a folga (DCI, DCT, DTI, DTT) de cada uma das atividades da rede;
definir quais as atividades do caminho crítico; e
qual a duração deste.
ATIVIDADE	 DURAÇÃO DE 	 PREDECESSORES
			CADA ATIVIDADE	 IMEDIATOS
	A	4	-
	B	7	-
	C	6	A
	D	2	A
	E	1	C,B
	F	2	E
	G	4	D,F,H
	H	6	I,K
	I	5	E
	J	4	E
	K	7	J
	L	10	I,K
	M	6	I,K
	N	2	G,L,M
	O	3	N,M
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
MOREIRA, D.A., “Administração da Produção e Operações”, Pioneira; 1993; SP; p.p. 432- 
 451.
- SLACK, N, “Administração Da Produção”; ATLAS; 2002; SP; p.p. 530-541;
X
6
5
55
5
1
J
C
3
4
M
K
5
3
1
L’
N
L
2
4
6
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D
2
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A
G
E
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H
3
6
1
J
I
C
F
4
9
8
7