Rotação e Translação de sólidos

Prévia do material em texto

Rotação
 A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de translação e rotação. No movimento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento linear. Por outro lado, no movimento de rotação pura as partes de um corpo descrevem trajetórias circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta - chamada de eixo de rotação. No movimento de rotação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento angular. O movimento que se aproxima mais de uma situação real é aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação.
 
As variáveis da rotação 
À semelhança do movimento de translação, para a análise da rotação utilizamos de parâmetros equivalentes a aqueles definidos anteriormente. 
Posição angular 
Quando um objeto de um formato arbitrário, tem uma trajetória circular em torno de um certo eixo, podemos definir algumas grandezas que descreverão esse movimento. Podemos marcar um dado ponto do objeto e analisar o seu movimento. A distância deste ponto ao eixo de rotação é chamado de raio r da trajetória. A sua trajetória descreve um arco de comprimentos. A posição angular associada ao arco e o raio é o ângulo θ.
Deslocamento angular
 Quando um corpo está em rotação, ele está variando a sua posição angular de modo que num dado momento ela é definida pelo ângulo θ1 e num instante posterior é definida pelo ângulo θ2, de modo que o deslocamento angular entre os instantes considerados é: 
∆θ = θ2 - θ1
Velocidade angular 
A velocidade angular é a taxa com que a posição angular está variando; é a razão entre o deslocamento angular e o tempo necessário para fazer esse deslocamento. 
Definimos a velocidade angular média como: 
Definimos a velocidade angular instantânea como:
	
Aceleração angular 
Quando a velocidade angular de um corpo não é constante mas varia no tempo com uma certa taxa, esse corpo terá uma aceleração angular. 
Definimos a aceleração angular média como:
Definimos a aceleração angular instantânea como:
Rotação com aceleração angular constante 
À semelhança do movimento de translação com aceleração constante, as equações para rotação são obtidas integrando-se a equação de movimento:
	
A velocidade angular média foi definida de modo que:
Mas quando estamos analisando o movimento com aceleração constante, também podemos definir a velocidade angular média como:
E usando essa equação na anterior, temos que:
As variáveis lineares e angulares
A posição
Ao analisarmos o movimento de rotação de um objeto o parâmetro que descreve o deslocamento espacial é: 
S = r θ
A velocidade escalar 
Quando observamos os corpos rígidos, a rotação se faz com raio constante, ou seja: cada ponto observado mantém uma distância constante ao eixo de rotação. Desse modo:
Onde v é a velocidade linear de um certo ponto do corpo e w é a velocidade angular desse ponto considerado. Na realidade, w é a velocidade angular do corpo por inteiro. 
A aceleração 
De maneira equivalente, a aceleração de uma dado ponto de um corpo é definida como:
	Essa aceleração é também conhecida como aceleração tangencial, pois dá conta da variação do módulo da velocidade. Como a velocidade é tangencial à curva, para que o seu módulo varie é necessário uma aceleração nesta direção. Com a definição dessa aceleração, temos agora dois tipos de aceleração no movimento circular: a aceleração tangencial e a aceleração radial (ou centrípeta), ou seja:
Energia cinética de rotação Vamos considerar um conjunto de N partículas, cada uma com massa mi e velocidade VI girando em torno de um mesmo eixo do qual distam RI. A energia cinética deste sistema é:
	
Onde RI é a distância de cada partícula ao eixo, W a velocidade angular das partículas em torno do eixo considerado e definimos o momento de inércia I do conjunto de partículas como:
	Vamos usar a definição de momento inércia principalmente para calcular a energia cinética de rotação de corpos rígidos. Quando uma roda está girando em torno do seu eixo, as diversas partes da roda se movem com velocidade diferentes, mas todas as suas partes têm a mesma velocidade angular. Daí a importância da definição do momento de inércia para computar a energia cinética associada ao movimento de rotação de um sistema de partículas ou um corpo rígido.
Momento de inércia 
Se dividirmos um corpo rígido em pequenas partes, cada parte com uma massa ∆MI, podemos em tese calcular o momento de inércia deste corpo usando a equação anteriormente apresentada para um sistema de partículas:
Se aumentarmos essa subdivisão de modo que aqueles elementos de massa ∆MI se transformem em grandezas diferencias DM, poderemos identificar como:
Onde essa é uma integral simbólica que significa a integração sobre todo o volume do corpo rígido considerado, seja ele de uma, duas ou três dimensões. 
Teorema dos eixos paralelos 
Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer que passe por seu centro de massa, podemos inferir o momento de inércia desse corpo em relação a qualquer eixo paralelo ao primeiro eixo considerado. Se a distância entre os dois eixos for H, a massa do corpo for M e ICM for o seu momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inércia I mencionado:
Para demonstrar essa equação vamos considerar um corpo de um formato qualquer, como no desenho a seguir. O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao papel, que cruza com a origem do referencial (XY) e que passa pelo centro de massa é Icm:
	Onde dm é um elemento de massa (representado pelo pequeno círculo) localizado pelo vetor posição R!.
	
Para calcular o outro momento de inércia vamos considerar um segundo referencial (X'Y') e um segundo eixo que passe pela origem desse referencial e seja perpendicular ao papel. O momento de inércia em relação a esse segundo eixo é:
Onde nas duas últimas equações utilizamos a premissa inicial que o centro de massa seria escolhido como origem do referencial, e desse modo XCM = YCM = 0. 
Coletando os resultados das últimas equações, encontramos que:
Alguns exemplos de cálculo de momento de inércia 
A - Momento de inércia de um bastão fino de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular ao bastão e que passa por seu centro de massa.
Vamos considerar a fatia DX, distante X da origem, que contém uma massa DM. Podemos usar a proporção:
	
B - Momento de inércia de um anel de raio R e massa M, em relação a um eixo que passa pelo centro, perpendicular ao plano do anel.
Vamos considerar o pedaço de anel limitado pelo ângulo Dθ, que contém uma Vamos considerar o pedaço de anel limitado pelo ângulo Dθ, que faz um ângulo θ com a horizontal e que contém uma massa DM. Podemos usar a proporção:
	C - Momento de inércia de um anel de raio R e massa M, em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer.
A distância r de um elemento de massa dm ao eixo é:
	
	O elemento de massa dm e o ângulo Dθ que limita essa massa se relacionam como:´
D - Momento de inércia de um cilindro anular em torno do eixo central. O cilindro tem raio interno R1, raio externo R2, comprimento L e massa M. 
	
Vamos considerar uma casca cilíndrica de raio r, espessura DR e comprimento L.. O volume DV dessa casca é:
A massa DM contida nessa casca é:
	
E - Momento de inércia de um cilindro sólido de massa M, raio a e comprimento L em relação ao diâmetro central:
O elemento de massa dm está limitado pelo ângulo Dθ e dista R do eixo, que no desenho está na horizontal.
Torque Define-se o troque T! produzido pela força F! quando ela atua sobre uma partícula como sendo o produto vetorial dessa força pelo vetor posição da partícula:
Se no exemplo da figura ao lado definirmos o plano da folha de papel comsendo X - Y o torque estará ao longo do eixo z e será um vetor saindo da folha:
Nesse exemplo ao lado, em particular, o resultado do produto vetorial é:
Onde:
Podemos perceber que apenas a componente F1 da força F! é quem contribui para o torque.
	
Translação de sólidos
Consideremos cada sólido como um sistema formado por pontos materiais discretos, cujas distâncias entre si permaneçam constantes. A cada ponto Pj de um tal sistema material podemos associar dois vectores que, de acordo com a 2ª lei de Newton, são iguais:
É a resultante de todas as forças que atuam no ponto Pj. Inclui, assim, forças exteriores e interiores ao sistema material. De acordo com a 2ª lei de Newton, teremos:
	Se esta igualdade se verifica para todos os pontos Pj, poderemos dizer que o sistema de forças exteriores mais o sistema de forças interiores iguala o sistema de vectores a que chamamos quantidades de aceleração. 
	Sabemos que é condição necessária e suficiente para que dois sistemas de vectores sejam equivalentes, que tenham elementos de redução no mesmo ponto iguais. 
Daqui resulta que, necessariamente:
	
Como as forças interiores, de acordo com a 3ª lei de Newton, são iguais e opostas 2 a 2, o sistema de forças interiores é equivalente a zero. Como consequência, obteremos as seguintes equações vectoriais, válidas para um sistema de pontos materiais;
	As equações anteriores são as chamadas equações do movimento. Nelas, não está, por ora, contida qualquer restrição referente ao sistema material. De facto, são válidas quer esta seja ou não um sistema rígido, um sistema formado por vários subsistemas rígidos considerados no seu conjunto, ou pura e simplesmente um sistema de pontos materiais discretos cujas distâncias entre si variam no tempo. 
	Os segundos membros de tais equações representam, respectivamente, o vector principal e o vector momento em O do sistema de vectores quantidades de aceleração. 
	Vimos já, em capítulos anteriores, que, ao primeiro se chamou quantidade de aceleração do sistema material e que sempre se verificava, fosse o sistema rígido ou não que:
A aceleração do centro de gravidade do sistema material e M a sua massa total. 
Chamamos ao 2º membro da 2ª equação das denominadas equações do movimento, o Momento Dinâmico em O do sistema material e aprendemos a calculá-lo em diversas situações particulares, quase sempre referentes a sistemas sólidos ou formados por conjuntos de sólidos. 
Relembra-se, como relação particularmente útil, que o momento dinâmico em O pode sempre obter-se a partir do momento em G, pelo 2º Teorema de Konig:
Teorema do movimento do centro de massa de um sistema material 
Num qualquer sistema de pontos materiais, rigidamente ligados ou não, verifica-se que:
	Esta seria também a equação do movimento do centro de massa, se nele estivesse concentrada toda a massa do sistema material e sobre ele atuasse uma força igual à soma de todas as forças exteriores aplicadas ao referido sistema. 
	Esta constatação é conhecida por “teorema do movimento do centro de massa”, o qual pode ser e é habitualmente citado do seguinte modo:
“Em qualquer sistema material, rígido ou não, o centro de massa move-se como um ponto isolado, de massa igual à massa total do sistema e atuado por uma força igual à soma vectorial de todas as forças exteriores aplicadas”.
	
	Verificamos assim, que, se um sistema de forças que atue num sistema material tem vector principal não nulo (há desequilíbrio de forças), o centro de massa adquire movimento acelerado.
Movimento em torno do centro de massa
	Tentaremos agora encontrar um significado físico para o momento da quantidade de aceleração quando o polo (ponto O) utilizado no cálculo dos momentos é o centro de massa:
	Se o movimento real do sistema for uma translação, constata-se (a partir do 2º teorema de Koenig) que o momento dinâmico em G é nulo. Neste caso a equação anterior traduziria um equilíbrio de momento em relação a G, das diversas forças aplicadas. Noutro qualquer ponto, porém, tal situação não ocorreria (a partir do 2º teorema de Koenig). Se o movimento real do sistema material for uma rotação em torno de um eixo que contém G, o momento dinâmico em G não será nulo, mas sê-lo-á a quantidade de aceleração.
Movimento plano de corpos rígidos simétricos
Introduzimos aqui duas limitações aos sistemas materiais considerados: 
a) Deslocam-se em movimento plano, isto é, cada ponto material permanece a distância constante de um dado plano de referência fixo;
 b) Os sistemas materiais são constituídos por corpos sólidos simétricos em relação ao plano de referência, (o que implicará que possuam um eixo principal de inércia baricentro perpendicular a esse plano).
	Trata-se afinal, de particularizar as equações gerais já apresentadas. Assim, sendo (X,Y) o plano do movimento, teremos:
Nestas equações, Izz é o momento de inércia relativamente ao eixo dos zz que passa no centro de massa do corpo rígido. A equação referente aos momentos resultou da particularização, para este caso, da equação matricial já estudada no capítulo da cinemática de massas:
E no caso geral de sólidos (como por exemplo uma cantoneira de abas desiguais) em movimento plano a matriz de inércia contém elementos nulos referentes ao plano de simetria.
Análise de sistemas de corpos rígidos em movimento plano
Esta análise pode ser feita por dois processos: 
a) Considerando o sistema como um todo, traçando portanto um único diagrama de corpo livre e não considerando as forças de ligação entre os diversos corpos; 
b) Dividindo o sistema em vários subsistemas, de modo análogo ao que foi feito na estática, considerando as equações de movimento de cada um deles e resolvendo em conjunto os sistemas de equações assim obtidas. Estão obviamente consideradas, neste caso, as forças de ligação entre os corpos. 
	Este 2º caminho é o mais utilizado, até porque é o único possível quando o número de incógnitas é superior a 3 (que é o número de equações de que dispomos numa análise de equilíbrio plano).
	 A maioria das aplicações práticas em engenharia trata de corpos rígidos que se movem sob determinados vínculos (rotação em torno de eixos fixos, rolamentos sem escorregamento, guiamentos…).
	Em todos estes casos, existem relações definidas entre as componentes da aceleração do centro de massa G e a aceleração angular. A solução destes problemas exige uma análise cinemática prévia, a qual não introduz problemas particulares na sua solução.
Sólido em translação 
“Pretende-se determinar as forças de ligação que ocorrem nos pontos A e B, em que o corpo de massa M indicado na figura, se articula com duas barras de massa desprezável, as quais o obrigam a deslocar-se em translação curvilínea sobre um plano vertical”.
Análise cinemática prévia: Cálculo da aceleração do centro de gravidade
Cálculo do momento dinâmico em G 
O momento dinâmico em G é nulo já que o corpo só tem movimento de translação. 
Logo,
Calculo do momento das forças de ligação em G
Resultante das forças e momentos exteriores:
Obtemos então o seguinte sistema de equações:
Admitindo que o corpo parte do repouso ω0 = 0 e θ0 = 0 a 2ª equação (Eq. Diferencial do movimento) permite escrever:
Sólido em movimento plano mais complexo 
“Pretende-se determinar as forças de ligação que atuam sobre uma placa de massa M e vinculada em B por uma barra e em A por uma corrediça que se move sobre uma guia horizontal. Desprezam-se as forças de atrito (I.é, admite-se que as ligações são perfeitas) e as massas dos corpos, que com a placa, estão em movimento”.
Da figura vemos que Ssin θ+ Lsinβ = H⋅Desta expressão e das suas primeiras e segunda derivadas em ordem ao tempo, obtemos os parâmetros cinemáticos θ θ θ , e que é o parâmetro cinemático que escolhemos (e suas derivadas).
Calculo da aceleração do ponto G (centro de gravidadeda placa);
Usaremos a seguinte notação:
Determinação dos Momentos Cinético e Dinâmico (respectivamente H e K)
Onde:
Matriz de transformação do refal -móvel no refal –fixo.
Como o referencial local (“móvel”), eixos x1, y1, z1 são eixos centrais principais de inércia, então:
Então:
A 3ª equação de momentos juntamente com as de projeção das forças, permitem obter RA e RB admitindo que são conhecidas as leis de variação de θ(t) eβ(t)⋅
BIBLIOGRAFIA
http://www.fisica.ufpb.br/~Romero/pdf/11_rotacao.pdf
https://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/16963/1/Din%C3%A2mica%20da%20part%C3%ADcula%20e%20do%20s%C3%B3lido.pdf