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PONTIFI´CIA UNIVERSIDADE CATO´LICA
DO PARANA´
Ca´lculo II
Profa Karla Arsie
Lista de Revisa˜o
1. Enuncie e interprete a definic¸a˜o formal de limite de uma func¸a˜o real.
2. Encontre δ > 0 tal que
|x− 3| < δ ⇒ |(x2 + 2x− 8)− 7| < 0, 3.
3. Encontre δ > 0 tal que
|x− 1| < δ ⇒ |(x2 − 5x+ 6)− 2| < 0, 2.
4. Exemplo: Prove pela definic¸a˜o que lim
x→3
(4x− 5) = 7.
Soluc¸a˜o:
Dado � > 0 devemos encontrar δ > 0 tal que
|x− 3| < δ ⇒ |(4x− 5)− 7| < �.
Rascunho: Utilizaremos a desigualdade |(4x − 5) − 7| < � para encontrar o δ. O objetivo e´ a partir desta
desigualdade encontrar alguma relac¸a˜o para |x− 3|.
Note que |(4x− 5)− 7| < �⇔ |4x− 5− 7| < �⇔ |4x− 12| < �⇔ |4(x− 3)| < �
⇔ 4|x− 3| < �⇔ |x− 3| < �4 .
Ou seja, encontramos um valor que o |x− 3| e´ menor, e este valor utilizaremos como δ. Com isto, podemos
escrever a soluc¸a˜o do problema.
Soluc¸a˜o: Dado � > 0, considere δ = �4 , assim
|x−3| < δ ⇒ |x−3| < �
4
⇒ 4|x−3| < �⇒ |4(x−3)| < �⇒ |4x−12| < �⇒ |4x−5−7| < �⇒ |(4x−5)−7| < �.
E pela definic¸a˜o formal de limite, isto significa que
lim
x→3
(4x− 5) = 7
5. Prove pela definic¸a˜o que
(a) lim
x→1
(2x+ 3) = 5
(b) lim
x→3
(1− 4x) = −11
(c) lim
x→4
(7− 3x) = −5