A definição de limite

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EXERCÍCIOS SOBRE A DEFINIÇÃO DE LIMITE 
01. Escreva, usando a definição de limite, o que significa cada um dos limites abaixo: 
a) lim
𝑡→𝑐
𝑣(𝑡) = 𝐾 b) lim
𝑡→𝑏
𝑓(𝑡) = 𝑀 c) lim
𝑟→𝑎
𝑔(𝑟) = 𝑁 
02. Escreva, usando uma definição semelhante a de limite, o que significa cada um dos limites abaixo: 
a) lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 b) lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑀 
03. Use o gráfico dado de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 para encontrar um número 𝛿 tal que |𝑥 − 1| < 𝛿 ⇒ |𝑥3 − 1| < 0,5. 
 
 
04. Use definição de limite para provar que: 
a) lim
𝑥→4
(5𝑥 − 3) = 17 b) lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 2
= 5 
c) lim
𝑥→𝑎
(𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏, 𝑚
≠ 0 
05. Demonstre, usando a definição, que lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2𝑥 − 7) = 1 
06. Demonstre que se lim
𝑥⇢𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e 𝐿 > 0, então existe um intervalo aberto (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) tal que 
𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿), exceto possivelmente em 𝑥 = 𝑎. 
07. Seja 𝑓 definida como se segue 
𝑓(𝑥) = {
0 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
1 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
 
Mostre que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existe para nenhum número real 𝑎. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
𝟎𝟏. 𝑎) ∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑣(𝑡) − 𝐾| < 𝜀. 
b) ∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 𝑏| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑡) − 𝑀| < 𝜀. 
c) ∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑔(𝑟) − 𝑁| < 𝜀 
𝟎𝟐. 𝑎) ∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝛿 > 0 tal que 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
b) ∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝛿 > 0 tal que 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
03. Analisando o gráfico vemos que lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 1. Para esse limite foi dado um intervalo de centro em 1 
(um) e raio 𝜀 = 0,5. Devemos calcular um 𝛿 tal que se 𝑥 ∈ (1 − 𝛿, 1 + 𝛿) então 𝑓(𝑥) ∈ (0.5, 1.5). Para 
isso devemos calcular 𝑥1 e 𝑥2. 
➢ 𝑓(𝑥1) = 0,5 ⇒ 𝑥1
3 = 0,5 ⇒ 𝑥1 = √0,5
3
 ⇒ 𝑥1 = 0,79 
➢ 𝑓(𝑥2) = 1,5 ⇒ 𝑥2
3 = 1,5 ⇒ 𝑥1 = √1,5
3
 ⇒ 𝑥2 = 1,14 
O número 𝛿 procurado é o mínimo do conjunto {1 − 𝑥1, 𝑥2 − 1} = {1 − 0.79, 1.14 − 1} = {0.21, 0.14}. 
Logo 𝛿 = 0,14. (Na verdade qualquer outro valor positivo menor que 0,14 também é solução do problema) 
04. a) Devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿 ⇒ |(5𝑥 − 3) − 17| < 𝜀. 
Para isso, considere 𝜖 > 0 um número real dado. Agora observe que |(5𝑥 − 3) − 17| < 𝜀 ⇔
 |5𝑥 − 20| < 𝜖 ⇔ |𝑥 − 4| <
𝜖
5
. Assim, tomando 𝛿 =
𝜖
5
 temos que: 
|𝑥 − 4| < 𝛿 ⇒ |𝑥 − 4| <
𝜖
5
 ⇒ 5|𝑥 − 4| < 𝜖 ⇒ |5𝑥 − 20| < 𝜖 ⇒ |(5𝑥 − 3) − 17| < 𝜖 
Logo, se 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿 então |(5𝑥 − 3) − 17| < 𝜀. Isso mostra que lim
𝑥→4
(5𝑥 − 3) = 17. 
b) Observe inicialmente que lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+3)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 3) = 5. Assim, devemos mostrar que 
dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ |(𝑥 + 3) − 5| < 𝜀. Para isso, considere 𝜖 > 0 um 
número real dado. Agora observe que |(𝑥 + 3) − 5| < 𝜀 ⇔ |𝑥 − 2| < 𝜖. Assim, tomando 𝛿 = 𝜖 temos 
que: 
|𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ |(𝑥 + 3) − 5| < 𝜖 
Logo, se 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 então |(𝑥 + 3) − 5| < 𝜀. Isso mostra que lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
= 5. 
c) Devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑎 + 𝑏)| <
𝜀. Para isso, considere 𝜖 > 0 um número real dado. Agora observe que |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑎 + 𝑏)| < 𝜀 ⇔
 |𝑚𝑥 + 𝑏 − 𝑚𝑎 − 𝑏| < 𝜖 ⇔ |𝑚𝑥 − 𝑚𝑎| < 𝜖 ⇔ |𝑚| ∙ |𝑥 − 𝑎| < 𝜖 ⇔ |𝑥 − 𝑎| <
𝜖
|𝑚|
. Assim, 
tomando 𝛿 =
𝜖
|𝑚|
 temos que: 
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑥 − 𝑎| <
𝜖
|𝑚|
 ⇒ |𝑚| ∙ |𝑥 − 𝑎| < 𝜖 ⇒ |𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 − 𝑏| < 𝜖 
⇒ |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑎 + 𝑏)| < 𝜖 
Logo, se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑎 + 𝑏)| < 𝜖 . Isso mostra que lim
𝑥→𝑎
(𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏. 
05. Devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ |(𝑥2 + 2𝑥 − 7) − 1| < 𝜀 
⇔ |𝑥2 + 2𝑥 − 8| < 𝜖 ⇔ |(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)| < 𝜖 ⇔ |𝑥 − 2| ∙ |𝑥 + 4| < 𝜖. Para isso, considere 𝜖 > 0 um 
número real dado. Como nos interessa o comportamento da função para os 𝑥 que estão próximos de 2, 
vamos considerar os 𝑥 que estão a uma distância menor do que 1 (um) do número 2, ou seja, |𝑥 − 2| < 1. 
Assim, 
|𝑥 − 2| < 1 ⇒ −1 < 𝑥 − 2 < 1 ⇒ 1 < 𝑥 < 3 ⇒ 3 < 𝑥 + 2 < 5 ⇒ −5 < 𝑥 + 2 < 5 ⇒ |𝑥 + 2| < 5 (*) 
Logo, tomando 𝛿 = min {1,
𝜖
5
} temos: 
|𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ {
|𝑥 − 2| < 1
|𝑥 − 2| <
𝜖
5
 
∗
⇒ {
|𝑥 + 4| < 5
|𝑥 − 2| <
𝜖
5
 ⇒ |𝑥 + 4| ∙ |𝑥 − 2| < 𝜖 ⇒ |(𝑥2 + 2𝑥 − 7) − 1| < 𝜀 
Portanto, se 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 então |(𝑥2 + 2𝑥 − 7) − 1| < 𝜀. Isso mostra que lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2𝑥 − 7) = 1. 
06. De fato, considere 𝜖 =
𝐿
2
. Como lim
𝑥⇢𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, existe 𝛿 > 0 tal que 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) e 𝑥 ≠ 𝑎 implica 
|𝑓(𝑥) − 𝐿| <
𝐿
2
 ⇒ −
𝐿
2
< 𝑓(𝑥) − 𝐿 <
𝐿
2
 ⇒ −
𝐿
2
+ 𝐿 < 𝑓(𝑥) <
𝐿
2
+ 𝐿 ⇒ 
𝐿
2
< 𝑓(𝑥) <
3𝐿
2
. Como 𝐿 > 0, 
temos que 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) e 𝑥 ≠ 𝑎. 
07. De fato o lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existe, pois para qualquer número real 𝑎 e qualquer número real 𝛿 > 0, existem 
𝑥1 racional e 𝑥2 irracional pertencentes ao intervalo ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) tais que 𝑓(𝑥1) = 0 e 𝑓(𝑥2) = 1. 
Logo, os valores de 𝑓(𝑥) não se aproximam de nenhum número real tanto quanto quisermos. Isso mostra 
que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existe. 
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Prof. Paulo Cesar