Livro Texto (Data 03 08 2016 13h48m) ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS MARLENE DAL RI arrumada 2012 enviada

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1 
Coleção Educação a Distância 
Série Livro-Texto 
 
 
Marlene Köhler Dal Ri 
 
 
 
ELEMENTOS DE ECONOMIA E 
FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES 
(Edição Ampliada) 
 
 
 
 
Ijuí 
Ed. Unijuí 
2009 
 
 2 
SUMÁRIO 
 
 
CONHECENDO A PROFESSORA .....................................................................4 
APRESENTAÇÃO ...............................................................................................6 
UNIDADE 1 ....................................................................................................... 11 
JUROS SIMPLES .............................................................................................. 11 
Seção 1.1 – Juros Simples ............................................................................ 12 
1.1.1 – Montante de juros simples ............................................................. 13 
1.1.2 – Taxa proporcional ........................................................................... 14 
1.1.3 – Juros Exatos................................................................................... 21 
1.1. 4. – Método Hamburguês: aplicação do regime de juros simples ....... 23 
Seção 1.2 – Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio ................................ 28 
Seção 1.3 – Desconto Simples ...................................................................... 34 
1.3.1 – Desconto comercial, bancário ou por fora ...................................... 35 
1.3.2 – Desconto racional ou por dentro .................................................... 37 
1.3.3 – Taxa de Juro Equivalente à Taxa de Desconto ou Taxa de Juros 
Efetiva ................................................................................................................... 40 
UNIDADE 2 ....................................................................................................... 49 
JUROS COMPOSTOS ...................................................................................... 49 
Seção 2.1 – Juros Compostos ....................................................................... 49 
2.1.1 – Capital ou valor presente ............................................................... 53 
2.1.2 – Taxa ............................................................................................... 53 
2.1.3 – Tempo ............................................................................................ 54 
Seção 2.2 – Taxas Efetiva e Nominal ............................................................ 66 
2.2.1 – Taxa Simples ou Linear .................................................................. 67 
2.2.2 – Taxa Nominal ................................................................................. 67 
2.2.3 – Taxas Proporcionais ....................................................................... 67 
2.2.4 – Taxas Compostas ou Exponenciais ............................................... 68 
2.2.5 – Taxa Efetiva ................................................................................... 68 
2.2.6 – Taxas Equivalentes ........................................................................ 69 
2.2.7 – Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva ou Real ........................ 69 
2.2.8 – Taxas Unificadas (iu) ...................................................................... 70 
 
 3 
Seção 2.3 – Desconto Composto .................................................................. 79 
2.3.1 – Desconto Racional Composto e Desconto Comercial Composto... 80 
Seção 2.4 – Equivalência Composta de Capitais .......................................... 85 
UNIDADE 3 ....................................................................................................... 96 
RENDAS CERTAS: Capitalização e amortização ............................................. 96 
Seção 3.1 – Capitalização de Séries Uniformes ............................................ 98 
3.1.1 – Rendas Imediatas .......................................................................... 99 
3.1.2 – Rendas Antecipadas .................................................................... 101 
Seção 3.2 – Amortização Séries Uniformes ................................................ 105 
3.2.1 – Amortização: Imediata .................................................................. 107 
3.2.2 – Amortização: Antecipada ............................................................. 108 
3.2.3 – Amortização: Diferida ................................................................... 110 
Seção 3.3 – Planos de Financiamentos....................................................... 115 
 
 
 4 
CONHECENDO A PROFESSORA 
 
 
Marlene Köhler Dal Ri 
 
Nasci em Arroio do Tigre/RS na década de 50, uma cidade bem pequena, aliás, 
naquela época era chamada Vila Arroio do Tigre e pertencia a Sobradinho. Sou filha 
de agricultores e somos em quatro irmãos. 
 
Fiz o primeiro grau na cidade onde nasci e o segundo grau – Técnico em 
Contabilidade – em Sobradinho. Cursei o nível superior primeiramente em Passo 
Fundo, concluindo o curso superior em Economia em Cruz Alta. Um ano após, como 
já era professora do Ensino Médio, fiz a complementação pedagógica em nível 
superior em Santa Maria, na UFSM, e com isso fui credenciada pelo MEC com 
registro de professora de Estatística, o que me oportunizou lecionar essa disciplina, 
porém, sempre gostei muito da área em que me formei: Economia. 
 
Após concluir a Licenciatura, sempre busquei estar em constante atualização. 
Logo casei e fui residir em Uruguaiana, onde atuei como professora universitária de 
Estatística, Matemática Financeira e Economia na PUC/RS, e nesse período fiz a 
Pós-Graduação em Política e Programação Econômica na PUC, em Porto Alegre. 
 
Dos seis anos que lá morei tenho gratas recordações dos colegas e alunos. 
Em 1985 vim morar em Ijuí/RS e continuei minha atividade profissional na Unijuí. 
 
Na busca de atualização dos conhecimentos, no início de 1990 fiz outra Pós-
Graduação, em Economia Monetária, na Fundação de Economia, em Santa Maria. 
Algum tempo depois e após meus três filhos estarem crescidinhos, fui fazer o 
Mestrado em Engenharia da Produção, na UFSC, no qual tive o privilégio de ter 
como coorientador o professor doutor Martinho Kelm, que na época estava 
terminando o Doutorado na UFSC, e como orientadora, a professora doutora Aline 
França de Abreu (Ph. D). 
 
 
 5 
 
Nestes últimos dez anos, sou Representante do Conselho Regional de 
Economia do RS na região, e também fui avaliadora dos cursos de Ciências 
Econômicas pelo Inep/MEC. 
 
Morando há tantos anos em Ijuí, faço dela a minha cidade, embora não 
esquecendo de minhas raízes, e da Unijuí a minha morada profissional. 
 
 6 
APRESENTAÇÃO 
 
A Revolução Industrial provocou uma mudança no mercado de trabalho e, com isso, aos 
poucos, foi sendo substituído o trabalho físico pelo intelectual, o que acarretou mudanças na natureza e 
na forma de mensurar essa força de trabalho, surgindo novos tipos de atividades altamente 
qualificadas. Essa nova realidade alterou as relações entre pessoas e empresas, atingindo todos os 
setores produtivos e exigindo, dessa forma, também um novo perfil de gerência dos recursos que 
administrariam essa situação. 
Com vistas a aumentar os índices de produtividade das empresas, foram sendo eliminadas 
e/ou transformadas várias funções e profissões, exigindo daqueles que desejam se manter no mercado 
de trabalho melhores qualificações, um novo modo de gerenciar e de avaliar as estratégias financeiras, 
entre outras estratégias indispensáveis para a sobrevivência das empresas. Nesse sentido, observa-se 
que a inovação tecnológica acelerou, intensificou e qualificou a forma detrabalhar, aumentando a 
produção com o mesmo número de trabalhadores ou até mesmo com um número reduzido destes. 
Essas mudanças exigem, dos gestores das empresas, conhecimentos financeiros para 
adotar estratégias que possam auxiliar a competir com preços, e, principalmente, pagar o capital 
investido na empresa. Essas estratégias atualmente são determinantes para manter a empresa em um 
mercado altamente competitivo. 
As estratégias, políticas ou decisões a serem tomadas para manter a empresa no mercado 
podem ser encontradas em diversas obras que tratam da área financeira, evidenciando critérios, 
técnicas de avaliação e seleção de diretrizes para a tomada de decisão e orientando, ainda, sobre os 
investimentos que poderão ser feitos para agregar valor às empresas. 
No caso da alocação de recursos, entretanto, é importante recorrer ao critério seriedade no 
momento de decidir sobre investimentos a serem feitos, pelo fato de que, depois de concretizada uma 
decisão, torna-se difícil alterá-la e a empresa poderá sofrer consequências não previstas no futuro. 
A partir do exposto, pode-se constatar que a magnitude e a composição qualitativa da 
poupança e do investimento impulsionam o desenvolvimento econômico, tanto em âmbito micro quanto 
macroeconômico, constituindo-se em ponto vulnerável, caso não lhe seja dada a devida importância. 
Dessa forma, a empresa depende, em qualquer programa de desenvolvimento, da análise das 
possibilidades de investimento, da sua instituição e controle, pois a formação de capital, assim como o 
investimento a ser feito, é de extrema importância para a sua sobrevivência e seu crescimento. 
Por isso, determinadas políticas de investimentos passam por várias etapas até ser tomada a 
decisão, quando são coletados e analisados dados para a verificação da viabilidade econômica dos 
investimentos a serem realizados, bem como a forma de seu financiamento. São questões que 
precisam ser discutidas antes da tomada de qualquer decisão e, dependendo do tamanho da empresa, 
se complexificam. 
Nesse aspecto, ainda é importante salientar que as atividades financeiras são fundamentais 
para outras atividades empresariais. Desse modo, as decisões, em sua grande maioria, partem das 
tomadas de decisão pertinentes a outras funções exercidas na empresa. Destaco ainda, conforme já 
 
 7 
exposto, a dependência das empresas no que se refere à realização de análises financeiras para se 
manterem no mercado. 
As análises financeiras, realizadas com base em cálculos de Matemática Financeira, auxiliam 
nas tomadas de decisão da empresa e na sua aplicabilidade. Se bem feita, traz benefícios e 
rentabilidade, maximizando os resultados financeiros. Estes cálculos fornecem instrumentos 
importantes para a realização de uma avaliação dos negócios, auxiliando na identificação dos recursos 
mais atrativos em termos de custos e os que mais geram rentabilidade à empresa, quando se tratar de 
investimentos financeiros ou bens de capital. 
A realidade evidencia que muitos gestores têm certa aversão quando se trata de análise 
financeira, por entenderem que é uma questão difícil de trabalhar, no entanto ela é imprescindível para 
as tomadas de decisão das empresas, assim como é importante no dia-a-dia das pessoas, pois facilita 
sua vida quando da realização de algum negócio. Com o domínio dos instrumentos da Matemática 
Financeira é possível fazer os cálculos sobre todo e qualquer investimento que se pretende fazer e 
tomar, então, a decisão correta, sem ser passado para trás pelas pessoas que desejam vender-lhe um 
produto ou concretizar um negócio. 
Então vamos adiante. Pense que você tem dinheiro em algum tipo de poupança/investimento, 
ou em um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um eletrodoméstico. Você deve 
decidir se paga à vista, mediante saque da aplicação ou do capital de giro da empresa, ou se aceita o 
financiamento oferecido pelo vendedor. As ferramentas da Matemática Financeira vão indicar-lhe a 
melhor decisão. Com o domínio destes conhecimentos “aquele” vendedor nunca mais irá lhe “passar a 
perna” dizendo que tal produto é sem juros, sem acréscimo, mesmo que você o faça financiado em 2, 
3, 4 ou mais meses. 
Em relação à área de Recursos Humanos, por exemplo, a Matemática Financeira é utilizada no 
controle do crescimento da folha, variação/evolução salarial, custo de benefícios, encargos sociais, 
entre outros. Os cálculos financeiros, portanto, são instrumentos indispensáveis em qualquer setor de 
uma empresa. As decisões tomadas com base em dados contábeis aumentam os riscos, porque 
partem de dados passados; já as decisões tomadas com base em expectativas futuras são mais 
garantidas. 
Pode-se dizer, assim, que nas avaliações econômico-financeiras existem duas possibilidades, a 
do risco e a do retorno. A avaliação do retorno de investimentos é um problema da Matemática 
Financeira e o risco, portanto, é da Estatística, podendo haver a possibilidade de perda. Trata-se da 
possibilidade de se obter um resultado diferente do que se esperava, mas isso faz parte do cotidiano 
das empresas e é preciso correr o risco para chegar a algum resultado. 
O enfoque a ser adotado nesta disciplina pretende ser eminentemente prático. O texto traz 
consigo muitos conceitos, os quais são ilustrados com problemas de nosso cotidiano. A descrição e 
compreensão das fórmulas financeiras utilizadas e a simbologia adotada, também visam à simplicidade 
e à facilidade de assimilação, e a utilização de calculadoras financeiras e/ou planilhas eletrônicas 
(Excel) agilizam a resolução dos exercícios aqui apresentados. 
 
 
 8 
Para tanto, antes de iniciarmos os conteúdos propostos, vamos conhecer a calculadora mais 
utilizada nesta área, a HP12C, embora existam outras que poderão ser utilizadas, mas aqui não serão 
apresentadas, ficando a critério dos alunos a utilização ou não desta. 
 
( ... ) o novo é apenas o fruto de nossa imaginação. Levar a cabo um plano 
novo e agir de acordo com um plano habitual são coisas tão diferentes 
quanto fazer uma estrada e caminhar por ela. 
 
Vamos inicialmente verificar alguns passos elementares da calculadora, e a cada conteúdo 
desenvolvido será também apresentado o procedimento de como utilizá-la, mas é necessário ressaltar 
que o conhecimento da fórmula é indispensável para melhor desenvolver os conteúdos deste 
componente: 
 
1. Alguns Passos para Conhecer a HP 12 
 
A maioria das calculadoras quando compradas não estão adequadas a nossa nomenclatura 
monetária, ou seja, no lugar do ponto tem vírgula e no lugar da vírgula tem ponto. Como todos nós 
sabemos, no Brasil utiliza-se a vírgula para separar a parte fracionária da parte inteira. 
 
Exemplo: Digite o número 2.436,45, se apresentar 2,436.45, é sinal que não está adequada a 
nossa nomenclatura; precisamos transformar a tecla ponto em vírgula. Vamos adequá-la! 
 
1º. É feita da seguinte forma a operação de adequação: desligue a máquina (é só teclar ON), 
pressione a tecla ON; mantendo-a pressionada; agora pressione a tecla de menos (-), mantendo-a 
também pressionada; devagar solte ON depois solte (-). Após fazer esta operação é necessário que no 
visor apareça "Pr Errar". Caso isso não ocorrer, você deve repetir a operação. 
 
2º. Agora desligue a máquina e ligue novamente, irá aparecer no visor “0.00”. 
 
3º. Digite um número, por exemplo 2.436,45. No visor aparecerá 2,436.45. Esta notação é 
americana, pois usam ponto (.) para separar a parte fracionária. 
 
4º. Pressione f REG. Digite o número: 2.436,45. No visor vai aparecer 2,436.45. Agora 
 
 9 
novamente desligue a máquina. Pressione a tecla ON e mantendo-a pressionada, pressione a tecla 
ponto (.), mantendo-atambém pressionada. Solte ON, solte (.). 
 
Pronto. Agora sua máquina está adequada para resolver nossos cálculos com a nomenclatura 
utilizada no Brasil. 
 
 
 
 
2. Algumas Operações Básicas de como Utilizar as Teclas 
 
 Assista ao vídeo que se encontra na biblioteca virtual. 
 
Resolva: 
 
1) Que dia da semana, com base na data de 21.10.2009, será daqui a 110 dias? 
 
2) Que dia da semana, com base na data de 21.10.2003 foi há 110 dias? 
 
3) Que dia da semana será 30.10.2010? 
 
4) Que dia da semana você nasceu? 
 
5) Troque o sinal do número 28. 
 
6) Calcule: 
 
a) 
25
 
 
b) 
5 32
 
 
c)
49
9 
 
d) 
53,01
2:230
x
 
 
Que legal, 
ficou dez 
 
 10 
e) 12% de 500 
 
f) que percentual representa 28 para 300? 
 
g) Uma empresa apurou as vendas de um certo dia e verificou que as entradas do caixa 
totalizaram R$ 5.500,00, das quais R$ 3.250,00 foram de pagamentos à vista e o restante de vendas a 
prazo. Pergunta-se: que percentual representa as vendas à vista e a prazo? 
 
 
 
 
 11 
 
UNIDADE 1 
JUROS SIMPLES 
 
OBJETIVOS DESTA UNIDADE 
• Ensinar como calcular juros simples e onde aplicar o cálculo destes juros. 
 
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE 
Seção 1.1 – Juros Simples 
Seção 1.2 – Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio 
Seção 1.3 – Desconto Simples 
Seção 1.4 – Equivalência de Capitais – Juros Simples 
 
Iniciaremos estudando os conhecimentos básicos dos cálculos financeiros: 
 
1 
Se por acaso você ou outra pessoa 
possui certa quantia de dinheiro, que neste 
momento se encontra inteiramente livre, ou seja, 
não está destinada para nada, mas daqui a 
algum tempo este valor será utilizado para algum 
investimento, o que será que qualquer pessoa 
faria? 
 
A resposta é óbvia: possuindo ou não grandes conhecimentos na área 
financeira, com certeza você buscaria durante este período uma aplicação financeira 
que lhe proporcionasse algum rendimento sobre este capital disponível. Não 
esqueçam: 
 
1
 Disponível em: <http://www.artshopping.com.br/lojavirtual/images/charge-lula-juros%20copy.gif>. Acesso em: 
15 nov. 2008. 
 
 12 
“O dinheiro tem valor no tempo, jamais deve ficar parado.” 
 
Esta aplicação consiste numa operação de juros, que assim podemos 
determinar: “Certa quantia paga por um capital aplicado por um determinado tempo a 
uma determinada taxa denomina-se juros”. Os juros pagos por este capital tanto 
podem ser simples como compostos. 
 
Seção 1.1 – Juros Simples 
 
Conceito: 
Juros Simples: é a quantia obtida ou paga por um capital aplicado em um 
determinado tempo a uma determinada taxa e tomando sempre por base o capital 
inicial. 
 
O montante é o valor obtido pela soma do capital inicial mais os juros obtidos 
ou pagos, calculados sobre este valor. 
 
Por exemplo: 
Foi aplicado um capital no valor de R$ 100,00 durante 4 meses; a taxa desta 
operação é de 10% ao mês. Qual o valor dos juros obtidos? 
 
Os fluxos de caixa são ilustrações fáceis de serem compreendidas nas 
aplicações financeiras. Assim teremos: 
 
 M= C + j ↔ M=140,00 
 
J= 40,00 
 
 
 
100,00 
 
 
 
 Juros no período: 
(observem, os juros são 
calculados sempre sobre 
o capital inicial) 
Montante 
no final 
de cada 
período 
1º mês 100,00x 10%x1 = 10,00 110,00 
2º mês. 100,00x 10%x2 = 20,00 120,00 
3º mês 100,00x 10%x3 = 30,00 130,00 
4º mês 100,00x 10%x4 = 40,00 140,00 
 
As fórmulas para resolução de problemas agilizam os cálculos, mas quero aqui 
chamar a atenção de todos, pois é necessário que tenhamos conhecimento sobre o 
 
 13 
significado dos valores obtidos, para que servem e onde serão aplicados. 
 
A seguir estão apresentadas as fórmulas para operações em juros simples, 
juntamente com as orientações necessárias que devem ser observadas e 
compreendidas. 
 
FÓRMULA GERAL: 
tiCJ ..
 
 
Onde: J = juros (é o resultado do aumento do capital obtido no período 
aplicado) 
C = capital inicial (é o valor aplicado no início da operação) 
I = taxa (é o percentual que incide sobre o capital inicial) 
T = tempo (é o período em que ficou aplicado o capital) 
 
 Quando multiplicarmos a taxa pelo tempo (desde que estejam na mesma 
unidade de tempo, ou seja: mês/mês, ano/ano, etc.) teremos a taxa no período da 
aplicação. 
 
Fórmulas derivadas de juros simples: 
ti
j
C
.
 
tc
j
i
.
 
ic
j
t
.
 
1.1.1 – Montante de juros simples 
 
O montante é a soma dos juros obtidos com o capital inicial ao final do período. 
jCM 
 ou 
CitCM 
 
 
Das definições anteriores foi deduzida a fórmula geral: 
 
 
 itCM  1.
 
 
 
 14 
Orientações: 
 
 O valor dos juros é constante em cada período. 
 
 O montante cresce em progressão aritmética ao longo do período. Isto 
significa afirmar que a cada mês os juros obtidos sempre serão calculados sobre o 
capital inicial. Cuidado! Diferente é o juro composto, que será objeto de estudo na 
Unidade 2. 
 
 Os juros obtidos são diretamente proporcionais ao período da operação 
efetuada. 
 
 Nas operações é necessário que o período determinado e a taxa estejam 
na mesma unidade de tempo. 
 
 Quando for necessário alterar a unidade da taxa, esta deverá ser calculada 
por meio de taxas proporcionais e utilizada na forma unitária, conforme você poderá 
visualizar no exemplo a seguir. 
 
Ex.: 
 5% ao mês = 
 1005
 taxa unitária de 0,05 ao mês 
 100% ao ano =
 100100
 taxa unitária de 1 ao ano 
 5% ao mês, em dois meses = (10/100) taxa unitária de 0,10 em 2 meses 
 
 
1.1.2 – Taxa proporcional 
 
Denominamos taxa proporcional quando são diretamente proporcionais aos 
respectivos períodos. Exemplo: se dissermos que determinada taxa é de 24% ao ano 
é o mesmo que afirmar que ela é de 2% ao mês (0,02 taxa unitária). 
 
 
 15 
Não se preocupe, entretanto, pois na sequência do conteúdo estudaremos um 
capítulo sobre as taxas. 
 
1 ano tem 12 meses 1 ano = 12 meses 
1 bimestre = 2 meses 1 ano = 6 bimestres 
1 trimestre = 3 meses 1 ano = 4 trimestres 
1 quadrimestre = 4 meses 1 ano = 3 quadrimestres 
1 semestre = 6 meses 1 ano = 2 semestres 
 
Exercícios resolvidos:2 
 
1) Um capital no valor R$ 500,00 ficou aplicado a juros simples durante 6 
meses. Quais os juros recebidos se a taxa cobrada foi de 5% ao mês? 
 
C ou Pv = capital inicial – R$ 500,00 
i = taxa 5% a.m. taxa unitária = 5/100 
n ou t = tempo de aplicação – 6 meses. 
Fórmula:
tiCJ ..
 
Resolução: 
605,000,500 xxJ 
 
00,150J
 
Resposta: os juros recebidos foram de R$ 150,00 
A taxa de juros no período foi de (6 x 0,05=0,30), ou seja, 30%. 
Passos na HP: primeiro digite f reg. 
 
Digite 500,00; tecle enter; agora digite 0,05; digite x (vezes); digite 6; digite x (vezes). 
Pronto. Aparecerá no visor 150,00. 
 
2) Durante 6 meses um capital de R$ 1.800,00 ficou aplicado a juros simples, a 
uma taxa de 12% ao ano. Calcule o valor dos juros obtidos ao final do período. 
Lembre-se: a taxa e o período de aplicação estão em unidades de tempo 
diferentes, é necessário deixar na mesma unidade de tempo. 
 
2
 Muitos resolvem por regra de três os problemas que envolvem juros simples. Aqui usaremos sempre a fórmula. 
Por que? Quando o tempo e a taxa não se encontram na mesma unidade de tempo a utilização da fórmula facilita 
a resolução dosproblemas. 
Lembro!!! Assisti o vídeo. 
Não posso esquecer de limpar 
a memória (f reg)... do 
contrário... 
 
 16 
 
C = 1.800,00 
i = 12% a.a. (ao ano3) = 1% ao mês = 0,01 (taxa unitária) 
T = 6 meses 
J = ? 
Fórmula: 
tiCJ ..
 
Resolução: 
601,000,800.1 xxj 
 
00,108j
 
Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 108,00 
 
Passos na HP: primeiro digite f reg 
 Digite 1.800,00, tecle enter, agora digite 0,01, digite x (vezes), digite 6, digite x 
(vezes). Pronto. Aparecerá no visor 108,00. 
 
3) José empregou um capital que rendeu R$ 1.080,00 de juros, num período de 
2 anos, com taxa de 3% a.m. Qual o valor do capital inicial aplicado por José? 
i = 3% a. m. = 0,03 a. m. 
t = 2 anos = 24 meses 
J = 1.080,00 
C = ? 
Fórmula: 
ti
j
C
.

 
Resolução: 
24 03,0
 00,080.1
x
C 
 
00,500.1C
 
Resposta: o valor do capital inicial aplicado foi de R$ 1.500,00 
 
 Passos na HP: primeiro digite f reg 
digite 1.080,00; tecle enter; agora digite 0,03; digite : (dividido); digite 24; digite : 
(dividido). Pronto. Aparecerá no visor 1.500,00. 
 
3
 Simbologia: 
ao ano = a.a ao trimestre = a.t ao semestre= a.s. 
ao mês = a.m. ao quadrimestre = a.q na quinzena= a.qz 
ao bimestre = a.b 
 
 
 17 
 
4) Maria aplicou R$ 800,00 durante um período de 2 anos e 4 meses. Ao 
término deste tempo, o montante obtido foi de R$ 2.400,00. Responda a que taxa 
anual esteve aplicado este capital. 
C = 800,00 
i = ? 
t = 2 anos e 4 meses = 28 meses 
j = (M – C) = 1.600,00 
 
Lembre-se: a resposta sempre resultará em valores unitários e com a mesma 
unidade em que foi utilizado o tempo. No exemplo 4 o tempo está representado em 
meses, portanto o valor calculado resultará em taxa mensal (neste exemplo). Para 
resultar em taxa anual deve-se multiplicar por 12. 
 
Fórmula: 
tc
j
i
.

 
Resolução: 
8571428,0
2800,800
1200,600.1

x
x
i
 
%71428,85i
ao ano 
Resposta: a taxa anual em que esteve aplicado este capital foi de 85,71428% 
 
Passos na HP: primeiro digite f reg. 
Digite 1.600,00; tecle enter; digite 12; digite x (vezes); digite 800,00; digite : 
(dividido); digite 28; digite : (dividido). Pronto. Aparecerá no visor 0,8571428; digite 
100; digite x. Conforme adaptou a calculadora com os números após a vírgula, poderá 
apresentar mais ou menos números decimais. 
 
5) José aplicou R$ 3.000,00, durante certo período, e obteve a quantia de R$ 
900,00 referente aos juros produzidos. Sabemos que a taxa paga foi de 20% ao ano. 
Que período foi necessário ficar aplicado este capital para render os juros obtidos? 
 
Lembre-se: você deve deixar a taxa e o tempo na mesma unidade e a resposta 
sempre resultará na unidade utilizada pela taxa. No exemplo a seguir a taxa será 
 
 18 
resolvida em meses; consequentemente o tempo resultará em meses.4 
 
C = 3.000,00 
i = 20% ao ano = (0,20/12) (taxa mensal) 
t = ? 
j = 900,00 
Fórmula: 
ic
j
t
.

 
Resolução: 
meses
x
x
t 18
20,000,000.3
1200,900

 ou 
m6 a1t .
 
Resposta: o período foi de 1 ano e 6 meses 
 
Obs.: se tivéssemos deixado a taxa em ano, o resultado obtido seria em anos, 
(1,5 ano). 
 
Passos na HP: primeiro digite f reg 
 Digite 900,00; tecle enter; digite 12; digite x (vezes); digite 3.000,00; digite : 
(dividido); digite 0,20; digite : (dividido). Pronto. Aparecerá no visor 18. 
 
A seguir apresentamos um exemplo no qual a resposta não se encontra exata. 
E agora, como fazer? 
 
6) Manoela aplicou R$ 3.200,00 durante certo período e obteve a quantia de R$ 
900,00, referente aos juros produzidos. Sabemos que a taxa paga foi de 20% ao ano. 
Que período foi necessário ficar aplicado este capital para render os juros obtidos? 
 
C = 3.200,00 
I = 20% ao ano = (0,20) 
t = ? 
 
4
 Quando transformada a taxa anual em mensal, poderá ser utilizado o valor obtido pela divisão destes valores, mas 
é preciso chamar a atenção para a necessidade de que sejam utilizadas no mínimo 5 casas após a vírgula, por isso 
foi demonstrado o cálculo com a taxa fracionária, para que não ocorram distorções nas respostas. 
 
 19 
j = 900,00 
 
Fórmula: 
ic
j
t
.

 
Resolução: 
anos
x
t ...40625,1
20,000,200.3
00,900

 
 
Resposta: Como a resposta não poderá ser representada neste formato, é 
necessário fazer uma transformação, como no exemplo a seguir: 
 1 representa o tempo inteiro, que neste exemplo é o ano 
 0,40625 são meses (0,40625 x 12 = 4,875) = 4 meses 
 0,875 são dias (0,875 x 30 = 26,25) = 26 dias (ainda não são cobrados juros 
por hora, graças a Deus!). 
 
Resposta: 1 ano, 4 meses e 26 dias aproximadamente 
 
 Passos na HP: primeiro digite f reg 
 digite 900,00; tecle enter; 
 digite 3.200,00; digite : (dividido); 
 digite 0,20; digite : (dividido); 
 (pronto aparecerá no visor 1,40625); digite 1 – (menos); 
 (aparecerá no visor 0,40625 que representa a fração dos meses de um 
ano); agora digite 12 x (vezes); 
 (aparecerá no visor 4,875 que representa meses); agora digite 4; digite – 
(menos) ( aparecerá no visor 0,875 que representa a fração de dias em um mês); 
 digite 30; digite vezes (aparecerá no visor 26,... que representa dias). 
 
7) Qual o valor necessário que Maria precisa aplicar hoje para obter um 
montante de R$ 5.600,00 daqui a 6 meses, sabendo-se que a taxa oferecida é de 
24% ao ano? 
 
Lembre-se: montante é igual ao capital mais os juros, e como neste caso não 
 
 20 
foi informado o valor dos juros, a fórmula necessária para obtermos o valor do capital 
é: 
 
M = 5.600,00 
i = 24% ao ano = 0,24/ 12 (taxa mensal) = 0,02 
t= 6 meses 
C= ? 
Fórmula: 
 it1 CM  .
 então 
ti1
M
C
.

 
Resolução: 
602,01
00,600.5
x
C

 
12,01
00,600.5

C
 
5.000,00 C
 
Resposta: o valor necessário (capital) é de R$ 5.000,00 
 
Passos na HP: f Reg5 
 5.600,00 enter 1 enter 0,02 entre 6 x + : 
 
Você percebeu que até agora verificamos exemplos muito básicos, referentes a 
juros simples? Como você resolveria um problema no qual o tempo é apresentado 
com data? 
 
 
Lembre-se: sempre quando for expresso o período 
com data, ou seja, dia, mês e ano, é necessário, para 
verificar o período (tempo), contar os dias conforme o 
calendário (dias exatos). 
 
 
5
 Agora que já praticaram os cálculos com os passos da HP, e se ainda tiverem dúvidas, revisem os materiais 
iniciais da utilização da máquina que está disponibilizada na biblioteca. A seguir serão apresentadas somente as 
teclas que devem ser digitadas. 
 
 
 21 
Atenção!!! Em relação à taxa, vejamos o exemplo a seguir: 
 
8) Um capital de R$ 3.650,00 ficou aplicado durante o período de 12 de janeiro 
a 16 de março do mesmo ano e a taxa de juros cobrada foi de 5% a.m. Quais os juros 
cobrados? 
 
Janeiro (31 – 12) = 19 dias; Fevereiro = 28 dias; Março = 16 dias – o total de 
dias neste período é igual a 63 (não foi mencionado o ano, então não se considera 
ano bissexto). 
C = 3.650,00 
i = 5% a.m. (nos juros comerciais, a taxa é considerada sempre levando-se em 
conta que um mês é igual a 30 dias, para efeito de divisão, mesmo que o período seja 
considerado pelos dias do mês) então: 
C = 3.650,00 
i = 0,05 ao mês = 
001666666,0
30
05,0 
(taxa unitária) 
T= 63 dias 
Fórmula:
tiCJ ..
 
Resolução: 
25,38363...00166666,000,3650  xxJ
 
Resposta: Juros comerciais igual a R$ 383,25 
 
 Passos na HP: f Reg 
 3.650,00 enter 0,001666666 x 63 x 
 
 E se for mencionado no problema “juros exatos”? Como calcular? 
 
1.1.3 – Juros Exatos 
 
Nos juros exatos consideramos o ano civil igual a 365 dias e quando for ano 
bissexto, igual a 366 dias. Além disso, contemplamos os dias do mês conforme os 
dias do calendário; exemplo: 12 de janeiro a 16 de março, ou seja, neste caso no mês 
de fevereiro conta-se exatamente o número de dias que apresenta e não um mês 
 
 22 
igual a 30 dias. 
 
 
 
Lembre-se: calculamos juros exatos sempre que 
estiver sendo mencionado no problema a solicitação 
deste. 
 
Com os dados do problema anterior vamos calcular os juros exatos e comparar 
a diferença entre as respostas. 
 
9) Um capital de R$ 3.650,00 ficou aplicado durante o período de 12 de janeiro 
a 16 de março do mesmo ano, e a taxa de juros cobrada foi de 5% a.m. Quais os juros 
exatos cobrados? 
 
C = 3.650,00 
i = 5% a.m. (neste caso deixar a taxa em dias torna-se impossível, pois dividir 
por 30, ou 31 ou 28 não seria exato, é necessário deixá-Ia em ano) 
i = 5% x 12 = 60% a.a. = 0,60 taxa unitária 
t = 63 dias 
Fórmula:
tiCJ ..
 ( é a mesma dos juros comerciais) 
Resolução: J ex =? 
 365 
63 600, 00,650.3 xx
= 
00,378jex
 
Resposta: os juros exatos cobrados serão de R$ 378,00. 
 
Passos na HP: f Reg 
3.650,00 enter 0,60 x 63 x 365 : 
Vejam a diferença dos resultados: juros comerciais de R$ 383,25 e juros exatos 
de R$ 378,00. Por que será que deu essa diferença? 
 
taxa?
??? 
 
 23 
Vamos raciocinar: nos juros comerciais o 
tempo está em dias (na contagem para o tempo 
aplicado, consideramos 365 dias, mas a taxa foi 
dividida por 30, ou seja, ano de 360). Já nos juros 
exatos a taxa e o tempo foram considerados com 
base em um ano de 365 dias; então a taxa diária 
nos juros comerciais é maior que nos juros exatos. 
 
 
 
1.1. 4. – Método Hamburguês: aplicação do regime de juros simples 
 
Este método é utilizado pelos agentes financeiros quando cobram juros sobre o 
saldo de uma conta corrente quando esta se encontra negativa, ou ainda no caso dos 
cheques especiais, quando a utilização deste, no final de cada dia, se encontra 
negativa. 
 
Para resolução deste tipo de situação, o método hamburguês aplica os juros 
simples pelos dias que o saldo devedor se encontra negativo e a taxa fornecida 
mensal deve ser considerada a linear.6 
Fórmula: 
nSDx
i
Jt m .
30

 
Onde JT= juros totais 
 im = taxa mensal 
 SD . n = Saldo devedor vezes o número de dias 
 
Exemplo: o Sr. João José verificou seu movimento da corrente do Banco 
MMXX S/A que cobra juros de 8% ao mês sobre o saldo devedor. Qual o valor 
necessário para ser depositado no final do mês para que não continue negativo seu 
saldo, pois sabe que este valor é incorporado mensalmente caso não ocorra a sua 
quitação. 
 
6
 Taxa linear é a taxa mensal fornecida que é considerada juro simples, a não ser que seja proporcionada a taxa 
diária. Caso esta for oferecida, utiliza-se a diária. 
Entendi... e também 
verifico que preciso 
saber os conceitos, 
fórmulas e depois 
...calculadora 
 
 
 24 
 
data histórico débito crédito Saldo 
31/12/20xx SLD ENC 5.000,00 
04/01/20xx cheque compensado 7.000,00 (2.000,00) 
 Depósito em dinheiro 1.500,00 (500,00) 
04/01/20xx Saldo (500,00) 
08/01/20xx cheque compensado 600,00 (1.100,00) 
08/01/20xx Saldo (1.100,00) 
12/01/20xx cheque compensado 1.200,00 (2.300,00) 
 débito em conta 540,00 (2.840,00) 
 depósito em dinheiro 3.000,00 160,00 
12/01/20xx Saldo 160,00 
18/01/20xx depósito em dinheiro 3.000,00 3.160,00 
 depósito cheque liberado 650,00 3.810,00 
18/01/20xx Saldo 3.810,00 
20/01/20xx cheque compensado 2.300,00 1.510,00 
 cheque compensado 1.900,00 (390,00) 
20/01/20xx Saldo (390,00) 
25/01/20xx cheque compensado 5.000,00 (5.390,00) 
25/01/20xx Saldo (5.390,00) 
30/01/20xx depósito em dinheiro 4.200,00 (1.190,00) 
 30/01/20xx Saldo (1.190,00) 
 
Passos para resolver: 
1º. Verificar os dias nos quais o saldo da conta se encontrou negativo; 
2º. Multiplicar os dias pelo valor do saldo negativo; 
3º. Aplicar a fórmula para encontrar o valor dos juros mensais. 
Obs.: no exemplo anterior os juros são calculados até o último dia do mês, ou 
seja, até 31/01/20xx , valor este que será debitado no dia 1º do mês seguinte. 
 
O cuidado que devem ter ao efetuar este tipo de cálculo é verificar sempre 
como são cobrados os juros, referente à contagem dos dias no mês, pois muitos 
consideram os dias úteis do mês e a taxa diária também. Aqui faremos este exemplo 
que servirá como base para todos; só devem ter o cuidado de possuir as informações 
corretas referentes aos dias e taxas cobradas no mês. 
 
Vamos lá: 
 Como verificar os dias? O valor de R$ 500,00 ficou negativo do dia 
04/01/20xx até 08/01/20xx que representa 4 dias negativos, e assim sucessivamente. 
 
 25 
Após efetuarem esta operação, multipliquem os dias pelo saldo devedor, conforme 
tabela a seguir. 
 
Data Histórico Saldo n
o
 dias n
o
 Dias x S/D 
31/12/20xx SLD ENC 5.000,00 
04/01/20xx Saldo (500,00) 4 (2.000,00) 
08/01/20xx Saldo (1.100,00) 4 (4.400,00) 
12/01/20xx Saldo 160,00 
18/01/20xx Saldo 3.810,00 
20/01/20xx Saldo (390,00) 5 (1.950,00) 
25/01/20xx Saldo (5.390,00) 5 (26.950,00) 
30/01/20xx Saldo (1.190,00) 2 (2.380,00) 
01/02/200xx juros 
 
Fórmula: 
nSDx
i
Jt m .
30

 
Resolução: somatória dos dias x S/D = 37.680,00 
00,680.37
30
08,0
xJt 
 
48,100Jt
 
Resposta: os juros a serem debitados serão de R$ 100,48 
Passos na HP: f Reg 
0,08 enter 30 : 37.680,00 x 
 
O saldo devedor em 31/01/200xx era de R$ 1.190,00, mais os juros devidos de 
R$ 100,48, totalizando um valor de R$ 1.290,48, que, se não for depositado todo este 
valor, a conta ficará negativa e com isso incidirá juros sobre o montante, e no final do 
mês novamente serão cobrados juros sobre o saldo devedor, e assim 
sucessivamente. Essa incidência de juros é considerada juros capitalizados. 
 
 
 26 
 
1º. Leia com atenção, pense bem o que 
representam as respostas. 
2º. Repita a fórmula em cada exercício, pois a 
aprendizagem nesta área depende de fazê-los por 
repetidas vezes. 
3º. Não fique com dúvidas, a sequência dos 
conteúdos a seguir depende muito da continuidade do 
entendimento exposto. 
4º. Boa sorte! 
 
Exercícios de aprendizagem:7 
1) Um capital no valor de R$ 5.300,00 ficou aplicado durante 7 meses e 12 dias. 
Quais os juros recebidos se a taxa cobrada foi de 7% a.t.? 
 
2) Calcule os juros simples produzidos por um capital no valor de R$ 12.350,00, 
aplicados à taxa de 28% a.a., durante 145 dias. 
 
3) Qual o capital que rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias se foi aplicado a 
juros simples com taxa de 1,2% a.m.? 
 
4) Considerando juros simples, qual o tempo necessário para triplicar um capital 
aplicado se a taxa for de 15% ao semestre? 
 
5) Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 30% ao ano, 
gerou, depois de certo tempo, um montante de R$ 1.350,00. Durante quanto tempoeste capital ficou aplicado? 
 
 
 7 Utilize sempre a fómula para resolução dos exercícios. 
 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade. 
 
 
 27 
6) Certo capital ficou aplicado durante um semestre à taxa de 2,5% ao mês, 
rendendo R$ 320,00. Calcule o valor deste capital. 
 
7) Certa pessoa contraiu uma dívida de R$ 2.750,00, pagando-a 7 meses 
depois. Os juros cobrados nesse período resultaram num valor de R$ 750,00. Qual foi 
a taxa anual dos juros simples cobrada? 
 
8) No dia 5 de maio de 2005 João emprestou a quantia de R$ 6.500,00, 
cobrando 3,5% ao mês (juros simples). Em 28 de agosto do mesmo ano a quantia 
emprestada foi devolvida. Calcule: 
a) juros e montante, considerando para o cálculo juros comerciais; 
b) juros e montante, considerando para o cálculo juros exatos. 
 
9) Em quanto tempo um capital triplica de valor se a taxa cobrada é de 35% ao 
ano, considerando juros simples? 
 
10) A que taxa deverá certa empresa aplicar seu capital de R$ 12.000,00 para 
que, em 1 ano e 3 meses, renda juros equivalentes a 60% de si mesmo? 
 
11) Se em 4 meses o capital de R$ 20.000,00 rende R$ 4.000,00 de juros 
simples à taxa de 5% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos 
juros se a taxa fosse de 60% ao ano? 
 
12) O senhor Manoel Souza verificou seu movimento da conta corrente do 
Banco MMXX S/A que cobra juros de 7,5% ao mês sobre o saldo devedor. Qual o 
valor necessário para ser depositado no final do mês para que não continue negativo 
seu saldo, pois sabe que este valor é incorporado mensalmente, caso não ocorra a 
sua quitação. 
 
Data Histórico Débito Crédito Saldo 
31/03/20xx SLD ENC 5.000,00 
03/04//20xx cheque compensado 6.300,00 (1.300,00) 
03/04/20xx Saldo (1.300,00) 
10/04/20xx cheque compensado 1.200,00 (2.500,00) 
 
 28 
10/04/20xx Saldo (2.500,00) 
14/04/20xx cheque compensado 600,00 (3.100,00) 
 débito em conta 750,00 (3.850,00) 
 depósito em dinheiro 2.000,00 (1.850,00) 
14/04/20xx Saldo (1.850,00) 
20/04/20xx depósito em dinheiro 3.600,00 1.750,00 
 depósito cheque liberado 650,00 2.400,00 
20/04/20xx Saldo 2.400,00 
25/04/20xx cheque compensado 3.100,00 (700,00) 
 cheque compensado 2.200,00 (2.900,00) 
25/04/20xx Saldo (2.900,00) 
27/04/200xx depósito em dinheiro 1.500,00 (1.400,00) 
27/04/200xx Saldo (1.400,00) 
Obs.: Para os alunos que possuem conhecimento em planilhas eletrônicas (Excel), o desenvolvimento se torna 
rápido. 
 
 
Seção 1.2 – Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio 
 
Iniciaremos esta seção esclarecendo alguns conceitos que nos servirão de 
base para a sequência de estudos. 
Qualquer investimento (comprar produtos) geralmente possui valores diferentes 
com preços diferentes. Estes são comercializados em vários períodos e também com 
taxas de comercialização diferentes, porém, se quisermos saber em média qual o 
capital, taxa ou tempo que estes investimentos apresentaram, sem modificar o valor 
dos juros ganhos, como poderemos apurar estes resultados? Vamos agora calcular e 
vejam como é fácil. 
Primeiramente verificaremos as fórmulas para resolução dos problemas 
referente a esta seção: 
Prazo médio é o tempo único que substitui vários tempos de vários capitais de 
várias taxas, produzindo os mesmos juros. 
 Prazo médio =
.......
......
cicici
citcitcit


 
Taxa média é a taxa única que substitui vários tempos de vários capitais de 
várias taxas, produzindo os mesmos juros. 
Taxa média = 
.......
......
ctctct
citcitcit


 
 
 29 
Capital médio: é o valor de um capital único, que substitui vários tempos de 
vários capitais de várias taxas, produzindo os mesmos juros. 
 Capital médio = 
ititit
citcitcit

 ......
 
Existem também algumas exceções. Nesta Unidade vamos verificar: se nos 
problemas os capitais forem os mesmos (ou a taxa, ou o tempo), estes não serão 
empregados no cálculo, mas se forem incluídos, a resposta não ficará prejudicada, 
apenas a não utilização destes valores agiliza o cálculo. Veremos a seguir, nos 
exemplos desenvolvidos, mas ainda temos outros lembretes que merecem atenção: 
 
 
Lembre-se: 
1º) Quando não for mencionado o valor da taxa, do 
tempo e/ou do capital, tudo bem, não é necessário incluir 
no cálculo, porque está implícito que todos são iguais. 
2º) Quando utilizada a taxa, também não é 
necessário transformá-la em valores unitários, ou seja, 
dividi-Ia por 100, porém todas devem estar na mesma 
unidade de tempo, ou seja; todas em mês, bimestre, etc. 
3º) O tempo e a taxa não precisam ficar na mesma 
unidade de tempo, mas é necessário que todas as taxas 
sejam expressas na mesma unidade de tempo 
(anteriormente já explicado). Idem para expressar o 
período de aplicação. 
Ex.: se as taxas estiverem todas em mês e os 
tempos em ano, tudo bem, pode prosseguir o cálculo. 
Vamos resolver alguns exercícios, assim 
poderemos compreender melhor. 
 
 
Exercícios resolvidos 
1) Maria aplicou três capitais no valor de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 
4.000,00, que foram colocados à mesma taxa durante 5, 6 e 8 meses, 
respectivamente. Qual o tempo médio em que poderiam ser empregados estes 
 
 30 
capitais, para que apresentassem os mesmos juros obtidos nesta aplicação? 
 
Obs.: a taxa não foi mencionada no problema, mas tudo bem, vamos deixá-la 
fora do cálculo, e como o tempo, no problema, está em meses, a resposta será em 
meses. 
 Fórmula: PM =
.......
......
cicici
citcitcit


 
Resolução: PM = 
00,000.400,000.5 00,000.3
8 00,000.46 00,000.55 00,000.3

 xxx
 
 PM = 
00,000.12
2.000,003 00,000.30 5.000,001 
 PM = 

00,000.12
00,000.77 eses 416667,6 m
 
Resposta: 6,41667 meses (devemos deixar em meses e dias). 
Ou melhor, é igual a 6 meses e 12 dias aproximadamente. 
Passos na HP: f Reg 
3.000,00 enter 5 x 5.000,00 enter 6 x + 4.000,00 enter 8 x + 3000,00 enter 5000,00 + 
4000,00 + : 
– Vamos entender o que representa o valor obtido: 
Se fossem postos os capitais antes mencionados nos seus respectivos 
períodos, os juros obtidos seriam de R$ 385,00 (demonstrado a seguir), e para obter 
os juros você deve lembrar-se do conteúdo já estudado. Não esqueça que aqui, taxa e 
tempo devem estar na mesma unidade (entre si) para efetuarmos o cálculo dos juros. 
Capital inicial taxa hipotética8 tempo juros j = cit 
3.000,00 6% ao ano 5 meses = 75,00 
5.000,00 6% ao ano 6 meses = 150,00 
4.000,00 6% ao ano 8 meses = 160,00 
Juros totais 385,00 
 
Vamos agora substituir o tempo com os valores obtidos na resposta anterior (6 
meses e 12 dias). 
 
8
 Em qualquer taxa que for considerada para o cálculo, a resposta sempre será a mesma. 
 
 31 
Capital inicial taxa hipotética tempo juros j = cit 
3.000,00 6% ao ano 6 m. 12 d = 96,00 
5.000,00 6% ao ano 6 m. 12 d = 160,00 
4.000,00 6% ao ano 6 m. 12 d = 128,00 
Juros totais 384,00 
 
Por que os juros totais não são iguais? É porque o tempo foi aproximado. 
Quando este é exato a resposta será idêntica. 
 
2) Uma instituição tem seus capitais de reserva empregados da seguinte 
maneira: R$ 400,00 a 6% ao semestre, durante 1 ano; R$ 200,00 a 14% ao ano, 
durante 4 meses; R$ 100,00 a 3,175% ao trimestre, durante 6 bimestres, e R$ 900,00 
a 1,25% ao bimestre, durante 9 meses. A que taxa médiacorresponde este emprego? 
 
Primeiramente precisamos deixar os dados em unidades iguais, ou seja, as 
taxas na mesma unidade e os tempos também (lembre-se de que não é necessário 
que taxa e tempo estejam na mesma unidade de tempo). 
 
Taxas Taxas 
proporcionais 
6% a.s. 12% a.a. 
14% a. a. 14% a.a. 
3,175% a.t 12,70% a.a 
1,25% a.b 7,50% a.a. 
 
Períodos Unidades de 
tempo iguais 
1 a. 12 m 
4 m. 4 m 
6 b. 12 m 
9 m. 9 m 
 
 32 
Agora podemos iniciar os cálculos 
 
Fórmula: Taxa média = 
.......
......
ctctct
citcitcit


 
 
Resolução: 
900,9001200,100400,2001200,400
950,700,9001270,1200,10041400,200121200,400
Im
xxxx
xxxxxxxx



 
 
00,900.14
00,790.144
Im 
 
71745,9Im 
 
Resposta: aproximadamente 9,71745% ao ano. 
 
 
 
 
Passos na HP: f Reg 
400,00 enter, 12 x 12 x 200,00 enter, 14 x 4 x +100,00 enter, 12,70 x12 x + 
900,00 enter, 7,5 x 9 x + (aparecerá no visor 144.790,00 valor total do numerador) 
400,00 enter, 12 x 200,00 enter, 4 x + 100,00 enter, 12 x + 900,00 enter, 9 x + 
(aparecerá no visor 14.900,00 o valor total do denominador), agora é só digitar 
dividido ( : ); Veja no visor aparecerá 9,717449664; arredondar com no mínimo 5 
casas após a vírgula quando se trata de taxa. 
 
3) Três capitais foram colocados a juros, a saber: R$ 20,00 a 5% a.m., em 20 
dias; R$ 40,00 a 6% a.m, em 45 dias, e R$ 60,00 a 3% a.m., em 5 meses. Ache um 
capital único para que este capital produza os mesmos juros. 
 Neste exemplo as taxas estão todas na mesma unidade de tempo e em 
relação aos períodos só temos de adaptar os 5 meses em dias, que equivalem a 150 
dias. Agora é só calcular. 
Fórmula Capital médio = 
ititit
citcitcit

 ......
 
Resolução: 
1503456205
150300,6045600,4020500,20
xxx
xxxxxx
Cm



 
00,820
00,800.39
Cm
 
54,48Cm
 
Resposta: o capital médio é de R$ 48,54 aproximadamente. 
Quanto número!!! Que nada, é só prestar 
atenção nos passos e tudo dará certo. 
 
 33 
Passos na HP: f Reg 
20,00 enter, 5 x 20 x 40,00 enter, 6 x 45 x + 60,00 enter, 3 x150 x + 5 enter, 20 
x 6 enter, 45 x + 3 enter, 150 x + : 
Teste seus conhecimentos! Vamos resolver:9 
1) Os capitais de R$ 400,00 e R$ 300,00 foram colocados à mesma taxa de 
6% ao ano, durante 1 ano e 5 meses, e 1 ano e 2 meses respectivamente. Durante 
quanto tempo deveria ser empregada a soma desses capitais, à mesma taxa, para 
que os juros produzidos fossem iguais ao tempo médio? 
2) Tenho 3 notas promissórias: uma no valor de R$ 1.500,00 a.m., com 
vencimento para 40 dias; outra de R$ 1.900,00 com vencimento para 50 dias e outra 
de R$ 2.100,00 com vencimento para 2 meses, sendo de 5% ao bimestre a taxa de 
desconto. Determine um prazo único para o vencimento das 3 parcelas. 
3) O senhor José emprestou dinheiro a três pessoas, A, B e C, a juros simples, 
de acordo com o quadro a seguir: 
 
Pessoa Valor Taxa mensal Prazo (em meses) 
A 5.000,00 3,0% 5 
B 3.000,00 2,0% 7 
C 4.000,00 1,50% 10 
Sabendo-se que o valor emprestado mais os juros serão pagos numa única 
vez, nos respectivos prazos, determine a taxa mensal média correspondente a estas 
três operações. 
4) Tenho notas promissórias iguais, no valor de R$ 5.000,00, com os seguintes 
prazos de vencimentos: 30, 35 e 40 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto 
é de 1,8% a. m., qual é o prazo médio de vencimento das três letras? 
5) Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 
3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, 
 
9
 As fórmulas anteriores também servem para calcularmos a taxa, prazo e capital médio quando se refere a títulos 
de descontos. 
 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade. 
 
 
 
 34 
respectivamente, três meses a 3% ao mês, quatro meses a 4,5% ao mês e dois 
meses a 30% ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de 
desconto é? 
6) Tenho três letras iguais de R$ 4.500,00, e foram aplicadas durante 8 meses, 
10 meses e 45 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto é de 25% ao ano 
respectivamente, qual é o prazo médio de vencimento das três letras? 
7) Tendo empregado 1/3 de meu capital à taxa de 3 ½ % a.a., a que taxa devo colocar 
o restante, a fim de obter uma taxa média de 5% a.a.? 
8) Tenho três capitais iguais aplicados de R$ 500,00, a prazos de 30, 40 e 50 
dias, respectivamente. Como a taxa média ganha foi de 3,58333% e as taxas ganhas 
no primeiro e segundo capital foi de 2% e 3% ao mês respectivamente, qual o valor 
da taxa mensal ganha do terceiro capital aplicado? 
9) Devo R$ 90.000,00 e preciso pagar a metade desse valor à vista, a terça 
parte deste valor em 6 meses e o restante em 1 ano. Em que prazo médio poderei 
liquidar a divida toda, sem que os juros se alterem. 
10) O Banco MMMX S/A emprestou o total de R$ 2.500.000,00 para diversas 
pessoas, a juros simples, por prazos diferentes, com taxas compreendidas entre 5% 
e 7% a.m. Todos os empréstimos foram liquidados nos seus vencimentos 
contratados. Determine o prazo médio (em meses) desta operação sabendo-se que 
a média para ela foi de 6% a.m. e que a soma dos montantes recebidos pelo agente 
financeiro foi de R$ 4.000.000,00. 
 
Seção 1.3 – Desconto Simples 
Primeiramente vamos entender o que é operação de desconto. 
Um comerciante necessitando de dinheiro para poder pagar seus credores, 
tendo em seu poder duplicatas e notas promissórias de seus clientes (porém com 
vencimento para prazos posteriores), poderá procurar uma instituição financeira que 
opera com descontos e adiantar a importância destes valores. A importância 
recebida será menor que a dos valores constantes nos títulos descontados, por que 
estes títulos ainda não poderão ser cobrados e isso só será possível no dia do seu 
vencimento. Este valor então cobrado (a diferença entre o valor nominal e o valor 
atual) por esta operação é chamado de desconto. 
 
 35 
Outro exemplo de desconto a ser considerado é quando um devedor pretende 
saldar suas dívidas antes do vencimento. É lógico que só fará tal operação mediante 
uma redução de valores. Esta redução é chamada de desconto. 
O desconto pode ser: 
– Desconto comercial ou por fora: quando este é calculado sobre o valor 
nominal do título. 
 
 VA VN 
 
– Desconto racional ou por dentro: quando este é calculado sobre o valor 
atual do título. 
 
 VA VN 
 
Obs.: o valor mencionado no título de crédito é chamado de Valor Nominal, e o 
valor pago pelo título (antes do vencimento) é chamado de Valor Atual. A diferença 
entre estes valores é denominada de desconto. 
 
1.3.1 – Desconto comercial, bancário ou por fora 
FÓRMULAS: 
)1.( itVNVA 
 
VAVNd 
 ou 
tiVNd ..
 
Onde: VA= Valor atual VN= Valor nominal d = desconto 
 i= taxa t = tempo 
 
 
 36 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:10 
1) Uma duplicata no valor de R$ 4.000,00, com vencimento para 30 dias, será 
resgatada hoje. A taxa utilizada na operação é de 2% ao mês. Qual o valor do 
resgate? E qual o desconto concedido? 
 Valor Nominal do título = 4.000,00 
Taxa = 2% a. m. = taxa unitária de 0,02 
Tempo = 30 dias = 1 mês 
Fórmula:
Nitd
 
Resolução: 
102,000,000.4 xxd 
 
0080d ,
 
0080000004VA ,,. 
 
009203VA ,.
 
 
Visualize o fluxo a seguir: 
 2% ao mês 
VA =? 1 m VN = 4.000,00 
Resposta: como o título foi resgatado 1 mês antes do vencimento, o descontofoi de 
R$ 80,00 e o Valor Atual pago foi de R$ 3.920,00. 
 
10
 Como inicialmente exposto, no caso do desconto simples, estes também podem ser resolvidos por regra de três, 
mas cuidado, quando se refere a desconto comercial o valor nominal é 100% e no desconto racional o valor atual 
que é 100%. 
 
 
 
Lembre-se: 
1) Como já mencionado anteriormente, o desconto 
comercial ou por fora é sempre calculado sobre o Valor 
Nominal do título. 
2) Quando não mencionado no problema qual o 
tipo de desconto a ser utilizado, será sempre o desconto 
comercial ou por fora que está sendo requisitado. 
 3) Quando for utilizada a taxa e o tempo, a regra é a 
mesma dos cálculos de juros simples, ou seja, ambas na 
mesma unidade de tempo. 
 
 37 
Passos na HP: f Reg 
4.000,00 enter 0,02 x 1 x (no visor aparecerá o valor do desconto; vamos 
calcular o VA; para isso basta digitar o valor nominal do título e inverter a posição 
dos valores e subtrair) 4.000,00 XY – 
 
1.3.2 – Desconto racional ou por dentro 
FÓRMULAS: 
it1
VN
VA


 ou 
dVNVA 
 
it
Nit
d


1
 
Onde: VA= Valor atual VN= Valor nominal d = desconto 
 i= taxa t = tempo 
 
 
Lembre-se: 
1) Quando for utilizada a taxa e o tempo, a regra é a 
mesma dos cálculos de juros simples, ou seja, ambas na 
mesma unidade de tempo. 
2) O Valor Nominal do título também pode ser 
determinado como valor futuro, porque o desconto racional 
é calculado sobre o valor atual do título e seu vencimento 
é em data posterior à que se pretende negociar. 
3) O Valor Atual do título também pode ser determinado 
como valor presente (base do desconto racional), pois 
este valor é o que se pretende pagar na data que se está 
negociando. 
4) Como mencionado anteriormente, o desconto racional 
ou por dentro é sempre calculado sobre o Valor Atual do 
título. 
5) Para resolução do desconto racional, este é necessário 
ser mencionado no problema. 
 
 
 
 
 38 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Uma duplicata no valor de R$ 3.000,00, com vencimento para 30 dias, será 
resgatada hoje, e a taxa utilizada na operação é de 2% a.m. Qual o valor do resgate, 
e qual o desconto concedido, se a operação for feita pelo desconto racional? 
Valor Nominal do título = 3.000,00 
Taxa = 2% a. m. = taxa unitária de 0,02 
 Tempo = 30 dias = 1 mês 
 
Fórmula: 
it
Nit
d


1
 e 
dVNVA 
 
Resolução: 
1 02,01
1 ,020 00,000.3
x
xx
d


 
8258d ,
 
 
 82,5800,000.3 VA
 
2.941,18VA
 
Passos na HP: fReg 
3.000,00 enter 0,02 x 1 x 1 <> 0,02 <> 1 x + : 
Visualize o fluxo a seguir: 
 
 2% ao mês 
 VA =? 1 m. VN = 3.000,00 
 
Resposta: como o título foi resgatado 1 mês antes do vencimento, o desconto 
foi de R$ 58,82 e o Valor Atual pago foi de R$ 2.941,18. 
 
 Diferença entre o desconto por fora e por dentro 
 
tidrdrdc ..
 
Muitos problemas apresentam apenas o valor dos descontos e solicitam o 
Valor Atual ou Valor Nominal a ser calculado. Quando isso ocorrer, a fórmula anterior 
apresenta uma solução rápida e fácil de ser utilizada. 
 
Esta mesma fórmula poderá ser aplicada em outros problemas de descontos, 
tornando o cálculo mais ágil. 
 
 39 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Uma dívida foi paga antes de seu vencimento e obteve, de desconto 
comercial, um valor de R$ 500,00. Se esta mesma dívida fosse descontada pelo 
desconto racional, teria um desconto de R$ 400,00. Qual o valor da dívida? 
– Como não temos tempo nem taxa, podemos assim desenvolver: 
Fórmula: 
tidrdrdc ..
 
Resolução: 
ti..00,40000,40000,500 
 
– (taxa e tempo) i t = formam uma só incógnita 
ti..00,40000,100 
 
400
100
it
 
250ti ,. 
 
Passos na HP: f Reg 
100,00 enter 400,00 : 
Agora temos o valor da “taxa x tempo” (it = 0,25 ou 25%). 
– Como já sabemos o valor do dc = 500,00 e do dr = 400,00, poderemos 
encontrar o valor nominal: 
– A fórmula mais acessível neste caso é a do desconto comercial: 
VNitd
 ou muitos adotam a nomenclatura de VN por N, podendo assim ser 
representada: 
Nitd
 
100
25
.00,500 N
 
25
10000,500 x
N 
 
Resposta: O valor nominal é de R$ 2.000,00 
Como podemos entender esta resposta? 
Vamos raciocinar sobre os valores encontrados: 
 
1) Considerando o desconto comercial, visualizado em forma de fluxo de 
caixa: 
 
 
 25% no período 
 VA = 1.500,00 VN = 2.000,00 
 
 
O desconto comercial foi de R$ 500,00 
(valor obtido tomando por base o valor 
nominal do título). 
 
 40 
 
2) Considerando o desconto racional: 
 
 
 
 25% ao mês 
VA =1.600,00 VN = 2.000,00 
 
O desconto racional ou por dentro foi de R$ 
400,00 (valor obtido tomando por base o 
valor atual do título). 
 
 
1.3.3 – Taxa de Juro Equivalente à Taxa de Desconto ou Taxa de Juros Efetiva 
Primeiro vamos entender para que são utilizados os cálculos do conteúdo. 
O dinheiro tem valor no tempo, portanto em toda e qualquer operação que 
podemos pagar antecipadamente, o valor a ser pago deve ser menor que o 
estipulado para pagamentos futuros. 
Por exemplo: um comerciante pretende vender à vista certa mercadoria por 
R$ 800,00. Muitos de seus clientes, porém, só adquiririam o produto se fosse 
concedido um prazo para pagamento. Assim, o comerciante aumenta 25% e coloca à 
venda por R$ 1.000,00 para pagamento em 30 dias. 
 
 
 
 
 
 
Assim, um cliente, ao observar que este preço está sendo oferecido a prazo, 
desejando comprá-lo à vista o desconto que poderá ser concedido será de 20% 
sobre R$ 1.000,00, para que o valor seja igual ao valor pretendido pelo comerciante, 
ou seja, os R$ 800,00. 
 
Vejamos: 
800,00 + 25% = 1.000,00 
1.000,00 – 20% = 800,00 
Oba! Se o preço é a prazo, e se eu 
comprar à vista, vou ganhar 
desconto. De quanto será? 
 
 41 
Então, 20% de desconto equivalem a uma taxa de juros de 25% no período. 
Este exemplo não se refere a prestações, e sim a um determinado período. 
 
As fórmulas a seguir nos auxiliam a resolver os problemas: 
 
i j1
ij
id


 
id1
id
ij


 
Onde: 
id= taxa de desconto comercial 
ij= taxa de juros 
 
É necessário saber que: 
– Na verdade, o desconto nada mais é do que o valor dos juros que se deixa 
de pagar como antecipação dos pagamentos hoje. 
– Esta equivalência é muito utilizada quando é acrescido um percentual nas 
vendas a prazo e para as vendas à vista concede-se descontos. 
Exercícios Resolvidos: 
1) O preço à vista de uma mercadoria é 20% menor que o valor do preço a 
prazo. Qual a taxa de juros cobrada na venda a prazo? 
Obs.: as vendas a prazo no exemplo citado não estão considerando 
prestações; estas só são calculadas em juros compostos. 
Fórmula: 
id1
id
ij


 
Resolução: 
%20id
 
20,01
20,0

ij
 
%25ij
 
Resposta: para conceder um desconto de 20% é necessário acrescer 25% 
sobre o preço à vista da mercadoria. 
Passos na HP: f Reg 
0,20 enter, 1 enter, 0,20 – : 
2) Se um comerciante acrescer 50% em suas mercadorias quando vende a 
prazo, qual o desconto que poderá conceder nas vendas à vista? 
Fórmula: 
i j1
ij
id


 
 
 42 
 Resolução : 
%50ij
 
5001
500
id
,
,


 
%33,33id
 
Resposta: para conceder um desconto de 33,33% é necessário acrescer 50% 
sobre o preço à vista da mercadoriaPassos na HP: f Reg 
0,50 enter, 1enter, 0,50 + : 
Teste seus conhecimentos!11 
 Nos exercícios a seguir você verá como se aplicam as fórmulas de desconto 
comercial, racional e equivalência de taxa de juros e desconto. 
1) Calcule o valor do desconto bancário para um compromisso de valor 
nominal igual a R$ 3.600,00, à taxa de 25% ao ano, que foi pago 42 dias antes do 
vencimento. 
2) Uma promissória com valor igual a R$ 30.856,00 é resgatada por R$ 
23.200,00, 90 dias antes do vencimento. Sabendo que foi usado o desconto “por 
fora” nessa operação, calcule a taxa mensal de desconto. 
3) O valor que deveria ser pago por um título daqui a 2 meses era de R$ 
1.400,00. Ao ser pago hoje, a importância foi de R$ 1.150,00. Qual a taxa mensal do 
desconto racional obtido? 
4) Sabendo-se que o desconto comercial de um título vale R$ 600,00 e que a 
taxa de desconto foi de 3% a.m., calcule o valor do título se o mesmo foi descontado 
20 dias antes do vencimento. 
5) Um título de R$ 25.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, 
recebeu uma redução de R$ 4.000,00. Qual foi a taxa de desconto racional obtida? 
6) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, a 18% a.a., em 2 meses 
sofreu um desconto racional de R$ 50,00. 
7) Qual a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 18% 
ao período? 
8) Qual a taxa que produz desconto comercial equivalentes aos juros de 30% 
ao período? 
 
11
 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade. 
 
 
 43 
9) Preencha o quadro a seguir para que as taxas sejam equivalentes: 
 
 
 Taxa de juros Taxa de desconto 
a] 60% no período equivalente a 
b] 70% no período equivalente a 
c] 40% no período equivalente a 
d] 100% no período equivalente a 
e] equivalente a 60% no período 
f] equivalente a 70% no período 
g] equivalente a 40% no período 
h] equivalente a 100% no período 
 
 
 
 
Seção 1.4 – Equivalência de Capitais – Juros Simples 
Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes numa determinada data se 
nela seus valores atuais são iguais. 
O que é capital diferido? Quando dois ou mais capitais forem exigíveis em 
datas diferentes. 
Não podemos esquecer que o dinheiro tem valor no tempo, ou seja: R$ 100,00 
hoje é diferente de R$ 100,00 daqui a 2 meses, e vive-versa, por isso, ao modificar 
datas de pagamentos, os valores se diferem. 
 
 
Lembre-se: 
Na operação de equivalência de capitais simples, é 
necessário mencionar a data focal, ou seja, a data para a 
qual se deve ter por base a renegociação dos valores. 
Caso não for mencionada, a data focal é o instante 0 
(zero), e sempre que não for mencionado qual o desconto, 
usa-se o comercial simples. 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Uma promissória cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, com vencimento em 
 
 44 
30 dias, vai ser substituída por outra, com vencimento para 90 dias. Sabe-se que 
este título pode ser descontado à taxa de 2% ao mês. Qual o valor de face da nova 
nota promissória? 
Resposta: 
1º. Não foi determinada data focal, então neste exemplo é zero. 
2º. O desconto é comercial. 
3º. Não esquecer que desconto comercial é sobre o V.N. do título. 
 
 VN = 2.000,00 
 0 30 dias 
1º passo: trazer para o valor atual (VA) o desconto comercial: 
Fórmula: VA = VN (1 – i.t) 
Resolução: VA = 2.000,00 x (1 – 0,02.1) 
 VA = 2.000,00 x 0,98 VA = 1.960,00 
Resposta: o valor de R$ 1.960,00 é o VA no instante 0 (zero). 
 Passos na HP: f Reg 
 2.000,00 enter, 1 enter, 0,02 enter, 1 x – x 
2º passo: devemos agora calcular o VN para 90 dias. 
 
 VN = ? 
 VA= 1.960,00 90 dias 
Fórmula: VA = VN (1 – i.t) 
Resolução: 1.960,00 = VN (1 – 0,02.3) 
 1.960,00 = VN . (1 – 0,06) 
0,94
1.960,00
 VN
 VN = 2.085,11 
Resposta: o valor da nota promissória com vencimento em 90 dias é de R$ 
2.085,11. 
 Passos na HP: f Reg 
 1.960,00 enter, 1 enter, 0,02 enter, 3 x – : 
2) Qual será o valor de uma duplicata que hoje é de R$ 2.000,00 com 
vencimento para 30 dias, que vai ser substituída por outra para 90 dias, pelo 
desconto simples racional, considerando que a taxa utilizada nesta operação é 
 
 45 
de 2% ao mês? 
1º – não foi determinada a data focal: então a dada é zero. 
2º – desconto racional. 
3º – desconto racional é calculado sobre o VA do título. 
 
1º passo  trazer para VA pelo desconto racional 
 
 
VA VN = 2.000,00 
0 30 dias 
Fórmula: 
 t . i 1
VN
 

VA
 
Resolução: 
1 . 0,02 1
2.000,00
 VA


 
1,02
2.000,00
 VA 
 
1960,78 VA 
 
Resposta: o valor de R$ 1.960,78 é o VA no instante zero 
Passos na HP: f Reg 
 2.000,00 enter, 1 enter, 0,02 enter, 1 x + : 
2º passo: devemos agora calcular o VN para 90 dias. 
 
 
 0 90 dias 
 VA = 1.960,78 VN = ? 
 
Fórmula:
n . i 1
VN
 VA


 
Resolução: 
3 . 0,02 1
78,960.1


VN
 
06,1
78,960.1
VN

 
VN = 1.960,78 x 1,06 VN = 2.078,43 
Resposta: o valor da nota promissória vencível em 90 dias é de R$ 2.078,43.
 
 Passos na HP: f Reg 
 1.960,78 enter, 1 enter, 0,02 enter, 3 x + x 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos12 
1) Um título de R$ 5.000,00 e outro de R$ 8.000,00 vencem em 60 e 90 dias 
respectivamente. Qual seria o valor nominal de um novo título com vencimento para 
30 dias, que substituiria estes títulos, se a taxa de desconto comercial simples é de 
10% ao mês? 
2) Um título de R$ 5.000,00 e outro de R$ 8.000,00 vencem em 60 e 90 dias 
respectivamente. Qual seria o valor nominal de um novo título com vencimento para 
30 dias, que substituiria estes títulos, se a taxa de desconto racional simples é de 
10% ao mês? 
 
 
 
Síntese da Unidade 1 
 
Ao término desta Unidade você deverá ter 
compreendido os principais métodos de cálculos financeiros 
no regime de juros simples e seus conceitos básicos, bem 
como a sua utilização correta, constatando sua importância 
no mercado financeiro. 
 
RESPOSTAS 
UNIDADE 1 :JUROS SIMPLES 
Seção 1.1 – Juros Simples 
1] Juros de R$ 915,13 
2] juros de R$ 1392,81 
 
12
 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade. 
Ihh... não adianta, preciso mesmo saber interpretar os 
problemas, raciocinar, saber fórmulas e depois saber 
como usar a calculadora. Preciso estudar... 
 
 47 
3] capital no valor de R$ 116.666,67 
4] tempo de 80 meses ou 6 anos e 8 meses 
5] tempo de 50 meses ou 4 anos e 2 meses 
6] capital de R$ 2.133,33 
7] taxa anual de 46,7532% 
8] a) juros comerciais de R$ 872,08 e Montante de R$ 7.372,08 
 b) juros exatos de 860,14 e Montante de R$ 7.360,14 
9] aproximadamente 5 anos 8 meses e 17 dias 
10] taxa de 4% ao mês 
11] tempo de 4 ao mês 
12] Juros no período de R$ 100,05 Saldo devedor de R$ 1500,50 ( Obs.: os juros foram 
apurados até o dia 30/4) 
 
Seção 1.2 – Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio 
1] prazo médio de 1 ano 3 meses e 21 dias aproximadamente ou 15 meses e 21 dias 
aproximadamente 
2] prazo médio de 51 dias aproximadamente ou 1 mês e 21 dias aproximadamente 
3] taxa media de 2,0581...% ao mês 
4] prazo médio de 35 dias ou 1 mês e 5 dias 
5] taxa média de 3,5161...% ao mês 
6] prazo médio de 195 dias ou 6 meses e 15 dias 
7] taxa média de 5,75% ao ano 
8] taxa média de 5% ao mês 
 9] prazo médio de 4 meses 
10] prazo médio de 10 mesesSeção 1.3 – Desconto Simples 
1] desconto comercial de R$ 105,00 
2] taxa mensal do desconto comercial = 8,27067...% 
3] taxa mensal do desconto racional de 10,8695...% 
4] valor nominal de R$ 30.000,00 
5] taxa de desconto racional de 6,3492...% ao mês 
6] valor nominal de R$ 1.716,67 
7] taxa de juros de 21,95% 
8] taxa de desconto de 23,08..% 
 
 48 
 9] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 1.4 – Equivalência de Capitais – Juros Simples 
1] Valor da nova nota promissória é de R$ 10.666,67 
2] Valor da nova nota promissória é de R$ 11.352,57 
Taxa de desconto 
id = 0,60 id= 37,50% 
 1+ 0,60 
id = 0,70 id= 41,18..% 
aproximadamente. 
 1+ 0,70 
id = 0,40 id= 28,57% 
aproximadamente. 
 1+ 0,40 
id = 1 id= 50% 
 1+ 1 
Taxa de juros 
 ij = 0,60 ij = 150% 
 1- 0,60 
ij = 0,70 ij = 233,33% 
aproximadamente 
 1- 0,70 
ij = 0,40 ij = 66,66% 
aproximadamente 
 1- 0,40 
ij = 1 = ?????? desconto de 
 1- 1 100% é não cobrar nada 
EXISTE? 
 
 49 
UNIDADE 2 
JUROS COMPOSTOS 
 
OBJETIVOS DESTA UNIDADE 
• Aprender como calcular juros compostos. 
• Analisar e verificar suas aplicações no mercado. 
 
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE 
Seção 2.1 – Juros Compostos 
Seção 2.2 – Taxas Efetiva e Nominal 
Seção 2.3 – Desconto composto 
Seção 2.4 – Equivalência composta de capital 
 
Seção 2.1 – Juros Compostos 
 
13 
Agora iniciaremos o estudo de juros 
compostos, um tema com o qual a maioria das 
pessoas convive no dia a dia quando pagam 
e/ou recebem juros no mercado. 
 
Embora muitos não parem para fazer este 
cálculo e saber o quanto custa cada 
negociação, vamos aqui começar a entender 
este mercado financeiro, tendo por base o que 
foi aprendido na Unidade anterior sobre juros 
simples. Isso vai facilitar o entendimento dos 
próximos conteúdos. 
 
 
13
 Disponível em: <http://tourolouco.files.wordpress.com/2008/01/juros-g1.jpg>. Acesso em: 15 nov. 2008. 
 
 50 
Atenção!!! Aqui que é necessário entender a que se refere as operações, pois 
apenas calcular por calcular não vai fazer vocês aprenderem os conteúdos 
desenvolvidos nesta disciplina. Vamos lá. 
Conceito de juros compostos:14 são aqueles nos quais a taxa de juros incide 
sempre sobre o capital inicial, este que a cada período é composto pelo capital inicial mais 
juros referentes ao período anterior, e assim sucessivamente. 
Exemplo: 
1) Um capital de R$ 1.000,00 ficou aplicado durante 4 anos e a taxa de juros 
ganha nesta aplicação foi de 10% ao ano, capitalizada. Qual o montante obtido no 
final do período? 
O problema anterior está representado no quadro a seguir, que demonstra a 
capitalização por período: 
 
N Capital inicial Taxa ano Valor Juros Montante final 
1 1.000,00 10% 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 10% 110,00 1.210,00 
3 1.210,00 10% 121,00 1.331,00 
4 1.331,00 10% 133,10 1.464,10 
 
Por se tratar de juros compostos, vimos que os juros incidem sempre sobre o 
capital inicial de cada período. Sendo assim, eles são acumulados, ou seja, 
capitalizados a cada período. 
Imagine se fosse, por exemplo, 5 anos capitalizados mensalmente; seriam 60 
capitalizações. Imagine também se você tivesse de fazer período por período. Isso 
seria massacrante e moroso, por isso vamos resolver os problemas com as fórmulas 
a seguir. 
Fórmula para o cálculo do montante: 
 ni1CM 
 
 
14
 A calculadora HP12C é uma das mais práticas, ainda hoje, para resolver a área de cálculos que envolve juros 
compostos. A partir desta unidade vocês verão a agilidade das respostas com utilização das teclas financeiras que 
esta oferece. Não esqueçam: precisam entender o conteúdo, saber interpretar e analisar cada caso, saber também 
diferenciar cada um dos assuntos que a partir desta unidade serão desenvolvidos. 
 
 
 51 
Onde: M ou FV= montante obtido 
 C = capital investido 
 i = taxa de juros no período 
 n = tempo de capitalização 
   ni1
representa o fator de acumulação do capital 
Exercícios Resolvidos 
1) Tomando por base os dados do problema anterior ( problema 1), o 
montante poderá ser obtido assim: 
Fórmula: 
 ni1CM 
 
Resolução: 
40,10) (1 x 1.000,00 M 
 
1.464,10 M 1,46410 x 1.000,00 M 
 
   ni1
representa o fator de acumulação do capital, que neste exemplo é de 
1,46410, ou seja, o valor de R$ 1.000,00 em 4 anos aumentou 46,410%. 
Resposta: o montante será de R$ 1.464,10 
(Vamos relembrar: nos juros simples quanto o capital iria render? 40%) 
Fluxo de caixa: 
 
Passos na HP: – teclas financeiras 
f Reg 1.000,00 enter, chs PV (saída 
de capital– aplicação– por isso é 
negativa) 10 i 4n Fv 
 
Pronto, é muito fácil 
Se quiserem desenvolver a fórmula 
com o teclado não financeiro da HP, 
como fica? Vamos lá: 
F reg 1.000,00 enter 1 enter 0,10 + 4 
yx x 
 
2) Um capital de R$ 5.000,00 ficou aplicado durante 6 meses. A taxa de juros 
oferecida foi de 24% ao ano (nominal), capitalizada bimestralmente. Qual o montante 
obtido no final deste período? 
 
A taxa e o tempo precisam estar de acordo com a capitalização: 
Taxa de 24% ao ano 

6
24
= 4% ao bimestre. 
 
 52 
Tempo de 6 meses 

 
2
6
 = 3 bimestres 
Fórmula: 
 ni1CM 
 
30,04) (1 x 5.000,00 M 
 
5.624,32 M 1,12486 x 5.000,00 M 
 
 
Fluxo de caixa: 
 
 
 
Se quiserem desenvolver a fórmula 
com o teclado não financeiro da HP, 
como fica? Vamos lá: 
F reg 5.000,00 enter 1 enter 0,04 + 3 
yx x 
Passos na HP: – teclas financeiras 
 f Reg 5.000,00 enter, chs PV 4 i 3 n Fv 
 
 
Fórmulas para resolver os problemas solicitados nesta Unidade 
 
Capital ou valor presente: 
 ni1
M
C


 
 
Taxa = 
100x1
C
M
i n









 Tempo = 
 
 i1
CM
log
/log
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
A maior dificuldade encontrada na resolução desses problemas decorre da 
necessidade do uso da calculadora financeira, do uso de cálculos15 com logaritmos, 
etc. 
 
 
15
 A HP 12, calculadora que poderá ser utilizada nos cálculos financeiros, não será abordada nesta Unidade, 
porém quem tiver domínio na utilização desta calculadora poderá agilizar o estudo. 
 
 53 
2.1.1 – Capital ou valor presente 
3) Maria pretende obter um montante equivalente a R$ 2.524,95 ao final de 4 
meses de aplicação de seu dinheiro. Para tanto, quanto deve aplicar hoje, se a taxa 
paga para aplicação de qualquer capital é de 6% ao mês, capitalizado mensalmente? 
 
Vamos extrair os dados do problema, pois assim facilita muito a resolução dos 
cálculos. 
Montante: 2.524,95 
Tempo: 4 meses 
Taxa: 6% ao mês 
 
Como podemos observar, a capitalização é mensal, ou seja, o tempo e a taxa 
devem estar em meses. 
 
Fórmula: 
 ni1
M
C


 
 Resolução: 
 40601
955242
C
,
,.


 
262477,1
95,524.2
C
 
000002C ,.
 
 
Fluxo de caixa: 
 
Resposta: o valor do capital para aplicar deve ser de R$ 2.000,00 
Passos na HP: – teclas financeiras 
f Reg 2.524,95 enter FV 6 i 4 n PV (a resposta vai ser negativa. Sabe por que? 
Porque o Valor do FV foi positivo e o PV é negativo, então digitem agora CHS). 
Se quiser desenvolver a fórmula com o teclado não financeiro da HP, como 
fica? Vamos lá,